(6) PD Genap 15

PERSAMAAN DIFERENSIAL

29/04/2015

Mahfudz S - Metode Numerik - TEUB 1

Pengantar:

5

)

0

(

0

dt

dx







xt

x

Diberikan PD:

1. Dapatkan x(t) yang merupakan solusi dari PD itu, 2. Dengan x(t) yang diperoleh, dapatkan nilai x

ketika t =0,5

BONUS : 5

Persamaan diferensial adalah sebuah persamaan

yang menghubungkan sesuatu variabel dengan

turunan-turunannya. Persamaan diferensial

tingkat n dapat dinyatakan sebagai,

0

)

,...,

,

,

,

(

₂ 2



n n

dt

y

d

dt

y

d

dt

dy

y

t

f

Penyelesaian persamaan diferensial secara

numerik memerlukan alat bantu komputer. Pada

beberapa kasus persamaan diferensial terutama

pada persamaan diferensial nonlinier, seringkali

tidak diperoleh penyelesaian secara analitik.

29/04/2015

Mahfudz S - Metode Numerik - TEUB 3

Pada solusi analitik, diperoleh sebuah persamaan

fungsi solusi

yang memenuhi persamaan

diferensialnya, sedangkan pada solusi numerik

tidak diperoleh persamaan

fungsi solusi

tetapi

hanya didapat kumpulan titik-titik. Tetapi

walaupun

fungsi solusi

tidak diperoleh, titik-titik

solusi tersebut dapat divisualisir dalam bentuk

grafik sehingga dapat dianalisis lebih lanjut.

Beberapa metode penyelesaian PD secara numerik:

1. Metode Euler

2. Metode Deret Taylor

3. Metode Runge-Kutta

t x Solusi analitis Solusi numerik Nilai awal x(0)=1 29/04/2015

Mahfudz S - Metode Numerik - TEUB 4

Gambar dibawah menunjukkan hubungan penyelesaian persamaan diferensial secara analitik dengan penyelesaian secara numerik. Solusi numerik merupakan solusi khusus dari suatu persamaan diferensial oleh karena itu perlu adanya nilai awal atau nilai batas yang diketahui.

29/04/2015

Mahfudz S - Metode Numerik - TEUB 5

Prinsip Penyelesaian PD secara numerik Misalkan solusi PD, x = g(t) t x t0 x0

Berapakah nilai x yang (dianggap) benar jika t secara sengaja dinaikkan sebesar Δt. Pada gambar terlihat bahwa nilai fungsi adalah x0 ketika t = t0, dan berapakah nilai x1ketika t dinaikkan menjadi t0+∆t

Δt Δt Δt x=g(t) 50 0

)

(

)

,

(

t

x

x

t

x

f

dt

dx





adalah

1. Metode Deret Taylor

Nilai x pada t+∆t dihitung dengan menggunakan nilai x dan turunan-turunannya yang dihitung pada t

) ( ! ... ) ( ! 3 ) ( 2 ) ( ) ( ) ( ( ) 3 2 t x m t t x t t x t t x t t x t t x m m                 ) ( 3 2 1

!

...

!

3

2

m n m n n n n n

x

m

t

x

t

x

t

x

t

x

x

_





























Kelemahan metode ini adalah pada penyelesaian yang rumit terutama pada penentuan dan perhitungan turunan-turunan fungsi yang lebih tinggi.

29/04/2015

Mahfudz S - Metode Numerik - TEUB 7 Contoh 1

Dengan metode deret taylor, dapatkan x(t) dari 0 < t < 0,5 dengan Δt=0,1 jika diketahui

Gunakan sampai dengan turunan ke 3. Penyelesaian:

xt

x 



x

t

x

x









x

t

x

x

x

t

x

x























2



5

)

0

(

0

dt

dx







xt

x

29/04/2015

Mahfudz S - Metode Numerik - TEUB 8 Pada t = 0, x = 5 sehingga

0

)

0

(







xt

x

x



(

0

)



x



t



x



5

x





(

0

)



x



t



2

x





0

) ( 3 2 1

!

...

!

