PENJADWALAN PROYEK MENGGUNAKAN METODE
ALJABAR MAX-PLUS: STUDI KASUS PADA PEMASANGAN
PENGOLAH AIR PDAM KOTA SEMARANG
ARPI MEDIAN LAVANDI NOOR
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2015
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Penjadwalan Proyek Menggunakan Metode Aljabar Max-Plus: Studi Kasus pada Pemasangan Pengolah Air PDAM Kota Semarang adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor.
Bogor, Juni 2015 Arpi Median Lavandi Noor NIM G54110061
ABSTRAK
ARPI MEDIAN LAVANDI NOOR. Penjadwalan Proyek Menggunakan Metode Aljabar Max-Plus: Studi Kasus pada Pemasangan Pengolah Air PDAM Kota Semarang. Dibimbing oleh MUHAMMAD ILYAS dan SISWANDI.
Penjadwalan proyek adalah bagian dari manajemen proyek yang bertujuan merencanakan pelaksanaan kegiatan-kegiatan dalam suatu proyek secara terstruktur dan memiliki batasan waktu yang jelas. Keterkaitan antar kegiatan dalam suatu proyek dapat ditransformasikan ke dalam bentuk matriks yang kemudian dapat dianalisis menggunakan metode aljabar Max-Plus. Matriks inilah yang akan diterapkan dalam perhitungan untuk mendapat solusi yang dibutuhkan dalam penjadwalan proyek, seperti waktu optimum, jalur kritis, dan waktu toleransi.
Kata kunci: aljabar Max-Plus, penjadwalan proyek, waktu optimum, jalur kritis.
ABSTRACT
ARPI MEDIAN LAVANDI NOOR. Project Scheduling Using Max-Plus Algebra: a Case Study on the Installation of Water Treatment in Semarang. Supervised by MUHAMMAD ILYAS and SISWANDI.
Project scheduling is part of the project management which planning the implementation of activities in a project in a structured manner and have a clear time limitation. The linkage among activities in a project can be transformed into the form of matrix which can be analyzed by using max-plus algebraic method. This matrix will then be applied in the calculation to obtain the required solution of the project scheduling, such as the optimum time, critical path, and a time tolerance.
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
ARPI MEDIAN LAVANDI NOOR
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2015
PENJADWALAN PROYEK MENGGUNAKAN METODE
ALJABAR MAX-PLUS: STUDI KASUS PADA PEMASANGAN
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas segala rahmat dan karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan.
Terima kasih penulis ucapkan kepada keluarga atas segala doa, semangat, dan pengorbanan yang dilakukan demi terselesaikannya karya ilmiah ini. Terima kasih juga penulis ucapkan kepada Bapak Muhammad Ilyas, MSi, MSc sebagai dosen Pembimbing I dan Bapak Drs Siswandi, MSi sebagai dosen Pembimbing II serta Bapak Dr Sugi Guritman sebagai dosen Penguji yang telah banyak memberi saran dan arahan selama proses bimbingan. Ucapan terima kasih juga disampaikan kepada teman-teman Matematika IPB yang telah memberi motivasi dan masukan selama pengerjaan karya ilmiah ini. Serta berbagai pihak yang pernah mengisi hari-hari penulis selama pengerjaan karya ilmiah ini.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, Juli 2015 Arpi Median Lavandi Noor
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL viii
DAFTAR GAMBAR viii
DAFTAR LAMPIRAN viii
PENDAHULUAN 1
Latar Belakang 1
Tujuan 2
TINJAUAN PUSTAKA 2
METODE 6
Metode Aljabar Max-Plus 6
Metode Jalur Kritis/Critical Path Method (CPM) 7
Data 7
HASIL DAN PEMBAHASAN 8
SIMPULAN DAN SARAN 17
Simpulan 17
Saran 17
DAFTAR PUSTAKA 17
LAMPIRAN 18
DAFTAR TABEL
1 Rincian kegiatan proyek 8
2 Hasil perhitungan CPM 16
DAFTAR GAMBAR
1 Diagram relasi antar kegiatan 9
2 Diagram perhitungan maju 13
3 Diagram perhitungan mundur 15
4 Diagram perhitungan slack 16
DAFTAR LAMPIRAN
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Air telah menjadi kebutuhan pokok bagi seluruh makhluk hidup di muka bumi sejak dahulu kala. Air bersih menjadi kriteria khusus bagi umat manusia untuk memenuhi kebutuhan dalam segala aspek kehidupannya. Pertumbuhan populasi manusia yang kian tinggi menimbulkan dampak pada kebutuhan air bersih dalam jumlah yang besar. Oleh karena itu, keberadaan air bersih perlu ditingkatkan demi kelancaran keberlangsungan hidup di berbagai daerah.
Perusahaan Daerah Air Minum (PDAM) merupakan salah satu unit usaha milik daerah yang diawasi dan dimonitori oleh aparat-aparat eksekutif maupun legislatif daerah yang bergerak dalam distribusi air bersih bagi masyarakat umum. Sebagai suatu lembaga, PDAM memiliki misi melaksanakan pelayanan air minum yang berkesinambungan kualitas, kuantitas, dan kontinuitas. Permasalahan penduduk yang ada mengakibatkan PDAM perlu melakukan peningkatan kuantitas dan pengembangan kualitas air bersih, sesuai dengan misi yang dicanangkan tersebut. Pihak PDAM mengadakan beberapa proyek pemasangan pengolah air guna menjangkau daerah-daerah yang belum ataupun kekurangan pasokan air bersih.
