Kajian Aljabar Max-Plus pada Pemodelan dan Penjadwalan Monorel dan Trem yang Terintegrasi di Kota Surabaya

(1)

BAB 1 Pendahuluan Tinjauan Pustaka Analisis dan Pembahasan Kesimpulan dan Saran Daftar Pustaka

Kajian Aljabar Max-Plus pada Pemodelan

dan Penjadwalan Monorel dan Trem yang

Terintegrasi di Kota Surabaya

Oleh:

Fatma Ayu Nuning Farida Afiatna

Dosen Pembimbing:

Dr. Subiono, M.Sc Subchan, Ph.D

(2)

Latar Belakang

Latar Belakang

Rencana pembangunan monorel dan trem di kota Surabaya.

Figure:Rencana Pembangunan Transportasi Kota Surabaya

(3)

Latar Belakang

Latar Belakang

Rencana pembangunan monorel dan trem di kota Surabaya.

Figure:Rencana Pembangunan Transportasi Kota Surabaya

(4)

Rumusan Masalah

Rumusan Masalah

Rumusan masalah yang dibahas dalam tugas akhir ini adalah:

a. Bagaimana pemodelan jalur monorel dan trem yang terintegrasi menggunakan aljabar max-plus?

b. Bagaimana analisis desain penjadwalan monorel dan trem yang terintegrasi menggunakan aljabar max-plus?

(5)

Rumusan Masalah

Rumusan Masalah

Rumusan masalah yang dibahas dalam tugas akhir ini adalah: a. Bagaimana pemodelan jalur monorel dan trem yang

terintegrasi menggunakan aljabar max-plus?

(6)

Rumusan Masalah

Rumusan Masalah

Rumusan masalah yang dibahas dalam tugas akhir ini adalah: a. Bagaimana pemodelan jalur monorel dan trem yang

terintegrasi menggunakan aljabar max-plus?

(7)

Batasan Masalah

Batasan Masalah

Tugas akhir ini ruang lingkup pembahasannya dibatasi oleh :

a. Jalur monerel dan trem yang akan dikaji yaitu sesuai dengan rencana pembangunan monorel dan trem di Kota Surabaya.

b. Jumlah monorel yang beroperasi adalah 18 buah dan trem yang beroperasi adalah 21 buah (sesuai dengan rencana pembangunan monorel dan trem).

c. Intermoda (pemberhentian yang bisa digunakan untuk beralih moda transportasi dari monorel ke trem terdapat pada 2 pemberhentian (stasiun), yaitu stasiun yang berada di Joyoboyo dan stasiun yang berada di Keputran dengan stasiun yang berada di Jl.Irian Barat.

d. Waktu tempuh monorel dan trem dihitung sebagai waktu tempuh rata-rata masing-masing moda transportasi.

(8)

Batasan Masalah

Batasan Masalah

Tugas akhir ini ruang lingkup pembahasannya dibatasi oleh : a. Jalur monerel dan trem yang akan dikaji yaitu sesuai

dengan rencana pembangunan monorel dan trem di Kota Surabaya.

(9)

Batasan Masalah

Batasan Masalah

(10)

Batasan Masalah

Batasan Masalah

(11)

Batasan Masalah

Batasan Masalah

(12)

Tujuan Tujuan

Tujuan dari tugas akhir ini adalah :

a. Mengkaji bentuk pemodelan jalur monorel dan trem yang terintegrasi menggunakan aljabar max-plus.

b. Mendesain penjadwalan monorel dan trem yang terintegrasi menggunakan aljabar max-plus.

(13)

Tujuan Tujuan

(14)

Tujuan Tujuan

(15)

Manfaat Manfaat

Manfaat yang diharapkan dalam pembuatan tugas akhir ini adalah :

a. Sebagai kajian ilmu matematika yang bisa memberikan sumbangan pemikiran dalam pengembangan transportasi. b. Sebagai bahan masukan perumusan kebijakan bagi

Pemerintah Kota Surabaya dalam pengembangan pembangunan transportasi khususnya dalam pemodelan dan penjadwalan.

c. Hasil pemodelan dan penjadwalan yang terintegrasi menghasilkan sistem transportasi yang memudahkan dalam melakukan mobilitas penumpang dan distribusi barang dari suatu moda ke moda lain maupun dari suatu titik ke titik lain secara efisien.

d. Sebagai solusi dalam menyelesaikan permasalahan dan kebutuhan transportasi kota Surabaya dimasa depan.

(16)

Manfaat Manfaat

a. Sebagai kajian ilmu matematika yang bisa memberikan sumbangan pemikiran dalam pengembangan transportasi.

b. Sebagai bahan masukan perumusan kebijakan bagi Pemerintah Kota Surabaya dalam pengembangan pembangunan transportasi khususnya dalam pemodelan dan penjadwalan.

(17)

Manfaat Manfaat

(18)

Manfaat Manfaat

(19)

Manfaat Manfaat

(20)

Penelitian Sebelumnya

Penelitian Sebelumnya

Sebelum penelitian ini dibuat, telah ada beberapa penelitian mengenai pemodelan dan penjadwalan transportsi dengan menggunakan metode aljabar max-plus yang selanjutkan akan digunakan sebagai studi literatur.

