DASAR-DASAR TEORI PELUANG

(1)

DASAR-DASAR TEORI PELUANG

Herry P. Suryawan

1 Ruang Peluang

Definisi 1.1 Diberikan himpunan tak kosong Ω. Aljabar-σ (σ-algebra) pada Ω adalah koleksi subhimpunan A dari Ω dengan sifat

(i) ∅, Ω ∈ A

(ii) jika A ∈ A, maka Ac_{∈ A}

(iii) jika A1, A2, . . . ∈ A, maka ∪∞k=1Ak∈ A.

Definisi 1.2 Diberikan aljabar-σ pada Ω. Fungsi P : A → [0, 1] disebut ukuran peluang (probability measure) jika memenuhi:

(i) P (∅) = 0 dan P (Ω) = 1 (ii) jika A1, A2, . . . ∈ A, maka

P ∞ [ k=1 Ak ! ≤ ∞ X k=1 P (Ak).

Kesamaan berlaku jika A1, A2, . . . adalah barisan himpunan yang saling

asing (disjoint) Catatan:

Diberikan A aljabar-σ pada Ω dan P ukuran peluang pada A. • jika A1, A2, . . . ∈ A, maka ∩∞k=1Ak∈ A

• jika A1, A2, . . . , An ∈ A, maka ∪k=1n Ak ∈ A, ∩nk=1Ak∈ A

• jika A1, A2 ∈ A dengan A1 ⊆ A2, maka P (A1) ≤ P (A2)

• jika A1, A2 ∈ A, maka

(2)

Definisi 1.3 Diberikan himpunan tak kosong Ω, aljabar-σ A pada Ω, dan ukuran peluang P pada A.

(i) (Ω, A) disebut ruang terukur (measurable space) (ii) (Ω, A, P ) disebut ruang peluang (probability space) Catatan:

Diberikan ruang peluang (Ω, A, P )

• A ∈ A disebut kejadian (event) dan ω ∈ Ω disebut titik sampel (sample point). Seringkali Ω disebut ruang sampel (sample space). • P (A) disebut peluang kejadian A

• Sifat yang berlaku kecuali pada kejadian dengan peluang nol dikatakan berlaku hampir pasti (almost surely).

2 Peubah Acak

Definisi 2.1 Diberikan ruang peluang (Ω, A, P ). Fungsi X : Ω → Rn

dise-but peubah acak (random variable) jika untuk setiap B ∈ B(Rn_{) berlaku}

X−1(B) ∈ A.

Catatan:

• B(Rn_{) adalah aljabar-σ Borel pada R}n_{, yakni aljabar-σ terkecil yang}

memuat semua himpunan terbuka (open set) pada Rn_.

• Peubah acak X : Ω → Rn

tidak lain adalah fungsi terukur-A − B(Rn). • Dalam hal ini seringkali Rn _{disebut sebagai ruang keadaan (state}

space) dari X.

Lema 2.2 Diberikan peubah acak X : Ω → Rn_{. Koleksi}

A(X) := {X−1_{(B) : B ∈ B(R}n)}

adalah subσ terkecil dari A sehingga X terukur. A(X) disebut aljabar-σ yang dibangun (generated) oleh X.

(3)

Definisi 2.3 (i) Koleksi peubah acak {Xt = X(t) : t ≥ 0} disebut proses

stokastik (stochastic process).

(ii) Untuk setiap ω ∈ Ω, fungsi t 7→ Xt(ω) = X(t, ω) disebut lintasan

sampel (sample path). Catatan:

Proses stokastik dapat dipandang sebagai fungsi dua peubah X.(.) : [0, ∞) ×

Ω → Rn _{yakni (t, ω) 7→ X}

t(ω) = X(t, ω).

Definisi 2.4 Diberikan X peubah acak pada ruang peluang (Ω, A, P ). (i) Nilai harapan (expectation / expected value) dari X adalah

E(X) := Z

Ω

X dP.

(ii) Variansi (variance) dari X adalah V (X) :=

Z

Ω

|X − E(X)|2 _dP.

Catatan:

• Nilai harapan disebut juga nilai rata-rata (mean value). • V (X) = E(|X − E(X)|2_{) = E(|X|}2_{) − |E(X)|}2_.

Lema 2.5 Ketaksamaan Chebyshev Jika X peubah acak dan 1 ≤ p < ∞, maka

P (|X| ≥ λ) ≤ 1

λpE(|X| p

) untuk setiap λ > 0.

Bukti. Ambil sebarang p dengan 1 ≤ p < ∞ dan λ > 0, E(|X|p) = Z Ω |X|p _{dP ≥} Z {|X|≥λ} |X|p _{dP ≥ λ}p Z {|X|≥λ} dP = λpP (|X| ≥ λ).

