Departemen Teknik Kimia UI Page 1
BAB II
ISI
A. Permasalahan yang Diberikan
Soal saudara dalam UTS ini harus terus digunakan untuk mengerjakan tugas proyek ini, yaitu: prediksi sifat-sifat tekanan uap murni suatu fluida hidrokarbon sebagai fungsi dari suhu (T, dalam °C) menggunakan model Persamaan Antoine berikut ini:
(
)
Untuk menghitung tetapan-tetapan a, b, c, dan d, jika diinginkan untuk memprediksikan tekanan uap murni dari fluida “propylene-oxide”, maka saudara terlebih dahulu harus melakukan “regresi-linier” dari pasangan data percobaan pada tabel berikut:
n T (°C) y 1 -10,5500 7,581749 2 -2,6609 9,055145 3 5,2282 10,673875 4 13,1173 12,435370 5 21,0064 14,336085 6 28,8955 16,371679 7 36,7846 18,537172 8 44,6737 20,827094 9 52,5628 23,235613 10 60,4519 25,756646 (sumber: http://www.eng.auburn.edu/users/drmills/mans486/Diffusion%20Tube/Antoine_coefficient_table.PDF)
Departemen Teknik Kimia UI Page 2 Dengan menggunakan pengetahuan kuliah saudara tentang regresi linier beserta pemogramannya, baik menggunakan FORTRAN-77 (Silverfrost atau Force 3.xx) maupun PASCAL (Ezy-Pascal atau Dev-Pascal), maka saudara diminta untuk menghitung harga-harga konstanta a, b, c, dan d menggunakan metode Eliminasi Gauss yang diprogram dalam file *.for/*.f ataupun *.pas/*.epas..!
Jangan lupa juga untuk membuat TABEL (dalam kesatuan pengerjaan proyek ini) dan program-program FORTRAN-77 dan PASCAL yang diperlukan untuk penyelesaian tersebut!
B. Penyelesaian dari Permasalahan
Sebelum melakukan metode Eliminasi Gauss, maka terlebih dahulu dilakukan penyederhanaan persamaan yang diberikan kedalam bentuk persamaan linier, yaitu:
( ) ( ) ( ) ( )
Nilai c dianggap 1 karena pada persamaan aslinya, variabel T tidak memiliki konstanta sehingga apabila c adalah 1 maka hasilnya adalah:
Melakukan pengumpulan di satu sisi atau homogenisasi terhadap persamaan di atas, yaitu sebagai berikut:
Departemen Teknik Kimia UI Page 3
Persaaman tersebut kemudian dibagi dengan variabel T agar sehingga persamaannya akan menjadi seperti:
( )
Nilai ad-b dimisalkan R, sehinngga:
Simpangan persaaman tersebut adalah:
∑ ( )
Selanjutnya, dilakukan tahap penurunan S terhadap tiap-tiap variabel yang ingin kita cari nilainya (terhadap a, R, dan d).
1. Turunan S terhadap a ∑ ( ) ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑
Departemen Teknik Kimia UI Page 4 ∑ ∑ ∑ 2. Turunan S terhadap d ∑ ( ) ∑( ) ∑( ) ∑ ∑ ∑( ) ∑ ∑ ∑( ) 3. Turunan S terhadap R ∑ ( ) ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑
Setelah melakukan tahap penurunan simpangan, maka hasil dari penurunan tersebut
kemudian diubah ke dalam bentuk matriks. Bentuk matriks yang akan di dapatkan adalah sebagai berikut: ( ∑( ) ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ) ( ) ( ∑( ) ∑ ∑ )
Departemen Teknik Kimia UI Page 5 Dengan menggunakan matriks tersebut, maka untuk mengetahui nilai d, R, dan a dapat dilakukan dengan dua cara, yaitu cara manual yaitu dengan menggunakan metode Cramer dan dengan cara menggunakan program FORTRAN. Namun, pada makalah ini lebih difokuskan kepada cara penyelesaian dengan memanfaatkan program FORTRAN yang ada.
