Bab II Sistem Dengan Fase Nonminimum Dan Iterative Learning Control

Bab II

Sistem Dengan Fase Nonminimum

Dan Iterative Learning Control

Pada bagian ini, akan dibahas sistem plant nonlinear dengan fase non minimum dan hal-hal yang terkait dengan plant nonlinear. Pembahasan tentang inversi stabil dan iterative learning control diberikan untuk menggambarkan keterkaitannya nanti dengan plant nonlinear berfase nonminimum.

II.1 Linearisasi Masukan Keluaran Pada Sistem Nonlinear Masukan Tunggal Keluaran Tunggal (SISO)

Perhatikan sistem nonlinear SISO berikut:

( )

( )

( )

n x f x g x u x ,u y h x y = + ∈ ∈ = ∈

Linearisasi masukan keluaran merupakan metode untuk membangkitkan suatu relasi diferensial linear antara keluaran dengan sebuah masukan baru dengan cara mendiferensialkan fungsi keluaran terhadap waktu berulang kali sampai muncul masukan u kemudian memilih sedemikian sehingga u akan

menghilangkan ketaklinearan sistem.

y v

y

u

Jika fungsi y=h x

( )

diturunkan terhadap waktu, maka didapat

( )

( )

( )

( )

( )

( )

f g h y x x h f x g x u x h h f x g x x x L h x L h x u ∂ = ∂ ∂ = + u ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ∂ ∂ ∂ = + ∂ ∂ = + Bentuk

( )

k

( )

h k x L h x y ∂ = ∂ . h k

Pada linearisasi masukan keluaran ini, diberikan suatu algoritma untuk mendapatkan masukan untuk sistem nonlinear yang lebih umum.

Berikut ini adalah algoritma linearisasi masukan keluaran. Diberikan sistem nonlinear :

( )

( )

( )

n x f x g x u x ,u y h x y = + ∈ ∈ = ∈

• Turunkan terhadap waktu sehingga diperoleh y

( )

( )

f g

y=L h x +L h x u.

( )

2 1.

Jika L h x_g

( )

≠ untuk setiap x U0 ∈ , pilih

( )

( )

1 f g u L h x L h x ⎡ v⎤ = _⎣− + _{⎦ .}

sehingga didapat sistem linear masukan keluaran y=v.

• Jika L h x_g

( )

= pada (2.1), maka turunkan (2.1) terhadap waktu dan 0 diperoleh

( )

( )

2

f g f

y=L h x +L L h x u.

( )

2 2.

Jika L L h x_{g f}

( )

≠0 untuk setiap x U∈ , pilih

( )

2

( )

1 f g f u L h L L h x ⎡ x v⎤ = _⎣− + _{⎦ .}

sehingga didapat sistem linear masukan keluaran y=v.

• Jika , turunkan lagi (2.2) sampai didapatkan faktor pembagi yang tak nol.

( )

0

g f

L L h x =

Jadi, jika bilangan bulat terkecil sedemikian sehingga dan untuk setiap r k

( )

0 g f L L h x =

( )

1 0 r g f

( )

( )

1 1 r f r g f u L h L L h x− ⎡ x v⎤ = _⎣− + _{⎦ .}

yang akan menghasilkan sistem linear orde r

(

y( )r = . v

)

Diberikan sistem nonlinear berikut :

( )

( )

( )

n x f x g x u x ,u y h x y = + ∈ ∈ = ∈

Sistem di atas dikatakan memiliki derajat relatif di U jika dan untuk setiap r L L h x_g k_f

( )

=0

( )

1 0 r g f L L h x− ≠ x U∈ dengan

(

k=0 1, ,…,r−2

)

.

Sistem dalam bentuk normal merupakan transformasi koordinat dari sistem awal yang nantinya akan lebih mudah dianalisis. Perhatikan sistem nonlinear berikut :

( )

( )

( )

n x f x g x u x ,u y h x y = + ∈ ∈ = ∈

( )

2 3.