Sebuah proyek merupakan suatu kegiatan yang diorganisasikan untuk mencapai tujuan dan sasaran dengan menggunakan sumber daya dan dana yang tersedia, dan harus diselesaikan dalam jangka waktu tertentu. Penjadwalan dalam proyek memiliki tujuan menentukan durasi total untuk menyelesaikan proyek; menentukan waktu pelaksanaan masing-masing kegiatan; mengetahui kegiatan-kegiatan yang berada dalam jalur kritis.
Pada karya ilmiah ini akan dibahas penyelesaian penjadwalan proyek pemasangan pengolah air PDAM di kota Semarang menggunakan metode aljabar Max-Plus. Proses pengolahan air pada PDAM terbagi menjadi dua jenis, yaitu pengolahan air lengkap dan pengolahan air tidak lengkap. Pengolahan air lengkap terdiri dari penyaringan (intake), koagulasi dan flokulasi (menggabungkan flok-flok kecil), sedimentasi (mengendapkan flok-flok-flok-flok kecil), filtrasi (penyaringan flok), klorinasi (menghilangkan zat desinfektan). Pengolahan air tidak lengkap hanya diberlakukan pada air yang berasal dari mata air dan air tanah dalam, yang prosesnya terdiri dari aerasi (mengurangi zat besi) dan chlorinasi.
Sumber utama karya ilmiah ini adalah tesis yang ditulis oleh Maria H. Andersen (2002). Data yang digunakan dalam karya ilmiah ini merupakan data sekunder yang diperoleh dari paper yang ditulis oleh Madchan Anis (2012). Solusi numerik yang diperoleh dalam karya ilmiah ini menggunakan software Scilab 5.4.1 dengan menggunakan toolbox yang dikembangkan oleh Subiono (2009).
2
Tujuan
Penulisan karya ilmiah ini bertujuan:
1. Menyelesaikan masalah penjadwalan proyek menggunakan metode aljabar Max-Plus
2. Menentukan waktu optimum, jalur kritis, dan waktu toleransi dalam suatu proyek.
TINJAUAN PUSTAKA
Definisi 1 (Penjadwalan Proyek)
Penjadwalan proyek adalah bagian dari sistem manajemen proyek yang bertujuan untuk menjamin pelaksanaan proyek secara tepat waktu, tepat biaya, dan tepat mutu.
(Ervianto 2002)
Definisi 2 (Jalur Kritis)
Jalur kritis (critical path) adalah urutan kegiatan dalam proyek, yang menentukan kemungkinan durasi penyelesaian proyek paling cepat.
(Duncan 2013) Jika kegiatan yang terletak pada jalur kritis tertunda, maka waktu penyelesaian proyek secara keseluruhan otomatis juga akan tertunda. Penyelesaian proyek secara keseluruhan dapat dipercepat dengan mempercepat penyelesaian kegiatan-kegiatan di jalur kritis.
Definisi 3 (Waktu Toleransi)
Waktu toleransi (slack time) adalah sejumlah waktu dari suatu kegiatan yang mungkin bisa ditunda dari waktu mulai yang sebenarnya tanpa memengaruhi waktu selesai keseluruhan proyek.
(Duncan 2013) Waktu toleransi pada kegiatan yang berada di jalur kritis sama dengan 0 (nol). Hal ini memungkinkan relokasi sumber daya dari kegiatan nonkritis ke kegiatan kritis.
3
Definisi 4 (Semigrup)
Semigrup adalah suatu himpunan dengan operasi biner asosiatif.
(Fraleigh 1997)
Definisi 5 (Semiring)
Suatu semiring (𝑆, +,×) adalah suatu himpunan takkosong 𝑆 disertai dengan dua operasi biner + dan ×, yang memenuhi aksioma berikut:
1. (𝑆, +) merupakan semigrup komutatif dengan elemen netral 0, yaitu ∀ 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑆, memenuhi
a) 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎,
b) (𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐), c) 𝑎 + 0 = 𝑎 = 0 + 𝑎.
2. (𝑆, ×) adalah semigrup dengan elemen satuan 1, yaitu ∀ 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑆, memenuhi
a) (𝑎 × 𝑏) × 𝑐 = 𝑎 × (𝑏 × 𝑐), b) 𝑎 × 1 = 𝑎 = 1 × 𝑎.
3. Terdapat elemen yang bersifat absorbing terhadap operasi ×, yaitu elemen netral 0, karena ∀ 𝑎 ∈ 𝑆, memenuhi
𝑎 × 0 = 0 × 𝑎 = 0.
4. Operasi × distributif terhadap +, yaitu ∀ 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑆 berlaku a) (𝑎 + 𝑏) × 𝑐 = (𝑎 × 𝑐) + (𝑏 × 𝑐),
b) 𝑎 × (𝑏 + 𝑐) = (𝑎 × 𝑏) + (𝑎 × 𝑐).
Suatu semiring (𝑆, +,×) dikatakan komutatif jika operasi × bersifat komutatif, yaitu ∀ 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑆 berlaku (𝑎 × 𝑏) = (𝑏 × 𝑎).
(Rudhito 2007)
Aljabar Max-Plus
Aljabar Max-Plus adalah struktur aljabar yang terdiri dari himpunan bilangan riil digabung dengan −∞, dengan operasi penjumlahan, ⨁, yang didefinisikan sebagai pengambilan nilai maksimum dan operasi perkalian,⊗, yang didefinisikan sebagai operasi penjumlahan biasa pada himpunan bilangan riil. Untuk lebih jelasnya, diberikan ℝ𝑚𝑎𝑥 = ℝ ∪ {−∞}, diberikan operasi ⨁ di dalam ℝ𝑚𝑎𝑥 dengan 𝑥 ⨁ 𝑦 = max(𝑥, 𝑦) dan operasi ⊗ dalam ℝ𝑚𝑎𝑥 dengan 𝑥 ⨂ 𝑦 = 𝑥 + 𝑦. Struktur aljabar yang terdiri dari himpunan ℝ𝑚𝑎𝑥 dengan operasi biner ⊕ dan ⊗, dinotasikan sebagai (ℝ𝑚𝑎𝑥, ⨁, ⊗) disebut aljabar Max-Plus.