(4)

Definisi 2.6 (i) Fungsi distribusi (distribution function) dari peubah acak X adalah fungsi FX : Rn → [0, 1] dengan

FX(x) := P (X ≤ x),

untuk setiap x ∈ Rn_.

(ii) Diberikan sejumlah berhingga peubah acak X1, . . . , Xn : Ω → Rn. Fungsi

distribusi bersama (joint distribution function) dari X1, . . . , Xn

adalah FX1,...,Xm : (R n )m → [0, 1] dengan FX1,...,Xm(x1, . . . , xm) := P (X1 ≤ x1, . . . , Xm ≤ xm).

Definisi 2.7 Diberikan peubah acak X : Ω → Rn dan fungsi distribusi dari X yaitu F := FX. Apabila ada fungsi tak negatif terintegral f : Rn → R

sehingga F (x) = F (x1, . . . , xn) = Z x1 −∞ . . . Z xn −∞ f (y1, . . . , yn) dyn. . . dy1,

maka f disebut fungsi kepadatan (density function) dari X. Catatan:

• P (X ∈ B) =R

Bf (x) dx, untuk setiap B ∈ B(R n_).

• Fungsi kepadatan terkait dengan konsep turunan Radon-Nykodim (Radon-Nikodym derivative).

Contoh 2.8 _{1. Peubah acak X : Ω → R dikatakan berdistribusi} nor-mal (nornor-mally distributed) dengan rata-rata (mean) m dan vari-ansi (variance) σ2, ditulis X ∼ N (m, σ2), jika X mempunyai fungsi kepadatan

f (x) = √ 1 2πσ2 e

−|x−m|2

(5)

2. Peubah acak X : Ω → Rn _{dikatakan berdistribusi normal dengan}

rata-rata m ∈ Rn dan matriks kovariansi (covariance matrix) C, dengan C suatu matriks simetrik (symmetric) positif definit (definite posi-tive), jika X mempunyai fungsi kepadatan

f (x) = 1 ((2π)n_{det C)}1/2 e −1 2(x−m)C −1_(x−m) , _{x ∈ R}n

Lema 2.9 Diberikan peubah acak X : Ω → Rn _{dan fungsi distribusinya F}

mempunyai fungsi kepadatan f . Jika g : Rn → R dan Y = g(X) terintegral, maka E(Y ) = Z Rn g(x)f (x) dx. Khususnya, E(X) = Z Rn xf (x) dx dan V (X) = Z Rn |X − E(X)|2_{f (x) dx.}

3 Kebebasan

Definisi 3.1 Peluang bersyarat (conditional probability) dari A apabila diberikan B adalah

P (A|B) = P (A ∩ B) P (B) , asalkan P (B) > 0.

Definisi 3.2 Dua kejadian A dan B dikatakan saling bebas (independent) jika

P (A ∩ B) = P (A).P (B).

Definisi 3.3 Kejadian-kejadian A1, . . . , An, . . . dikatakan saling bebas jika

untuk setiap pemilihan 1 ≤ k1 < k2 < . . . < km berlaku

(6)

Definisi 3.4 Barisan aljabar-σ {Ai}i∈N dengan Ai ⊆ A dikatakan saling

bebas jika untuk setiap pemilihan 1 ≤ k1 < k2 < . . . < km dan untuk setiap

pemilihan kejadian Aki ∈ Aki,

P (Ak1 ∩ Ak2 ∩ . . . ∩ Akm) = P (Ak1)P (Ak2) . . . P (Akm).

Definisi 3.5 Barisan peubah acak {Xi}i∈N dengan Xi : Ω → Rn dikatakan

saling bebas jika untuk setiap k ≥ 2 dan untuk setiap pemilihan himpunan Borel B1, . . . , Bk ∈ B(Rn),

P (X1 ∈ B1, . . . , Xk∈ Bk) = P (X1 ∈ B1) . . . P (Xk ∈ Bk).

Dengan kata lain, barisan aljabar-σ {A(Xi)}i∈N saling bebas.

Lema 3.6 Diberikan sejumlah berhingga peubah acak X1, . . . , Xm+n dengan

Xi : Ω → Rk, g : (Rk)n→ R, dan h : (Rk)m → R. Maka

Y := g(X1, . . . , Xn) dan Z := h(Xn+1, . . . , Xn+m)

saling bebas.

Teorema 3.7 Peubah acak X1, . . . , Xm : Ω → Rn saling bebas jika dan

hanya jika

FX1,...,Xm(x1, . . . , xm) = FX1(x1) . . . FXm(xm),

jika dan hanya jika

fX1,...,Xm(x1, . . . , xm) = fX1(x1) . . . fXm(xm),

apabila F mempunyai fungsi kepadatan f .