3

2

m n m n n n n n

x

m

t

x

t

x

t

x

t

x

x































0 0 5 0 5 0 1 0,1 5,0250 0,5025 5,0753 1,5125 2 0,2 5,1009 1,0202 5,3049 3,1013 3 0,3 5,2299 1,5690 5,7006 4,8482 4 0,4 5,4161 2,1665 6,2827 6,8460 5 0,5 5,6653

n

t

x

x

_{x }

_{x }



29/04/2015

Mahfudz S - Metode Numerik - TEUB 9 2. Metode Euler x=g(t) x t0 x0 Δt Δt Δt

Garis lengkung fungsi solusi sejauh ∆t dianggap sebagai garis lurus (pendekatan derajat satu) yang mempunyai gradien di titik awalnya.

Δx Δt t dt dx x t t    0 t x t f t dt dx x t t       ) , (_{0 0} 0

Pada t₁=t₀+Δt, nilai x adalah x₁=x₀+Δx

t

x

t

f

x

x

₁



₀



(

₀

,

₀

)



Pada t3=t0+3Δt: Pada t2=t0+2Δt:

Rumus Umum

29/04/2015

Mahfudz S - Metode Numerik - TEUB 11

t

x

t

f

x

x

₂



₁



(

₁

,

₁

)



t

x

t

f

x

x

₃



₂



(

₂

,

₂

)



t

x

t

f

x

x

_n

_

₁



_n



(

_n

,

_n

)



29/04/2015

Mahfudz S - Metode Numerik - TEUB 12 Contoh 2

Dengan metode deret taylor, dapatkan x(t) dari 0 < t < 0,5 dengan Δt=0,1 jika diketahui

Penyelesaian:

5

)

0

(

0

dt

dx







xt

x

xt x t f   ( , ) dt dx

t

x

t

f

x

x

_n1



_n



(

_n

,

_n

)



29/04/2015

Mahfudz S - Metode Numerik - TEUB 13

n t x f(t,x) 0 0 5,0000 0,0000 1 0,1 5,0000 0,5000 2 0,2 5,0500 1,0100 3 0,3 5,1510 1,5453 4 0,4 5,3055 2,1222 5 0,5 5,5178

Tabel hasil perhitungan

Jadi, dengan metode euler dengan ∆t=0,1 didapat x(0,5)=5,5178

3. Metode Runge-Kutta 2

Metode Runge-Kutta 2 menghitung ∆x dengan menggunakan rata-rata gradien dua titik yang berurutan.

Δt tn x_n B A Titik A: mA = f(tn,xn) Titik B: mB=f(tn+∆t,xn+k1) t x t f k1 (n, n)

29/04/2015

Mahfudz S - Metode Numerik - TEUB 15 Gradien rata-rata:

Nilai x berikutnya:

Dengan:

Metode ini disebut dengan metode Runge-Kutta derajat dua.

2

B A R

m

m

m





2

2 1 1

k

k

x

t

m

x

x

_n



_n



_R





_n





t

x

t

f

k

1



(

n

,

n

)



t

k

x

t

t

f

k

₂



(

_n





,

_n



₁

)



29/04/2015

Mahfudz S - Metode Numerik - TEUB 16 Contoh 3:

Dengan metode RK 2, dapatkan x(t) dari 1 < t < 1,5 dengan Δt=0,1 jika diketahui Penyelesaian:

1

)

1

(

0

2







x

dt

x

tdx

1

)

1

(

)

,

(

2









x

t

x

x

t

f

dt

dx

29/04/2015

Mahfudz S - Metode Numerik - TEUB 17 1. Pada t1= t0+0,1 = 1+0,1 = 1,1 dgn: x1 = x0 + (k1 + k2 )/2 1 , 0 1 1 1 , 0 ) , ( 2 0 0 1           t f t x k







1 0,1



0,0736 1 , 0 1 1 , 0 ) , ( 2 1 0 0 2                 t f t t x k k Jadi,

1

0

,

0868

0

,

9132

2

2 1 0 1













x

k

k

x

Hasil lengkap sampai dengan t = 1,5

t x k1 k2 1 1 -0,1 -0,07364 1,1 0,913182 -0,07581 -0,05843 1,2 0,846061 -0,05965 -0,04757 1,3 0,792449 -0,04831 -0,03955 1,4 0,748519 -0,04002 -0,03346 1,5 0,711777 -0,03378 -0,02873