4
Teorema 1 Di dalam struktur aljabar (ℝ𝑚𝑎𝑥, ⨁, ⊗) memenuhi sifat-sifat
berikut:
1. (ℝ𝑚𝑎𝑥, ⨁, ⊗) adalah semiring.
2. Operasi perkalian bersifat asosiatif dan komutatif, yaitu ∀ 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥, berlaku
a. 𝑥⨂(𝑦⨂𝑧) = (𝑥⨂𝑦)⨂𝑧,
b. 𝑥⨂𝑦 = 𝑦⨂𝑥.
3. Elemen identitas terhadap operasi perkalian adalah 0, karena ∀ 𝑥 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥 berlaku 𝑥⨂0 = 𝑥.
4. Sifat distributif ⊗ terhadap ⨁, yaitu ∀ 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥, berlaku a. 𝑧 ⨂ (𝑥 ⨁ 𝑦) = 𝑧 ⨂ 𝑥 ⨁ 𝑧 ⨂ 𝑦,
b. (𝑥 ⨁ 𝑦) ⨂ 𝑧 = 𝑥 ⨂ 𝑧 ⨁ 𝑦 ⨂ 𝑧.
5. Elemen identitas terhadap operasi penjumlahan, −∞, memiliki sifat absorbing terhadap operasi perkalian, misalkan ∀ 𝑥 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥 berlaku 𝑥⨂(−∞) = −∞.
Bukti:
1. Akan dibuktikan (ℝ𝑚𝑎𝑥, ⨁, ⊗) memenuhi aksioma semiring:
a. (ℝ𝑚𝑎𝑥, ⊕) merupakan semigrup komutatif dengan elemen netral −∞.
1) Ambil 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥 sebarang, karena 𝑥 ⊕ 𝑦 = max(𝑥, 𝑦)
= max(𝑦, 𝑥) = 𝑦 ⊕ 𝑥
maka berlaku sifat komutatif pada ⊕. 2) Ambil 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥 sebarang, karena
(𝑥 ⊕ 𝑦) ⊕ 𝑧 = max (max(𝑥, 𝑦) , 𝑧) = max (𝑥, 𝑦, 𝑧)
= max(𝑥, max(𝑦, 𝑧)) = 𝑥 ⊕ (𝑦 ⊕ 𝑧)
maka berlaku sifat assosiatif pada ⊕. 3) Ambil 𝑥 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥 sebarang, karena
𝑥 ⊕ −∞ = max(𝑥, −∞) = 𝑥
maka −∞ merupakan elemen netral pada ℝ𝑚𝑎𝑥 terhadap operasi ⊕.
Berdasarkan 1), 2), dan 3), terbukti (ℝ𝑚𝑎𝑥, ⊕) merupakan semigrup komutatif dengan elemen netral −∞.
b. (ℝ𝑚𝑎𝑥, ⊗) adalah semigrup dengan elemen satuan 0. 1) Ambil 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥 sebarang, karena
(𝑥 ⊗ 𝑦) ⊗ 𝑧 = (𝑥 + 𝑦) + 𝑧 = 𝑥 + (𝑦 + 𝑧) = 𝑥 ⊗ (𝑦 ⊗ 𝑧) maka berlaku sifat asosiatif pada ⊗.
5 2) Ambil 𝑥 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥 sebarang dan 0 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥 , karena
𝑥 ⊗ 0 = 𝑥 + 0 = 𝑥
maka 0 merupakan elemen satuan pada (ℝ𝑚𝑎𝑥, ⊗).
c. Elemen netral −∞ memiliki sifat absorbing terhadap operasi ⊗. Ambil 𝑥 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥 sebarang, karena
𝑥 ⊗ −∞ = 𝑥 + (−∞) = −∞
maka −∞ memiliki sifat absorbing terhadap ⊗ untuk setiap 𝑥 anggota ℝ𝑚𝑎𝑥.
d. Operasi ⊗ bersifat distributif terhadap operasi ⊕. Ambil 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥 sebarang, karena (𝑥 ⊕ 𝑦) ⊗ 𝑧 = max(𝑥, 𝑦) + 𝑧
= max(𝑥 + 𝑧, 𝑦 + 𝑧) = (𝑥 ⊗ 𝑧) ⊕ (𝑦 ⊗ 𝑧)
maka terbukti operasi ⊗ bersifat distributif terhadap operasi ⊕. Berdasarkan pembuktian a.,b.,c., dan d., maka bukti lengkap bahwa (ℝ𝑚𝑎𝑥, ⨁, ⊗) adalah semiring.
2. Akan dibuktikan bahwa operasi ⊗ pada aljabar Max-Plus memiliki sifat komutatif.
Ambil 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥 sebarang, karena 𝑥 ⊗ 𝑦 = 𝑥 + 𝑦
= 𝑦 + 𝑥 = 𝑦 ⊗ 𝑥
maka berlaku sifat komutatif pada ⊗.
