ANALISIS MODEL SAINT-VENANT
PADA ALIRAN AIR KANAL
BERBASIS DESKTOP APPLICATION
Catherine, Viska Noviantri, dan Alexander Agung S. G.
Matematika dan Teknik Informatika School of Computer Science
Univeritas Bina Nusantara Kebon Jeruk Raya no.27, Indonesia
catherine.ge@yahoo.com
ABSTRACT
The research is conducted to model the unsteady water flow of an open channel in mathematical form in order to analyze it numerically. The water flow is modelled by the Saint-Venant equation and then solved through the Lax difusive scheme and characteristic method of specified interval. By developing an application of its numerical implementation, we get the outputs of water property such as discharge, flow velocity, and water depth. Based on these outputs, the water unsteady water flow property can be analyzed. The research can be applied as suggestion in building the flood control and prevention system in order to get the better result.
Keyword : unsteady flow, open channel, Saint-Venant equation, Lax difusive scheme, characteristic
method of specified interval
ABSTRAK
Penelitian yang dilakukan bertujuan untuk memodelkan aliran air tak tunak pada kanal terbuka dalam bentuk persamaan matematika sehingga dapat dianalisa secara numerik. Aliran air dimodelkan dalam bentuk persamaan Saint-Venant dan diselesaikan secara numerik dengan skema difusif Lax dan metode karakteristik “interval tertentu”. Dengan membuat program komputer berdasarkan metode numerik tersebut, diperoleh keluaran berupa properti air seperti debit, kecepatan aliran, dan kedalaman air. Berdasarkan keluaran tersebut, properti aliran air tak tunak dapat dianalisa. Penelitian dapat diaplikasikan sebagai acuan bagi sistem pengontrol dan penanggulangan banjir. Diharapkan bahwa dengan pengaruh dari hasil penelitian, sistem pengontrol dan penanggulangan banjir dapat memberikan hasil yang lebih maksimal.
Kata kunci : aliran tak tunak, kanal terbuka, persamaan Saint-Venant, skema difusif Lax, metode
karakteristik interval tertentu
LATAR BELAKANG
“Banjir” dalam Kamus Besar Bahasa Indonesia diartikan sebagai peristiwa terbenamnya daratan yang biasanya kering karena volume air yang meningkat (Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan, 2015). Dengan kata lain, suatu wilayah dapat dianggap mengalami banjir jika air dalam jumlah yang signifikan berada di tempat yang tidak diinginkan atau tidak seharusnya. Bencana banjir membawa berbagai dampak negatif bagi manusia dan lingkungannya. Banjir dapat menyebabkan hilangnya harta benda, kesehatan, bahkan jiwa. Selain itu, banjir juga dapat melumpuhkan jalur transportasi, menyebabkan pemadaman listrik, mencemari lingkungan, menyebabkan erosi dan tanah longsor, serta lain sebagainya (PT. Asuransi Jiwa Manulife Indonesia, 2014). BBC Indonesia melaporkan bahwa para pengusaha telah menderita kerugian hingga triliunan rupiah akibat banjir
besar di Jakarta dan sekitarnya dalam empat hari saja, terhitung sejak hari Kamis, 17 Januari 2013 (Safitri, 2013).
Rahmat Fajar Lubis, Penulis Pusat Penelitian Geoteknologi LIPI menyebutkan bahwa salah satu faktor utama penyebab ibu kota Jakarta dilanda banjir adalah kapasitas sungai dan saluran di Jakarta tidak mampu menampung air (Lubis, 2014). Dari pernyataan ini, dapat disimpulkan bahwa sungai dan saluran air, atau yang selanjutnya disebut sebagai kanal, adalah suatu faktor yang harus diperhatikan dalam mengatasi masalah banjir. Kanal yang dibuat harus mampu menampung debit air yang mengalir di dalamnya, serta mengalirkan air tersebut ke tempat yang diinginkan, namun tetap dengan penggunaan area yang efisien. Kanal yang terlalu besar dan menyebar akan mengganggu tata kota, karena area tersebut tidak dapat digunakan untuk keperluan lainnya. Sebaliknya, kanal yang terlalu kecil dan tidak didesain dengan tepat akan menyebabkan air mudah meluap. Karena pertimbangan inilah, maka diperlukan perhitungan matematis yang tepat untuk menghasilkan sistem kanal yang maksimal.