Misalkan ξ ξ₁, ,₂ …,ξ_r secara berturutan menyatakan y, y,…, y(r−1) yaitu

( )

( )

( )

_{( )}

1 2 1 1 f r r r f y h x y L h x y L h ξ ξ ξ − − = = = = = = x

Pilih fungsi-fungsi η₁

( ) ( )

x ,η₂ x ,…,η_{n r−}

( )

x sedemikian sehingga

( ) ( )

( )

0

(

1 2

)

i g i x g x L x i , , ,n r x η η ∂ = = = − ∂ … .

Hal ini berarti turunan-turunan dari η_i terhadap waktu tidak bergantung pada u .

Pada koordinat ξ dan η , persamaan sistem (2.3) berubah menjadi bentuk normal (bentuk kanonik) berikut:

( ) ( )

( )

1 2 2 3 1 , , , r a b q y ξ ξ ξ ξ u ξ ξ η ξ η η ξ η ξ = = = = + = =

( )

2 4. dimana

( )

r

( )

f a ξ η, =L h x .

( )

r 1

( )

g f b ξ η, =L L h x− .

Misalkan y= . Jika ξ₁ y t_d

( )

= , maka u dapat ditentukan sedemikian sehingga 0 akan membawa ξ ξ₁, ,₂…,ξ_r identik dengan nol, yaitu

( )

( )

( )

1 t 0, 2 t 0, , r t

ξ = ξ = …ξ =0.

Dengan demikian diperoleh persamaan untuk η yaitu

( )

0

q ,

η= η .

Ini disebut sebagai dinamika nol dari sistem.

Dengan cara yang sama, jika y t suatu keluaran yang berubah terhadap waktu _d

( )

(penjejakan keluaran), maka dapat ditentukan untuk membawa u ξ menuju j ( )i 1

_{( )}

_{( )}

d id

y − t =ξ t . dimana i=1 2, ,… r, . Akibatnya diperoleh persamaan untuk η :

(

d

)

q ,

η= ξ η .

Ini disebut sebagai dinamika internal (internal dynamics) dari sistem.

Definisi 2.1 Dinamika nol (zero dynamics) merupakan dinamika internal suatu sistem ketika keluarannya dijaga nol oleh masukannya.

Artinya, y t

( )

= untuk setiap 0 t≥0. Oleh karena itu, turunan y terhadap waktu untuk semua orde adalah nol. Jika sistem memiliki derajat relatif , maka r

( )

0

y t = , y t

( )

= …0, , y( )r−1

( )

t = untuk setiap 0 . Dalam koordinat normal didapatkan : 0 t≥

( )

( )

( )

( )

( )

( )

_{( )}

1 2 1 0 0 0 0 r r y t t y t t t y t ξ ξ ξ − ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥_{= =}⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ untuk setiap t≥0

sehingga ξ

( )

t = untuk setiap 0 t≥0.

Perhatikan kembali sistem (2.4), dimana dinamika internal dari sistem (2,3) dinyatakan oleh :

(

d

)

q ,

η= ξ η .

Agar keluaran sistem selalu bernilai nol, haruslah ξ

( )

t = untuk setiap 0 . Oleh karena itu dinamika nol dari sistem (2.3) adalah

0

t≥

( )

0

q ,

η= η .

Jika η =q

(

0,η

)

stabil asimtotik, maka sistem (2.3) dikatakan berfase minimum. Jika η =q

(

0,η

)

tidak stabil, maka sistem (2.3) dikatakan berfase nonminimum.

II.2 Inversi Stabil

Perhatikan sistem nonlinear SISO berikut :

( )

( )

( )

x f x g x u y h x = + =

( )

2 5.

dengan derajat relatif di . Dalam hal ini, akan ditentukan syarat awal dan masukan kontrol agar keluaran sistem

r U ⊆ n

( )

u t y t melakukan penelusuran

( )

eksak (dipaksa menuju jalur) pada keluaran yang diinginkan . Untuk itu asumsikan

( )

d y t

( )

y t identik dengan y t : _d

( )

( )

d

( )

y t = y t untuk setiap t≥0. Maka ( )k

_{( )}

( )k

_{( )}

Oleh karena itu ( )

_{( )}

( )

_{( )}

0 k k d y = y 0 dengan 0 1k = , ,…,r−1.

merupakan syarat awal terjadinya penelusuran eksak. Dalam koordinat normal, (2.6) dapat ditulis sebagai

( )

( )

( )

( )

( 1)