3. Akan dibuktikan elemen netral terhadap operasi perkalian adalah 0. Ambil 𝑥 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥 sebarang, berlaku
𝑥 ⊗ 0 = 𝑥 + 0 = 𝑥
4. Akan dibuktikan sifat distributif ⊗ terhadap ⨁, yaitu ∀ 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥, berlaku:
𝑧 ⨂ (𝑥 ⨁ 𝑦) = (𝑧 ⨂ 𝑥) ⨁ (𝑧 ⨂ 𝑦) Ambil 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥 sebarang, berlaku 𝑧 ⊗ (𝑥 ⊕ 𝑦) = 𝑧 + max(𝑥, 𝑦)
= max (𝑧 + 𝑥, 𝑧 + 𝑦) = (𝑧 ⊗ 𝑥) ⊕ (𝑧 ⊗ 𝑦)
5. Akan dibuktikan elemen identitas terhadap operasi penjumlahan, −∞, memiliki sifat absorbing terhadap operasi perkalian, yaitu ∀ 𝑥 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥 berlaku 𝑥⨂(−∞) = −∞
Ambil 𝑥 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥 sebarang, berlaku 𝑥⨂(−∞) = 𝑥 + (−∞) = −∞
6
j
Operasi Matriks pada Aljabar Max-Plus
Aljabar Max-Plus dapat diperluas untuk elemen matriks. Operasi pada elemen matriks dibutuhkan untuk melakukan perhitungan pada penjadwalan proyek menggunakan metode Max-Plus.
Diberikan 𝐴 dan 𝐵 adalah matriks berukuran 𝑚 × 𝑛 dengan 𝐴 = [𝑎𝑖𝑗] ; 𝐵 = [𝑏𝑖𝑗]
,
𝑖 = 1,2, … 𝑚 ; 𝑗 = 1,2, … , 𝑛,
dengan nilai-nilai 𝑎𝑖𝑗,𝑏𝑖𝑗 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥 dan 𝑐 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥, didefinisikan operasi penjumlahan matriks Max-Plus 𝐴 dan 𝐵 sebagai berikut:
𝐴 ⨁ 𝐵 = [𝑎𝑖𝑗⨁ 𝑏𝑖𝑗] = [max(𝑎𝑖𝑗, 𝑏𝑖𝑗)].
Diberikan 𝐶 matriks berukuran 𝑚 × 𝑛 dan 𝐷 matriks berukuran 𝑛 × 𝑝 dengan
𝐶 = [𝑐𝑖𝑗] ; 𝐷 = [𝑑𝑗𝑘],
𝑖 = 1,2, … 𝑚 ; 𝑗 = 1,2, … 𝑛; 𝑘 = 1,2, … 𝑝,
dengan nilai-nilai 𝑐𝑖𝑗,𝑑𝑗𝑘 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥, didefinisikan perkalian dua matriks, matriks 𝐶 dikalikan dengan matriks 𝐷 dapat ditulis 𝐶𝐷 merupakan matriks 𝐸 berukuran 𝑚 × 𝑝 dengan elemen baris ke-i kolom ke-j sebagai berikut:
𝑒𝑖𝑗 = (𝑐𝑖1⨂𝑑1𝑗)⨁(𝑐𝑖2⨂𝑑2𝑗) ⊕ … ⊕ (𝑐𝑖𝑛⨂𝑑𝑛𝑗) = max(𝑐𝑖𝑘+ 𝑑𝑘𝑗).
METODE
Metode Max-Plus pada Penjadwalan Proyek
Berikut langkah-langkah untuk mencari solusi penjadwalan proyek dengan menggunakan aljabar Max-Plus.
1. Formulasikan data yang ada ke dalam bentuk diagram. Berikan kegiatan tambahan (𝛼, 𝜔) pada diagram. Tiap kegiatan i yang tidak memiliki kegiatan pendahulu, berikan arah dari 𝛼 ke i dengan bobot 0. Tiap kegiatan j yang tidak memiliki kegiatan setelahnya, berikan arah dari j ke 𝜔 dengan bobot waktu penyelesaian kegiatan j. Berikan arah pada kegiatan i menuju kegiatan j yang saling berkaitan dengan bobot sama dengan lama proses kegiatan i.
2. Buat matriks Max-Plus 𝑋, dengan elemen 𝑥𝑖𝑗 adalah bobot dari kegiatan i ke kegiatan j. Jika i dan j tidak saling berkaitan, maka elemen 𝑥𝑖𝑗 bernilai -∞.
3. Hitung 𝑋∗ = 𝑋⨁𝑋2⨁ … ⨁ 𝑋𝑛+1, dengan n adalah banyaknya kegiatan sebelum ditambahkan dengan 𝛼, 𝜔.
7 5. Cari nilai vektor rute terjauh (𝑉), vektor slack (𝑆). Kedua vektor
berukuran 𝑛 × 1 tanpa memuat 𝛼, 𝜔. 𝑣𝑖 = 𝑥𝛼𝑖∗ ⊗ 𝑥
𝑖𝜔∗ 𝑠𝑖 = 𝑥𝛼𝜔∗ − 𝑣𝑖
6. Jalur kritis adalah elemen pada vektor slack yang bernilai 0 (𝑠𝑖 = 0).
Metode Jalur Kritis/Critical Path Method (CPM) pada Penjadwalan Proyek Algoritma CPM
Perhitungan maju
1. Suatu kegiatan dapat dimulai bila kegiatan pendahulunya telah selesai, kecuali kegiatan awal, maka waktu mulai paling awal (𝐸𝑆) kegiatan awal adalah
𝐸𝑆1 = 0 .
2. Waktu selesai paling awal (𝐸𝐹) suatu kegiatan sama dengan waktu mulai paling awal ditambah waktu penyelesaian (𝑡) kegiatan tersebut.
𝐸𝐹𝑖 = 𝐸𝑆𝑖 + 𝑡𝑖 .
3. Bila suatu kegiatan memiliki dua atau lebih kegiatan pendahulu, maka waktu mulai paling awal kegiatan tersebut adalah waktu selesai paling awal terbesar dari kegiatan-kegiatan pendahulunya.