METODE PENELITIAN
Penelitian terdiri atas tiga tahap, yaitu :
1. Tahap pemodelan, yang terdiri atas studi literatur, identifikasi masalah, formulasi, pemodelan matematika, dan solusi matematika. Tahap ini dimulai dengan pengkajian terhadap berbagai sumber seputar topik pemodelan aliran air kanal, termasuk mempelajari berbagai penelitian yang telah dilakukan sebelumnya, serta mempelajari alasan pentingnya pemodelan aliran air kanal. Masalah yang akan diselesaikan melalui penelitian ditentukan, lalu diformulasikan bentuk matematika dan solusinya.
2. Tahap simulasi, merupakan tahap pengembangan program. Pada tahap ini, dikembangkan program yang mengaplikasikan metode solusi matematika yang telah disusun sebelumnya. Program aplikasi akan melalui tahap validasi. Jika program belum valid, maka identifikasi masalah dalam tahap pemodelan akan dilakukan kembali. Program yang telah valid kemudian digunakan untuk eksperimen, dengan tujuan menganalisis pengaruh koefisien Manning, kemiringan dasar kanal, serta lebar kanal terhadap properti aliran air.
3. Tahap validasi, adalah tahap dimana hasil program simulasi diuji kebenarannya. Validasi dilakukan dengan membandingkan data hasil dari program aplikasi dengan data dari jurnal acuan.
HASIL DAN PEMBAHASAN
Persamaan Dasar
Penelitian dilakukan atas aliran air tak tunak dan tak seragam pada kanal terbuka.Properti air pada penampang kanal seperti kedalaman aliran, kecepatan aliran air, atau debit air, dapat dianalisa melalui dua persamaan dasar yang merupakan turunan dari persamaan transpor Reynold, yaitu persamaan kontinuitas dan persamaan momentum. Kedua persamaan tersebut disebut sebagai persamaan Saint-Venant, atau yang lebih sering dikenal sebagai persamaan air dangkal atau shallow water equation. Persamaan ini pertama kali dicetuskan oleh Adhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant, seorang matematikawan dari Prancis, pada tahun 1800-an.
Dalam persamaan Saint-Venant, digunakan asumsi bahwa :
-Tekanan hidrostatis, dimana tidak terdapat belokan tajam pada aliran -Kemiringan dasar pada kanal kecil
-Properti aliran air pada sebuah penampang kanal seragam, dengan kata lain, properti air pada titik tertentu sama semua dengan titik lain yang berjarak sama dari hulu.
-Kanal berbentuk prismatik, dimana kemiringan dasar dan bentuk penampang sungai tidak berubah di sepanjang kanal
-Head loss pada aliran tak tunak disimulasikan dengan hukum resistansi, yaitu persamaan
Manning.
Selain itu, dalam penelitian ini digunakan asumsi di mana penampang kanal berbentuk persegi panjang dan tidak ada aliran masuk dan aliran keluar lateral yang mempengaruhi sistem. Ilustrasi kanal tersebut terdapat pada Gambar 1.
Gambar 1 Ilustrasi Kanal
Persamaan Saint-Venant yang digunakan adalah sebagai berikut ini. Persamaan kontinuitas (1) Persamaan momentum (2)
= jarak titik yang dipantau dari hulu = waktu
= kedalaman air = kecepatan aliran air
= kedalaman hidraulik = percepatan gravitasi
= kemiringan dasar kanal = kemiringan gesekan kanal
dengan syarat batas berupa nilai debit air pada hulu kanal dan syarat awal berupa debit dan kedalaman air waktu waktu awal.