Analisis Pemodelan dan Penjadwalan Busway di Surabaya menggunakan Aljabar Max-Plus[6].

Aplikasi Aljabar Max-Plus Pada Pemodelan dan

Penjadwalan Busway Yang Diintegrasikan Dengan Kereta Api Komuter[7].

Implementasi Aljabar Max-Plus Pada Pemodelan dan Penjadwalan Keberangkatan Bus Kota Damri(Studi Kasus di Surabaya)[8]

(21)

(22)

(23)

(24)

Rencana Pengembangan Transportasi Kota Surabaya

Rencana Pengembangan Transportasi Kota Surabaya

Ada dua moda transpotrasi massal yang sedang direncanakan Bapeko (Balai Perencanaan Kota) Surabaya yakni monorel dan trem.

(25)

Landasan Teori

Aljabar Max-Plus

Definisi Operasi O-plus (⊕) dan O-times (⊗)[9]

Diberikan Rεdef= R ∪ {ε} dengan R adalah himpunan semua

bilangan real dan εdef= −∞. Pada Rεdidefinisikan operasi

berikut: ∀x , y ∈ Rε,

(26)

Landasan Teori

Matriks dalam Aljabar Maxplus

Penjumlahan Matriks dalam Aljabar Max-Plus[9] Penjumlahan matriks A, B ∈ Rn×mmax dinotasikan oleh A ⊕ B

didefinisikan oleh

[A ⊕ B]i,j =ai,j⊕ bi,j = max{ai,j,bi,j}

untuk i ∈ n dan j ∈ m.

Untuk A, B ∈ Rn×mmax berlaku bahwa A ⊕ B = B ⊕ A sebab

[A ⊕ B]i,j =max{ai,j,bi,j} = max{bi,j,ai,j} = [B ⊕ A]i,j, untuk

(27)

Landasan Teori

Matriks dalam Aljabar Maxplus

Perkalian dalam Aljabar Max-Plus[9]

Untuk A ∈ Rn×mmax dan skalar α ∈ Rmaxperkalian α ⊗ A

didefinisikan sebagai

[α ⊗A]i,j def

= α ⊗ai,j

untuk i ∈ n dan j ∈ m.

Untuk matriks A ∈ Rn×pmax dan B ∈ Rp×mmax perkalian matriks A ⊗ B

didefinisikan sebagai

[A ⊗ B]i,j = p

M

k =1

ai,k ⊗ bk ,j =maxk ∈p {ai,k +bk ,j}

(28)

Landasan Teori

Nilai Eigen dan Vektor Eigen dalam Aljabar Max-Plus

Pengertian dari nilai eigen dan vektor eigen yang bersesuaian dari suatu matriks persegi A berukuran n × n dalam aljabar linear biasa juga dijumpai dalam Aljabar Maxplus, yaitu bila diberikan suatu persamaan:

A ⊗ x = λ ⊗ x .

dalam hal ini masing-masing vektor x ∈ Rn×nmax dan λ ∈ R

dinamakan vektor eigen dan nilai eigen dari matriks A dengan vektor x 6= (, , ..., )T[9].

(29)

Landasan Teori

Algoritma Power

untuk mendapatkan nilai eigen sekaligus vektor eigen dari suatu matriks persegi yang dikenal dengan algoritma power[9], yaitu sebagai berikut:

1 _{Mulai dari sebarang vektor awal x (0) 6= ε}

2 _{Iterasi Persamaan x (k + 1) = A ⊗ x (k ) sampai ada}

bilangan bulat p > q ≥ 0 dan bilangan real c sehingga suatu perilaku periodik terjadi, yaitu x (p) = c ⊗ x (q).

3 _{Hitung nilai eigen λ =} c

p−q

4 _{Hitung vektor eigen}_{v =}

p−q

M

i=1

λ⊗(p−q−i)⊗ x(q + i − 1)

Algoritma tersebut sudah diimplementasikan dengan Scilab dalam Max Plus Toolbox[10]

(30)

Landasan Teori

Algoritma Power

p−q

M

i=1

λ⊗(p−q−i)⊗ x(q + i − 1)

(31)

Landasan Teori

Algoritma Power

p−q

M

i=1

λ⊗(p−q−i)⊗ x(q + i − 1)

(32)

Landasan Teori

Algoritma Power

p−q

M

i=1

λ⊗(p−q−i)⊗ x(q + i − 1)

(33)

Landasan Teori

Algoritma Power

p−q

M

i=1

λ⊗(p−q−i)⊗ x(q + i − 1)

(34)

Landasan Teori

Algoritma Power

p−q

M

i=1

λ⊗(p−q−i)⊗ x(q + i − 1)

(35)

