BAB III PENGEMBANGAN MODEL MATEMATIK

(1)

BAB III

PENGEMBANGAN MODEL MATEMATIK

Pada analisis manual yang akan dikembangkan, untuk menjamin bahwa teori maupun rumusan yang diturunkan berlaku (valid) maka perlu ditetapkan asumsi dasar. Sehingga hasil analisis manual yang dikembangkan jika dibandingkan hasil program referensi memperlihatkan perbedaan yang masih dapat diterima.

Analisis yang dikembangkan adalah analisis penampang untuk mendapatkan diagram interaksi, momen-kurvatur penampang kolom CFST pendek akibat kombinasi aksial tekan nominal dan momen nominal. Asumsi dasar tersebut adalah sebagai berikut :

1. Bentuk penampang adalah bujursangkar dan lingkaran. 2. Distribusi regangan berbentuk linier disepanjang penampang.

3. Penampang tetap datar setelah terjadi lentur dan regangan yang terjadi pada baja sama dengan yang terjadi pada beton pada elevasi yang sama.

4. Slip antara beton, tabung baja dan baja tulangan dianggap tidak terjadi 5. Beton dianggap tidak memikul gaya tarik, gaya tarik dipikul sepenuhnya

oleh baja.

6. Regangan maksimum tabung baja dan beton adalah 0.025.

7. Regangan maksimum pada kondisi ultimit adalah sebesar 0.003, sedangkan kuat tekan beton fc’ tidak direduksi dengan faktor 0.85 karena adanya efek kekangan tabung baja (Eruocode 4, 1994)

(2)

III.1. Penentuan Luas Total Tulangan Longitudinal

Penentuan besaran rasio luas total tulangan longitudinal pada Penampang bujursangkar kolom CFST pendek ditinjau terhadap luas total penampang betonnya. (gambar III.1. )

Luas total tulangan longitudinal terhadap luas total beton dengan rumusan sebagai berikut :

(III.1)

Untuk rasio tulangan longitudinal, ρ (1%) ,

n

r = 4 buah, sedangkan untuk rasio

tulangan longitudinal, ρ (2%),

n

_r = 8 buah, maka untuk luas setip tulangan adalah sebagai berikut:

(III.2) Dimana :

r

n

= jumlah tulangan longitudinal

Sedangkan untuk memperoleh diameter tulangan longitudinal, dengan rumus sebagai berikut : (III.3) total

*

r c total

A

=

ρ

A

2 r

d

4 A

r

π

₌

total r r r A A n = B B t t Lapis ke i Ar1 Ar3 Ar2 Ar’ Ar B B t t Lapis ke i

rasio tulangan 1% _{rasio tulangan 2%}

Gbr.III.1 Penentuan rasio luas tulangan longitudinal pada Penampang bujursangkar kolom CFST

(3)

B B t t Lapis ke i B B t t Lapis ke i (III.4) (III.5)

Konfigurasi tulangan longitudinal untuk rasio 1- 2% yang dipasang pada penampang kolom CFST, diperlihatkan pada gambar.III.2.

2

4.

r r

A

d

π

=

r 4. d Ar

π

=

Rasio tulangan 1% Rasio tulangan 2%

(4)

Pno Rega ngan tarik sama deng an 0 Mn Kondisi Balance

Pn top c ε bottom s ε top c ε bottom s ε top c ε bottom s ε top c ε bottom s ε bottom s ε top c ε top c ε bottom s ε top c ε bottom s ε Pnb Pnmaks 1 2 3 4 5 6 7 Pn εr' r ε r ε ' r ε r ε ' r ε r ε ' r ε r ε ' r ε r ε ' r ε r ε r ε

III.2. Prosedur Perhitungan untuk Membuat Diagaram Interaksi

Diagram interkasi penampang kolom CFST pendek merupakan diagram yang menyatakan kuat batas penampang terhadap momen nominal dan gaya aksial tekan nominal. Pada penulisan tesis ini diagram interaksi yang dievaluasi adalah tujuh titik kurva interaksi, karena dalam analisis yang akan dilakukan yaitu dengan cara manual sehingga untuk menghindari kesalahan yang kompleks dan waktu perhitungan yang sangat lama, maka penulis meninjau tujuh titik kurva interaksi tersebut, ketujuh titik kurva ini merupakan syarat minimum yang harus ada pada diagram interaksi. Titik kurva 1 sampai titik kurva 7 adalah merupakan bagian dari dua daerah keruntuhan, yaitu daerah keruntukan tekan, keruntuhan tarik dan 1 titik kurva pada kondisi balans, seperti diperlihatkan pada gambar III.3.

