STUDI SIMULASI GRAFIK PENGENDALI BERDASARKAN ESTIMASI FUNGSI DENSITAS KERNEL BIVARIAT

(1)

Fakultas MIPA, Universitas Negeri Yogyakarta, 2 Juni 2012

M-301

STUDI SIMULASI GRAFIK PENGENDALI BERDASARKAN

ESTIMASI FUNGSI DENSITAS KERNEL BIVARIAT

Selfie Pattihahuan, Adi Setiawan, Leopoldus Ricky Sasongko

Program Studi Matematika, Fakultas Sains dan Matematika Universitas Kristen Satya Wacana

Jl. Diponegoro 52-62 Salatiga 50711, email: [email protected]

Abstrak

Pengendalian kualitas secara statistik dapat dilakukan dengan menggunakan grafik pengendali, Salah satunya adalah penggunaan grafik pengendali berdasarkan Estimasi Fungsi Densitas Kernel. Data yang digunakan adalah dua titik sampel bivariat yaitu

 

1,2 1 

x , x₂ 



3,4



dan data simulasi bivariat yang dibangkitkan dari kombinasi dua distribusi normal bivariat dengan ukuran sampel (sample size) tertentu. Berdasarkan data tersebut dapat ditentukan estimasi densitas kernelnya (kernel density estimation) selanjutnya digunakan untuk membuat grafik pengendali dalam menentukan titik sampel yang out of control. Dari studi simulasi dapat dibangkitkan sampel dengan ukuran n berbeda- beda dan diperoleh hasil proporsi titik sampel out of control cenderung mendekati nilai batas kesalahan (level of significance)





0 ,

0027

.

Kata kunci : estimasi densitas kernel (kernel density estimation), grafik pengendali.

PENDAHULUAN Latar Belakang

Pengendalian kualitas sangat dibutuhkan dalam proses produksi guna menjaga kestabilan suatu produk. Dalam pengendalian kualitas sering digunakan pengendalian proses statistik. Salah satu teknik pengendalian proses statistik adalah grafik pengendali (control chart). Mengingat karakteristik kualitas proses produksi tidak selalu berdistribusi normal, maka dikembangkan alternatif grafik pengendali dengan metode non-parametrik . Salah satunya adalah menggunakan estimasi fungsi densitas kernel (kernel density estimation).

Dalam makalah sebelumnya telah dijelaskan tentang penerapan grafik pengendali berdasarkan estimasi fungsi densitas kernel bivariat pada data bivariat karakteristik pH dan berat jenis sabun sirih (Pattihahuan et al., 2012). Selanjutnya, makalah ini akan membahas tentang bagaimana menerapkan grafik pengendali non-parametrik berdasarkan pendekatan fungsi densitas kernel bivariat untuk dua titik dan untuk data simulasi bivariat. Tujuan dari penelitian ini adalah menerapkan grafik pengendali non-parametrik berdasarkan pendekatan kernel untuk data simulasi bivariat dan mengidentifikasi titik sampel yang berada di luar grafik pengendali.

DASAR TEORI

Dasar teori yang dituliskan dalam makalah ini diambil dari makalah Pattihahuan et al. (2012) dan beberapa sumber seperti pada daftar pustaka.

Grafik Pengendali

Grafik pengendali adalah teknik pengendali proses pada jalur yang digunakan secara luas yang biasanya digunakan untuk menaksir parameter suatu proses produksi menentukan kemampuan dan memberikan informasi yang berguna dalam meningkatkan proses itu (Montgomery, 1990).

Berdasarkan banyaknya karakteristik kualitas yang diukur, grafik pengendali dibedakan menjadi 2 jenis yaitu grafik pengendali univariat dan grafik pengendali bivariat atau multivariat. Grafik pengendali univariat digunakan jika hanya ada satu karakteristik kualitas yang diukur, sedangkan grafik pengendali bivariat atau multivariat digunakan jika diperlukan pengendalian dua atau lebih karakteristik kualitas yang berhubungan secara bersama-sama.

(2)

M-302 Estimasi Fungsi Densitas Bivariat

Estimasi fungsi densitas merupakan salah satu bagian dalam analisis data statistik, dimana estimasi fungsi densitas adalah suatu gambaran tentang sebuah sebaran data. Dalam statistik, estimasi fungsi densitas kernel merupakan salah satu metode non-parametrik untuk menduga fungsi kepadatan probabilitas dari suatu variabel acak (WEB1). Misalkan suatu sampel bivariat

n

X

₁

,

₂

,...,

yang diambil dari suatu populasi dengan fungsi densitas f, maka estimasi fungsi densitas kernelnya adalah





_





    n i i H x X K n H x f 1 1 ; ˆ

dengan X1, X2, . . . ,Xn adalah sampel dari n data H adalah matrix bandwidth ,





T x x x  1, 2 dan





T i i i

X



1

,

2 untuk i = 1, 2,. . . ., n. Dalam hal ini KH

 

x H K



H x



2 1 2 1 _   dan          2 2 12 12 2 1 h h h h

H adalah matriks bandwidth yang simetris positif definit (definite positive) dengan



1



2

1 var Xi

h  , h ₂2 var



X_i₂



dan

h

₁₂



cov



X

_i₁

,

X

_i₂



. Dalam hal ini

   

         x x x K T 2 1 exp

2



1 adalah kernel normal standard bivariat.