29/04/2015

Mahfudz S - Metode Numerik - TEUB 19

4. Metode Runge-Kutta derajat 4 PD order kesatu: dengan



₁

2

₂

2

_{3 4}



/

6

1

x

k

k

k

k

x

_n



_n









19 0 0

)

(

)

,

(

t

x

x

t

x

f

dt

dx





)

,

(

1

t

f

t

n

x

n

k





)

,

(

₃ 4

t

f

t

t

x

k

k





_n





_n



)

2

,

(

2 3

k

x

t

t

t

f

t

k





_n





_n



2 ) 2 , ( 1 2 k x t t t f t k  _n _n 2 29/04/2015

Mahfudz S - Metode Numerik - TEUB 20 Contoh 4:

Dengan metode RK 4, dapatkan x(t) dari 1 < t < 1,5 dengan Δt=0,1 jika diketahui Penyelesaian:

1

)

1

(

0

2







x

dt

x

tdx

1

)

1

(

)

,

(

2









x

t

x

x

t

f

dt

dx

29/04/2015

Mahfudz S - Metode Numerik - TEUB 21 1. Pada t1= t0+0,1 = 1+0,1 = 1,1 dgn: Shg: x₁ = 0,9129 x1 = x0 + (k1 + 2*k2 21+ 2*k3 + k4)/6





0757 , 0 1 , 0 1 0872 , 0 1 1 , 0 ) , ( 2 3 0 0 4                 t f t t y k k _,x0+ 1 , 0 1 1 1 , 0 ) , ( 2 0 0 1           t f t y k _,x0)





0859 , 0 05 , 0 1 05 , 0 1 1 , 0 ) 2 , 2 ( 2 1 0 0 2                 t f t t y k k ,x0+





0872 , 0 05 , 0 1 0429 , 0 1 1 , 0 ) 2 , 2 ( 2 2 0 0 3                 t f t t y k k ,x0+

Hasil lengkap sampai dengan t = 1,5

t y k1 k2 k3 k4 1 1 -0,1 -0,08595 -0,08723 -0,07574 1,1 0,912983 -0,07578 -0,06659 -0,06729 -0,0596 1,2 0,845793 -0,05961 -0,05327 -0,05368 -0,04826 1,3 0,792164 -0,04827 -0,04369 -0,04395 -0,03999 1,4 0,748238 -0,03999 -0,03658 -0,03675 -0,03375 1,5 0,711508 x

23

Mahfudz S - Metode Numerik 29/04/2 015

TUGAS KELAS F

BAGIAN: PD DERAJAT SATU

m

x

me

x

dt

dx

t







2

(

0

)

1

1. Dengan metode (a). deret taylor sampai turunan ke 3, (b). euler, (c). RK 2 dan (d). RK 4, dapatkan x(t) dari 0 < t < 0,5 dengan Δt=0,1.

Diberikan persamaan diferensial derajat satu,

2. Selesaikan dengan metode analitis, dan hitunglah x(0,5)

24

Mahfudz S - Metode Numerik 29/04/2₀₁₅

TUGAS KELAS E

BAGIAN: PD DERAJAT SATU

1. Dengan metode (a). deret taylor sampai turunan ke 3, (b). euler, (c). RK 2 dan (d). RK 4, dapatkan x(t) dari 0 < t < 0,5 dengan Δt=0,1.

Diberikan persamaan diferensial derajat satu,

2. Selesaikan dengan metode analitis, dan hitunglah x(0,5)

m

x

me

x

dt

dx

t









(

0

)

25

Mahfudz S - Metode Numerik 29/04/2 015

TUGAS KELAS C

BAGIAN: PD DERAJAT SATU

1. Dengan metode (a). deret taylor sampai turunan ke 3, (b). euler, (c). RK 2 dan (d). RK 4, dapatkan x(t) dari 0 < t < 0,5 dengan Δt=0,1.