𝐸𝑆𝑖 = max (𝐸𝐹𝑘𝑒𝑔𝑖𝑎𝑡𝑎𝑛 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑎ℎ𝑢𝑙𝑢 𝑘𝑒𝑔𝑖𝑎𝑡𝑎𝑛 𝑖) . Perhitungan Mundur
4. Waktu mulai paling akhir (𝐿𝑆) suatu kegiatan sama dengan waktu selesai paling akhir (𝐿𝐹) dikurangi waktu penyelesaian (𝑡) kegiatan tersebut.
𝐿𝑆𝑖 = 𝐿𝐹𝑖− 𝑡𝑖 .
5. Apabila suatu kegiatan memiliki dua kegiatan atau lebih kegiatan setelahnya, maka waktu selesai paling akhir kegiatan tersebut sama dengan waktu mulai paling akhir terkecil kegiatan setelahnya.
𝐿𝐹𝑖 = min (𝐿𝑆𝑘𝑒𝑔𝑖𝑎𝑡𝑎𝑛 𝑠𝑒𝑡𝑒𝑙𝑎ℎ 𝑘𝑒𝑔𝑖𝑎𝑡𝑎𝑛 𝑖) . Perhitungan Slack
6. Slack time diperoleh dengan cara
𝑇𝑆𝑖 = 𝐿𝑆𝑖 − 𝐸𝑆𝑖 = 𝐿𝐹𝑖 − 𝐸𝐹𝑖 .
Data
Data yang digunakan dalam karya ilmiah ini adalah data yang terdapat dalam proyek pemasangan instalasi pengolah air (water treatment) pada Perusahaan Daerah Air Minum (PDAM) di kota Semarang. Data tersebut didapat dari paper yang ditulis oleh Madchan Anis pada tahun 2012. Pada bagian Simpulan akan dibandingkan hasil yang diperoleh dengan metode aljabar Max-Plus dengan Metode Jalur Kritis (CPM) yang telah dilakukan pada paper tersebut. Rincian kegiatan dan waktu yang diperlukan untuk menyelesaikan proyek tersebut sebagai berikut:
8
Tabel 1 Rincian kegiatan proyek
Kegiatan Kegiatan pendahulu Waktu penyelesaian (hari)
1. Perencanaan sistem - 12
2. Pembuatan saluran air 1 10
3. Pembuatan pondasi 1 11
4. Pemesanan mesin 1 14
5. Pembuatan instalasi listrik 3 8
6. Pemasangan pipa 2,5 9
7. Pemasangan mesin 3,4 7
8. Finishing dan start up 6,7 6
HASIL DAN PEMBAHASAN
Metode Aljabar Max-Plus
Karya ilmiah ini akan memformulasikan masalah penjadwalan proyek dengan menggunakan metode aljabar Max-Plus. Dengan mengikuti langkah-langkah yang diberikan pada metode, akan diperoleh nilai dari waktu optimum untuk penyelesaian keseluruhan proyek beserta nilai-nilai dari jalur kritis dan waktu toleransi.
Langkah 1
Transformasikan data pada Tabel 1 ke dalam bentuk diagram. Hal ini dilakukan untuk melihat relasi antar tiap kegiatan. Pada Tabel 1 terlihat bahwa kegiatan yang tidak memiliki kegiatan pendahulu adalah kegiatan 1, maka berikan arah dari 𝛼 ke 1 dengan bobot 0. Kegiatan yang tidak memiliki kegiatan setelahnya adalah kegiatan 8, maka berikan arah dari 8 ke 𝜔 dengan bobot waktu penyelesaian kegiatan 8, yaitu 6. Untuk kegiatan lain yang saling berhubungan, berikan arah satu sama lain dengan bobot waktu penyelesaian kegiatan yang lebih dahulu. Jika data yang dimasukkan sudah benar, akan diperoleh diagram seperti Gambar 1 berikut:
9
Gambar 1 Diagram relasi antar kegiatan
Langkah 2
Dari diagram pada Gambar 1, kemudian ditransformasikan ke dalam bentuk matriks Max-Plus 𝑋, yang tiap elemennya adalah bobot dari waktu penyelesaian suatu kegiatan menuju kegiatan lain yang saling berkaitan. Jika antar kegiatan tidak saling berkaitan maka berikan nilai −∞. Akan diperoleh matriks Max-Plus 𝑋 sebagai berikut:
𝛼 1 2 3 4 5 6 7 8 𝜔 𝑋 = 𝛼 1 2 3 4 5 6 7 8 𝜔 [ −∞ 0 −∞ −∞ 12 −∞ −∞ −∞ −∞ 12 12 −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ 10 −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ 11 −∞ −∞ −∞ −∞ 11 −∞ −∞ −∞ 14 −∞ −∞ 8 −∞ −∞ −∞ −∞ −∞−∞ 9 −∞ 7 −∞ −∞ 6 −∞] Langkah 3
Kemudian akan dihitung nilai 𝑋*
,
𝑋∗ = 𝑋⨁𝑋2⨁ … ⨁𝑋𝑛+1.