Hal yang menjadi faktor penting dalam estimasi fungsi densitas kernel adalah memilih nilai

H

optimal untuk matriks bandwidth. Pemilihan nilai

H

optimal untuk matriks bandwidth dapat dilakukan dengan menggunakan metode Mean Integrated Squared Error (MISE) yang dijelaskan pada Tarn Duong dan Martin L. Hazelton (2003).

METODE PENELITIAN

Dalam penelitian ini digunakan langkah-langkah yang dijelaskan sebagai berikut:  Membuat grafik pengendali berdasarkan estimasi densitas kernel untuk dua titik sampel  Membangkitkan data simulasi bivariat dari distribusi normal bivariat N dengan rumus





_

























































,

20

8

1 ,

25

4 N

p

N

p

dengan bobot 0<p<1 dan matrik kovarians

_















1

5 .

0

5 .

0

1

. Jika digunakan ukuran sampel

(sample size) n=500 dengan p=0.5. Mencari nilai

H

bandwidth optimal dari data simulasi dengan menggunakan packages ks pada software R-2.15.2. Menghitung estimasi fungsi densitas kernel dari data simulasi berdasarkan nilai H bandwidth optimal. Membuat grafik pengendali untuk data simulasi bivariat berdasarkan estimasi fungsi densitas kernel. Menentukan banyaknya titik sampel yang out of control.

 Menentukan banyaknya titik yang out of control untuk n=500, n=1000, n=1500 dan p=0.5.  Melakukan pengulangan dengan p yang berbeda-beda yaitu p=0.1, p=0.8.

ANALISIS DAN PEMBAHASAN

Estimasi Kernel Densitas Bivariat dari Dua Titik

Jika dipunyai dua titik sembarang x1 

 

1,2 dan x2 



3,4



dan dengan menggunakan matriks bandwidth identitas

_













1

0

1 H

maka estimasi densitas kernel dapat digambarkan dengan grafik 3 dimensi pada Gambar 1 dan 2. Gambar 1 adalah estimasi densitas kernel bila dilihat dari sudut rotasi horizontal (AZ) 20 derajat dan sudut elevasi vertikal (EL) 25 derajat, sedangkan Gambar 2 adalah estimasi densitas kernel bila dilihat dari sudut rotasi horizontal (AZ) 60 derajat dan sudut elevasi vertikal (EL) 125 derajat.

(3)

M-303

Gambar 1. Grafik Estimasi Densitas Bivariat 2 titik AZ 20 EL 25

Gambar 2. Grafik Estimasi Densitas Bivariat 2 titik AZ 60 EL 125

Berdasarkan estimasi densitas kernel dapat dibuat grafik pengendali bivariat untuk 2 titik yang ditunjukan pada Gambar 3. Kurva garis putus-putus menunjukkan batas grafik pengendali bivariat berdasarkan estimasi densitas kernel.

Gambar 3. Grafik Pengendali Berdasarkan Estimasi Densitas Bivariat 2 Titik Estimasi Fungsi Densitas Bivariat Untuk Data Simulasi

Untuk memberikan gambaran, pada simulasi ini, dibangkitkan data acak bivariat dari distribusi normal





_

























































,

20

8

1 ,

25

4 N

p

N

p

dengan bobot 0<p<1 dan matrik kovarians

_















1

5 .

0

5 .

0

1

. Pemilihan rata-rata distribusi bivariat

normal yaitu (4,25)T dan (8,20)T dan matriks kovariansi ∑ hanya untuk memberikan gambaran simulasi.Jika digunakan ukuran sampel (sample size) n=500 dengan p=0.5 dan dengan bantuan

packages ks pada software R-2.15.2 diperoleh matriks bandwidth optimal adalah

dengan eigen value ₁ 0.3233,₂ 0.2433.

















3214

.

0 0124

.

0 0124

.

0 2452

.

0 H

(4)

M-304

Selanjutnya, berdasarkan data hasil simulasi tersebut dapat ditentukan estimasi densitas kernel dengan menggunakan persamaan (1). Nilai estimasi fungsi densitas kernel untuk data simulasi yang dibangkitkan dapat ditunjukan pada Gambar 4. Terlihat kurang lebih separuh titik membentuk bukit pertama sedangkan separuh titik yang lain membentuk bukit kedua. Hal ini sesuai dengan yang diharapkan karena menggunakan bobot p=0.5.

