VARIANS_DISPERSI

(1)

VARIANS DISPERSI

(2)

(3)

PENGANTAR

  



Memberikan

suatu

informasi

tentang

besarnya

_besarnya

pencaran

_pencaran

harga

_harga

yang

ada

_ada

,

_,,,

mis

_mis

;

_;;;

kadar

_kadar

blok

_blok

-

_---

blok

_blok

penambangan

pada

_pada

suatu

_suatu

daerah

_daerah

pertambangan

,

_,,,

kadar

_kadar

suatu

_suatu

material

(4)

Varians

Dispersi

_Dispersi

pada

_pada

Suatu

_Suatu

Volume

_Volume

  



Varians

suatu

titik

(volume = 0)

pada

suatu

volume V

;

;;;



 

 JikaJikaJikaJika Z(xZ(xZ(xZ(x)))) dianggapdianggapdianggapdianggap sebagaisebagaisebagaisebagai variabelvariabelvariabelvariabel terregionalterregionalterregionalterregional dengandengandengandengan

variogram variogram variogram

variogram

γ

γγγ

(h),(h),(h),(h), makamakamakamaka hargahargahargaharga ratarataratarata----ratarataratarata Z(xZ(xZ(xZ(x)))) padapadapadapada volume V,volume V,volume V,volume V, adalah adalah adalah adalah ;;;;   

 PenyebaranPenyebaranPenyebaranPenyebaran hargahargahargaharga Z(xZ(xZ(xZ(x)))) jikajikajikajika kebetulankebetulankebetulankebetulan dipilihdipilihdipilihdipilih daridaridaridari volume Vvolume Vvolume Vvolume V

adalah adalah adalah

adalah samasamasamasama dengandengandengandengan ratarataratarata----ratarataratarata kuadratkuadratkuadratkuadrat deviasideviasideviasideviasi Z(xZ(xZ(xZ(x)))) daridaridaridari harga

harga harga

harga ratarataratarata----ratarataratarata

∫∫

==

V V

dx

x

Z

V

Z

1

1 ((

))

]]

dx

x

V

Z

x

Z

V

_V_V V V D D

==

∫∫

−−

⇒

∈

2 2 2 2

))

((

1

1 σ

σ

V V Z Z

(5)

Sebaran

Data x

dengan

kadar

z(x

)

)))

pada

populasi

V

dengan

kadar

dan

sebaran

titik

-

---

titik

x

dan

y

Z(x)

V

Z

_v_v V V

Z

x

(6)

Menurut

Menurut MATHERON

MATHERON (1971)

(1971)

Dimana x dan y adalah dua titik yang tersebar tidak

tergantung satu sama lain pada volume V. Dengan

kata lain, bahwa varians suatu titik pada suatu

volume V adalah sama dengan harga rata-rata

γ

pada volume V.

Rumus

∫ ∫

−

=

V

D

dx

x

y

dy

V

)

1 (

)

/

0 (

₂

2 γ

σ

(7)

Harga rata-rata

γ

pada volume V dinamakan

fungsi F. Fungsi ini untuk bermacam-macam

bentuk geometrik sederhana telah dibuat

tabel dan nomogramnya

Rumus

)

(

)

.

(

)

/

0 (

2 V

F

V

D

=

γ

=

σ

(8)



Varians suatu

Varians

suatu Volume (v)

Volume (v) pada

pada suatu

suatu volume V

volume V;;



 Diasumsikan disiniDiasumsikan disini bahwabahwa VV adalahadalah kumpulankumpulan daridari

volume v. (x)

volume v. (x) adalahadalah hargaharga ratarata--ratarata daridari Z(xZ(x)) padapada volume yang

volume yang lebihlebih kecilkecil vv dandan mewakili hargamewakili harga rata rata--rata

rata Z(xZ(x)) padapada yangyang lebihlebih besarbesar V.V. PenyebaranPenyebaran hargaharga rata

rata--ratarata daridari volume vvolume v terhadapterhadap hargaharga ratarata--ratarata volume V

volume V diberikandiberikan rumusrumus ;;

V

Z

[

Z

x

Z

]

dx

V

v

V V V D 2 2

)

(

1 )

/

(

=

∫

−

=

σ

V

Z

(9)