Jalur Monorel dan Trem di Surabaya Koridor Satu

East Coast → Mulyosari → ITS → GOR Kertajaya Indah → Galaxy Mall → Unair Kampus C → Dharmahusada → RS Dr.Sutomo → Stasiun Gubeng → Jl. Raya Gubeng → Jl.Irian Barat → Jl.Bung Tomo (Marvel City)→ Ngagel (Novotel) → Wonokromo (DTC) → Joyoboyo → Sutos → Ciputra World → Dukuh Kupang → Bundaran Satelit → HR.Muhammad → Simpang Darmo Permai → Simpang PTC Lenmark → Unesa →Citraland → Unesa → Simpang PTC Lenmark → Simpang Darmo Permai → HR.Muhammad → undaran Satelit → Dukuh Kupang → Ciputra World → Sutos → Joyoboyo → Wonokromo (DTC) → Ngagel(Novotel) → Jl.Bung Tomo → Jl.Irian Barat → Jl.Raya Gubeng → Stasiun Gubeng → RS Dr.Sutomo → Dharmahusada → Unair Kampus C → Galaxy Mall → GOR Kertajaya Indah → ITS → Mulyosari → Kejawan (East Coast).

(36)

Jalur Monorel dan Trem di Surabaya Koridor Dua

Joyoboyo → Kebun Binatang → Taman Bungkul → Bintoro → Pandegiling → Urip Sumoharjo/Keputran → Kombespol M.Duryat → Tegalsari → Embong Malang → Kedungdoro → Pasar Blauran → Bubutan → Pasar Turi → Kemayoran → Indrapura → Rajawali → Jembatan Merah → Veteran → Tugu Pahlawan → Baliwerti → Siola → Genteng → Pasar Tunjungan → Gubernur Suryo → Bambu Runcing → Sonokembang → Urip Sumoharjo/Keputran → Pandegiling → Bintoro → Taman Bungkul → Bonbin → Joyoboyo.

(37)

Jalur Monorel dan Trem di Surabaya

Tabel Pelabelan vertex pada stasiun

No Nama Tempat Label No Nama Tempat Label

1 Kejawan(East Coast) SM1 26 KBS ST2

2 Mulyosari SM2 27 Taman Bungkul ST3

3 ITS SM3 28 Bintoro ST4

4 Gor Kertajaya Indah SM4 29 Pandegiling ST5

5 Darmahusada Indah SM5 30 Urip Sumoharjo/ ST6

Timur(Galaxy Mall) Keputran

6 Unair Kampus C SM6 31 Kombespol M.Duryat ST7

7 Darmahusada SM7 32 Tegalsari ST8

8 RS Dr.Sutomo SM8 33 Embong Malang ST9

9 Stasiun Gubeng SM9 34 Kedungdoro ST10

10 Jl.Raya Gubeng SM10 35 Pasar Blauran ST11

11 Jl.Irian Barat SM11 36 Bubutan ST12

12 Jl.Bung Tomo SM12 37 Pasar Turi ST13

13 Ngagel(Novotel) SM13 38 Kemayoran ST14

14 Wonokromo(DTC) SM14 39 Indrapura ST15

15 Joyoboyo SM15 40 Rajawali ST16

16 Sutos SM16 41 Jembatan Merah ST17

17 Ciputra World SM₁₇ 42 Veteran ST₁₈

18 Dukuh Kupang SM₁₈ 43 Tugu Pahlawan ST₁₉

19 Bundaran Satelit SM₁₉ 44 Baliwerti ST₂₀

20 HR.Muhammad SM₂₀ 45 Siola ST₂₁

21 Simpang Darmo Permai SM₂₁ 46 Genteng ST₂₂

22 Simpang PTC Lenmark SM22 47 Pasar Tunjungan ST23

23 Unesa SM23 48 Gubernur Suryo ST24

24 Citraland SM24 49 Bambu Runcing ST25

(38)

Penyusunan Graf Berarah dari Jalur Monorel dan Trem di Surabaya

Jarak titik pemberhentian, waktu tempuh antar stasiun yang berurutan, dan alokasi jumlah moda yang beroprasi untuk monorel

Koridor Dari Ke Jarak Waktu tempuh Label waktu Jumlah

(km) rata-rata tempuh Monorel

(menit) rata-rata 1 SM1 SM2 0,90 1,54 t1 1 1 SM2 SM3 1,00 1,71 t2 0 1 SM3 SM4 1,10 1,89 t3 0 1 SM₄ SM5 0,60 1,03 t4 1 1 SM5 SM6 0,60 1,03 t5 0 1 SM₆ SM7 1,70 2,91 t6 0 1 SM7 SM8 1,10 1,89 t7 1 1 SM₈ SM₉ 0,80 1,37 t₈ 0 1 SM9 SM10 0,80 1,37 t9 0 1 SM10 SM11 0,80 1,37 t10 1 1 SM11 SM12 1,60 2,74 t11 0 1 SM12 SM13 0,70 1,20 t12 1 1 SM13 SM14 0,90 1,54 t13 0 1 SM14 SM15 0,40 0,69 t14 0 1 SM15 SM16 0,90 1,54 t15 1 1 SM16 SM17 1,10 1,89 t16 0 1 SM17 SM18 0,74 1,29 t17 0 1 SM18 SM19 0,90 1,54 t18 1 1 SM19 SM20 1,24 2,13 t19 0 1 SM20 SM21 1,32 2,26 t20 1 1 SM₂₁ SM₂₂ 1,10 1,89 t₂₁ 0 1 SM₂₂ SM₂₃ 1,12 1,92 t₂₂ 1 1 SM₂₃ SM₂₄ 1,58 2,70 t₂₃ 0