Adapun titik–titik kurva tersebut nilai regangannya adalah sebagai berikut:

1. Titik kurva 1 regangan beton pada serat atas (

ε

ctop=0.3%), sedangkan

untuk regangan tarik pada tabung baja atau pada serat bawah (

ε

s bottom=

0.3 %).

(5)

ε

ctop=0.25%) sedangkan

ε

s bottom

=

0.25 ε

y).

ε

c top=0.25%) sedangkan

regangan tarik serat bawah tabung baja sama dengan nol (

ε

s bottom

=

0

).

ε

_c_top=0.25%)sedangkan untuk regangan tarik pada tabung baja atau pada serta bawah (

ε

s_bottom

=

0.5 ε

y ).

ε

s bottom

=

ε

y).

ε

untuk regangan tarik pada tabung baja atau pada serat bawah

bottom

s y

ε

>

ε

.

ε

untuk regangan tarik pada tabung baja atau pada serat bawah

bottom

s y

ε

>>

ε

.

Untuk menggambarkan perilaku penampang, rumus yang sesuai untuk berbagai kondisi dibuat terpisah berdasarkan nilai regangan serat bawah tabung baja

bottom

s

ε

. Berbagai kondisi regangan yang menunjukkan perilaku penampang pada setiap kondisi dapat dilihat pada gambar berikut :

(6)

Gbr.III.4. Kondisi tekan murni (I) εc_top =0.003, 0.003ε_{s bottom} =

Gbr.III.5. Kondisi tekan nominal maksimum (II)ε_c_top =0.0025 ,ε_s_bottom =0.25ε_y

(7)

Gbr.III.7. Kondisi tekan nominal ε_{s bottom} =0.5ε_y(IV)

Gbr.III.8. Kondisi seimbang ε_c_top =ε_y (V)

(8)

Kondisi aksial tekan murni adalah sebagi berikut :

(III.6) Kondisi I sampai II secara umum berlaku hubungan sebagai berikut :

Dari keseimbangan gaya diperoleh

(III.7)

Dari keseimbangan momen terhadap plastic centroid penampang diperoleh :

(III.8)

Kondisi III sampai dengan secara umum berlaku hubungan sebagai berikut : Dari kesimbangan gaya diperoleh :

(III.9)

' 0 c. c y. s yr. r P = f A + f A + f A ' n ci si r r P =

∑

C +

∑

C +C +C ' ' . . ((( 2. ) / 2) ) ( (( 2. ) / 2)) =

∑

+

∑

+ − − + − −

Gbr.III.10. Kondisi momen murni ε_{s bottom} >>ε_y (VII)

' ' . . ((( 2. ) / 2) ) ( (( 2. ) / 2)) n ci i si i r r t M =

∑

C d +

∑

C d +C B− t −d +C d − B− t ' n ci si r r P =

∑

C +

∑

C +C +C

(9)

Kondisi IV sampai VII dengan secara umum berlaku hubungan sebagai berikut : Dari kesimbangan gaya diperoleh

(III.11)

(III.12)

Dimana :

di = jarak lapis ke-i dari garis netral penampang

d = jarak dari serat atas tekan beton ke pusat tulangan tarik d’ = jarak dari serat atas tekan beton ke pusat tulangan tekan dt = jarak serat atas tekan beton ke pusat tulangan tarik

Sedangkan untuk mendapatkan rumus regangan dapat dibaca pada prosedur perhitungan momen kurvatur. Prosedur ini dapat menghasilkan kurva interaksi penampang kolom yang akan dianalisis.

III.3. Prosedur Perhitungan Momen–Kurvatur

Kurva momen-kurvatur merupakan kumpulan titik-titik dari nilai momen dan kurvatur yang nilainya berubah-ubah sesuai dengan perubahan tegangan dan regangan yang terjadi pada penampang elemen struktur yang mengalami lentur. Untuk mendapatkan kurva momen-kurvatur suatu penampang dengan tingkat beban aksial tertentu, dapat dilakukan dengan membagi suatu penampang dalam sejumlah irisan diskrit. Hubungan momen-kurvatur dapat diperoleh dengan meningkatkan regangan beton di serat paling atas (εctop ) tertekan, sedemikian rupa hingga tercapai kondisi keseimbangan pada penampang. Pada analisis yang akan dilakukan kurvatur didapat dari nilai regangan tabung baja pada serat paling