Sebaran

Sebaran volume v

volume v dengan

dengan kadar

kadar Z

Z

_V_V

pada

_pada

populasi

populasi V

V dengan

dengan kadar

kadar Z

Z

_V_V

v

Z(x)

V

Z

_v

(10)

MATHERON, 1971



Dengan

Dengan keadaan

keadaan tersebut

tersebut di

di atas

atas,, maka

maka rumusnya

rumusnya

dapat

dapat diuraikan

diuraikan sebagai

sebagai berikut

berikut;;

∫ ∫

−

∫

−

=

V V V V D

dx

x

y

dy

V

dy

y

x

dx

V

v

/

)

1 (

)

1 (

)

(

₂ ₂ 2 γ γ σ

)

,

(

)

,

(

)

/

(

2

v

V

v

D

γ

σ

=

−

)

/

0 (

)

/

0 (

)

/

(

2 2 2

v

V

v

_D _D D

σ

=

−

)

(

)

(

)

/

(

2

v

F

V

F

V

v

D

=

−

σ

(11)

Hubungan

Hubungan Aditivitas

Aditivitas Krige

Krige



Dari

hubungan

yang

telah

dibahas

sebelumnya

sebelumnya dapat

dapat diuraikan

diuraikan suatu

suatu teorema

teorema

penting

penting yang

yang secara

secara empiris

empiris ditemukan

ditemukan oleh

oleh

KRIGE, 1951.



Jika diketahui

Jika

diketahui v

v adalah

adalah besaran

besaran conto

conto, V

, V

blok

blok penambangan

penambangan,, adalah

adalah besaran

besaran seluruh

seluruh

endapan

endapan bahan

bahan galian

galian,, maka

maka sesuai

sesuai dengan

dengan

rumus

rumus dasar

dasar varians

varians dispersi

dispersi akan

akan diperoleh

diperoleh

persamaan

(12)

Pesamaan

Pesamaan -- persamaan

persamaan

)

/

0 (

)

/

0 (

)

/

(

2

2 v

W

v

_D

D

σ

=

−

)

/

0 (

)

/

0 (

)

/

(

2

2 v

V

v

_D

D

σ

=

−

Dari

Dari kedua

kedua persamaan

persamaan ini

ini didapat

didapat hubungan

hubungan ;;

)

/

(

)

/

(

)

/

(

2

2 W

V

v

W

v

_D

D

σ

=

−

(13)

Pengertian

Pengertian rumus

rumus--rumus

rumus diatas

diatas yaitu

yaitu,, bahwa

bahwa

varians

varians conto

conto terhadap

terhadap endapan

endapan bijih

bijih adalah

adalah

varians

varians conto

conto terhadap

terhadap blok

blok ditambah

ditambah dengan

dengan

varians

blok

terhadap

endapan

bijih..

bijih

Dalam

Dalam hal

hal ini

ini,, varians

varians conto

conto terhadap

terhadap tubuh

tubuh bijih

bijih

lebih

lebih besar

besar daripada

daripada varians

varians blok

blok terhadap

terhadap tubuh

tubuh

bijih

bijih..

Hubungan

ini

disebut

juga

hubungan

VOLUME

VOLUME -- VARIANS

VARIANS

)

/

(

)

/

(

2 2

bijih

tubuh

blok

bijih

tubuh

conto

_D D σ σ

<

(14)

Contoh



Pada suatu

Pada

suatu endapan

endapan bijih

bijih emas

emas mungkin

mungkin

akan

akan terjadi

terjadi bahwa

bahwa variasi

variasi kadar

kadar emas

emas

dalam

dalam conto

conto yang

yang sedikit

sedikit terletak

terletak antara

antara

0 0 sampai

sampai 100% (nugget),

100% (nugget), sedangkan

sedangkan kadar

kadar

emas

dalam

blok

yang

berdimensi

beberapa

meter

kubik

hanya

akan

memberikan

memberikan variasi

variasi yang

yang kecil

kecil ((sekitar

sekitar

0,1

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

INTERPRETASI PROBABILIS

1 ( )

( )

v i

Z x

Z y dy

v

=

∫

1. Varians Dispersi Keadaan Kontinu

VR z(y) yang diinterpretasikan sebagai suatu realisasi dari FA Z(y). Nilai rata-rata di setiap blok v_i dengan pusat x_i kelihatan sebagai suatu VA Z_v(x_i), dan ;

Hal yang sama untuk ; VA Z_v(x) : Z_v(x) = 1/V ∫ Z(y) dy = 1/N Σz_v (x_i) sehingga s2 _{(x) sebagai suatu realisasi VA S}2_{, dengan ;}

2

1

2

( )

( ( )

_v _i _v

( ))

S x

Z x Z x

N

(21)

Lanjutan

Lanjutan…

…..