(39)

Jarak titik pemberhentian, waktu tempuh antar stasiun yang berurutan, dan alokasi jumlah moda yang beroprasi untuk monorel(2)

(km) rata-rata tempuh Monorel

(menit) rata-rata 1 SM24 SM23 1,58 2,70 t24 1 1 SM23 SM22 1,12 1,92 t25 0 1 SM22 SM21 1,10 1,89 t26 1 1 SM₂₁ SM₂₀ 1,32 2,26 t₂₇ 0 1 SM₂₀ SM₁₉ 1,24 2,13 t₂₈ 1 1 SM₁₉ SM₁₈ 0,90 1,54 t₂₉ 0 1 SM₁₈ SM₁₇ 0,74 1,29 t₃₀ 1 1 SM₁₇ SM₁₆ 1,10 1,89 t₃₁ 0 1 SM16 SM15 0,90 1,54 t32 0 1 SM15 SM14 0,40 0,69 t33 1 1 SM14 SM13 0,90 1,54 t34 0 1 SM13 SM12 0,70 1,20 t35 0 1 SM12 SM11 1,60 2,74 t36 1 1 SM11 SM10 0,80 1,37 t37 0 1 SM10 SM9 0,80 1,37 t38 1 1 SM9 SM8 0,80 1,37 t39 0 1 SM8 SM7 1,10 1,89 t40 0 1 SM7 SM6 1,70 2,91 t41 1 1 SM6 SM5 0,60 1,03 t42 0 1 SM5 SM4 0,60 1,03 t43 0 1 SM₄ SM₃ 1,10 1,89 t₄₄ 1 1 SM₃ SM₂ 1,00 1,71 t₄₅ 0 1 SM₂ SM₁ 0,80 1,54 t₄₆ 0

(40)

Jarak titik pemberhentian, waktu tempuh antar stasiun yang berurutan, dan alokasi jumlah moda yang beroprasi untuk trem(1)

(km) rata-rata tempuh Trem

(menit) rata-rata 2 ST1 ST2 0,53 1,59 t47 1 2 ST2 ST3 0,58 1,74 t48 0 2 ST3 ST4 0,60 1,80 t49 1 2 ST4 ST5 0,65 1,95 t50 1 2 ST5 ST6 0,45 1,35 t51 0 2 ST₆ ST7 0,48 1,44 t52 1 2 ST7 ST8 0,58 1,74 t53 1 2 ST₈ ST₉ 0,49 1,47 t₅₄ 0 2 ST₉ ST₁₀ 0,69 2,07 t55 1 2 ST10 ST11 0,45 1,35 t56 1 2 ST11 ST12 0,45 1,35 t57 0 2 ST12 ST13 0,55 1,65 t58 1 2 ST13 ST14 0,40 1,20 t59 0 2 ST14 ST15 0,75 2,25 t60 1 2 ST15 ST16 0,65 1,95 t61 1 2 ST16 ST17 0,62 1,86 t62 1 2 ST17 ST18 0,58 1,74 t63 1 2 ST18 ST19 0,55 1,65 t64 0 2 ST19 ST20 0,60 1,80 t65 1 2 ST20 ST21 0,40 1,20 t66 0

(41)

Jarak titik pemberhentian, waktu tempuh antar stasiun yang berurutan, dan alokasi jumlah moda yang beroprasi untuk trem(2)

(km) rata-rata tempuh Trem

(menit) rata-rata 2 ST21 ST22 0,40 1,20 t67 1 2 ST22 ST23 0,40 1,20 t68 0 2 ST23 ST24 0,50 1,50 t69 1 2 ST24 ST25 0,50 1,50 t70 0 2 ST25 ST26 0,60 1,80 t71 1 2 ST26 ST6 0,35 1,05 t72 0 2 ST6 ST5 0,50 1,50 t73 1 2 ST5 ST4 0,65 1,95 t74 1 2 ST4 ST3 0,60 1,80 t75 1 2 ST3 ST2 0,60 1,80 t76 1 2 ST₂ ST₁ 0,55 1,65 t77 1

Dari data yang diperoleh dapat digambarkan graf berarah dimana vertex-vertex nya merupakan stasiun sedangkan garis (edge) yang

menghubungkan vertex-vertex tersebut dinamakan path dengan bobot pada setiap edge adalah waktu tempuh rata-rata antar stasiun.