' n ci si si r r P =

∑

C +

∑

C −

∑

T +C −C ' ' . . . ((( 2. ) / 2) ) ( (( 2. ) / 2)) n ci i si i si i r r t M =

∑

C d +

∑

C d +

∑

T d +C B− t −d +C d − B− t

(10)

Adapun prosedur perhitungannya sebagai berikut :

1. Menetapkan nilai awal regangan beton di serat paling atas (εctop), sehingga didapat nilai regangan tabung baja di serat paling atas (εstop) dengan mengestimasi (iterasi) besarnya garis netral penampang (kd) . 2. Membagi diagram tegangan-regangan beton dan tabung baja menjadi

beberapa irisan dengan elevasi regangan yang sama (gambar III.11.dan gambar III.12).

Gbr.III.11.Diskritisasi tegangan- regangan beton

(11)

rata-rata

₂

i top i bottom i

ε

_{= ⎜}

⎛

+

⎞

_⎟

⎝

⎠

(

)

' '

(d

(

)

r c top

kd

t

kd

t

ε

= ⎜

⎛

_⎜

−

⎞

⎟

_⎟

ε

−

⎝

⎠

(

)

r

((

)

_t

)

c top

kd

t

d

kd

t

ε

_{= ⎜}

⎛

_⎜

− −

⎞

⎟

_⎟

ε

−

⎝

⎠

Regangan maksimum beton dan tabung baja diasumsikan sama sebesar 0.025 dan dibagi sebanyak 50 lapis.

3. Menentukan regangan penampang untuk tiap irisan (gambar III.14), serta regangan tulangan longitudinal.

Untuk mendapatkan nilai regangan tabung baja pada serat paling atas, digunakan rumus sebagai berikut :

(III.13)

(III.14)

Sedangkan regangan rata-rata pada setip irisan adalah sebagai berikut :

(III.15)

Untuk tulangan longitudinal, regangannya adalah :

(III.16) (III.17 s top

.

( - )

ctop

kd

kd t

ε

=

(

)

i bottom/top 1 stop kd n i B kd n B ε ε ⎛ ⎛ _{⎞ − −} ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ _⎝ _⎠ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ _⎝ _⎠ ⎟ ⎝ ⎠

(12)

4. Menentukan luas masing-masing irisan penampang. 5. Menentukan tegangan beton di setiap irisan.

Maka dapat dihitung nilai gaya pada setiap irisan tersebut, yaitu :

(III.18) 6. Menentukan tegangan tabung baja di setiap irisan.

Maka dapat dihitung nilai gaya pada setiap irisan tersebut, yaitu : Untuk kondisi tekan pada tabung baja adalah sebagai berikut :

(III.19)

Untuk kondisi tarik pada tabung baja adalah sebagai berikut :

(III.20)

7. Menentukan tegangan tulangan longitudinal

Tegangan tulangan longitudinal (fr) ditentukan dari persamaan tulangan sebagai berikut :

• Untuk kondisi sebelum leleh,

ε

_r

<

ε

_yr

mod r

.

r r

f

=

ε

E

(III.21)

• Untuk kondisi setelah leleh,

ε

≥

ε

ci ci ci

C

=

f A

.

si si si

C

=

f A

.

si si si

T

=

f A

Gbr. III.13. Elemen diskrit penampang kolom CFST dengan rasio tulangan longitudinal 1%

(13)

f

_r

=

f

_y (III.22) Maka dapat dihitung nilai gaya pada tulangan longitudinal

Untuk tulangan tekan : (III.23)

Untuk tulangan tarik : (III.24)

8. Keseimbangan gaya

Persamaan yang harus dipenuhi agar kondisi gaya seimbang adalah :

(III.25)

(III.26) 9. Menentukan momen dan kurvatur penampang.

Dari harga gaya beton pada setiap irisan, dapat diperoleh harga momen dari tiap irisan tesebut, yaitu :

(III.27)

Dari harga gaya tabung baja pada setiap irisan, dapat diperoleh harga momen dari tiap irisan tersebut, yaitu :

(III.28)

(III.29)

Dari harga gaya tulangan longitudinal, dapat diperoleh harga momen baik pada kondisi tarik maupun tekan. Nilai momen tulangan tersebut, yaitu :

'

_.