Diberikan persamaan diferensial derajat satu,

2. Selesaikan dengan metode analitis, dan hitunglah x(0,5)





x

m

x

m

dt

dx









t

2

(

0

)

1

i ti Deret Euler RK2 RK4 Analitis

0 0 1 0,1 2 0,2 3 0,3 4 0,4 5 0,5 Nama : No. Presensi :

29/04/2015

Mahfudz S - Metode Numerik - TEUB 27

PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER

0

)

0

(

1

)

0

(

5

2,5 2 2











e



y

y

dt

dy

dt

y

d

t

Pengantar:

1. Dapatkan y(t) yang merupakan solusi dari PD itu, 2. Dengan y(t) yang diperoleh, dapatkan nilai y

ketika t =0,5

BONUS : 10

29/04/2015

Mahfudz S - Metode Numerik - TEUB 28

PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER

Persamaan diferensial dikatakan linier jika dapat dinyatakan sebagai,

Beberapa contoh PD linier:

t

e

x

dt

dx

2

5







PD linier derajat satu

PD linier derajat dua

t e x dt dx dt x d     5 2 2     ...   2  1 ( ) 2 2 1 1 1 a x u t dt dx a dt x d a dt x d a dt x d n n n n n n n       _{  } 

29/04/2015

Mahfudz S - Metode Numerik - TEUB 29

Solusi PD Linier Tingkat Tinggi Berbasis Matrik

PD Linier tingkat 4,

Dinyatakan sebagai 4 sistem persamaan diferensial tingkat satu.

Didefinisikan 4 variabel berikut:

maka

y

x

y

x

y

x

y

x

₁



,

₂





,

₃





,

₄







) ( ) ( ) ( ) ( ) ( _{2 3 4} 2 2 3 3 1 4 4 t u y t a dt dy t a dt y d t a dt y d t a dt y d      4 1 3 2 2 3 1 4 ) 4 ( 4 4 3 3 2 2 1

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

,

,

,

x

t

a

x

t

a

x

t

a

x

t

a

t

u

y

x

x

y

x

x

y

x

x

y

x









































Empat persamaan diferensial diatas dapat ditulis dalam bentuk matrik sebagai berikut,

4 1 3 2 2 3 1 4 ) 4 ( 4 4 3 3 2 2 1

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

,

,

,

x

t

a

x

t

a

x

t

a

x

t

a

t

u

y

x

x

y

x

x

y

x

x

y

x









































) ( 1 0 0 0 ) ( ) ( ) ( ) ( 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 4 3 2 1 1 2 3 4 4 3 2 1 t u x x x x t a t a t a t a x x x x                                                          

Atau dapat dinyatakan dalam bentuk simbol,

)

(

)

(

t

x

bu

t

A

x







29/04/2015

Mahfudz S - Metode Numerik - TEUB 31

Berikut adalah rumus-rumus untuk menyelesaikan SPD linier: 1

)

(

)

1

(

n

x

n

k

x









(

)

(

)

(

)



1

t

A

t

n

x

n

bu

t

n

k







dengan



(

)

(

)

(

)



1

t

A

t

n

x

n

bu

t

n

k







dengan 2 ) ( ) 1 ( k1 k2 n x n x    







(

)

(

)

₁

(

)



2

t

A

t

t

x

n

k

bu

t

t

k





_n









_n





29/04/2015

Mahfudz S - Metode Numerik - TEUB 32



2

2



/

6

)

(

)

1

(

n

x

n

k

₁

k

₂

k

₃

k

₄

x















(

)

(

)

(

)



1

t

A

t

n

x

n

bu

t

n

k







dengan









































)

2

(

2

)

(

)

2

(

1 2

t

t

bu

k

n

x

t

t

A

t

k

_{n n}









































)

2

(

2

)

(

)

2

(

2 3

t

t

bu

k

n

x

t

t

A

t

k

_{n n}







(

)

(

)

₃

(

)



4

t

A

t

t

x

n

k

bu

t

t

k





_n









_n





29/04/2015

Mahfudz S - Metode Numerik - TEUB 33 Contoh 1

Untuk PD dibawah ini cari nilai y pada 0 < t < 0,5 menggunakan metode RK2 dengan ∆t=0,1

