65 Soal dengan Pembahasan, 315 Soal Latihan

April 2012

65 Soal dengan Pembahasan, 315 Soal Latihan

Galeri Soal

Dirangkum Oleh:

Anang Wibowo, S.Pd

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Soal-soal Limit dan Penyelesaiannya

1. _{Dari gambar di samping, tentukan:}

a). lim ( ) 2 x f x→− , lim ( ) 2 x f x→ + dan lim ( ) 2 f x x→ jika ada. b). lim ( ) 5 x f x→− , lim ( ) 5 x f x→+ , dan lim ( ) 5 f x x→ jika ada. Jawab:

Limit kanan dan limit kiri

*) f x L

a

x→ + =

) (

lim , artinya bilamana x mendekati a dari kanan, maka nilai f (x) mendekati L. *) f x L a x→ − = ) (

lim , artinya bilamana x mendekati a dari kiri, maka nilai f (x) mendekati L.

Definisi limit

f x L

a

xlim→ ( )= (ada) ⇔ xlim→a+ f(x) =xlim→a− f(x)= L

Dari soal di atas dapat ditentukan bahwa: a). lim ( ) 3 2 = − → x f x dan lim ( ) 3 2 = + → x f x maka lim ( ) 3 2 = → f x x b). lim ( ) 3 5 = − → x f x dan lim ( ) 4 5 = + → x f x

, limit kiri dan limit kanan tidak sama maka ) ( lim 5 f x x→ Tidak Ada 2 5 4 3 x y f(x) a L x y f(x) kiri kanan

Limit www.matikzone.wordpress.com 2. Jika diketahui

( )

   ≥ + < − = 2 ; 3 2 ; 1 4 2 x jk x x jk x x

f maka tentuka nilai dari lim ( )

2 f x x→ − , xlim→2+ f(x), dan lim ( ) 2 f x x→ Jawab: • lim ( ) lim 4 1 4.2 1 8 1 7 2 2 = − = − = − − = − _→ → x x f x x

(limit kiri, dari kiri, digunakan fungsi pertama) • lim ( ) lim 2 3 22 3 4 3 7 2 2 = + = + = + + = + → → x x f x x

(limit kanan, dari kanan, digunakan fungsi kedua)

• lim ( ) 7

2 =

→ f x

x (limit kiri = limit kanan) 3. Tentukan nilai limit dari:

a). lim788 9 → x c). limx→3

(

5x−6

)

e). ₂ 2 lim 2 + − → _x x x b). x x 7 lim 8 → d). ₁ 6 5 lim 3 + − − → _x x x f). ₄ 8 lim 4 + − − → _x x x Jawab: Untuk lim f(x) a

x→ diselesaikan dengan cara subtitusi (langkah ini tidak boleh ditinggalkan)

Ø Jika f (a) = c maka lim f(x) a x→ = c Ø Jika f (a) = 0 c maka lim f(x) a x→

Tidak Ada, Tak Hingga, atau Min Tak Hingga (cek grafik) Ø Jika f (a) = c 0 maka lim ( )=0 →a f x x Ø Jika f (a) = 0 0

maka dilakukan faktorisasi atau perkalian dengan sekawan.

Sehingga: a). lim788 788 9 = → x b). lim7 7.8 56 8 = = → x x c). lim

(

5 6

)

5.3 6 15 6 9 3 − = − = − = → x x d). 2 21 2 21 2 6 15 1 3 6 ) 3 ( 5 1 6 5 lim 3 − = − = − − − = + − − − = + − − → _x x x e). 0 4 0 2 2 2 2 2 2 lim 2 + = = − = + − → _x x x f).

( )

0 12 4 4 4 8 4 8 lim 4 − + = − − = + − − → _x x

Limit www.matikzone.wordpress.com 4. Penyelesaian dengan faktorisasi

a). 0 0 6 2 . 5 2 2 2 6 5 2 lim _{2 2} 2 − + = − = + − − → _{x x} x x BTT, maka

(

)(

)

(

)

1 1 1 3 2 1 3 1 lim 3 2 2 lim 6 5 2 lim 2 2 2 2 − − = − = − = − =− − = + − − → → → _{x x x} x x x x x x x b).

( )

0 0 6 5 1 2 3 1 6 ) 1 ( 5 ) 1 ( 2 ) 1 ( 3 1 6 5 2 3 lim ₂ 2 2 2 1 + − = + − = − − − − + − + − = − − + + − → _{x x} x x x BTT, maka

(

)(

)

(

)(

)

(

(

)

)

7 1 7 1 6 1 2 1 6 2 lim 6 1 2 1 lim 6 5 2 3 lim 1 1 2 2 1 − − = − =− + − = − + = − + + + = − − + + − → − → − → _x x x x x x x x x x x x x c). 0 0 0 . 7 0 . 2 0 . 3 0 . 5 0 7 2 3 5 lim ₂ 2 3 2 2 3 0 − = + − = − + − → _{x x} x x x x BTT, maka

(

)

(

)

(

(

)

)

2 3 0 . 7 2 3 0 . 5 0 7 2 3 5 lim 7 2 3 5 lim 7 2 3 5 lim 2 0 2 0 2 2 3 0 − = + − = − + − = − + − = − + − → → → _x x x x x x x x x x x x x x x x d).

(

)

(

)

(

)

(

)

3 8 1 2 2 2 . 3 2 1 2 3 lim 1 2 2 3 2 lim 2 2 4 8 lim ₂ 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 3 2 − = − + = − − + = − − − + − = + − − + − + → → → _x x x x x x x x x x x x x x x x x e).

(

)

(

)

(

)

(

4

)

(

4 16

)

4 lim 16 4 4 4 lim 64 4 lim ₂ 4 2 4 3 4 − + + − − = + + − − = − − → → → _{x x x} x x x x x x x x x x

(

)

48 1 16 4 . 4 4 1 16 4 1 lim _{2 2} 4− + + =− + + =− = → _{x x} x f).

( )

( )

(

(

)

(

)(

)

)

2 3 9 6 4 lim 3 2 3 2 9 6 4 3 2 lim 3 2 3 2 lim 9 4 27 8 lim 2 2 3 2 2 3 2 2 3 3 2 3 2 3 2 3 + + + = + − + + − = − − = − − → → → → x x x x x x x x x x x x x x x x 2 1 3 2 9 6 27 3 3 9 9 9 3 2 3 . 2 9 2 3 . 6 2 3 . 4 2 = = = + + + = +       +       +       =

5. Penyelesaian dengan perkalian bentuk sekawan (merasionalkan bentuk akar)

a). 0 0 2 2 1 8 3 2 1 4 3 lim 2 − = + − = − + − → _x x x BTT, maka

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

(

)

)

(

)

3 2 6 4 3 3 4 1 2 . 4 3 4 1 4 3 4 lim 1 4 3 2 2 4 lim 1 4 3 2 4 8 lim 1 4 3 2 1 4 9 lim 1 4 3 1 4 3 2 1 4 3 lim 2 1 4 3 lim 2 2 2 2 2 2 − = − = + − = + + − = + + − = + + − − − = + + − − = + + − + − = + + + + ⋅ − + − = − + − → → → → → → x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