Persamaan tersebut dapat diubah ke dalam bentuk matriks. Bentuk matriks dari persamaan Saint-Venant adalah (3) (4) (5) (6) = kedalaman sentroid aliran
= luas penampang kanal yang terisi air di mana berlaku
(8) = lebar permukaan kanal
Untuk kemiringan gesekan kanal, berlaku persamaan Manning
(9) = koefisien Manning
Skema Difusif Lax
Persamaan Saint-Venant tidak memiliki solusi analitik, namun dapat diselesaikan dengan beberapa metode, seperti metode karakteristik dan metode beda hingga. Salah satu metode beda hingga yang dapat digunakan adalah skema difusif Lax. Bentuk skema Lax adalah
(10) (11) (12) di mana melambangkan jarak dan melambangkan waktu.
Dengan mensubstitusikan persamaan (10) untuk suku , (11) untuk suku , dan (12) untuk suku pada persamaan (3), serta dengan mengaplikasikan definisi , , dan pada persamaan (4), (5), dan (6), maka akan diperoleh skema beda hingga
(13
)
(14 ) Representasi skema beda hingga (13) dan (14) dalam bentuk grid ditunjukkan pada Gambar 2.
Metode Karakteristik “Interval Tertentu”
Pada Gambar 2, tampak bahwa skema Lax dapat digunakan pada semua titik dalam grid, kecuali pada kedua syarat batas, yaitu semua titik di sisi paling kiri dan kanan grid yang mewakili hulu dan hilir kanal. Untuk itu, diperlukan bantuan metode karakteristik “interval tertentu” dalam menentukan nilai properti pada syarat batas. Metode karakteristik didasarkan pada pengubahan persamaan momentum Saint-Venant menjadi persamaan diferensial biasa, sehingga menghasilkan persamaan (15) jika (16) (17) jika (18)
dimana persamaan (16) dan (18) dapat digambarkan sebagai kurva pada bidang . Kurva persamaan (16) disebut sebagai kurva karakteristik positif, dan kurva persamaan (18) disebut sebagai kurva karakteristik negatif, .
Dalam grid metode beda hingga, kurva karakteristik tidak bersentuhan dengan titik di sebelahnya pada waktu sebelumnya (Chaudhry, 2008, hal. 361). Untuk itu, dibuat titik bantu R dan S, yang merupakan interpolasi dari titik A dan B. Dengan titik P yang merupakan suatu titik di hulu atau hilir kanal pada titik waktu yang dicari, hubungan kelima titik tersebut ditunjukkan pada Gambar 3.
Gambar 3 Garis Karateristik dengan Titik Interpolasi
Pada gambar, titik A merepresentasikan titik di sebelum titik hilir kanal pada titik waktu yang telah diketahui. Titik B merepresentasikan titik setelah hulu kanal pada titik waktu yang telah diketahui. Nilai properti pada titik interpolasi R dan S dapat diketahui dengan persamaan
(19) (20) (21) (22)
(23)
(24) dimana nilai celerity dapat ditentukan dengan persamaan
(
(25) = celerity
dan nilai C adalah
(26)
Dengan diketahuinya nilai properti pada titik interpolasi, maka dapat diketahui nilai kurva karakteristik positif RP dan negatif PS, yaitu
(27) (28) = karakteristik positif = karakteristik negatif
dan properti kecepatan pada hulu dan hilir dapat direpresentasikan dengan persamaan
(29)
(30) dimana nilai kedalaman air ( ) belum diketahui.
Pada hulu, persamaan diaplikasikan ke dalam syarat batas, di mana
(31)
sehingga dapat dicari nilai kedalaman air dan kecepatan aliran. Sedangkan pada hilir, nilai menggunakan persamaan Manning (9), sehingga berlaku
(32)
(33) = radius hidraulik
= keliling pada penampang kanal yang terbasahi
Dalam hal ini, berlaku bahwa nilai dan adalah sama di sepanjang kurva karakteristik.
Angka Courant
Untuk tiap titik yang telah diketahui, dilakukan pengujian stabilitas dengan angka Courant, yaitu dengan persamaan
( 34)
Jika syarat stabilitas tidak terpenuhi, maka harus dilakukan penggantian perubahan waktu ( ) pada simulasi dengan nilai yang lebih kecil. Jika stabilitas telah terpenuhi, maka iterasi dapat terus dilakukan untuk waktu berikutnya sampai mencapai batas waktu yang diinginkan.