Varians Dispersi dari Unit v dalam V, adalah ekspekstasi

matematik dari VA S

2

_{(x), dan digunakan notasi :}

2 2

1 ( / )

( ( ))

(

( ( )

_v _i _v

(

D v V

E S x

E

Z x

N

=

∑

−

Catatan : Dapat dilihat bahwa VA S2 (x) dan realisasinya

s2 (x) tidak tergantung pada posisi x di V(x), sehingga D2

(v/V) tidak tergantung juga pada posisi x, tetapi hanya

(22)

VARIANS DISPERSI EKSPERIMENTAL

Jika ada N nilai eksperimental (zv (xi), i = 1,2,….N) yang tersebar secara uniform dalam V, maka ;

2

1

2

1 ( ( ) )

_v _i

,

:

_v

( )

_i

S

z x

z dengan z

z x

N

=

∑

−

=

∑

Rumus tersebut tidak lain merupakan suatu realisasi s2 _{dari VA s}2 _{= 1/N}

Σ(Z_v(x_i)-z)2_{, dimana ekspektasi matematik adalah varians dispersi D}2 _dari

variabel Z_v(x_i)dalam keadaan diskret dari N VA (Z_v(x_i), i =1,2,3,……N).

Jika N VA ini jumlahnya cukup dan terutama jika dibagi dalam v hampir uniform yang akan membentuk V dengan N unit vi, maka dapat mempersamakan varians D2 _{pada varians D}2_{(v/V) dari v dalam V. S}2

kelihatan sebagai suatu estimator dari varians dispersi teoritis D2_(v/V),

(23)

Contoh

Contoh Perhitungan

Perhitungan

Suatu contoh sederhana dari penarikan dadu dengan 6 sisi. Misalkan suatu blok penambangan V(x) diketahui berdasarkan 4 unit dimana kadar z(x) diperoleh melalui penarikan dadu tersebut.

Distribusi nilai undian dadu adalah uniform, dengan rata-ratanya =(1+2+3+4+5+6)/6 = 3.5 dan varians s2 _{= 2.92}

Misalkan ada 3 blok penambangan (V(xk)), k = 1,2,3 dengan kadar rata-rata masing-masing = 3.5, dengan masing-masing terdiri dari 4 unit blok kecil v, yaitu ;

k=1 z_v=6,3,2,3 Z_v=3.5 s2_=2.25

k=2 z_v=6,5,1,2 Z_v=3.5 s2_=4.25

(24)

Maka

Maka varians

varians dispersinya

dispersinya ;;……

……..

2 2 2 2

1 ( / )

(

( ( )

( ))

4

1 _{(( ( )}

_{( ))}

4

1 _2.92

4

v i v v i v

D v V

E

Z x

E Z x

Z x

S

=

−

=

−

=

∑

Sehingga 3 nilai eksperimental s2=2.25 ; 4.25 dan 2.75 berfluktuasi disekitar ekspektasi teoritis

(25)

VARIANS DISPERSI TEORITS

2 2

1 ( / )

(

( ( )

( )) ),

1 _{( ( ), ( ))}

v v E

D v V

E

Z y

Z x dy dengan v V

V

v y V x dy

V

σ

=

−

<

=

∫

Suatu FA functual Z(x) stationer dengan ekspektasi matematik m, covarians C(h) dan variogram

Dalam hal unit v(y) yang membentuk V(x), dengan v < V, maka rumus tersebut menjadi ;

2

( / )

( , )

D v V

=

C v v

−

C V V

(26)

Lanjutan

Lanjutan……

……

Mengingat

ditulis sebagai berikut ;

2

( / )

( , )

D v V

=

γ

V V

−

γ

v v

Rumus ini tetap berlaku meskipun covarians C(h) tidak ada, karena variogram

hal ini FA Z(x) intrinsik.