0

)

0

(

1

)

0

(

5

2,5 2 2











e



y

y

dt

dy

dt

y

d

t Penyelesaian:















































































5

,

0

0

5

0

0

1

1

0

1

0

1

,

0

)

(

)

0

(

₀ 1

t

Ax

bu

t

k









                                           3394 , 0 05 , 0 5 0 5 , 0 0 0 1 1 0 1 0 1 , 0 ) ( 25 , 0 0 1 0 2 e t t bu k x A t k















































































4197

,

0

025

,

1

3394

,

0

05

,

0

5

,

0

0

5

,

0

0

1

5

,

0

)

0

(

)

1

,

0

(

x

k

₁

k

₂

x

Hasil perhitungan selanjutnya diberikan dalam tabel berikut

29/04/2015

Mahfudz S - Metode Numerik - TEUB 35

Jadi, nilai y pada t=0,5 adalah 1,3683

n t x k1 k2 0 0 1 0 0,05 0 0,5 0,3394 1 0,1 1,0250 0,0420 0,0767 0,4197 0,3474 0,2266 2 0,2 1,0843 0,0707 0,0939 0,7067 0,2326 0,1423 3 0,3 1,1666 0,0894 0,1041 0,8941 0,1468 0,0799 4 0,4 1,2634 0,1007 0,1091 1,0074 0,0832 0,0342 5 0,5 1,3683 1,0661 29/04/2015

Mahfudz S - Metode Numerik - TEUB 36 Contoh 2



  _ 100 10 25 1 20 ₃ idt x i

0

10

25

20



_3



x

i

dt

di

A

i

i

i

t

f

dt

di

5

)

0

(

2

)

,

(









25mF 20 Ohm 100 volt i t=0

Untuk rangkaian dibawah ini cari i(t) 0 < t < 1,0 menggunakan metode RK2 dengan ∆t=0,1

29/04/2015

Mahfudz S - Metode Numerik - TEUB 37

Bila ditetapkan ∆t=0,1 maka nilai i(t) sampai dengan t=1 adalah seperti diberikan dalam tabel berikut:

t i k1 k2 0 5 -1 -0,8 0,1 4,1 -0,82 -0,656 0,2 3,362 -0,6724 -0,53792 0,3 2,75684 -0,55137 -0,44109 0,4 2,260609 -0,45212 -0,3617 0,5 1,853699 -0,37074 -0,29659 0,6 1,520033 -0,30401 -0,24321 0,7 1,246427 -0,24929 -0,19943 0,8 1,02207 -0,20441 -0,16353 0,9 0,838098 -0,16762 -0,1341 1 0,68724 -0,13745 -0,10996

Bila t diteruskan sampai dengan 3 dt, maka diperoleh grafik i(t) sebagai berikut:

0 1 2 3 4 5 6 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31

29/04/2015

Mahfudz S - Metode Numerik - TEUB 39 Contoh 3:

Dengan metode RK 4, dapatkan Tegangan v(t) dari 0 < t < 0,25 dengan Δt=0,05 jika diketahui

dt volt / 400 dt dv volt, 100 v(0) 0 16v dt dv 10 dt v d 0 2 2      Penyelesaian:

v

dan x

v

x

₁



₂





2 1 2 2 1

v

x

dan

x

v

-16x

-

10x

x

















39 29/04/2015

Mahfudz S - Metode Numerik - TEUB 40 Bentuk matrik:





























































400

100

)

0

(

10

16

1

0

2 1 2 1

x

x

x

x

x

Atau

x 



Ax

             10 16 1 0 A dengan 40

Sistem persamaan diferensial diatas adalah homogen dengan A adalah matrik konstan.