Pengembangan Program
Pengembangan program aplikasi menggunakan proses prototyping, dimana program terus-menerus diperbarui hingga hasil diinginkan tercapai. Pengembangan program dilakukan dalam bahasa Python dan antar muka grafis disusun dengan Qt Designer. Gambar 4 - Gambar 7 menunjukkan program aplikasi yang telah dibuat.
Gambar 4 Halaman Data Masukan Gambar 5 Halaman Hasil dalam Bentuk Tabel
Gambar 6 Halaman Hasil dalam Bentuk Grafik Dua Dimensi
Gambar 7 Halaman Hasil dalam Bentuk Grafik Tiga Dimensi
Validasi
Validasi dilakukan dengan menggunakan data dari jurnal “Implicit and Explicit Numerical
Solution of Saint-Venant Equations for Simulating Flood Wave in Natural Rivers” (Akbari & Firoozi,
2010), yaitu sungai dengan panjang 29 km dan lebar ( ) 120 m. Kemiringan dasar sungai ( ) adalah 0.00061, sedangkan untuk digunakan persamaan Manning dengan koefisien Manning ( ) 0.023.
Pada syarat awal, digunakan asumsi bahwa aliran air adalah seragam, dimana properti aliran air pada tiap titik sepanjang sungai bernilai sama. Diketahui bahwa debit air pada t = 0 ( ) adalah 100 m3/detik dan ketinggian air ( ) 0,86 m.
Pada syarat batas, debit pada hulu diketahui sebagai fungsi
untuk t ≤ tp
(35) untuk tp < t ≤ tb
untuk t > tb
= debit air tertinggi pada periode waktu yang diamati = debit air terendah pada periode waktu yang diamati = waktu dari awal pengamatan sampai terjadinya debit air
tertinggi
= waktu dari awal pengamatan sampai terjadinya debit air terendah
dimana 200 m3/detik, 5 jam, 100 m3/detik, dan 15 jam. Hasil validasi ditampakkan pada Tabel 1 dan Tabel 2.
Tabel 1 Properti Air pada Jarak 15 km dari Hulu Sungai sebagai Hasil Validasi Waktu (jam) Debit simulasi (m2/detik) Kedalaman air simulasi (m) Debit jurnal (m2/detik) Kedalaman air jurnal (m) 0 0,83 0,86 0,83 0,86 1 0,83 0,86 0,83 0,86 2 0,88 0,89 0,88 0,89 3 1,07 0,99 1,08 1,00 4 1,44 1,19 1,46 1,19 5 1,91 1,41 1,92 1,41 6 2,25 1,56 2,26 1,57 7 2,38 1,62 2,38 1,63 8 2,36 1,62 2,36 1,62 9 2,25 1,58 2,25 1,58 10 2,07 1,50 2,07 1,51 11 1,86 1,41 1,86 1,41 12 1,64 1,31 1,64 1,31 13 1,42 1,20 1,42 1,20 14 1,23 1,10 1,22 1,10 15 1,07 1,01 1,07 1,01 16 0,97 0,95 0,96 0,95 17 0,91 0,91 0,91 0,91 18 0,88 0,89 0,87 0,89 19 0,86 0,88 0,86 0,88 20 0,85 0,88 0,85 0,87
Tabel 2 Properti Air pada Hilir Sungai sebagai Hasil Validasi Waktu (jam) Debit simulasi (m2/detik) Kedalaman air simulasi (m) Debit jurnal (m2/detik) Kedalaman air jurnal (m) 0 0,83 0,86 0,83 0,86 1 0,82 0,85 0,83 0,86 2 0,81 0,85 0,83 0,86 3 0,82 0,85 0,85 0,87 4 0,85 0,85 0,93 0,91 5 0,90 0,85 1,15 1,04 6 1,00 0,88 1,53 1,23 7 1,21 0,97 1,94 1,43 8 1,54 1,16 2,21 1,55 9 1,84 1,34 2,31 1,6 10 2,01 1,44 2,28 1,59 11 2,03 1,47 2,16 1,54 12 1,95 1,45 1,99 1,47 13 1,82 1,40 1,79 1,38 14 1,67 1,34 1,59 1,29 15 1,52 1,28 1,41 1,19 16 1,39 1,21 1,24 1,1 17 1,29 1,16 1,11 1,03 18 1,22 1,13 1,01 0,98 19 1,17 1,10 0,95 0,94 20 1,14 1,08 0,91 0,91
Berdasarkan perbandingan antara hasil program dan hasil jurnal, tampak bahwa nilai properti pada hulu sungai kurang mendekati nilai pada jurnal. Hal ini terjadi karena adanya kesalahan pada perhitungan jurnal, di mana kurva karakteristik tidak menggunakan nilai interpolasi seperti yang telah dijelaskan pada bagian metode karakteristik “interval tertentu’. Karena itu hasil perhitungan yang diperoleh dalam penelitian ini dapat disebut sebagai hasil yang lebih sesuai.