(42)

Penyusunan Graf Berarah dari Jalur Monorel dan Trem di Surabaya Gambar Graf Berarah

(43)

Aturan Sinkronisasi Sinkronisasi

Sebelum melakukan penyusunan model monorel dan trem yang terintegrasi terlebih dahulu ditentukan aturan sinkronisasi. Hal ini dimaksudkan untuk menjamin penumpang dapat

berpindah dari suatu moda dari jalur tertentu ke moda lainnya dengan jalur yang berbeda dengan sesegera mungkin sesuai graf berarah.

Misalnya:

Keberangkatan monorel ke-(k + 1) dari SM15menuju SM16

menunggu kedatangan monorel yang berangkat ke-k dari SM14menuju SM15 , menunggu kedatangan monorel yang

berangkat ke-k dari ST16 menuju ST15, dan menunggu

kedatangan trem yang berangkat ke-k dari ST2menuju

(44)

Penyusunan Model

Pendefinisian variable Waktu Keberangkatan pada saat ke k

Dari Ke Variabel Dari ke Variabel

SM1 SM2 x1(k ) SM8 SM7 x40(k ) SM2 SM3 x2(k ) SM7 SM6 x41(k ) SM3 SM4 x3(k ) SM6 SM5 x42(k ) SM4 SM5 x4(k ) SM5 SM4 x43(k ) SM5 SM6 x5(k ) SM4 SM3 x44(k ) SM6 SM7 x6(k ) SM3 SM2 x45(k ) SM7 SM8 x7(k ) SM2 SM1 x46(k ) SM8 SM9 x8(k ) ST1 ST2 x47(k ) SM9 SM10 x9(k ) ST2 ST3 x48(k ) SM10 SM11 x10(k ) ST3 ST4 x49(k ) SM11 SM12 x11(k ) ST4 ST5 x50(k ) SM12 SM13 x12(k ) ST5 ST6 x51(k ) SM₁₃ SM₁₄ x₁₃(k ) ST₆ ST7 x52(k ) SM₁₄ SM₁₅ x₁₄(k ) ST7 ST8 x53(k ) SM₁₅ SM₁₆ x₁₅(k ) ST₈ ST₉ x₅₄(k ) SM₁₆ SM₁₇ x₁₆(k ) ST₉ ST₁₀ x55(k ) SM₁₇ SM₁₈ x₁₇(k ) ST₁₀ ST₁₁ x₅₆(k ) SM18 SM19 x18(k ) ST11 ST12 x57(k ) SM19 SM20 x19(k ) ST12 ST13 x58(k ) SM20 SM21 x20(k ) ST13 ST14 x59(k ) SM21 SM22 x21(k ) ST14 ST15 x60(k ) SM22 SM23 x22(k ) ST15 ST16 x61(k ) SM23 SM24 x23(k ) ST16 ST17 x62(k ) SM24 SM23 x24(k ) ST17 ST18 x63(k ) SM23 SM22 x25(k ) ST18 ST19 x64(k ) SM22 SM21 x26(k ) ST19 ST20 x65(k )

(45)

Penyusunan Model

Pendefinisian variable Waktu Keberangkatan pada saat ke k

Dari Ke Variabel Dari ke Variabel

SM21 SM20 x27(k ) ST20 ST21 x66(k ) SM20 SM19 x28(k ) ST21 ST22 x67(k ) SM19 SM18 x29(k ) ST22 ST23 x68(k ) SM18 SM17 x30(k ) ST23 ST24 x69(k ) SM17 SM16 x31(k ) ST24 ST25 x70(k ) SM16 SM15 x32(k ) ST25 ST26 x71(k ) SM15 SM14 x33(k ) ST26 ST6 x72(k ) SM14 SM13 x34(k ) ST6 ST5 x73(k ) SM13 SM12 x35(k ) ST5 ST4 x74(k ) SM12 SM11 x36(k ) ST4 ST3 x75(k ) SM11 SM10 x37(k ) ST3 ST2 x76(k ) SM₁₀ SM₉ x₃₈(k ) ST₂ ST₁ x77(k ) SM₉ SM₈ x₃₉(k )

Berdasarkan data monorel dan trem dan aturan sinkronisasi, maka model aljabar max-plus didapatkan persamaan sebagai berikut:

(46)

Penyusunan Model

Model Aljabar Max-Plus

x1(k + 1) = t46⊗ t45⊗ t44⊗ x44(k ) (1) x4(k + 1) = t3⊗ t2⊗ t1⊗ x1(k ) (2) x7(k + 1) = t6⊗ t5⊗ t4⊗ x4(k ) (3) x10(k + 1) = t9⊗ t8⊗ t7⊗ x7(k ) (4) x12(k + 1) = t11⊗ t10⊗ x10(k ) ⊕ t36⊗ (5) x36(k ) ⊕ t51⊗ t50⊗ x50(k ) ⊕ t72⊗ t71⊗ x71(k ) x15(k + 1) = t14⊗ t13⊗ t12⊗ x12(k ) ⊕ (6) t32⊗ t31⊗ t30⊕ x30(k ) ⊗ t77⊗ x77(k ) x18(k + 1) = t17⊗ t16⊗ t15⊗ x15(k ) (7) x20(k + 1) = t19⊗ t18⊗ x18(k ) (8) x₂₂(k + 1) = t₂₁⊗ t20⊗ x20(k ) (9)