Limit www.matikzone.wordpress.com b). 0 0 3 2 1 2 2 lim 3 − − = − − + → _{x x} x x x BTT, maka

(

)(

)

(

)(

)

(

)(

)

(

(

)

)

(

)

(

)

(

)

(

(

)

)

( )

(

)

(

)

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

5 3 5 2 3 2 5 5 3 3 1 3 . 2 2 3 3 3 3 . 2 1 2 2 3 2 lim 3 1 2 2 3 2 3 lim ) ( 3 2 1 2 2 3 2 3 lim 3 2 3 2 . 1 2 2 3 2 3 lim 1 2 2 3 2 3 lim 1 2 2 3 2 ) 1 2 ( ) 2 ( lim 1 2 2 1 2 2 . 3 2 1 2 2 lim 3 2 1 2 2 lim 3 3 3 3 3 3 3 3 − = − = + + − = − + + + − − = − + + + − − = − − + + + − − − = − − − + + + − + − = + − + − − + + − − + − = − + + − − + − = − + + − − − − + = − + + − + + − − − − + = − − − − + → → → → → → → → x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x c).

(

)

(

7

)

16 7 4 9 lim 7 4 7 4 . 7 4 9 lim 7 4 9 lim ₂ 2 2 3 2 2 2 2 3 2 2 3 − + + + − = + + + + + − − = + − − − → − → − → _x x x x x x x x x x x x

(

)

(

) (

_{lim 4 7}

₎

_{4 9 7 4 4 8} 9 7 4 9 lim 2 3 2 2 2 3 − = + + = + + = + = + + − = _{→− →−} x x x x x x

(gabungan cara penyelesaian dengan pemfaktoran dan perkalian dengan sekawan)

6. ... 1 3 1 1 lim ₃ 1 =     − − − → _{x x} x Jawab:

(

)

(

)

(

)

_

(

(

−

)

(

+

)

+

)

_ − + + =     − − + + − + + =       − − − → → → 2 2 1 3 2 2 1 3 1 ₁ 1 3 1 lim 1 3 1 1 1 lim 1 3 1 1 lim x x x x x x x x x x x x x x x x

(

)

(

)

(

(

)

(

)(

)

)

(

)

(

)

1 3 3 1 1 1 2 1 1 2 lim 1 1 1 2 lim 1 1 2 lim 2 2 1 2 1 2 2 1 = = + + + = + + + =     + + − − + =     + + − − + = → → → x x x x x x x x x x x x x x x x Dikali sekawan pembilang Dikali sekawan penyebut Jika disubtitusi, masih

didapat 0/0

(

)

(

2 2

)

3 3 b ab a b a b a − = − + +

Limit www.matikzone.wordpress.com 7. ... 1 1 lim 3 2 2 0 − + = → _x x x Jawab:

(

)

(

₍

₎

)

( )

( )

2 2 3 2 3 2 2 0 2 3 2 3 2 2 3 2 3 2 3 2 2 0 3 2 2 0 _{1 1} 1 1 1 lim 1 1 1 1 1 1 . 1 1 lim 1 1 lim x x x x x x x x x x x x x x x − +     _{+ + + +} =     _{+ + + +}     _{+ + + +} + − = + − → → →

(

)

(

)

(

1 1 1

)

3 1 1 1 lim 1 1 1 lim 3 2 3 2 2 0 2 2 3 2 3 2 2 0 − = + + − =     _{+ + + +} − = −     _{+ + + +} = → → _x x x x x x x x

8. Jika lim( +1)=lim(2 −3)

→

→n x x n x

x , maka tentukan nilai dari lim( 16)

2 ₋ →n x x Jawab: 4 3 2 1 ) 3 2 ( lim ) 1 ( lim + = − ⇒ + = − ⇒ = → →n x x n x n n n x maka 0 16 16 16 4 ) 16 ( lim ) 16 ( lim 2 2 4 2 _{− = − = − = − =} → →n x x x x 9. Jika 7 3 10 2 5 2 lim ₂ 2 2 + − = + + − → _{x ax} x x

x , maka nilai a adalah …

Jawab: 10 2 5 2 lim ₂ 2 2 + − + + − → _{x ax} x x

x , karena ketika disubtitusi pembilang bernilai 0, sedangkan nilai limitnya adalah

7 3

, maka penyebut dipastikan bernilai 0. Sehingga diperoleh

( )

3 6 2 2 10 4 0 10 2 2 2 − = ⇒ − = ⇒ = − ⇒ = − − − a a a a 10. 0 4 2 2 2 2 2 2 lim 2 − = + = − + → _x x x berarti ₂ 2 lim 2 − + → _x x

x tidak ada. Lihat grafiknya berikut ini:

(

)(

)

(

)(

)

( )

7 3 7 3 5 2 1 2 2 5 1 2 lim 5 2 1 2 2 lim 10 3 2 5 2 lim 2 2 2 2 2 = − − = − − + − = − + = − + + + = − − + + − → − → − → _x x x x x x x x x x x x x

Limit www.matikzone.wordpress.com 11. 0 14 9 3 1 3 . 2 3 9 1 2 lim ₂ 2 2 2 3 − = − + = − − + → _x x x x berarti ₉ 1 2 lim ₂ 2 3 − − + → _x x x

x tidak ada. Demikian juga untuk 9 1 2 lim ₂ 2 3 − − + − → _x x x x , karena

( )

( )

( )

0 2 9 3 1 3 2 3 9 1 2 lim ₂ 2 2 2 3 − − = − − + − = − − + − → _x x x x . Grafiknya adalah:

12. Untuk menentukan nilai

lim

f

(

x

)

x→∞ adalah dengan SUBTITUSI,

f(x)=(x+2)/(x-2) -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 12 -6 -4 -2 2 4 6 8 x y f(x)=(x^2+2x-1)/(x^2-9) -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 x y

Limit kiri ≠ Limit kanan

Limit www.matikzone.wordpress.com Ø Jika f(x)=± c ∞ maka lim f(x) x→∞ = ± ∞ Ø Jika f(x)= ∞ c maka lim f(x) x→∞ = 0 Ø Jika f(x)= ∞ ∞

(Bentuk Tak Tentu) maka masing2 pembilang dan penyebut dibagi dengan variabel pangkat tertinggi dari penyebut.

Ø Jika f (x)= ∞ – ∞ (Bentuk Tak Tentu) maka masing2 pembilang dan penyebut dikalikan dengan bentuk sekawannya dan dibagi dengan variabel pangkat tertinggi dari penyebut.