(h) = C(0) – C(h), maka rumus tersebut dapat

(27)

PERHITUNGAN VARIANS

DISPERSI

Persamaan – persamaan yang telah diuraikan

sebelumnya menunjukkan, bahwa semua varians

dispersi dapat diberikan melalui harga rata-rata

dari volume kecil.

Jika blok-blok tersebut dianggap sebagai bujur

sangkar, empat persegi panjang, atau sebelumnya

sebagai garis, maka fungsi – fungsi F tersebut dapat

diperoleh secara grafis atau interpolasi dari tabel.

(28)

A. FUNGSI F

A. FUNGSI F--LINIER (GARIS)

LINIER (GARIS)

F(h) =

γ

(L,L) adalah harga rata-rata

γ

(x-y) pada garis L dengan panjang h, dimana x dan y adalah dua titik pada garis L yang tidak tergantung satu dengan lainnya.

2 0 0

1 ( , )

( )

(

). .

h h

L L

F h

x

y dx dy

h

γ

=

∫ ∫

γ

−

Integrasi ini didekati dengan sumasi dari

Δ

h sebanyak I bagian kecil (segmen) sepanjang garis L tersebut,

sehingga berikut ; H = I.

Δ

h

(29)

Lanjutan

Lanjutan…

…..

..

h Δh X₁ X_i y₁ y₂ y₃ y₄ y₅ y₆ Garis L Selanjutnya didapat ; 2 2 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ). . ( ) ( . ) I I I I i i i j i j i j F h x y h h x y I h ₌ ₌ γ I ₌ ₌ γ

=

−

Δ

=

−

Δ

∑ ∑

(30)

Untuk I=6 akan

Untuk I=6 akan memberikan

memberikan matriks

matriks I.

I. Δ

Δ

h

sebagai berikut ;

X₁ X₂ X₃ X₄ X₅ X₆ X₁ 0 1 2 3 4 5 X₂ 1 0 1 2 3 4 X₃ 2 1 0 1 2 3 X₄ 3 2 1 0 1 2 X₅ 4 3 2 1 0 1 X₆ 5 4 3 2 1 0

(31)

Dalam hal

Dalam hal jarak

jarak segmen

segmen tersebut

tersebut dibuat

dibuat sama (dengan

sama (dengan

memperlihatkan

memperlihatkan simetri

simetri matriks

matriks tersebut di atas),

tersebut di atas), maka

maka

didapat

didapat ::

2.(5.1Δh) 2(I-1).1Δh 2.(4.2Δh) 2(I-1).2Δh 2.(3.3Δh) 2(I-1).3Δh 2.(2.4Δh) 2(I-1).4Δh 2.(1.5Δh) 2(I-1).5Δh 2.(0.6Δh) 2(I-1).6Δh

Atau

Atau secara

secara umum ; 2 (I

umum ; 2 (I--i).

i).

Δ

h

Sehingga

Sehingga diperoleh

diperoleh rumus

rumus penjumlahan

penjumlahan sebagai berikut ;

sebagai berikut ;

2 1 2 ( ) ( ). ( . ) I j F h I i i h I = γ

=

∑

−

Δ

(32)

Untuk h=0,6 dan I=6,

Untuk h=0,6 dan I=6, maka

maka

Δ

h=0.1 selanjutnya

h=0.1

selanjutnya

i I-I i. (I-i). ) 1 5 0.1 0.150 0.750 2 4 0.2 0.296 1.184 3 3 0.3 0.436 1.308 4 2 0.4 0.568 1.136 5 1 0.5 0.688 0.688 6 0 0.6 0.792 0.000 5.066 2 2 _10.135 (0, 6) .5, 066 0.281 36 6 F = = = h (i. h) (i. h

(33)

Untuk h=0,6 dan I=12,

Untuk h=0,6 dan I=12, maka

maka

Δ

h = 0,05

selanjutnya

i I-I i. (I-i). . 1 11 0.05 2 10 0.10 3 9 0.15 4 8 0.20 5 7 0.25 6 6 0.30 7 5 0.35 8 4 0.40 9 3 0.45 10 2 0.50 11 1 0.55 12 0 0.60 0.792 20.682 2 2 _41.364 (0, 6) .20.682 0.287 144 12 F

=

h (i. h) (i h)

(34)

(35)

Lanjutan

Lanjutan…………

…………..