(47)

Penyusunan Model

x24(k + 1) = t23⊗ t22⊗ x22(k ) (10) x26(k + 1) = t25⊗ t24⊗ x24(k ) (11) x28(k + 1) = t27⊗ t26⊗ x26(k ) (12) x30(k + 1) = t29⊗ t28⊗ x28(k ) (13) x33(k + 1) = t14⊗ t13⊗ t12⊗ x12(k ) ⊕ (14) t32⊗ t31⊗ t30⊗ x30(k ) ⊕ t77⊗ x77(k ) x36(k + 1) = t35⊗ t34⊗ t33⊗ x33(k ) (15) x38(k + 1) = t37⊗ t10⊗ x10(k ) ⊕ t37⊗ (16) t36⊗ x36(k ) ⊕ t51⊗ t50⊗ x50(k ) ⊕ t72⊗ t71⊗ x71(k ) x41(k + 1) = t40⊗ t39⊗ t38⊗ x38(k ) (17) x₄₄(k + 1) = t₄₃⊗ t42⊗ t41⊗ x41(k ) (18)

(48)

Penyusunan Model

x47(k + 1) = t14⊗ t13⊗ t12⊗ x12(k ) ⊕ (19) t32⊗ t31⊗ t30⊗ x30(k ) ⊕ t77⊗ x77(k ) x49(k + 1) = t48⊗ t47⊗ x47(k ) (20) x50(k + 1) = t49⊗ x49(k ) (21) x52(k + 1) = t10⊗ x10(k ) ⊕ t36⊗ x36(k ) ⊕ (22) t51⊗ t50⊗ x50(k ) ⊕ t72⊗ t71⊗ x71(k ) x53(k + 1) = t52⊗ x52(k ) (23) x55(k + 1) = t54⊗ t53⊗ x53(k ) ⊕ t68⊗ (24) t67⊗ x67(k ) x56(k + 1) = t55⊗ x55(k ) (25) x₅₈(k + 1) = t57⊗ t56⊗ x56(k ) (26)

(49)

Penyusunan Model

x60(k + 1) = t59⊗ t58⊗ x58(k ) (27) x61(k + 1) = t60⊗ x60(k ) (28) x62(k + 1) = t61⊗ x61(k ) (29) x63(k + 1) = t62⊗ x62(k ) (30) x65(k + 1) = t64⊗ t63⊗ x63(k ) (31) x67(k + 1) = t66⊗ t65⊗ x65(k ) (32) x71(k + 1) = t70⊗ t69⊗ x69(k ) (33) x69(k + 1) = t54⊗ t53⊗ x53(k ) ⊕ t67⊗ x67(k ) (34) x73(k + 1) = t10⊗ x10(k ) ⊕ t36⊗ x36(k ) ⊕ (35) t51⊗ t50⊗ x50(k ) ⊕ t72⊗ t71⊗ x71(k ) x74(k + 1) = t73⊗ x73(k ) (36)

(50)

Penyusunan Model

x75(k + 1) = t74⊗ x74(k ) (37) x76(k + 1) = t75⊗ x75(k ) (38) x77(k + 1) = t76⊗ x76(k ) (39) x2(k ) = t1⊗ x1(k ) (40) x3(k ) = t2⊗ t1⊗ x1(k ) (41) x5(k ) = t4⊗ x4(k ) (42) x6(k ) = t5⊗ t4⊗ x4(k ) (43) x8(k ) = t7⊗ x7(k ) (44) x9(k ) = t8⊗ t7⊗ x7(k ) (45) x11(k ) = t10 ⊗ x10(k ) ⊕ t36⊗ x36(k ) ⊕ (46) t51⊗ t50⊗ x50(k ) ⊕ t72⊗ t71⊗ x71(k )

(51)

Penyusunan Model

x13(k ) = t12⊗ x12(k ) (47) x14(k ) = t13⊗ t12⊗ x12(k ) (48) x16(k ) = t15⊗ x15(k ) (49) x17(k ) = t16⊗ t15⊗ x15(k ) (50) x19(k ) = t18⊗ x18(k ) (51) x21(k ) = t20⊗ x20(k ) (52) x23(k ) = t22⊗ x22(k ) (53) x25(k ) = t24⊗ x24(k ) (54) x27(k ) = t26⊗ x26(k ) (55) x29(k ) = t28⊗ x28(k ) (56) x31(k ) = t30⊗ x30(k ) (57) x32(k ) = t31⊗ t30⊗ x30(k ) (58)

(52)

Penyusunan Model

x34(k ) = t33⊗ x33(k ) (59) x35(k ) = t34⊗ t33⊗ x33(k ) (60) x37(k ) = t10⊗ x10(k ) ⊕ t36 ⊗ x36(k ) ⊕ (61) t51⊗50 ⊗ x50(k ) ⊕ t72 ⊗ t71⊗ x71(k ) x39(k ) = t38⊗ x38(k ) (62) x40(k ) = t39⊗ t38⊗ x38(k ) (63) x42(k ) = t41⊗ x41(k ) (64) x43(k ) = t42⊗ t41⊗ x41(k ) (65) x45(k ) = t44⊗ x44(k ) (66) x46(k ) = t45⊗ t44⊗ x44(k ) (67)