Soal-soal: a. limx→∞9=9 b. limx→∞2x+9=2.∞+9=∞ c. ∞ = + ∞ = + ∞ → ₈ 9 . 7 8 9 7 lim x x d. 0 6 1 6 1 6 lim _{2 2} = ∞ = + ∞ = + ∞ → _x x

13. Penyelesaian dengan pembagian variabel pangkat tertinggi.

a). ∞ ∞ = − + ∞ → _{3 1} 2 lim ₂ x x x x BTT maka 0 3 0 0 0 3 0 1 lim 1 lim 3 lim 2 lim 1 1 3 2 lim 1 3 2 lim 1 3 2 lim 2 2 2 2 2 2 2 2 = = − + = − + = − + = − + = − + ∞ → ∞ → ∞ → ∞ → ∞ → ∞ → ∞ → x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x b). ∞ ∞ = − + ∞ → _{3 1} 2 lim ₂ 2 x x x x BTT, maka

Variabel Pangkat Tertinggi (VPT) adalah x2, maka pembilang dan penyebut dibagi dengan x2

Limit www.matikzone.wordpress.com 3 2 0 0 3 2 1 lim 1 lim 3 lim 2 lim 1 1 3 2 lim 1 3 2 lim 1 3 2 lim 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = − + = − + = − + = − + = − + ∞ → ∞ → ∞ → ∞ → ∞ → ∞ → ∞ → x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x c). ∞ ∞ = − + + ∞ → _{3 1} 5 2 lim ₂ 3 x x x x x BTT maka

14. Penyelesaian dengan perkalian bentuk sekawan kemudian membaginya dengan variabel pangkat tertinggi.

a).

(

− + − + −

)

=∞−∞ ∞ → 4 5 1 4 7 2 lim x2 x x2 x x BTT, maka

(

)

(

) (

₍

)

₎

(

) (

)

3 4 12 4 2 12 0 0 4 0 0 4 0 12 2 7 4 1 5 4 3 12 lim 2 7 4 1 5 4 3 12 lim 2 7 4 1 5 4 3 12 lim 2 7 4 1 5 4 2 7 4 1 5 4 lim 2 7 4 1 5 4 2 7 4 1 5 4 2 7 4 1 5 4 lim 2 7 4 1 5 4 lim 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 − = − = − = − + + + − + − = − + + + − + − = − + + + − + − = − + + + − + − = − + + + − − + − + − = − + + + − − + + + − ⋅ − + − + − = − + − + − ∞ → ∞ → ∞ → ∞ → ∞ → ∞ → x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 3 3 _{2 2} 2 2 2 2 2 2 2 5 5 2 2 5 0

lim lim lim

1 1 3 1 3 1 3 3 0 0 x x x x x x x x _{x x x} x x x x x x x x x →∞ →∞ →∞ + ₊ + _{= = =} ∞ + _{= ∞} + − _{+ − + −} + −

Sama nilainya dengan (diambil suku yang memuat pangkat tertinggi dari pembilang dan penyebut): 2 2 4 4 12 lim x x x x + − ∞ → VPT pembilang adalah x, dan VPT penyebut x2

(setara), maka pembilang dan penyebut dibagi dengan x (jk dlm akar menjadi x2)

Lihat catatan 2

Limit www.matikzone.wordpress.com b).

(

+ − +

)

=∞−∞ ∞ → 6 3 lim x x x , BTT maka:

15. Beberapa Kesimpulan untuk limit tak hingga: Ø Jika ... ... ) ( ₁ 1 + + + + = _mn n_n−₋ qx px bx ax x f maka _m n x x _px ax x f ∞ → ∞ → ( )=lim lim

n adalah pangkat tertinggi dari pembilang dan m adalah pangkat tertinggi dari

penyebut.

Ø Jika f(x)= ax2 +bx+c − px2 +qx+r maka lim f(x) x→∞       < ∞ − = − > ∞ = p a jk p a jk a q b p a jk , , 2 ,

Ø Jika f(x)= ax+b − px+q maka lim f(x) x→∞     < ∞ − = > ∞ = p a jk p a jk p a jk , , 0 ,

(

)

(

)(

₍

)

₎

(

)

(

)

(

)

(

)

6 3 lim 6 3 lim 6 3 6 3 3 lim 6 3 3 lim 6 3 3 lim 6 3 1 1 0 1 1 0 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →∞ →∞ →∞ →∞ →∞ + + + + − + = + − + + + + = + + + = + + + = + + + = + =

Limit www.matikzone.wordpress.com Soal-soal: a). 3 5 3 5 lim ₃ 3 − = − − ∞ → _{x x} x x

x (pangkat tertinggi pembilang = pangkat tertinggi penyebut)

b).

(

)

( )

3 4 6 8 9 2 7 15 1 7 9 2 15 9 lim 2 − + − 2 − + = − − − =− =− ∞ → x x x x x ( nilai a = p ) c). lim

(

2 −4− 2 +5

)

=0 ∞ → x x x ( nilai a = p ) 16. Teorema Limit

Untuk n∈ bilangan bulat positif; c konstanta; f dan g fungsi- fungsi dalam x yang mempunyai limit di a, maka berlaku:

Soal-soal: a). a. lim 25 25 6 = → x b. limx→036=36 c. xlim→−29=9 b). lim 4 34 81 3 = = → x x c). lim 3 5 7 23 5.2 7 5 2 − + = − + = → x x x

e). lim 5 5lim 5.( 2) 10

2

2 = →− = − =−

−

→ x x x

x

f). lim5 3 lim5 lim3 2 5.4 3.42 20 48 68

4 4 2 4 + = → + → = + = + = → x x x x x x x

g). lim5 3 lim5 lim3 2 5.4 3.42 20 48 28

4 4 2 4 − = → − → = − = − =− → x x x x x x x

h). lim

(

5 3

)

(

5 1

)

lim

(

5 3

)

.lim

(

5 1

)

8.4 32

1 2 1 2 1 + − = → + → − = = → x x x x x x x x x i).

(

₍

₎

)

(

₍

₎

)

2 4 8 1 5 lim 3 5 lim 1 5 3 5 lim 1 2 1 2 1 − = = + = − + → → → _x x x x x x x x x j). lim

(

5 2

)

(

lim

(

5 2

)

)

3

(

5.1 2

)

3 73 343 1 3 1 + = → + = + = = → x x x x k). ₃

(

)

3

(

)

3 1 3 1 5 2 lim 5 2 5.1 2 7 lim + = + = + = → → x x x x a. c c a x→ = lim b. n n a x→ x =a lim c. lim f(x) f(a) a x→ = d. limcf(x) clim f(a) a x a x→ = →

e. lim(f(x) g(x)) limf(x) limg(x) a x a x a x→ + = → + →

f. lim(f(x) g(x)) limf(x) limg(x) a x a x a x→ − = → − →

g. lim(f(x) g(x)) lim f(x) lim g(x) a x a x a x→ • = → • → h. ) ( lim ) ( lim ) ( ) ( lim x g x f x g x f a x a x a x → → → =    ; lim ( )≠0 →ag x x i. n a x n a x (f(x)) (lim f(x)) lim → → = j. n a x n a x f(x) lim f(x) lim → → = ; limx→a f(x)≥0

Limit www.matikzone.wordpress.com l).