Untuk mendapat nilai 𝑋*, diperlukan nilai 𝑋2, 𝑋3, 𝑋4, 𝑋5, 𝑋6, 𝑋7, 𝑋8
, dan 𝑋9. Setelah dilakukan perhitungan secara manual, didapat nilai 𝑋2 sampai 𝑋9
10 𝛼 1 2 3 4 5 6 7 8 𝜔 𝑋2 = 𝑋𝑋 = 𝛼 1 2 3 4 5 6 7 8 𝜔 [ −∞ −∞ 12 −∞ −∞ −∞ 12 12 −∞ −∞ −∞ 23 −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ 22 26 −∞ −∞ −∞ −∞ 19 −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ 19 −∞ 18 −∞ −∞ −∞ 21 −∞ −∞ −∞ 17 −∞ −∞ −∞−∞ −∞ 15−∞ 13 −∞ −∞ −∞] 𝛼 1 2 3 4 5 6 7 8 𝜔 𝑋3 = 𝑋2𝑋 = 𝛼 1 2 3 4 5 6 7 8 𝜔 [ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ 23 −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ 22 26 −∞ −∞ 31 −∞ 33 −∞ −∞ −∞ −∞ 25 −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ 28 24 −∞ −∞ −∞ 27 −∞ −∞ −∞ 23 −∞ −∞ −∞ −∞−∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞] 𝛼 1 2 3 4 5 6 7 8 𝜔 𝑋4 = 𝑋3𝑋 = 𝛼 1 2 3 4 5 6 7 8 𝜔 [ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ 31 −∞ 33 −∞ −∞ −∞ 40 39 −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ 28 34 −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞−∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞]
11 𝛼 1 2 3 4 5 6 7 8 𝜔 𝑋5 = 𝑋4𝑋 = 𝛼 1 2 3 4 5 6 7 8 𝜔 [ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ 40 39 −∞ −∞ −∞ 46 −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞−∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞] 𝛼 1 2 3 4 5 6 7 8 𝜔 𝑋6 = 𝑋5𝑋 = 𝛼 1 2 3 4 5 6 7 8 𝜔 [ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ 46 −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞−∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞] 𝑋7 = [−∞] ; 𝑋8 = [−∞] ; 𝑋9= [−∞] .
Setelah didapat nilai 𝑋2 sampai 𝑋9, maka akan diperoleh nilai 𝑋∗ yaitu 𝑋∗ = 𝑋⨁𝑋2⨁𝑋3⨁𝑋4⨁𝑋5⨁𝑋6⨁𝑋7⨁𝑋8⨁𝑋9 𝛼 1 2 3 4 5 6 7 8 𝜔 𝑋∗= 𝛼 1 2 3 4 5 6 7 8 𝜔 [ −∞ 0 12 −∞ 12 −∞ 12 12 23 12 12 23 −∞ −∞ −∞ 31 26 40 46 31 26 40 46 10 −∞ 19 25 −∞ −∞ 11 −∞ −∞ −∞ 19 11 28 34 −∞ 14 21 27 8 −∞ 17 23 −∞ −∞ 9 15 −∞ 7 13 −∞ 6 −∞] Langkah 4
Dari matriks 𝑋∗ diperoleh waktu optimum penyelesaian keseluruhan proyek, yaitu nilai dari 𝑥𝛼𝜔∗ = 46. Hal ini menunjukkan penyelesaian proyek secara keseluruhan tidak bisa kurang dari waktu 46 hari.
12
Langkah 5
Kemudian akan dicari jalur kritis pada proyek yang didapat dengan mencari vektor 𝑉, dengan elemen ke- 𝑖 adalah
𝑣𝑖 = 𝑥𝛼𝑖∗ ⊗ 𝑥 𝑖𝜔∗ , yaitu 𝑉 = [ 𝑣1 𝑣2 𝑣3 𝑣4 𝑣5 𝑣6 𝑣7 𝑣8] = [ 0 + 46 12 + 25 12 + 34 12 + 27 23 + 23 31 + 15 26 + 13 40 + 6 ] = [ 46 37 46 39 46 46 39 46]
dan vektor 𝑆 dengan elemen ke- 𝑖 adalah
𝑠𝑖 = 𝑥𝛼𝜔∗ − 𝑣𝑖 , yaitu 𝑆 = [ 𝑠1 𝑠2 𝑠3 𝑠4 𝑠5 𝑠6 𝑠7 𝑠8] = [ 46 − 46 46 − 37 46 − 46 46 − 39 46 − 46 46 − 46 46 − 39 46 − 46] = [ 0 9 0 7 0 0 7 0] .
Dari vektor 𝑆 yang elemennya bernilai 0, maka kegiatan tersebut termasuk dalam jalur kritis, sehingga didapat jalur kritis pada proyek adalah 1-3-5-6-8. Dari vektor 𝑆 juga diperoleh nilai waktu toleransi dari tiap kegiatan, yaitu nilai pada tiap elemen vektor 𝑆 sesuai dengan masing-masing kegiatan. Dapat diartikan bahwa kegiatan 2 dapat ditunda, tanpa memengaruhi waktu penyelesaian keseluruhan proyek, selama maksimal 9 hari.
Metode Jalur Kritis/ Critical Path Method (CPM) Perhitungan Maju
Berdasarkan algoritma CPM, maka pertama akan dilakukan perhitungan maju. Perhitungan maju ini bertujuan untuk melihat waktu optimum yang dibutuhkan suatu proyek untuk menyelesaikan keseluruhan kegiatan.
Waktu mulai paling awal (𝐸𝑆) kegiatan pertama pada proyek adalah nol. Maka waktu mulai paling awal kegiatan 1 adalah nol.
13 Waktu mulai paling awal suatu kegiatan adalah waktu selesai paling awal (𝐸𝐹) kegiatan pendahulunya. Waktu selesai paling awal (𝐸𝐹) suatu kegiatan adalah waktu mulai paling awal kegiatan ditambahkan dengan lama waktu penyelesaian (𝑡) kegiatan bersangkutan.