(53)

Penyusunan Model

x48(k ) = t47⊗ x47(k ) (68) x51(k ) = t50⊗ x50(k ) (69) x54(k ) = t53⊗ x53(k ) (70) x57(k ) = t56⊗ x56(k ) (71) x59(k ) = t58⊗ x58(k ) (72) x64(k ) = t63⊗ x63(k ) (73) x66(k ) = t65⊗ x65(k ) (74) x68(k ) = t67⊗ x67(k ) (75) x70(k ) = t69⊗ x69(k ) (76) x72(k ) = t71⊗ x71(k ) (77)

(54)

Penyusunan Model

Dari (1) sampai (39) dapat dinyatakan dalam bentuk sistem matriks aljabar max-plus:

x (k + 1) = A ⊗ x (k ) (78) dengan matriks A berukuran 39 × 39 dan x berukuran 39 × 1 Dari (40) sampai (77) dinyatakan dalam bentuk sistem matriks aljabar max-plus sebagai berikut:

x∗(k ) = B ⊗ x (k ) (79)

(55)

Desain Penjadwalan

Desain Penjadwalan

Tahapan desain penjadwalan

1 _{Penentuan nilai eigen sebagai periode keberangkatan}

(λ(A))dan vektor eigen (v = x (0)) matriks A

2 _{Penentuan (x}∗_{(0)) dengan mensubtitusikan x (k ) dengan}

x (0) kepersamaan (79)

3 _{Definisikan v}

0= (x (0) x∗(0))T

4 _{Definisikan vektor keberangkatan awal}

v₀0 =v0⊗ (−min(v0))

Dengan bantuan aplikasi Scilab dan Maxplus Toolbox diperoleh λ(A) = 4.6 dan vektor eigen sebagai keberangkatan awal.

(56)

Desain Penjadwalan

3 _{Definisikan v}

0= (x (0) x∗(0))T

v₀0 =v0⊗ (−min(v0))

(57)

Desain Penjadwalan

3 _{Definisikan v}

0= (x (0) x∗(0))T

v₀0 =v0⊗ (−min(v0))

(58)

Desain Penjadwalan

3 _{Definisikan v}

0= (x (0) x∗(0))T

v₀0 =v0⊗ (−min(v0))

(59)

Desain Penjadwalan

3 _{Definisikan v}

0= (x (0) x∗(0))T

v₀0 =v0⊗ (−min(v0))

(60)

Desain Penjadwalan

3 _{Definisikan v}

0= (x (0) x∗(0))T

v₀0 =v0⊗ (−min(v0))

(61)

Desain Penjadwalan

Jadwal keberangkatan monorel dan trem ke-1 s/d ke-3 No Tempat Keberangkatan Keberangkatan Keberangkatan

Keberangkatan ke-1 ke-2 ke-3

1 SM1ke SM2 5:00:43 5:05:19 5:09:55 2 SM2ke SM3 5:02:15 5:06:51 5:11:27 3 SM3ke SM4 5:03:58 5:08:34 5:13:10 4 SM4ke SM5 5:01:15 5:05:51 5:10:27 5 SM5ke SM6 5:02:17 5:06:53 5:11:29 6 SM6ke SM7 5:03:19 5:07:55 5:12:31 7 SM7ke SM8 5:01:37 5:06:13 5:10:49 8 SM₈ke SM₉ 5:03:31 5:08:07 5:12:43 9 SM₉ke SM₁₀ 5:05:53 5:10:29 5:15:05 10 SM₁₀ke SM₁₁ 5:01:39 5:06:15 5:10:51 11 SM₁₁ke SM₁₂ 5:03:01 5:07:37 5:12:13 12 SM₁₂ke SM₁₃ 5:01:10 5:05:46 5:10:22 13 SM13ke SM14 5:02:22 5:06:58 5:11:34 14 SM14ke SM15 5:04:54 5:09:30 5:14:06 15 SM15ke SM16 5:00:00 5:04:36 5:09:12 16 SM16ke SM17 5:01:32 5:06:08 5:10:44 17 SM17ke SM18 5:03:25 5:08:01 5:12:37 18 SM18ke SM19 5:00:06 5:04:42 5:09:18 19 SM19ke SM20 5:01:38 5:06:14 5:10:50 20 SM20ke SM21 4:59:10 5:03:46 5:08:22 21 SM21ke SM22 5:01:25 5:06:01 5:10:37 22 SM22ke SM23 4:58:43 5:03:19 5:07:55 23 SM23ke SM24 5:00:38 5:05:14 5:09:50 24 SM24ke SM23 4:56:44 5:01:20 5:05:56 25 SM₂₃ke SM₂₂ 4:57:26 5:02:02 5:06:38 26 SM₂₂ke SM₂₁ 4:54:45 4:59:21 5:03:57

(62)