(

)

(

)

3 100 7 10 75 25 7 ) 5 .( 2 ) 5 .( 3 ) 5 .( 5 7 lim 2 lim 3 lim 5 lim 7 2 lim 3 5 lim 7 2 3 5 lim 2 2 2 2 5 − = + − − − = + − − − − = + − = + − = + − ∞ → ∞ → ∞ → ∞ → ∞ → ∞ → − → x x x x x x x _x x x x x x x x x

17. Limit Fungsi Trigonometri

Cara menentukan nilai limit fungsi trigonometri sama dengan limit fungsi aljabar. Beberapa persamaan khusus:

Soal-soal: a). 0 1 0 0 cos 0 cos lim 0 = = = → _x x x b). 1 0 1 2 1 cos 2 1 sin cos sin lim 2 1 + = + = + = → π π π x x x c). 2.1 2 2 2 sin lim . 2 2 2 . 2 sin lim 2 sin lim 0 2 0 0 = → = → = = → _x x x x x x x x x (jika x→0 maka 2x →0) d). 0 0 2 tan 5 4 sin 3 lim 0 − = + → _{x x} x x x BTT, maka

(khusus soal model ini, pembilang dan penyebut dibagi dengan x)

3 7 2 5 4 3 2 tan lim 5 lim 4 sin lim 3 lim 2 tan 5 4 sin 3 lim 2 tan 5 4 sin 3 lim 2 tan 5 4 sin 3 lim 0 0 0 0 0 0 0 − = + = − + = − + = − + = − + → → → → → → → x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x e). 0 0 sin 4 cos 1 lim 0 = − → _{x x} x x BTT, maka

(

)(

)

(

)(

)

(

)

8 4 . 2 1 . 4 . 1 . 1 4 . 4 cos 1 1 . sin 4 . 4 4 sin . 4 4 sin lim 4 . 4 4 . 4 . 4 cos 1 1 . sin 4 sin . 4 sin lim 4 cos 1 sin 4 sin lim 4 cos 1 sin 4 cos 1 lim 4 cos 1 4 cos 1 . sin 4 cos 1 lim sin 4 cos 1 lim 0 0 2 0 2 0 0 0 = = + = + = + = + − = + + − = − → → → → → → x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f). 0 0 2 cos lim 2 =           − →π _x π x x

BTT, maka _{Diketahui rumus trigonometri: }

     − = x x 2 sin cos π a. 1 sin lim sin lim 0 0 = → = → _x x x x x x b. 1 tan lim tan lim 0 0 = → = → _x x x x x x c. b a bx ax bx ax x x→ =lim→ _sin = sin lim 0 0 d. b a bx ax bx ax x x→ =lim→ _tan = tan lim 0 0 e. b a bx ax bx ax x x→ = → _tan = sin lim sin tan lim 0 0

Limit www.matikzone.wordpress.com 1 2 2 sin lim 2 2 sin lim 2 2 sin lim 2 2 sin lim 2 cos lim 2 2 2 2 2 − = −       − − = −       − − = −       − − = −       − =           − → → → → → π π π π π π π π π π π π π π x x x x x x x x x x x x x x x g). 0 0 cos cos lim = − − → _{x a} a x a x , BTT maka

(

)

(

)

(

)

(

)

a a a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x sin 2 1 . sin 2 2 1 sin lim . 2 1 sin lim 2 2 1 sin 2 1 sin 2 lim cos cos lim − = − = − − + − = − − + − = − − → → → → h).

(

)

(

)

(

)

0 0 1 tan 1 1 lim ₂ 2 3 1 − + − = + + − → _{x x} ax x a x x , BTT maka

( )

( )

( )

( )( )

(

( )

( )

)

( )( )

( )(

( )

)

( )

( )

_{( )}

( )

(

)

( )

_{( )}

_{( )}

( )

( )

a a x x x a x x x x x a x x x x x a x x x x x x a x a x x x x ax x a x x x x x x x x − = + − = − − + + − = − − + + − = − + + − − − = − + + − + + − = − + − + + − → − → → → → → → 1 3 1 1 2 1 1 1 tan lim 1 lim lim 1 1 tan 1 lim 1 tan 1 1 1 lim 1 tan 1 1 1 lim 1 tan 1 1 lim 0 1 1 1 1 1 2 1 2 2 3 1 i). 0 0 tan tan 1 1 tan tan lim =                     − + − − → y x y x y x y x y x BTT maka

(

)

(

) (

)

(

) (

)

( )

(

(

)

)

y y x y x y y x y x y y x x y y y x y x y y y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x − =       − − − = − − − = − − = −     ₋ =       + −     ₋ =                   ₋ + − − → − → → → → → tan lim tan lim tan lim tan 1 lim tan tan 1 tan tan 1 1 lim tan tan 1 1 tan tan lim 0

Limit www.matikzone.wordpress.com 18. Apakah fungsi f(x)=2x+1, kontinu di x = 1 ?

Jawab:

Kekontinuan Suatu Fungsi

Suatu fungsi f dikatakan kontinu pada x = a jika: a. f (a) ada b. lim f(x) a x→ ada c. lim f(x) a x→ = f (a)

Fungsi f (x)=2x+1, kontinu di x = 1 karena lim

(

2 1

)

3

( )

1

1 x f x→ + = = 19. _{Apakah fungsi}

( )

    = ≠ − − = 3 ; 3 3 ; 3 9 2 x x x x x f , kontinu di x = 3 ? Jawab: Fungsi

( )

    = ≠ − − = 3 ; 3 3 ; 3 9 2 x x x x x

f maka f(x) tidak kontinu di x = 3, karena

a. lim( 3) 3 3 6 ) 3 ( ) 3 )( 3 ( lim 3 9 lim 3 3 2 3 − = + = + = + − = − − → → → _x x x x x x x x x b. f(3) = 3 maka lim ( ) (3) 3 f x f x→ ≠ 20. Tentukan nilai

(

) ( )

h x f h x f h − + →0

lim untuk fung[si f(x)=2x3

Jawab:

(

)

3

(

3 2 2 3

)

3 2 2 3 3 2 6 6 2 3 3 2 2 ) ( 2 ) (x x f x h x h x x h xh h x x h xh h f = ⇒ + = + = + + + = + + +

(

) ( )

(

)

(

)

₍

2 2

₎

2 2 0 2 2 0 3 2 2 0 3 3 2 2 3 0 0 6 0 0 6 2 6 6 lim 2 6 6 lim 2 6 6 lim 2 2 6 6 2 lim lim x x h xh x h h xh x h h h xh h x h x h xh h x x h x f h x f h h h h h = + + = + + = + + = + + = − + + + = − + → → → → → 21. Tentukan nilai

(

) ( )

h x f h x f h − + →0

lim untuk fungsi f(x)=x2 +3x

Jawab: x x x f ( )= 2 +3 Ciri:

Grafiknya merupakan lengkungan (kurva) yang tidak terputus.