Teorema 3.8 Jika X1, . . . , Xm adalah peubah acak - peubah acak bernilai

real yang saling bebas dengan E(|Xi|) < ∞ untuk setiap i = 1, . . . , m, maka

E(|X1. . . Xm|) < ∞ dan

E(X1. . . Xm) = E(X1) . . . E(Xm).

Teorema 3.9 Jika X1, . . . , Xm adalah peubah acak - peubah acak bernilai

real yang saling bebas dengan V (Xi) < ∞ untuk setiap i = 1, . . . , m, maka

(7)

Teorema 3.10 (Borel-Cantelli) Jika P∞

n=1P (An) < ∞, maka P (lim supn→∞An) = 0.

Bukti. P (lim sup n→∞ An) = P ∞ \ n=1 ∞ [ m=n Am ! ≤ P ∞ [ m=n Am ! ≤ ∞ X m=n P (Am).

Selanjutnya ambil limit n → ∞. Catatan:

• P (lim sup_n→∞An) seringkali dituliskan dengan P (An i.o.) yang berarti

peluang kejadian An muncul tak hingga kali (i.o. = infinitely often).

Definisi 3.11 Barisan peubah acak {Xn}n∈N yang didefinisikan pada ruang

peluang yang sama dikatakan konvergen di dalam peluang (convergent in probability) ke peubah acak X, ditulis Xn

P

→ X, apabila untuk setiap ε > 0 lim

n→∞P (|Xn− X| > ε) = 0.

Teorema 3.12 Jika Xn P

→ X, maka ada subbarisan {Xnj}j∈N sehingga

Xnj → X hampir pasti.

Bukti. Gunakan Borel-Cantelli.

4 Fungsi Karakteristik

Definisi 4.1 Diberikan peubah acak X : Ω → Rn. Fungsi karakteristik ( characteristic function) dari X adalah

φX(λ) := E eiλX .

Contoh 4.2 Jika X ∼ N (m, σ2), maka φX(λ) = eimλ−

λ2σ2 2 .

Lema 4.3 (i) Jika X1, . . . , Xm adalah peubah acak - peubah acak yang

sal-ing bebas, maka untuk setiap λ ∈ Rn

(8)

(ii) Jika X adalah peubah acak bernilai real maka φ(k)(0) = ikE(Xk_{), k ∈ N}0.

(iii) Jika φX(λ) = φY(λ) untuk setiap λ ∈ Rn, maka FX(x) = FY(x) untuk

setiap x ∈ Rn_.

Catatan:

• (iii) mengatakan bahwa fungsi karakteristik menentukan (”mengkarak-terisasi ”) fungsi distribusi dari peubah acak.

5 Teorema Limit Pusat

Definisi 5.1 Barisan peubah acak {Xn}n∈N dikatakan berdistribusi secara

identik (identically distributed) jika

FX1(x) = FX2(x) = . . . = FXn(x) = . . . ,

untuk setiap x ∈ Rn.

Teorema 5.2 Hukum Kuat Bilangan Besar/ Strong Law of Large Number

Jika {Xn}n∈N adalah barisan peubah acak terintegral yang saling bebas dan

berdistribusi secara identik, yang terdefinisi pada ruang peluang yang sama serta m := E(Xi), maka

P lim n→∞ X1+ . . . + Xn n = m = 1.

Lema 5.3 Jika {Xn}n∈Nadalah barisan peubah acak bernilai real yang saling

bebas dan berdistribusi secara identik dengan P (Xi = 1) = p, P (Xi = 0) =

q, p + q = 1, maka

E(X1+ . . . + Xn) = np dan V (X1+ . . . + Xn) = npq.

Teorema 5.4 Laplace-De Moivre

Jika {Xn}n∈N adalah barisan peubah acak seperti pada Lema 5.3 dan Sn :=

X1+ . . . + Xn, maka untuk setiap a, b dengan −∞ < a < b < ∞,

lim n→∞P a ≤ S√n− np npq ≤ b = √1 2π Z b a e−x22 dx.

(9)

Jadi distribusi dari jumlahan Xn setelah dilakukan renormalisasi untuk akan

konvergen ke distribusi normal standar N (0, 1) untuk n → ∞. Teorema 5.5 Teorema Limit Pusat/Central Limit Theorem

Jika {Xn}n∈N adalah barisan peubah acak bernilai real yang saling bebas dan

berdistribusi secara identik dengan E(Xn) = m, V (Xn) = σ2, dan Sn :=

X1+ . . . + Xn, maka untuk setiap a, b dengan −∞ < a < b < ∞,

lim n→∞P a ≤ Sn√− nm nσ2 ≤ b = √1 2π Z b a e−x22 dx. Daftar Pustaka

• Durret, R. 2010. Probability: Theory and Examples, 4th edition. Cam-bridge University Press.

• Jacod, J. and Protter, P. 2003. Probability Essentials, 2nd edition. Springer Verlag.