29/04/2015

Mahfudz S - Metode Numerik - TEUB 41

                               280 20 05 , 0 5600 400 05 , 0 400 100 10 16 1 0 1 x x k 1. Pada t1 = 0+0,05 = 0,05 dt:



















































218

13

05

,

0

140

400

10

100

10

16

1

0

2

x

k

                         7 , 230 55 , 14 05 , 0 109 400 5 , 6 100 10 16 1 0 3 x k 41



















































29

,

176

465

,

8

05

,

0

9

,

230

400

55

,

14

100

10

16

1

0

4

x

k

                                                    39 , 174 93 , 113 29 , 176 465 , 8 7 , 230 55 , 14 2 218 13 2 280 20 6 1 400 100 1 x 42

29/04/2015

Mahfudz S - Metode Numerik - TEUB 43

n t x1 x2 k1 k2 k3 k4 0 0,00 100,0000 400,0000 20,0000 -280,0000 13,0000 -218,0000 14,5500 -230,7000 8,4650 -176,2900 1 0,05 113,9275 174,3850 8,7193 -178,3345 4,2609 -137,2386 5,2883 -145,7292 1,4328 -109,7005 2 0,10 118,8026 32,0566 1,6028 -111,0703 -1,1739 -83,9439 -0,4958 -89,6148 -2,8779 -65,8663 3 0,15 118,0335 -55,2858 -2,7643 -66,7839 -4,4339 -48,9822 -3,9888 -52,7648 -5,4025 -37,2104 4 0,20 113,8648 -106,5338 -5,3267 -37,8249 -6,2723 -26,2380 -5,9826 -28,7565 -6,7645 -18,6606 5 0,25 107,7646 -134,2796 -6,7140 -19,0719 -7,1908 -11,6183 -7,0044 -13,2910 -7,3785 -6,8228 6 0,30 100,6841 -146,8985 -7,3449 -7,0980 -7,5224 -2,3856 -7,4046 -3,4927 -7,5196 0,5720 7 0,35 93,2310 -149,9456 -7,4973 0,3880 -7,4876 3,2899 -7,4150 2,5605 -7,3693 5,0397 8 0,40 85,7857 -147,0908 -7,3545 4,9168 -7,2316 6,6294 -7,1888 6,1521 -7,0469 7,5918 9 0,45 78,5787 -140,7455 -7,0373 7,5098 -6,8495 8,4473 -6,8261 8,1378 -6,6304 8,9018 10 0,50 71,7422 -132,4819 -6,6241 8,8472 -6,4029 9,2850 -6,3920 9,0871 -6,1697 9,4172 11 0,55 65,3449 -123,3138 -6,1657 9,3810 -5,9312 9,5020 -5,9281 9,3779 -5,6968 9,4345 12 0,60 59,4148 -113,8846 -5,6942 9,4105 -5,4590 9,3356 -5,4608 9,2602 -5,2312 9,1491 13 0,65 53,9539 -104,5927 -5,2296 9,1332 -5,0013 8,9418 -5,0061 8,8983 -4,7847 8,6890 14 0,70 48,9491 -95,6757 -4,7838 8,6786 -4,5668 8,4225 -4,5732 8,3997 -4,3638 8,1373 15 0,75 44,3778 -87,2656 -4,3633 8,1306 -4,1600 7,8433 -4,1672 7,8338 -3,9716 7,5475 16 0,80 40,2129 -79,4269 -3,9713 7,5432 -3,7828 7,2459 -3,7902 7,2448 -3,6091 6,9529 17 0,85 36,4252 -72,1807 -3,6090 6,9502 -3,4353 6,6563 -3,4426 6,6603 -3,2760 6,3742 18 0,90 32,9850 -65,5211 -3,2761 6,3725 -3,1167 6,0898 -3,1238 6,0968 -2,9712 5,8232 19 0,95 29,8636 -59,4263 -2,9713 5,8222 -2,8258 5,5552 -2,8324 5,5637 -2,6931 5,3063 20 1,00 27,0335 -53,8652 -2,6933 Hasil lengkap 0 < t < 1,0 29/04/2015

Mahfudz S - Metode Numerik - TEUB 44

0 20 40 60 80 100 120 140 v(t)=x1 t 44

29/04/2015

Mahfudz S - Metode Numerik - TEUB 45

8.SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER Sistem persamaan diferensial linier terdiri dari n persamaan n variabel,

)

(

)

(

...

)

(

)

(

.

.

.

)

(

)

(

...

)

(

)

(

)

(

)

(

...