Limit www.matikzone.wordpress.com

( ) ( )

[

( ) ( )

]

[

]

[

] [

]

(

)

₍

₎

3 2 3 0 2 3 2 lim 3 2 lim 3 2 lim 3 3 3 2 lim 3 3 lim lim 0 0 2 0 2 2 2 0 2 2 0 0 + = + + = + + = + + = + + = + − + + + + = + − + + + = − + → → → → → → x x h x h h x h h h h xh h x x h x h xh x h x x h x h x h x f h x f h h h h h h

22. Limit Barisan Bilangan

e x x x  =     + ∞ → 1 1 lim . 1 1 1 1 lim . 3 − ∞ → _ =     − e x x x

(

x

)

x e x→∞ + = 1 1 lim . 2

(

)

1 1 1 lim . 4 − ∞ → −x x =e x Ket: e = 2,7182818... = 1 + 1 + ... ! 3 1 ! 2 1 + + (bilangan Euler) Soal-soal: 1 1 1 1 1 1 1 1 lim 1 1 1 1 lim 1 1 1 lim 1 lim . − + ∞ → + ∞ → + ∞ → + ∞ → _ =     + − =       + − + + =       + − + =       + x x x e x x x x x a x x x x x x x x Atau ( )

(

)

( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 lim 1 1 1 lim 1 1 1 lim 1 1 1 1 lim 1 1 1 lim 1 lim − − + − ∞ → − + − ∞ → + ∞ → + ∞ → + ∞ → + ∞ → =             + − + =               + − =       + − =       + − + + =       + − + =       + e x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

(

)

(

)

(

)

(

(

)

)

3 3 3 1 3 3 1 1 3 . 3 1 1 3 1 lim 3 1 lim 3 1 lim 3 1 lim . − − − ∞ → − − ∞ → − − ∞ → ∞ →  =    _{+ −} =     − = − = − x x x x e b x x x x x x x x ( )

(

)

6 4 4 6 4 2 3 6 4 2 3 6 4 2 3 2 0 1 . 3 2 1 lim . 3 2 1 lim 3 2 1 3 2 1 lim 3 2 1 lim 3 2 1 lim . − − ∞ → −       + ∞ → −       + ∞ → + −       + ∞ → − ∞ → = + =       + +                 + + =               + +                 + + =       + + =       + + e e x x x x x x c x x x x x x x x x

Limit www.matikzone.wordpress.com Bentuk Sekawan: a. a− b sekawannya a + b b. a+ b−c sekawannya a− b−c c. a b−c sekawannya a b+c d. a+b+ c−d sekawannya a+b− c−d e. a+b−c sekawannya a+b+c

dan lain sebagainya..

Catatan: a. a2 −b2 =

(

a−b

)(

a+b

)

b. a3−b3 =

(

a−b

)

(

a2 +ab+b2

)

c. a3+b3 =

(

a+b

)

(

a2 −ab+b2

)

d.

(

)

2 2 2 2ab b a b a+ = + + e.

(

)

2 2 2 2ab b a b a− = − + f.

( )

a 2 = a⋅ a =a g.

(

a+b

)

2 = a+b⋅ a+b =a+b Catatan 2: a. b a b a ₌ b. ₂ 2 _x a x a x a = = c. _{4 4 4} 4 2 x b x ax x b ax x b ax x b ax + = + = + = +

dan lain- lain.

Keterangan:

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Soal-Soal Latihan

Kerjakan soal-soal berikut, bila perlu gambarlah grafiknya.

1. Jika

( )

   > ≤ = 0 ; 0 ; 2 2 x jk x x jk x f , tentukan: a. f

( )

x x→0− lim , b. f

( )

x x→0+ lim , c. f

( )

x x 0 lim → jk ada. 2. Jika

( )

   ≥ + < + = 1 ; 4 1 ; 2 3 x jk x x jk x x f , tentukan: a. f

( )

x x→1− lim , b. f

( )

x x→1+ lim , c. f

( )

x x 1 lim → . 3. Jika

( )

   > + ≤ + = 1 ; 3 2 1 ; 1 4 2 x jk x x jk x x f , tentukan: a. f

( )

x x→1− lim , b. f

( )

x x→1+ lim , c. f

( )

x x 1 lim → . 4. Jika

( )

    − > − = − < − = 1 ; 1 1 ; 0 1 ; 1 x jk x jk x jk x f , tentukan: a. f

( )

x x→−1− lim , b. f

( )

x x→−1+ lim , c. f

( )

x xlim→−1 . 5. Ditentukan

( )

    ≥ < ≤ − − − < = 1 ; 0 1 1 ; 1 1 ; 2 x jk x jk x x jk x f

Selidiki apakah ada nilai limit fungsi berikut: a. f

( )

x

xlim→−1 b. limx→1 f

( )

x

6. Tentukan nilai dari: a. lim 1

1 − + → x x b. 2 1 lim x x→−+ c. ₂ 0 1 lim x x→ + 7. Tentukan nilai dari: a. x

x 4 lim 4− → b. x x→−2− lim c. x x 2 3 lim 0− →

8. Diketahui fungsi f

( )

x = x . Tentukan nilai berikut jika ada! (cari limit kiri dan limit kanan). a. f

( )

x

x 1

lim

→ b. limx→3 f

( )

x c. limx→16 f

( )

x d. limx→0 f

( )

x

9. Selidikilah, apakah x x 1 lim 0

→ ada? (cari limit kiri dan limit kanan).

10. Tentukan f

( )

x

xlim→−2 dan limx→4 f

( )

x dari gambar berikut:

-2 ₄ 1 3 2 x y

( )

x

f

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Carilah Nilai Limit Berikut:

11. lim1000 5 → x 12. lim12345 1 → x 13. lim 2 5 2 + − → x x 14. lim3 2 5 10 0 + − → x x x 15. lim

(

4

)(

1

)

3 − + − → x x x 16.

[

(

) (

3

)

]

5 4 7 . 3 lim x x x→− − − 17. 2 lim 4 + → _x x x 18. _      −       + − → _{2 3} 1 3 lim 4 _x x x x x 19. 45 6 10 5 3 lim ₃ 2 0 + − + − → _{x x} x x x 20. 10 7 9 6 lim 2 − + → _x x x 21. lim 4 11 9 − → x x 22. lim 2 7 4 − → x x 23. ₃ 2 1 6 lim x x x − − → 24. 1 6 3 lim ₃ 2 2 + + + → _x x x x 25. 2 1 lim 2 − → _x x 26. 24 2 4 lim ₂ 4 − − + → _{x x} x x 27. 24 2 5 lim ₂ 1 − − + − → _{x x} x x 28. 6 6 lim 3 + − − → _x x x 29. x x x 3 lim 3 − → 30.       − + − → _x x x x x _{6 7} 2 3 2 lim 2 31.       _{+ +} + − → _{8 5} 5 14 9 lim 2 _x x x x 32.

(

)(

)

1 2 5 3 lim 5 − − − → _x x x x 33.

(

)(

)

x x x x x _{2 2 5} 5 3 lim 7 + + − − → 34. 1 2 6 15 4 5 3 lim 1 − − − + + + → _{x x} x x x 35. lim

(

8 2 5 5

)

4 − + − + − → x x x 36. lim

(

2 2 3 2 2 2 4 3

)

3 + − − − + → x x x x x 37. 1 2 9 lim − + → _x x a x 38. m x m x 7 lim → 39. n x x n x + → 2 lim

40. Jika lim

(

+1

)

=lim

(

2 −3

)

→

→n x x n x

x , maka tentukan nilai dari: lim

(

16

)

2 ₋ →n x x 41. Jika a x x x x x − + = − − → _{10 21} 7 6 lim ₂ 2

7 , berapakah nilai dari _{3 4 1}

2 7 4 lim 2 + − − − → _x x x a x ?