Eksperimen
Dengan menggunakan program yang valid, dilakukan eksperimen yang bertujuan untuk menganalisis pengaruh perubahan beberapa parameter, yaitu koefisien Manning pada kanal, kemiringan dasar kanal, dan lebar kanal, terhadap nilai properti aliran air. Eksperimen dilakukan dengan mengubah nilai parameter yang akan diteliti lalu membandingkan hasilnya, sedangkan nilai parameter lainnya menggunakan data validasi.
Gambar 8 - Gambar 10 menunjukkan perbandingan nilai properti air untuk beberapa nilai koefisien Manning, kemiringan dasar, dan lebar kanal.
Gambar 8 Perbandingan Nilai Properti Debit Maksimum, Kecepatan Maksimum, dan Kedalaman Maksimum Air untuk Nilai Koefisien Manning 0,011, 0,023, dan 0,04
Gambar 9 Perbandingan Nilai Properti Debit Maksimum, Kecepatan Maksimum, dan Kedalaman Maksimum Air untuk Nilai Kemiringan Dasar Kanal 0,00061, 0,001, dan 0,0015
Gambar 10 Perbandingan Nilai Properti Debit Maksimum, Kecepatan Maksimum, dan Kedalaman Maksimum Air untuk Nilai Lebar Kanal 120 m, 150 m, dan 180 m
KESIMPULAN DAN SARAN
Program aplikasi untuk memodelkan aliran air tak tunak tak seragam pada kanal terbuka telah dibuat dengan bahasa pemrograman Python dan Qt Designer. Program mengimplementasikan pemecahan persamaan Saint-Venant dengan skema difusif Lax. Melalui metode ini, properti aliran air pada titik dan waktu tertentu dapat diketahui jika properti di kedua titik di sebelahnya pada waktu sebelumnya telah diketahui. Pada titik-titik di hulu dan hilir kanal, digunakan bantuan metode karakteristik “interval tertentu” dengan titik-titik interpolasi. Aplikasi kedua metode dibatasi oleh syarat kestabilan angka Courant. Untuk pemenuhan syarat tersebut, seringkali dibutuhkan perhitungan dengan langkah waktu yang kecil, sehingga mengakibatkan waktu perhitungan yang lebih lama.
Validasi atas program yang dibuat dilakukan berdasarkan data dari jurnal “Implicit and Explicit
Numerical Solution of Saint-Venant Equations for Simulating Flood Wave in Natural Rivers” (Akbari
& Firoozi, 2010). Adanya perbedaan nilai hasil pada program dengan nilai hasil pada jurnal terjadi karena adanya kesalahan pada metode karakteristik jurnal. Hasil perhitungan penelitian ini dapat disebut sebagai hasil yang lebih sesuai karena telah mengaplikasikan teori yang berlaku.