Dengan cara menggunakan program FORTRAN ini, penghitungan atas matriks yang telah kita dapatkan tadi untuk mencari nilai d, R, dan a dapat dilakukan dengan mudah. Adapun, program FORTRAN yang digunakan adalah sebagai berikut:
C PROGRAM Solusi Sistem Persamaan Aljabar Linier (SPAL) atau C atau Persamaan Aljabar Linier Simultan
C Deklarasi Jenis dan Variabel:
C --- IMPLICIT NONE INTEGER iarg PARAMETER (iarg = 7) INTEGER i,j,neq REAL*8 A(iarg,iarg) REAL*8 b(iarg),x(iarg) CALL system('clear')
C Proses Pemasukan Harga Variabel: C --- WRITE(*,10) 'Jumlah Persamaan : ' READ(*,*) neq DO i = 1,neq DO j = 1,neq WRITE(*,20) 'A(',i,',',j,') : ' READ(*,*) A(i,j) ENDDO WRITE(*,30) 'b(',i,') : ' READ(*,*) b(i) ENDDO
C Proses Pemanggilan Subprogram Eliminasi Gauss-Jordan: C ---
Departemen Teknik Kimia UI Page 6
CALL EGAUSS(neq,A,x,b)
C Pemaparan/penyajian Hasil Perhitungan: C --- DO i = 1,neq
WRITE(*,40) 'x(',i,') = ',x(i) ENDDO 10 FORMAT (3X,A,$) 20 FORMAT (3X,A,I1,A1,I1,A,$) 30 FORMAT (5X,A,I1,A,$) 40 FORMAT (5X,A,I1,A,F12.7) STOP END SUBROUTINE EGAUSS(n,A,x,b) C --- C SUBROUTINE ELIMINASI GAUSS (tanpa "PIVOTING"): | C Merupakan solusi SISTEM Persamaan Aljabar Linier (SPAL) dengan | C format persamaan matriks: [A].[x] = [b], dengan rincian sbb | C n = jumlah persamaan aljabar linier (dimensi SPAL) | C A = matriks bujur sangkar n x n yang berisi koefisien persamaan, | C x = vektor variabel persamaan yang akan dicari harga-harganya | C b = vektor ruas kanan yang berisi harga-harga persamaan tunggal | C --- C Deklarasi Variabel: C --- INTEGER n REAL*8 A(7,7),b(n),x(n) INTEGER i,j,k REAL*8 PIVOT,MULT,TOP
C Proses solusi: (a) Substitusi dan Eliminasi C --- DO j = 1,n-1
PIVOT = A(j,j) DO i = j+1,n
Departemen Teknik Kimia UI Page 7
DO k = j+1,n
A(i,k) = A(i,k) - MULT*A(j,k) ENDDO
b(i) = b(i) - MULT*b(j) ENDDO
ENDDO
C Proses solusi: (b) Substitusi Balik C --- x(n) = b(n)/A(n,n)
DO i = n-1,1,-1 TOP = b(i) DO k = i+1,n
TOP = TOP - A(i,k)*x(k) ENDDO
x(i) = TOP/A(i,i) ENDDO
RETURN END
Kemudian, program tersebut dijalankan sehingga muncul perintah dalam program untuk memasukkan data-data terkait yang diperlukan untuk penyelesaian, yaitu: data untuk kolom satu baris satu dari matriks, data untuk kolom dua baris satu, data untuk kolom tiga baris satu, hingga data untuk kolom tiga baris tiga. Tak lupa kita juga memasukkan data y (y baris pertama, y baris kedua, dan y baris ketiga). Berikut ini adalah tabel berisikan data-data yang dibutuhkan untuk input program FORTRAN yang dibuat dengan bantuan Microsoft Excel:
T y ln y (ln y)2/T2 ln y/T2 ln y/T -10,5500 7,581749 2.025743912 0.036869238 0.018200345 -0.192013641 -2,6609 9,055145 2.203333104 0.685651156 0.311188151 -0.828040552 5,2282 10,673875 2.367799167 0.205109295 0.086624448 0.452889937 13,1173 12,435370 2.520544832 0.036923253 0.014648917 0.192154241
Departemen Teknik Kimia UI Page 8 21,0064 14,336085 2.662779785 0.0160682 0.006034371 0.126760406 28,8955 16,371679 2.795552952 0.009359982 0.003348168 0.096747 36,7846 18,537172 2.919778013 0.006300392 0.002157833 0.079375011 44,6737 20,827094 3.036254735 0.004619262 0.001521368 0.06796515 52,5628 23,235613 3.145686145 0.003581573 0.001138567 0.059846244 60,4519 25,756646 3.248692691 0.002888001 0.000888973 0.053740125 Ʃ 158.810428 26.92616534 1.007370352 0.445751141 0.109423922 1/T2 1/T (ln y)2/T 0.008985 -0.09479 -0.38897 0.141235 -0.37581 -1.82445 0.036584 0.19127 1.072352 0.005812 0.076235 0.484333 0.002266 0.047605 0.337535 0.001198 0.034607 0.270461 0.000739 0.027185 0.231757 0.000501 0.022385 0.20636 0.000362 0.019025 0.188258 0.000274 0.016542 0.174585 Ʃ 0.197955 -0.03575 0.752222
Departemen Teknik Kimia UI Page 9 Kemudian, data-data tersebut dimasukkan kedalam program FORTRAN yang mana tampilannya adalah sebagai berikut:
Dari hasil pengolahan data menggunakan program FORTRAN tersebut, maka didapatkan hasil berupa: Sehingga,
Departemen Teknik Kimia UI Page 10 ( )
Dari hasil di atas, maka dapat dibuat tabel yang membandingkan antara nilai tiap variabel (a, b, c, dan d) yang didapatkan dari penghitungan menggunakan program FORTRAN dengan nilai tiap variabel dari literatur.
Hasil dari Program FORTRAN Literatur
a = 7,067594 a = 6,65460
b = 1105,848995 b = 915,310
c = 1,00 c = 1,00
d = 230,0085 d = 208,290
Dari tabel di atas, tampak bahwa terdapat sedikit perbedaan antara nilai variabel yang didapatkan dari pengolahan data menggunakan program FORTRAN dengan nilai variabel dari literatur. Kemungkinan, perbedaan ini terjadi dikarenakan digit dari tiap data yang terlalu banyak sehingga terdapat beberapa kesalahan dalam pengolahan data oleh program. Namun, karena perbedaannya tidak terlalu jauh, pengolahan dengan program FORTRAN ini tetap dapat dikatakan sebagai metode yang cukup akurat.