Limit www.matikzone.wordpress.com 42. Jika 7 3 10 2 5 2 lim ₂ 2 2 + − = + + − → _{x ax} x x x , maka a = … 43. Jika 13 11 30 1 3 lim ₂ 2 3 − − = − + → _{x ax} ax x x , maka a = … 44. 1 1 lim 1 − − → _x x x 45. x x x − − → ₁ 1 lim 1 46. 1 1 lim 1 − − → _x x x 47. x x x − − → ₁ 1 lim 1 48. 1 6 5 lim 2 1 − − + → _x x x x 49. 6 6 2 lim ₂ 3 + − + − → _{x x} x x 50. x x x x 5 3 lim 2 0 − → 51. x x x x→0 + lim 52. 2 4 lim 4 − − → _x x x

53. Dengan menyederhanakan lebih dahulu (menyamakan penyebut), hitunglah:

a.       ₊ − → _{x x x} x 1 1 lim ₂ 0 b.      − − − → ₁ 1 1 2 lim ₂ 0 _{x x} x c.      − − − →₁ 3 1 3 1 1 lim x x x d.       − + − − → _{2 8} 3 4 2 lim _{2 2} 2 _{x x x} x 54. 4 3 2 2 lim ₂ 1 − − + − → _{x x} x x 55. 2 6 3 lim 2 2 − − → _x x x x 56.

(

)

3 1 2 lim 2 3 − − − → _x x x (Ebtanas IPS 99) 57. 2 3 2 1 2 lim ₂ 2 1 + − − → x x x x 58. 1 2 4 3 lim ₂ 2 1 − + − + → _{x x} x x x 59. x x x x x x ₃ 2 lim _{3 2} 2 0 + + + → 60. _{3 2} 2 4 0 ₂ 6 lim x x x x x + − → 61. _{n n} n n n x _{x x} x x x 2 6 lim ₄ 1 3 0 + − + + + + → 62. 1 3 2 3 2 lim ₂ 2 3 1 − − − + → _x x x x x 63. 2 2 4 8 lim _{3 2} 2 3 2 − − + + − + → _{x x x} x x x x 64. 12 6 2 6 lim _{3 2} 2 3 2 − + − − + → _{x x x} x x x x 65. 2 8 lim 3 2 − − → _x x x 66. x x x − − → ₁ 1 lim 3 1 67. 27 3 lim ₃ 3 − − → _x x x 68. 64 4 lim ₃ 4 − − → _x x x

Limit www.matikzone.wordpress.com 69. 1 1 lim 3 1 − − → _x x x 70. 9 4 27 8 lim ₂ 3 2 3 − − → x x x ** 71. 2 8 2 lim 2 4 − − − → _x x x x 72. x x x x − − →₁ 4 1 lim

73. Diketahui g

( )

x = 1+2x, maka nilai

(

1

) (

1

)

_... lim 0 = − − + → _x x g x g x 74. 1 3 2 1 lim 1 − + − → _x x x 75. 7 5 2 2 3 lim 2 2 + − + + − → _{x x} x x x 76. 6 5 6 10 2 lim 6 − + − − − → _{x x} x x x 77. x x x x x − − − − + → _{2 3} 1 2 2 lim 3 78. 3 1 5 1 3 3 lim 1 − − + − − − → _{x x} x x x 79. x x x x x x x + − − + − − + + → _{3 3} 3 2 3 2 lim 2 2 0 80. 9 4 1 5 lim ₂ 3 − − + → _x x x 81. 10 3 1 lim 10 − − − → _x x x 82. 9 3 2 lim ₂ 3 − + − → _x x x x 83. 2 2 1 ₁ 1 3 lim x x x x − − − + → 84.         − + → _{x x x} x x x 1 lim 2 0 85.     + − + − → ₁ 1 1 lim 2 1 _{x x} x x 86. 7 4 9 lim 2 2 3 − + − − → _x x x 87. x x x x − + − → _{3 9} 5 2 lim 2 0 88. x x x − − − → ₅ 9 4 lim 2 5 89. 3 1 2 4 lim 3 − + − + → _x x x x 90. 5 4 4 lim 5 − − − + → _x x x x 91. x x x x + + − − → _{2 1 2} 2 lim 2 92. 1 5 3 1 5 3 lim 1 + − − − + + → _{x x} x x x 93. x x x x x + − + − − → _{3 6} 3 2 lim 2 94. 3 3 6 5 lim 2 3 − − − + − − → _{x x} x x x 95. x x x x − − + → 1 1 lim 0 96. x x x x _{1 2 1 2} 4 lim 0 + − − → 97. 1 1 1 lim 1 − − − − → _{x x} x x 98. 3 2 2 0 1 1 lim x x x→ − + 99. 6 8 2 2 3 lim 1 − + + − → _{x x} x x x

Limit www.matikzone.wordpress.com 100. p x p p x x p x − − → lim 101.

(

)

2 3 3 2 1 ₁ 1 . 2 lim − + − → _x x x x ** 102. 1 1 lim 1 − − → _x xn x ** 103. Diketahui f

( )

x =3x2 −2x, tentukan

(

)

2 2 ) 2 ( . 4 1 ) ( lim 2 −       _{− +} → _x x f x f x 104. Diketahui

( )

3₂ x x f = , tentukan

(

)

2 ) 2 ( ) ( lim 2 − − → _x f x f x

Hitunglah nilai dari limit fungsi berikut:

105. x x 2 lim ∞ → 106. ₁₀ 5 6 lim x x→∞ 107. ₂₅ 2 9 lim x x − ∞ → 108. x x x _{2 5} 7 lim ₃ + ∞ → 109. 20 3 lim ₃ − − ∞ → _x x 110. lim 4 +99 ∞ → x x 111. lim 2 +9 −15 ∞ → x x x 112. 100 3 lim x x→∞ 113. 55 4 7 lim + ∞ → x x 114. 12 25 lim 2 − ∞ → x x 115. 1 2 5 lim − + ∞ → _x x x 116. 5 2 3 4 lim + − ∞ → _x x x 117. 5 8 6 lim + − ∞ → _x x x 118. 5 9 3 10 lim − + ∞ → _x x x 119. x x x _{3 9} 3 10 lim − + ∞ → 120. 3 5 2 3 lim       + − ∞ → _x x x 121. ₂ 2 12 3 5 7 lim x x x x + − ∞ → 122. ₃ 2 3 12 3 11 5 lim x x x x x + − ∞ → 123.

(

)(

)

(

3 12

)(

1

)

3 2 1 5 lim − + + − ∞ → _{x x} x x x 124.

(

3

)(

1

)

3 5 lim 2 − − − + ∞ → _{x x} x x x 125.

(

)(

)

15 3 2 3 1 lim ₂ − + − − ∞ → _{x x} x x x 126.

(

)

1 2 1 4 lim ₃ 3 − − ∞ → _x x x 127.