Berdasarkan penelitian yang dilakukan, disimpulkan bahwa properti aliran air pada titik dan waktu tertentu dipengaruhi oleh faktor-faktor seperti gravitasi, lebar kanal, kemiringan dasar kanal, dan kemiringan gesekan kanal. Berbagai parameter tersebut mempengaruhi nilai properti aliran air sesuai dengan persamaan Saint-Venant. Melalui eksperimen yang dilakukan dengan menggunakan program aplikasi, didapatkan bahwa :
-Semakin kecil koefisien Manning, semakin besar debit maksimum, semakin tinggi kecepatan aliran maksimum, dan semakin dalam aliran air maksimum
-Semakin curam kanal, semakin besar debit maksimum, semakin tinggi kecepatan aliran maksimum, dan semakin dangkal aliran air maksimum
-Semakin lebar kanal, semakin besar debit maksimum pada hilir kanal, semakin rendah kecepatan maksimum aliran air, dan semakin rendah kedalaman air maksimum
Informasi di atas dihubungkan dengan pembuatan kanal, reservoir, dan pintu air sebagai suatu sistem pencegahan dan penanggulangan banjir. Dalam pembuatan sungai dengan reservoir, dengan semakin besarnya debit air yang harus ditampung, kapasitas reservoir harus lebih besar pula untuk mencegah meluapnya air. Dengan semakin cepatnya aliran air, maka pintu air yang dibuat harus lebih kuat, sehingga tidak terjadi kerusakan akibat momentum yang dihasilkan oleh aliran air tersebut. Semakin dalam aliran air yang mengalir pada kanal, maka semakin dalam pula kanal tersebut harus dibuat. Hasil penelitian ini dapat diaplikasikan sebagai acuan bagi sistem pengontrol dan penanggulangan banjir.
Saran penulis untuk penelitian-penelitian selanjutnya adalah sebagai berikut ini.
-Dapat digunakan persamaan Saint-Venant dengan aliran masuk dan aliran keluar lateral, sehingga dapat dianalisis pengaruhnya terhadap properti aliran air dan proses pembuatan kanal
-Aplikasi persamaan Saint-Venant untuk kanal prismatik dengan lebar dasar dan permukaan yang berbeda
REFERENSI
[1] Akbari, B., & Firoozi, G. (2010). Implicit and Explicit Numerical Solution of Saint-Venant Equations for Simulating Flood Wave in Natural Rivers. 5th National Congress on Civil
Engineering. Mashhad.
[2] Badan Nasional Penanggulangan Bencana. (2015). Potensi Ancaman Bencana. Dipetik Juni 11, 2015, dari Badan Nasional Penanggulangan Bencana: http://bnpb.go.id/pengetahuan-bencana/potensi-ancaman-bencana
[3] Chaudhry, M. H. (2008). Open Channel Flow. New York: Springer.
[4] Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan. (2015). Dipetik Juni 11, 2015, dari Kamus Besar Bahasa Indonesia: http://kbbi.web.id/
[5] Lubis, R. F. (2014, Januari 23). Penyebab Banjir di Jakarta : Dari Sampah Hingga Penurunan
Tanah. Dipetik Juni 11, 2015, dari Tribun Jakarta: http://www.tribunnews.com/metropolitan/2014/01/23/penyebab-banjir-di-jakarta-dari-sampah-hingga-penurunan-tanah
[6] PT. Asuransi Jiwa Manulife Indonesia. (2014). Dampak Bencana Banjir Tehadap Lingkungan. Dipetik Juni 11, 2015, dari Manulife: http://manulife-indonesia.com/node/581
[7] Safitri, D. (2013, Januari 21). Dunia Usaha Klaim Rugi Triliunan Akibat Banjir. Dipetik Juni 11,
2015, dari BBC Indonesia:
http://www.bbc.com/indonesia/berita_indonesia/2013/01/130120_jakarta_banjir_bisnis_kerugian
RIWAYAT PENULIS
Catherine lahir di kota Jakarta pada tanggal 24 November 1991. Penulis menamatkan pendidikan S1 di Universitas Bina Nusantara dalam bidang Teknik Informasi dan Matematika pada tahun 2015.