𝐸𝐹1 = 𝐸𝑆1+ 𝑡1 = 0 + 12 = 12 𝐸𝑆2 = 𝐸𝐹1 = 12 𝐸𝐹2 = 𝐸𝑆2+ 𝑡2 = 12 + 10 = 22 𝐸𝑆3 = 𝐸𝐹1 = 12 𝐸𝐹3 = 𝐸𝑆3+ 𝑡3 = 12 + 11 = 23 𝐸𝑆4 = 𝐸𝐹1 = 12 𝐸𝐹4 = 𝐸𝑆4+ 𝑡4 = 12 + 14 = 26 𝐸𝑆5 = 𝐸𝐹3 = 23 𝐸𝐹5 = 𝐸𝑆5+ 𝑡5 = 23 + 8 = 31
Jika suatu kegiatan memiliki lebih dari satu kegiatan pendahulu, maka waktu mulai paling akhir kegiatan tersebut adalah nilai maksimal dari waktu selesai paling awal dari kegiatan-kegiatan pendahulunya.
𝐸𝑆6 = max(𝐸𝐹2, 𝐸𝐹5) = max(22,31) = 31 𝐸𝐹6 = 𝐸𝑆6+ 𝑡6 = 31 + 9 = 40 𝐸𝑆7 = max(𝐸𝐹3, 𝐸𝐹4) = max(23,26) = 26 𝐸𝐹7 = 𝐸𝑆7+ 𝑡7 = 26 + 7 = 33 𝐸𝑆8 = max(𝐸𝐹6, 𝐸𝐹7) = max(40,33) = 40 𝐸𝐹8 = 𝐸𝑆8+ 𝑡8 = 40 + 6 = 46
Perhitungan maju CPM dapat digambarkan seperti diagram pada Gambar 2 berikut.
14
Diagram pada Gambar 2 menunjukkan alur pengerjaan kegiatan-kegiatan pada proyek, dari kegiatan awal hingga kegiatan akhir. Tiap lingkaran pada diagram mewakili kegiatan-kegiatan dalam proyek, dari kegiatan 1 sampai kegiatan 8. Pada data terlihat bahwa kegiatan 1 merupakan kegiatan pendahulu bagi kegiatan 2, kegiatan 3, dan kegaiatan 4, maka pada diagram diberikan panah dari lingkaran 1 menuju lingkaran 2, 3, dan 4, dan begitu selanjutnya. Dua angka yang terdapat di atas nomor kegiatan menunjukkan 𝐸𝑆 dan 𝐸𝐹 kegiatan bersangkutan secara berurutan, sesuai dengan yang terdapat pada perhitungan maju.
Perhitungan Mundur
Waktu selesai paling awal kegiatan terakhir, yaitu kegiatan delapan, yang merupakan waktu optimum penyelesaian keseluruhan proyek juga merupakan waktu selesai paling akhir dari kegiatan tersebut.
𝑊𝑎𝑘𝑡𝑢 𝑃𝑒𝑛𝑦𝑒𝑙𝑒𝑠𝑎𝑖𝑎𝑛 𝑂𝑝𝑡𝑖𝑚𝑢𝑚 = 𝐸𝐹8 = 𝐿𝐹8 = 46
Waktu mulai paling akhir (𝐿𝑆) adalah waktu selesai paling akhir (𝐿𝐹) dikurangi dengan lama waktu penyelesaian (𝑡) kegiatan bersangkutan.
𝐿𝑆8 = 𝐿𝐹8− 𝑡8 = 46 − 6 = 40 𝐿𝐹7 = 𝐿𝑆8 = 40 𝐿𝑆7 = 𝐿𝐹7− 𝑡7 = 40 − 7 = 33 𝐿𝐹6 = 𝐿𝑆8 = 40 𝐿𝑆6 = 𝐿𝐹6− 𝑡6 = 40 − 9 = 31 𝐿𝐹5 = 𝐿𝑆6 = 31 𝐿𝑆5 = 𝐿𝐹5− 𝑡5 = 31 − 8 = 23 𝐿𝐹4 = 𝐿𝑆7 = 33 𝐿𝑆4 = 𝐿𝐹4− 𝑡4 = 33 − 14 = 19
Jika suatu kegiatan memiliki lebih dari satu kegiatan seteleahnya, maka waktu selesai paling akhir kegiatan tersebut adalah nilai minimal dari waktu mulai paling akhir dari kegiatan-kegiatan setelahnya
. 𝐿𝐹3 = min(𝐿𝑆5, 𝐿𝑆7) = min(23,33) = 23 𝐿𝑆3 = 𝐿𝐹3− 𝑡3 = 23 − 11 = 12 𝐿𝐹2 = 𝐿𝑆6 = 31 𝐿𝑆2 = 𝐿𝐹2− 𝑡2 = 31 − 10 = 21 𝐿𝐹1 = min(𝐿𝑆2, 𝐿𝑆3, 𝐿𝑆4) = min(21,12,19) = 12 𝐿𝑆1 = 𝐿𝐹1− 𝑡1 = 12 − 12 = 0
15 Perhitungan mundur CPM dapat digambarkan seperti diagram pada Gambar 3 berikut.
Gambar 3 Diagram perhitungan mundur
Sama seperti diagram perhitungan maju, diagram perhitungan mundur menggambarkan alur pengerjaan keseluruhan proyek, namun dari kegiatan akhir hingga kegiatan awal. Dua angka di bagian bawah lingkaran merupakan nilai-nilai dari 𝐿𝑆 dan 𝐿𝐹 secara berurutan masing-masing kegiatan dari hasil perhitungan mundur.
Perhitungan Slack
Waktu toleransi (𝑇𝑆) suatu kegiatan adalah hasil dari waktu mulai paling akhir dikurangi waktu mulai paling awal, atau waktu selesai paling akhir dikurangi waktu selesai paling awal kegiatan yang bersangkutan. Untuk kegiatan yang memiliki waktu toleransi nol, maka kegiatan tersebut masuk ke dalam jalur kritis.