(

)

x x x x _{3 5} 3 2 4 lim ₃ 3 + + ∞ →

Limit www.matikzone.wordpress.com 128. 2 4 2 8 4 lim x x x x + ∞ → 129. 2 5 3 1 3 4 lim ₂ 2 − + − + ∞ → _{x x} x x x 130. 2 3 3 lim ₃ 3 − + ∞ → _x x x x 131.

(

)

(

₂

)

2 4 2 3 5 2 lim + − ∞ → _x x x 132. _{3 4} 4 3 2 5 6 lim x x x x x x − − + ∞ → 133.

(

)

₃ 2 4 5 1 2 lim x x x x x − + ∞ → 134.

(

)

1 1 2 lim ₃ 3 + − ∞ → _x x x 135.

(

3

)(

1

)

2 6 lim 3 + − + ∞ → _{x x} x x x 136.

(

)(

)

(

1

)(

1

)

2 2 lim 2 2 + − + − ∞ → _{x x x} x x x 137. x x x x x − − + ∞ → 2 3 5 7 2 lim 138. 3 2 3 6 2 lim x x x x x + + ∞ → 139. 3 2 2 lim 4 − + ∞ → _x x x x 140. _{2 3} 4 9 lim x x x x x − + ∞ → 141. 1 2 5 3 lim ₃ 2 − + − ∞ → _{x x} x x 142. 5 4 2 5 3 lim ₂ + + + ∞ → _{x x} x x 143. x x x x x _{10 5} 7 5 3 lim ₃ 2 + − + ∞ → 144. 5 5 17 lim 3 6 2 − + − ∞ → _{x x} x x 145. 9 3 1 5 lim 2 2 − − + ∞ → _x x x x 146.     − + − + ∞ → ₃ 1 2 4 lim x x x x 147. 2 3 5 5 17 lim 6 3 6 2 − + − + − ∞ → x x x x x 148. 1 6 2 4 2 lim 2 2 − − − + − ∞ → _{x x x} x x 149. 1 9 3 1 5 lim 4 2 + − − + ∞ → _{x x} x x x 150. lim

(

+6 − +3

)

∞ → x x x 151. lim

(

+3− +2

)

∞ → x x x 152. lim

(

2 −1− +4

)

∞ → x x x 153. lim

(

4 +2− −3

)

∞ → x x x 154.

(

x x

)

x→∞ +5− lim 155. lim

(

3 +1− 3 −1

)

∞ → x x x 156. lim

(

+1−2 −3

)

∞ → x x x 157.

(

x x

)

x→∞3 +6 −2 1− lim 158.

(

ax b px q

)

x→∞ + − + lim untuk: a = p, a > p dan a < p 159.

(

x x x x

)

x→∞ + + − + 2 2 2 1 lim 160. lim

(

4 2 +6 −1− 5 2 − +9

)

∞ → x x x x x 161. lim

(

2 +2 −1−

(

−2

)(

2 +9

)

)

∞ → x x x x x 162.

(

x x x

)

x 4 5 3 lim 2− − 2 − ∞ → 163. lim

(

2 2 + −5− 2 −3 +12

)

∞ → x x x x x

Limit www.matikzone.wordpress.com 164. lim

(

(

3 +1

)(

−5

)

− 2 +7 +1

)

∞ → x x x x x 165. lim

(

(

3 −5

)(

+4

)

− 3 2 −7 +1

)

∞ → x x x x x 166. lim

(

− 4 2 −7 −1

)

∞ → x x x x 167. lim

(

(

+2

)

− 4 2 −7 +8

)

∞ → x x x x 168. lim

(

+5− 2 − −9

)

∞ → x x x x 169. lim

(

(

+3

) (

− −3

)(

+3

)

)

∞ → x x x x 170. lim

(

3 2 +3 −5− +4

)

∞ → x x x x 171. lim

(

2 +6 +5− −4

)

∞ → x x x x 172. lim

(

2 −1−2 −3

)

∞ → x x x 173. lim

(

4 2+3 −5−

(

2 −3

)

)

∞ → x x x x 174. lim

(

9 2 + −4−

(

3 +5

)

)

∞ → x x x x 175. lim

(

2 2 −3 +5

)

∞ → x x x 176. lim

(

2 −3 − 2 2 +8

)

∞ → x x x x 177.  − − − + −  ∞ → 3 4 3 2 5 lim x x x x x 178. lim

(

4 4 +3 2 −1− 4 4 +5 2 +1

)

∞ → x x x x x 179. lim

(

3−4 − 3+8

)

∞ → x x x 180. _       _{+ − +} ∞ → _x x x x 2 2 9 1 4 1 lim 181. _       _{+ − +} ∞ → _x x x x 2 2 4 1 lim 182.

(

x

(

x x

)

)

x→∞ +2− lim 2 183.       _{− +} ∞ → 2 3 4 lim ₂ x x x 184.       − + − − + ∞ → ₇ 5 2 1 2 3 lim x x x x x 185.     + − − + − ∞ → ₅ 3 5 9 2 4 lim ₂ 2 x x x x x x 186. 2 3 3 2 lim x x x x x + ∞ → ** 187. x x x x x x 2 2 3 2 6 3 lim + − ∞ → **

Hitunglah nilai dari limit fungsi berikut:

188. x x x cos 5 sin lim 2 + →π 189.

(

x x

)

x sin 2 .cot lim 0 → 190.       ₊ → x x x x 3sin cos 5 6 sin lim 2 π 191. x x x ₂ cos lim 0 → 192. x x x _cos 5 lim 0 + → 193. x x x _sin5 2 tan lim 0 → 194. x x x ₅ 3 sin lim 0 → 195. x x x x _{sin 3} 5 sin lim ₂ 0 →

Limit www.matikzone.wordpress.com 196. x x x x _{sin3 sin 2} 2 1 tan lim 2 0 → 197. x x x 2 2 0_sin 2 lim → 198.

( )

2 2 0 ₃ 3 sin lim x x x→ 199. x x x x _sec2 2 tan lim 0 → 200. 2 cos 2 sin lim 0 x x x x→ 201. x x x _cos 2 lim 0 → 202. ₂ 2 0 2 sin lim x x x→ 203. ₂ 0 3 cos cos lim x x x x − → 204. x x x x 4 sin 3 sin lim 0 + → 205. x x x 2 cos 1 lim 0 − → 206. x x x _sin2 cos 1 lim + →π 207. ₂ 0 ₂ 2 cos 1 lim x x x − → 208.

( )

x x x x _{sin 3} 2 sin lim _{2 2} 2 0 + → 209. x x x x x x x _{2 sin3 cos2} 6 3 tan 4 sin lim ₂ 3 2 0 + → 210. a x a x a x − − → cos cos lim 211. x x x x _{1 cos} 3 cos cos lim 0 − − → 212. x x x x _{1 cos} 9 cos 5 cos lim 0 − − → 213. x x x 4 2 cos lim 4 − →ππ 214. x x x 1 sin cos lim 2 4 − →π 215.

(

)

(

)

(

1

)

sin

(

1

)

1 tan 1 lim 2 1 2 2 1 3 1 − − − − → x x x x x 216.