)

(

)

(

2 2 1 1 2 2 2 22 1 21 2 1 1 2 12 1 11 1

t

f

x

t

a

x

t

a

x

t

a

x

t

f

x

t

a

x

t

a

x

t

a

x

t

f

x

t

a

x

t

a

x

t

a

x

n n nn n n n n n n n





































Dengan metode RK4, dapatkan x₁(t) dan x₂(t) dari 0 < t < 0,5 dengan Δt=0,1 jika diketahui

1

)

0

(

8

5

_{1 2} 2 ₁ 1













x

e

x

x

x

t

0

)

0

(

3

9

6

_{1 2} 2 ₂ 2















x

e

x

x

x

t Penyelesaian: Bentuk matrik,























































































_

0

1

)

0

(

)

0

(

3

1

9

6

8

5

_{1 2 1} 1

x

x

e

x

x

x

x

_t 46 Contoh 4

       2 1 x x x

_

















9

6

8

5

a

_













3

1

b

u

(

t

)



e

2t

x(n+1)=x(n)+(k

₁

+2k

₂

+2k

₃

+k

₄

)/6



(

)

(

)



1

t

ax

n

bu

t

n

k













(

)

0

,

5

₁

(

0

,

5

)



2

t

a

x

n

k

bu

t

t

k









_n





29/04/2015

Mahfudz S - Metode Numerik - TEUB 47 Atau,





















0

1

)

0

(

)

(

t

x

bu

ax

x

29/04/2015

Mahfudz S - Metode Numerik - TEUB 48







(

)

0

,

5

₂

(

0

,

5

)



3

t

a

x

n

k

bu

t

t

k









_n











(

)

₃

(

)



4

t

a

x

n

k

bu

t

t

k









_n





a. t₀ = 0:





                                       3 , 0 4 , 0 1 3 1 0 1 9 6 8 5 1 , 0 ) ( ) 0 ( ₀ 1 tax bu t k









                                                               3135 , 0 3895 , 0 ) 1 , 0 exp( 3 1 3 , 0 4 , 0 5 , 0 0 1 9 6 8 5 1 , 0 ) 5 , 0 ( 5 , 0 ) 0 ( _{1 0} 2 t a x k bu t t k 48

29/04/2015

Mahfudz S - Metode Numerik - TEUB 49 Dengan cara sama, didapat

















3043

,

0

3815

,

0

3

k

_















3244

,

0

3781

,

0

4

k





_

























31

,

0

3867

,

1

2

2

6

1

)

0

(

)

1

(

x

k

₁

k

₂

k

₃

k

₄

x

Jadi untuk t=0,1: x₂=-0,31 x1=1,3867 49 n t x k1 k2 k3 k4 0 0 1 0.4 0.3895 0.3815 0.3781 0 -0.3 -0.3135 -0.3043 -0.3244 1 0,1 1.3867 0.3635 0.3392 0.3355 0.3141 -0.31 -0.3074 -0.3015 -0.2968 -0.2933 2 0,2 1.7245 0.3076 0.2768 0.2759 0.2455 -0.6096 -0.285 -0.2681 -0.2665 -0.2495 3 0,3 2.0009 0.2441 0.2116 0.2124 0.1787 -0.8769 -0.2467 -0.2246 -0.2248 -0.201 4 0,4 2.2127 0.1804 0.1491 0.1508 0.1174 -1.1013 -0.2017 -0.1779 -0.1792 -0.1528 5 0,5 2.3623 0.1209 0.0923 0.0945 0.0635 -1.2794 -0.1556 -0.1323 -0.1342 -0.1081

Hasil lengkap sampai dengan t = 0,5 diberikan dalam tabel dibawah ini 50

29/04/2015

Mahfudz S - Metode Numerik - TEUB 51 120 volt 5 Ω 10 Ω 25 mF 40 mF t=0 i₁ i2 Contoh 5

Untuk rangkaian listrik dibawah ini, dapatkan dan gambarkan grafik perilaku i1(t) dan i2(t) menggunakan metode RK2 dengan ∆t=0,1 dari t=0 s/d t=5,0 dt