Gambar 4. Grafik estimasi densitas kernel bivariat untuk data simulasi Dengan p=0.5 untuk n= 500

Berdasarkan estimasi densitas kernel bivariat pada Gambar 4, dapat dibuat grafik pengendali yang ditunjukkan pada Gambar 5. Kontur merah menunjukan batas spesifikasi dengan tingkat signifikansi α=0.0027 yang bersesuaian dengan level (nilai estimasi densitas kernel) adalah 0.0017. Dengan menggunakan batas spesifikasi tersebut diperoleh 2 titik sampel yang berada di luar kontur yaitu titik sampel ke-159 yang berada pada koordinat (12.2509, 23.6602) dengan level (nilai estimasi densita kernel) adalah 0.0014 dan titik sampel ke-224 yang berada pada koordinat (7.0671, 26.3783) dengan level adalah 0.0017.

Gambar 5. Grafik pengendali bivariat berdasarkan estimasi densitas kernel untuk data simulasi dengan p=0.5 untuk n= 500

Untuk perbandingan lebih jelas dari studi simulasi dengan sampel yang berbeda- beda ditunjukkan dalam Tabel 1. Grafik pengendali bivariat yang dibuat berdasarkan data acak berdistribusi normal dengan banyaknya sampel yang berbeda-beda yaitu n=500, n=1000, n=1500 dan n=2000 diperoleh proporsi banyaknya titik sampel out of control cenderung mendekati nilai

0027

,

0 



. Untuk grafik pengendali bivariat dengan banyak sampel (sample size) n=1000 dan

n=1500 ditunjukkan pada Lampiran 1. Titik sampel yang berada di luar batas pengendali (out of control) memberikan arti bahwa terjadi suatu kesalahan (cacat) yang mungkin diakibatkan

(5)

M-305

kesalahan dalam proses produksi. Hasil yang analog bisa diperoleh untuk penganbilan bobot p yang lain sebagai contoh p=0.1, p=0.8.

Tabel 1. Tabel hasil simulasi untuk berbagai macam n

n Level

Banyaknya titik sampel yang out of

control

Proporsi out of control

500 0.0017 2

500

0 .

004

2 

1000 0.0010 3

1000

0 .

003

3 

1500 0.0007 5

1500

0 .

0033

5 

KESIMPULAN

Dalam makalah ini dijelaskan proses pembentukan grafik pengendali bivariat berdasarkan estimasi densitas kernel untuk dua titik sampel dan untuk banyaknya sampel dengan n yang berbeda-beda sehingga dapat digunakan untuk mengidentifikasi titik-titik sampel yang out of

control.

DAFTAR PUSTAKA

Chacón, J.E. and Duong, T. 2009. Multivariate plug-in bandwidth selection

with unconstrained pilot bandwidth matrices. Diunduh pada Minggu, 2 Januari 2012. www.mvstat.net/tduong/research/.../chacon-duong-2010-test.pdf

Montgomery, Douglas C. 1990. Pengantar Pengendalian Kualitas Statistik. Yogyakarta: Gadjah Mada University Press.

Najib, Mohammad. 2007. Diagram Kontrol Statistik Non Parametrik Sum Of Ranks Untuk Target Pada Data Non-Normal. Diunduh pada Minggu, 1 Januari 2012.

http://digilib.its.ac.id/public/ITS-Undergraduate-8035-1303100018-Bab1.pdf

Pattihahuan, Selfie., Setiawan, A., & Sasongko, L, Ricky. Sasongko. 2012. Penerapan Grafik

Pengendali Berdasarkan Estimasi Fungsi Densitas Kernel Bivariat. Seminar Nasional

Pendidikan Matematika (LSM) XX UNY tanggal 24 Maret 2012.

Tarn Duong and Martin L. Hazelton. 2003.Plug-In Bandwith Matrices For Bivariate Kernel Density Estomation, hal. 17 - 20. Diunduh pada Minggu, 3 Januari 2012.

http://www.mvstat.net/tduong/research/

[WEB 1] Kernel Density Estimation. Diunduh pada Sabtu, 20 Agustus 2011. http://en.wikipedia.org/wiki/Kernel_density_estimation

[WEB 2] Multivariate Kernel Density Estimation. Diunduh pada sabtu, 20 Agustus 2011.

(6)

M-306 0 2 4 6 8 10 12 1 5 2 0 2 5 3 0 hasil[,1] h a s il [, 2 ]

Lampiran 1 : Grafik Pengendali Bivariat Untuk n=1000, n=1500 dengan p=0.5

Gambar 6. Grafik pengendali bivariat berdasarkan estimasi densitas kernel untuk data simulasi dengan p=0.5 untuk n= 1000

Gambar 7. Grafik pengendali bivariat berdasarkan estimasi densitas kernel untuk data simulasi dengan p=0.5 untuk n= 1500