Perhitungan integral tersebut di atas dapat digantikan dengan penjumlahan, jika segmen

Δ

h diperkecil atau harga I diperbesar (I>20). Dari tabel fungsi F-linier (untuk garis) atau dari grafik fungsi F-linier didapat harga F90,6) adalah 0,289

Grafik fungsi bantu F(h) untuk garis dapat dilihat pada Gambar 7.1, sedangkan untuk bidang F(h,l) ditampilkan pada Gambar 7.2 dan Tabel 7.1

(36)

Contoh

Contoh Perhitungan

Perhitungan Varians

Varians Dispersi

Dispersi

Disuatu tambang nikel dibuat blok-blok penambangan dengan dimensi 5x5m2_{. Akan dihitung VARIANS DISPERSI untuk}

blok-blok tersebut dalam waktu dua bulan penambangan dengan luas 50x100m2_{. Ketebalan rata-rata bijih nikel tersebut 10m}

Data lain yang diketahui yaitu Variogram Ketebalan bijih yang terdiri dari dua Variogram Model MATHERON ;

1 2 2 1 1 2 2 1

( )

( ),

;

150

8.5 1400

12.7 h

h

h dengan

a

m

C

m

a

m

C

m

γ

=

γ

+

γ

=

(37)

Sketsa

Sketsa Gambar

Gambar Permasalahan

Permasalahan

5 5

r

R

I = 100m

(38)

Perhitungan

2 1 2 1 2 1 1 1 1 ( / ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 50 _0,333 100 _{0, 667} 150 150 ; 0,333 ( ) 0, 375 0,667 ; ( , ) .0, 375 3,19 D r R R R r r Rumus Baku R R R R r r r r h l a a maka

F Lihat pada Tabel or Grafik Fungsi F

Didapat R R C σ γ γ γ γ γ γ γ

=

−

=

+

−

• =

=

• =

=

LLLLLLL

LL

LLL

(39)

Lanjutan

Lanjutan………

………

2 1 2 1 2 1 1 1 1 ( / ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 50 _{0, 036} 100 _{0, 071} 1400 1400 ; 0,036 ( ) 0, 044 0,071 ; ( , ) .0, 044 0,56 D r R R R r r Rumus Baku R R R R r r r r h l a a maka

F Lihat pada Tabel or Grafik Fungsi F Didapat R R C σ γ γ γ γ γ γ γ

=

−

=

+

−

• =

=

• =

=

LLLLLLL LL LLL

(40)

Lanjutan

Lanjutan………

………

2 1 2 1 2 1 1 1 1 ( / ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 5 _0,033 150 ; 0,033 ( ) 0, 026 0,033 ; ( , ) .0, 026 0, 22 D r R R R r r Rumus Baku R R R R r r r r h l a a maka

=

−

=

+

−

=

• =

=

• =

=

LLLLLLL

LL

LLL

(41)

Lanjutan

Lanjutan…………

…………..

..

2 1 2 1 2 1 1 1 1 ( / ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 5 _0,0036 1400 ; 0,0036 ( ) 0, 000 0,0036 ; ( , ) .0, 000 0, 0 D r R R R r r Rumus Baku R R R R r r r r h l a a maka

=

−

=

+

−

=

• =

=

• =

=

LLLLLLL

LL

LLL

(42)

Maka

Maka Nilai

Nilai Varians

Varians Dispersi

Dispersi…

…..

..

2 1 2 1 2 2

( / )

( , ) ( , )

( , )

3.19 0.56 0.22 0.0

3.53

D

r R

R R

r r

Rumus Baku

R R

r r

m

σ γ γ γ γ γ γ

=

−

=

+

−

= + + +

=

LLLLLLL

Hasil perhitungan ini diperoleh standar deviasi ketebalan adalah……

3.53 = ±

1.88 m

Sehingga simpangan volume blok menjadi………. 1,88 x 5 x 5 = 46.9 m2

(43)

(44)