29/04/2015

Mahfudz S - Metode Numerik - TEUB 52

2 1 1

4

i

4

i

i









2 1 2

8

i

13

i

i







Kedua persamaan diturunkan terhadap t, didapat

Pada t = 0, arus i1 (0) = 12 dan i2 (0) = 0 Pers loop 2:





120 10 25 1 101 3



i1dt



i2dt  x i





0 10 25 1 10 40 1 5₂  _3

_

₂  _3

_

i₂dt

_

i₁dt  x dt i x i Pers loop 1:

Penyelesaian:

29/04/2015

Mahfudz S - Metode Numerik - TEUB 53

Bentuk matrik,

_

































0

12

)

0

(

13

8

4

4

i

i

i

















































6

,

9

8

,

4

0

12

13

8

4

4

1

,

0

)

0

(

1

tAx

k





_





















































6,72

-0,96

6

,

9

0

8

,

4

12

13

8

4

4

1

,

0

)

0

(

₁ 2

tA

x

k

k

                                     1,44 10,08 6,72 -0,96 6 , 9 8 , 4 0 12 2 ) 0 ( ) 1 , 0 ( k1 k2 1₂ x x a. Pada t=0 Nilai x(0,1) dihitung sbb: b. Pada t=0,1                         6,192 3,456 -44 , 1 08 , 10 13 8 4 4 1 , 0 ) 1 , 0 ( 1 tAx k





_                           4,6224 -0,4032 192 , 6 44 , 1 456 , 3 08 , 10 13 8 4 4 1 , 0 ) 1 , 0 ( 1 2 tA x k k           2,2248 8,5536 2 ) 1 , 0 ( ) 2 , 0 ( _x k1 k2 x

Dan seterusnya, perhitungan sampai dengan t=5 dt diberikan dalam tabel berikut

29/04/2015

Mahfudz S - Metode Numerik - TEUB 55

n tn xn k1 k2 0 0 12,0000 -4,8000 0,9600 0,0000 9,6000 -6,7200 1 0,1 10,0800 -3,4560 0,4032 1,4400 6,1920 -4,6224 2 0,2 8,5536 -2,5315 0,0613 2,2248 3,9506 -3,2104 3 0,3 7,3185 -1,8894 -0,1411 2,5949 2,4814 -2,2560 4 0,4 6,3032 -1,4382 -0,2539 2,7076 1,5227 -1,6074 5 0,5 5,4572 -1,1168 -0,3097 2,6653 0,9009 -1,1637 6 0,6 4,7440 -0,8840 -0,3300 2,5339 0,5011 -0,8576 7 0,7 4,1370 -0,7125 -0,3286 2,3557 0,2472 -0,6442 8 0,8 3,6164 -0,5837 -0,3147 2,1572 0,0888 -0,4936 9 0,9 3,1672 -0,4850 -0,2940 1,9548 -0,0075 -0,3857 10 1 2,7777 -0,4078 -0,2701 1,758178 -0,06345 -0,30722 n tn xn k1 k2 40 4 0,0611 -0,0078 -0,0068 0,0417 -0,0053 -0,0046 41 4,1 0,0538 -0,0068 -0,0060 0,0367 -0,0047 -0,0041 42 4,2 0,0474 -0,0060 -0,0053 0,0323 -0,0041 -0,0036 43 4,3 0,0418 -0,0053 -0,0046 0,0285 -0,0036 -0,0032 44 4,4 0,0368 -0,0047 -0,0041 0,0251 -0,0032 -0,0028 45 4,5 0,0324 -0,0041 -0,0036 0,0221 -0,0028 -0,0025 46 4,6 0,0285 -0,0036 -0,0032 0,0195 -0,0025 -0,0022 47 4,7 0,0251 -0,0032 -0,0028 0,0172 -0,0022 -0,0019 48 4,8 0,0222 -0,0028 -0,0025 0,0151 -0,0019 -0,0017 49 4,9 0,0195 -0,0025 -0,0022 0,0133 -0,0017 -0,0015 50 5 0,0172 -0,0022 -0,0019 0,011727 -0,00149 -0,0013

Tabel hasil perhitungan

29/04/2015

Mahfudz S - Metode Numerik - TEUB 56

0 2 4 6 8 10 12 14 i2(t) i1(t)