' r r r

C

=

f A

0 F

=

∑

' n n konstan P =

∑

C_ci+

∑

C_si−

∑

T_si+C_r −C_r =P ci

M

=

C d

_ci

.

_i si si

M

=

C d

.

_i

.

r r r

C

=

f A

ti si

M

=

T d

.

_i

(14)

Setelah seluruh komponen diikutsertakan maka, momen nominal yang bekerja pada penampang adalah :

(III.32)

Dengan mengetahui nilai kd pada setiap nilai regangan tabung baja pada serat paling atas (εstop) maka nilai kurvatur dapat dihitung dengan persamaan berikut :

(III.33)

Prosedur ini dapat menghasilkan kurva momen-kurvatur penampang kolom yang akan dianalisis

III.4. Verifikasi Analisis Manual Terhadap Program Referensi

Hitungan manual dengan bantuan Software Microsoft Excel diverifikasi untuk mengetahui kebenaran dan keakuratan perhitungan manual yang dilakuan penulis terhadap program referensi (Luhut Gultom). Dimana verifikasi ini, hitungan penampang yang tidak ditambahkan rasio tulangan longitudinal dan dilakukan terhadap diagram interaksi penampang karena pada proses perhitungan diagram interaksi tersebut terdapat bermacam-macam fungsi yang vital dalam menentukan kebenaran dan keakuratan secara keseluruhan hasil kurva momen kurvatur dan daktilitas kurvatur penampang yang ingin dicapai. Perhitungan manual dilakukan dengan bantuan Softare Microsoft Excel. Data penampang kolom yang digunakan dalam verifikasi perhitungan manual terhadap program referensi (Luhut Gultom) ini adalah sama B/D=200 mm untuk kasus penampang bujursangkar dan lingkaran , tebal t=5 mm, kuat tekan silinder beton fc’=70 MPa, Modulus elastisitas beton bujursangkar (model Fujimoto dkk) Ec=33400.26 MPa, Ec=33580.11 untuk lingkaran (model Fujimoto dkk), sedangkan modulus elastisitas (Tomii dan Sakino) Ec= 34677.11 MPa untuk penampang bujursangkar dan lingkaran kuat leleh pipa baja fy=410 MPa, dan modulus elastisitas baja Es=200.000 MPa,

' i i i _r r n C S T C C M =

∑

M +

∑

M +

∑

M +M +M stop

kd

ε

φ

=

(15)

Seperti yang terlihat pada gambar III.14 sampai gambar III.17, diagram interaksi yang dikerjakan manual menggunakan Software Microsoft Excel (garis putus-putus) memberi hasil yang mendekati sama dengan progam referensi (garis solid), sehingga perhitungan manual dengan bantuan Software Microsoft Excel yang digunakan dalam analisis sudah benar dan dapat dilanjutkan untuk perhitungan selanjutnya.

Gbr.III.14.Verifikasi Hasil Analisis Manual dengan Program referensi (model Fujimoto dkk ) 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 0 50 100 150 200 Mn, (kN.m) Pn , ( k N )

Excel LUHUT GULT OM

5

(16)

Gbr.III.15.Verifikasi Hasil Analisis Manual dengan Program referensi (model Fujimoto dkk) 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 0 20 40 60 80 100 Mn, (kN.m) Pn , ( k N )

LUHUT GULTOM EXCEL

5 200 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 0 50 100 150 200 Mn, (kN.m) Pn , ( k N )

LUHUT GULTOM EXCEL

5

200

Gbr.III.16.Verifikasi Hasil Analisis Manual dengan Program referensi (model Tomii dan Sakino)

(17)

Data penampang dan material properties yang digunakan dalam analisis studi kasus, penulis menggunakan data yang sama dengan data yang digunakan referensi (Luhut Gultom) adalah sebagai berikut :

• Bentuk penampang bujursangkar dan lingkaran • Mutu beton fc' = 70 Mpa

• Kuat leleh tabung baja fy = 410 Mpa

• Modulus elastisitas tabung baja Es = 200.000 Mpa • Panjang sisi luar tabung baja B = 200 mm

• Diameter terluar tabung baja D = 200 mm • Tebal tabung baja t = 5 mm

Gbr.III.17.Verifikasi Hasil Analisis Manual dengan Program referensi (model Tomii dan Sakino)

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 0 20 40 60 80 100 120 Mn, (kN.m) Pn , ( k N )

LUHUT GULTOM EXCEL

5