(

)

(

)

(

1

)

sin 2 1 2 sin 1 lim ₂ 2 1 − − − − → _x x x x 217. x x x x _sin cos 1 lim 0 − → 218.

(

x x

)

x tan sec lim 2 − →π 219. ₃ 0 tan sin lim x x x x − → 220.

(

)

(

)

y x y x y x y x _{9 9} tan 3 3 lim + + + + − → 221.

(

x x

)

x cot2 lim 0 → 222. x x x _tanπ 1 lim 1 − → 223. x x x cos2 1 tan lim 4 − →π 224.

(

tan 1

)

2 cos lim 4 − → x x x x π 225. 9 2 3 2 sin lim 0 − + → _x x x 226. x x x→ ₁− ₁− 4 sin lim 0 227. 1 1 1 cos 1 1 sin lim 1 −       −       − → _x x x x 228.

(

)

2 2 sin lim 2 − − → _x x x

Limit www.matikzone.wordpress.com 229.

(

)

π π π − − → _x x x sin lim 230.

(

) (

)

3 2 1 sin 1 3 lim ₂ 1 + − − + → _{x x} x x x 231.

(

)

3 2 1 sin lim 3 − − + → _x x x 232. x x x − − → 2 sin 1 lim 2 π π 233. 4 4 sin sin lim 4 π π π − − → x x x 234. x x x sec tan 2 lim 2 π → 235. ₂ 0 ₅ 3 tan . 2 tan lim x x x x→ 236. x x x _{1 sin} cos 1 lim 0 + + → 237. x x x _{1 cos} 2 cos 1 lim 0 − − → 238. x x x x _sin 3 lim 2 0 + → 239. x x x 2 1 cos 1 2 lim 2 2 0 − → 240. ₃ 0 ₄ 2 cos . 3 sin 3 sin lim x x x x x − → 241.

(

)

(

)

(

₂

)

2 2 2 ₂ 2 sin 6 5 lim − − − + − → _{x x} x x x x 242.

(

)

x x x x x x _{3 2} 6 sin 1 lim _{3 2} 2 0 + + − → 243. x x x x x _{4 cos3} 2 sin 8 sin lim 0 + → 244. 9 2 3 2 sin lim 0 − + → _x x x 245.       − − → _{x x} x x x _{sin8 sin3} 2 sin 5 sin lim 0 246.       − − → _{x x} x x x _{sin2 sin} tan 2 tan lim 0 247.           − − → _x x x 4 tan 1 lim 4 π π 248.       − → x x x x sin 4 cos 1 lim 2 π 249.       → x x x cos ) sin(cos lim 2 π 250. π π 4 1 sin cos lim 4 1 − − → _x x x x 251. 3 2 2 3 4 sin 3 3 sin lim 3 π π π π +       − +       + − → _x x x x 252. x x x x 1 sin2 cos sin lim 2 1 − − → π 253.

(

)

1 1 sin lim 2 1 − − → _x x x 254. x x x cos 2 cos 1 lim 2 1 + → π 255.

(

)

(

x a

)

x a a x a x _{sin 2 2} 3 lim − + − − → 256.

(

1

)

tan( 1) ) 1 ( lim ₂ 2 3 1 − + − + + − → _{x x} ax x a x x 257. π π − + → _x x x cos 1 lim 258.

(

)

(

x

)

x x x x _{tan 1 3sec} cos 1 2 sin lim 0 + + → 259.

(

x

)

x x x x _{1 cos3} 3 sin 2 2 sin 3 lim 0 − − →

Limit www.matikzone.wordpress.com 260. x x x x _{sin2 tan2} lim 3 0 − → 261. ₃ 0 sin tan lim x x x x − → 262.

(

)

9 6 3 cos 1 lim ₂ 3 + + + − − → _{x x} x x 263.

(

)

(

x a

)

(

x a

)

a x a x − − − − − → _tan5 sin 1 1 lim 2 264.

₍

₎

    − − − − → _{sin 3 3} 3 lim 3 _{x x} x x 265. x x x x x x x _{3sin sin3} 18 sin 10 sin 6 sin 2 sin lim 0 − − + + → 266.                     − + − − → y x y x y x y x y x tan tan 1 1 tan tan lim **

Tentukan, jika ada, titik-titik yang menyebabkan fungsi-fungsi berikut tidak kontinu:

267.

( )

x x x x f + − = ₂2 1 268.

( )

3 2 − = x x x f 269.

( )

2 3 4 2 2 + − − = x x x x f 270.

( )

1 3 2 3 2 − + + = x x x x f 271.

( )

2 3 5 2 2 2 − + − − = x x x x x f 272.

( )

10 3 1 2 2 − + + = x x x x f 273.

( )

1 1 2 2 − + + = x x x x f 274.

( )

   ≥ − < = 0 ; 1 0 ; 1 x unt x x unt x f 275.

( )

   ≥ − < = 0 ; 0 ; 2 x unt x x unt x x f 276.

( )

    > = < = 0 ; 0 ; 1 0 ; 2 x unt x x unt x unt x x f 277.

( )

1 1 2 − − = x x x f 278.

( )

      = ≠ − − = 1 ; 2 1 ; 1 1 2 x unt x unt x x x f

Selidikilah, apakah fungsi-fungsi berikut kontinu pada titik yang diberikan:

279. f

( )

x =5, pada x = 1 280. f

( )

x =5x−10, pada x = – 3 281.

( )

3 8 − = x x f , pada x = 3 282.

( )

6 1 2 − − = x x x f , pd x = 3 dan x = –2

Limit www.matikzone.wordpress.com 283.

( )

12 7 12 3 2 − + − = x x x x f , pada x = 4 284.

( )

12 2 2 6 3 3 2 2 − − − + = x x x x x f , pada x = – 2

Hitunglah nilai dari limit fungsi berikut:

285. 1 1 lim + ∞ → _     + x x _x x 286. x x _x 2 3 2 1 lim − ∞ → _     + + 287. 6 3 5 lim + ∞ → _     + + x x _x x 288. x x _x x 2 6 2 2 2 lim       + + ∞ → 289. x x _x a       + ∞ → 1 lim 290. ax x _x     + ∞ → 1 1 lim 291. 3 2 5 3 1 3 lim + ∞ → _     + + x x _x x 292. 3 2 5 1 5 2 lim + ∞ → _     − − x x _x x 293. 2 7 1 6 5 6 lim + ∞ → _     − + x x _x x 294. 1 1 2 2 2 1 5 2 3 lim + + ∞ →     + + + + x x x _{x x} x x

Hitunglah nilai dari

(

) ( )

h x f h x f h − + →0

lim dari fungsi-fungsi berikut:

295. f

( )

x =9 296. f

( )

x =5x 297. f

( )

x =8x−10 298. f

( )

x = x2 299. f

( )

x =3x2 300. f

( )

x =−2x2 +1 301. f

( )

x =2x2 +3x 302. f

( )

x = x3 303. f

( )

x =2x3 304. f

( )

x = x 305. f

( )

x =2 x 306. f

( )

x =2 x+1