𝑇𝑆𝑖 = 𝐿𝑆𝑖 − 𝐸𝑆𝑖 = 𝐿𝐹𝑖− 𝐸𝐹𝑖
Berikut adalah perhitungan slack tiap kegiatan. 𝑇𝑆1 = 𝐿𝑆1− 𝐸𝑆1 = 0 − 0 = 0 𝑇𝑆2 = 𝐿𝑆2 − 𝐸𝑆2 = 21 − 12 = 9 𝑇𝑆3 = 𝐿𝑆3 − 𝐸𝑆3 = 12 − 12 = 0 𝑇𝑆4 = 𝐿𝑆4 − 𝐸𝑆4 = 19 − 12 = 7 𝑇𝑆5 = 𝐿𝑆5 − 𝐸𝑆5 = 23 − 23 = 0 𝑇𝑆6 = 𝐿𝑆6 − 𝐸𝑆6 = 31 − 31 = 0 𝑇𝑆7 = 𝐿𝑆7 − 𝐸𝑆7 = 33 − 26 = 7 𝑇𝑆8 = 𝐿𝑆8 − 𝐸𝑆8 = 40 − 40 = 0
16
Perhitungan slack dapat digambarkan sebagai gabungan dari diagram perhitungan maju dan perhitungan mundur. Pada diagram perhitungan slack, bagian atas lingkaran merupakan hasil perhitungan maju, dan bagian bawah merupakan hasil perhitungan mundur. Jika angka-angka pada bagian atas lingkaran sama dengan angka-angka pada bagian bawah lingkaran, maka kegiatan tersebut masuk ke dalam jalur kritis. Berikut adalah diagram perhitungan slack:
Gambar 4 Diagram perhitungan slack
Hasil CPM
Hasil yang didapat dengan metode CPM pada pembahasan sebelumnya sesuai dengan hasil yang terdapat pada paper rujukan Madchan Anis (2012) yaitu seperti pada Tabel 2 berikut:
Tabel 2 Hasil CPM Nama kegiatan Berada di jalur kritis Lama kegiatan Waktu toleransi 1 Ya 12 0 2 Tidak 10 9 3 Ya 11 0 4 Tidak 14 7 5 Ya 8 0 6 Ya 9 0 7 Tidak 7 7 8 Ya 6 0
17
SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
Permasalahan penjadwalan proyek dapat diselesaikan dengan metode aljabar Max-Plus. Waktu optimum penyelesaian keseluruhan proyek adalah 46 hari, kegiatan-kegiatan yang masuk ke dalam jalur kritis yaitu kegiatan 1-3-5-6-8, dan waktu toleransi kegiatan 2 yaitu 9 hari, kegiatan 4 yaitu 7 hari, kegiatan 7 yaitu 7 hari, dan kegiatan lain tidak memiliki waktu toleransi. Untuk data yang terdapat dalam paper rujukan yang ditulis oleh Madchan Anis (2012), hasil yang diperoleh dalam metode aljabar Max-Plus sesuai dengan hasil yang diperoleh dalam Metode Jalur Kritis (CPM).
Saran
Metode aljabar Max-Plus memiliki proses perhitungan yang membutuhkan ketelitian cukup tinggi terkait dengan bentuk matriks yang digunakan. Penggunaan toolbox pada Scilab untuk melakukan perhitungan secara numerik merupakan salah satu cara untuk mendapat hasil lebih tepat dan cepat. Penulis berharap penggunaan aljabar Max-Plus dapat dikembangkan untuk mencari nilai-nilai yang bisa diperoleh pada CPM namun belum bisa diperoleh pada aljabar Max-Plus, contohnya mencari biaya optimum penyelesaian proyek.
DAFTAR PUSTAKA
Andersen MH. 2002. Max-Plus Algebra: Properties and Applications [tesis]. Laramie (US): University of Wyoming.
Anis M. 2012. Penjadwalan Proyek dengan Menggunakan Metode Jalur Kritis [paper]. Semarang (ID): Universitas Diponegoro.
Duncan WR. 2013. Project A Guide to the Project Management Body of
Knowledge. Pennsylvania (US): Management Institute.
Ervianto WI. 2002. Manajemen Proyek Konstruksi. Yogyakarta (ID): ANDI.
Fraleigh JB. 1997. A First Course in Abstract Algebra. New York (US):
Addison-Wesley.
Rudhito MA. 2007. Semimodul Bilangan Fuzzy atas Aljabar Max-Plus Bilangan
Fuzzy. Prosiding Seminar Nasional Matematika. Bandung (ID):
Universitas Pendidikan Indonesia.
Subiono. 2013. Aljabar Maxplus dan Terapannya. Surabaya (ID): Institut
18
21
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan pada tanggal 3 April 1993 di Jakarta. Penulis merupakan putra kedua dari tiga bersaudara dari Bapak Suhaeri dan Ibu Nuril Huda. Tahun 2011 penulis lulus dari SMA Negeri 65 Jakarta dan lulus seleksi masuk Institut Pertanian Bogor melalui Seleksi Nasional Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SNMPTN) jalur undangan. Penulis diterima di Departemen Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Selain mengikuti perkuliahan pada mayor Matematika, penulis juga mengikuti perkuliahan minor Sistem Informasi.
Selama mengikuti perkuliahan, penulis aktif dalam kegiatan berorganisasi. Di tahun pertama penulis mengikuti Unit Kegiatan Mahasiswa (UKM) Futsal IPB. Tiap tahunnya penulis ikut serta dalam perhelatan tahunan Olimpiade Mahasiswa IPB (OMI) dalam cabang atletik, sepak bola, dan futsal. Penulis pernah menjabat sebagai Ketua Departemen Informasi dan Komunikasi di Gugus Mahasiswa Matematika (Gumatika) IPB.