_{( )}

d d d r d y t y t t t y t ξ ξ − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = _{= ⎢ ⎥} ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ untuk setiap t≥0.

sehingga masukan kontrol u t harus memenuhi :

( )

( )r

_{( )}

₍

_{) (}

_{) ( )}

d d d

y t =a ξ η, +b ξ η, u t . dan diperoleh masukan kontrol

( )

₍

1

₎

( )r

_{( ) (}

₎

d d d u t y t a , b ξ η, ξ η ⎡ ⎤ = _⎣ − _{⎦ .}

dengan η solusi persamaan

(

d

)

q ,

η= ξ η .

dengan η

( )

0 sebarang. Dalam hal ini, η berfungsi sebagai keadaan, ξ_d sebagai masukan dan u sebagai keluaran.

II.3 Iterative Learning Control

Ide dasar dari iterative learning control diilustrasikan pada gambar berikut :

Sistem

Memori Memori _Memori

Learning Control

y

d

u

k+1

y

k

u

k

Semua sinyal yang ditunjukkan diasumsikan terdefinisi pada interval berhingga . Lambang mengindikasikan banyaknya percobaan atau angka pengulangan ( percobaan). Skema diatas beroperasi sebagai berikut : dalam k percobaan, suatu masukan

0,t_f

⎡⎣ ⎤⎦ k

k

( )

k

u t diaplikasikan ke sistem, menghasilkan keluaran

( )

k

y t . Semua sinyal ini disimpan pada unit memori sampai percobaan selesai,

dimana mereka diproses secara off-line oleh algoritma ILC (sebenarnya, hal ini tidak selalu perlu untuk menunggu sampai akhir dari percobaan untuk melakukan proses, ini bergantung pada agoritma ILC yang digunakan). Berdasarkan pada galat yang diobservasi antara keluaran yang sebenarnya dan keluaran yang diinginkan (e_k

( )

t = y_d

( )

t − y_k

( )

t ), algoritma ILC menghitung satu sinyal masukan yang dimodifikasi u_k+1

( )

t yang akan disimpan dalam memori sampai waktu operasi sistem selanjutnya, dimana saat itu sinyal masukan yang baru diaplikasikan ke sistem. Masukan baru ini didesain sehingga akan menghasilkan galat yang lebih kecil daripada masukan sebelumnya.

Pendekatan iterative learning control dapat dijelaskan lebih tepat dengan memperkenalkan suatu notasi tambahan. Misalkan operator linear

merupakan pemetaan elemen pada ruang vektor U ke ruang vektor Y yang ditulis sebagai

f : U Y

( )

y= f u .

dimana dan . Definisikan norm pada U dan Y dan norm terinduksi pada

u U∈ y∈Y

( )

f ⋅ sebagai berikut. Misalkan diberikan sistem , yang didefinisikan oleh S

( )

S

(

( )

)

y t = f u t ,t .

Disini diasumsikan f_S

( )

⋅ adalah suatu operator masukan-keluaran dan bisa ,t

merepresentasikan sistem dinamik dengan cara biasa. Sistem ini diharapkan untuk membawa keluaran ke respon yang diminta yang didefinisikan oleh . Hal ini ekuivalen dengan menentukan masukan optimal

( )

d

y t

( )

( )

( )

(

( )

)

( )

(

( )

)

( )

(

( )

)

0 d S d S u t T d S min y t f u t ,t y t f u * t ,t y t f u * t ,t − = − =

∑

− .

Dalam konteks ini, ILC adalah suatu teknik iteratif untuk menentukan u * t

( )

dimana semua sinyal diasumsikan terdefinisi pada interval hingga . Pendekatan ILC adalah untuk membangkitkan barisan masukan-masukan

0,t_f ⎡ ⎤ ⎣ ⎦

( )

k u t

yang akan konvergen ke u * . Jadi

( )

(

( ) ( )

( )

)

( )

(

( )

)

( )

(

)

1 0 k L k k d L k S k d f u t f u t' , y t' , y t' ,t f u t' , f u t' , y t' ,t , t' ,t + = ⎡ ⎤ = _{∈ ⎣ ⎦}. sehingga

( )

( )

k lim u_k t u * t →∞ = untuk semua t∈ ⎣⎡0,tf ⎤⎦ .