Desain Penjadwalan

27 SM21ke SM20 4:56:39 5:01:15 5:05:51 28 SM20ke SM19 4:54:18 4:58:54 5:03:30 29 SM19ke SM18 4:56:53 5:01:29 5:06:05 30 SM18ke SM17 4:53:22 4:57:58 5:02:34 31 SM17ke SM16 4:54:39 4:59:15 5:03:51 32 SM16ke SM15 4:56:33 5:01:09 5:05:45 33 SM15ke SM14 5:00:00 5:04:36 5:09:12 34 SM₁₄ke SM₁₃ 5:00:41 5:05:17 5:09:53 35 SM₁₃ke SM₁₂ 5:02:13 5:06:49 5:11:25 36 SM₁₂ke SM₁₁ 4:59:49 5:04:25 5:09:01 37 SM₁₁ke SM₁₀ 5:01:34 5:06:10 5:10:46 38 SM₁₀ke SM₉ 5:00:48 5:05:24 5:10:00 39 SM9ke SM8 5:01:10 5:05:46 5:10:22 40 SM8ke SM7 5:02:32 5:07:08 5:11:44 41 SM7ke SM6 5:00:49 5:05:25 5:10:01 42 SM6ke SM5 5:02:44 5:07:20 5:11:56 43 SM5ke SM4 5:03:46 5:08:22 5:12:58 44 SM4ke SM3 5:00:10 5:04:46 5:09:22 45 SM3ke SM2 5:02:04 5:06:40 5:11:16 46 SM2ke SM1 5:03:46 5:08:22 5:12:58 47 ST1ke ST2 5:00:00 5:04:36 5:09:12 48 ST2ke ST3 5:01:35 5:06:11 5:10:47 49 ST3ke ST4 4:58:43 5:03:19 5:07:55 50 ST4ke ST5 4:56:55 5:01:31 5:06:07 51 ST5ke ST6 5:00:40 5:05:16 5:09:52 52 ST₆ke ST7 4:58:25 5:03:01 5:07:37

(63)

Desain Penjadwalan

53 ST7ke ST8 4:55:16 4:59:52 5:04:28 54 ST₈ke ST₉ 5:01:54 5:06:30 5:11:06 55 ST₉ke ST₁₀ 4:54:52 4:59:28 5:04:04 56 ST₁₀ke ST₁₁ 4:51:21 4:55:57 5:00:33 57 ST11ke ST12 4:52:42 4:57:18 5:01:54 58 ST12ke ST13 4:49:27 4:54:03 4:58:39 59 ST13ke ST14 4:51:06 4:55:42 5:00:18 60 ST14ke ST15 4:47:42 4:52:18 4:56:54 61 ST15ke ST16 4:45:21 4:49:57 4:54:33 62 ST16ke ST17 4:42:42 4:47:18 4:51:54 63 ST17ke ST18 4:39:59 4:44:35 4:49:11 64 ST18ke ST19 4:41:42 4:46:18 4:50:54 65 ST19ke ST20 4:38:45 4:43:21 4:47:57 66 ST20ke ST21 4:40:33 4:45:09 4:49:45 67 ST21ke ST22 4:35:57 4:40:33 4:45:09 68 ST22ke ST23 4:37:09 4:41:45 4:46:21 69 ST₂₃ke ST₂₄ 4:54:52 4:59:28 5:04:04 70 ST₂₄ke ST₂₅ 4:55:22 4:59:58 5:04:34 71 ST₂₅ke ST₂₆ 4:52:16 4:56:52 5:01:28 72 ST₂₆ke ST₆ 4:54:04 4:58:40 5:03:16 73 ST₆ke ST5 4:58:25 5:03:01 5:07:37 74 ST5ke ST4 4:55:19 4:59:55 5:04:31 75 ST4ke ST3 4:52:40 4:57:16 5:01:52 76 ST3ke ST24 4:50:52 4:55:28 5:00:04 77 ST2ke ST1 4:47:04 4:51:40 4:56:16

(64)

Kesimpulan dan Saran Kesimpulan

1 _{Dalam penelitian ini diperoleh model jalur monorel dan}

trem yang terintegrasi di kota Surabaya menggunakan aljabar max-plus bentuk model x (k + 1) = A ⊗ x (k ) dan x∗ =B ⊗ x (k ).

2 _{Desain penjadwalan monorel dan trem yang terintegrasi}

disusun berdasarkan periode keberangkatan monorel dan trem yang didapatkan dari nilai eigen λ(A) = 4.6 dan waktu keberangkatan awal monorel dan trem yang didapatkan dari vektor eigen. Desain penjadwalan yang dilakukan dipengaruhi oleh jumlah moda yang beroperasi, waktu tempuh, dan aturan sinkronisasi.

(65)

Kesimpulan dan Saran Kesimpulan

1 _{Dalam penelitian ini diperoleh model jalur monorel dan}

trem yang terintegrasi di kota Surabaya menggunakan aljabar max-plus bentuk model x (k + 1) = A ⊗ x (k ) dan x∗ =B ⊗ x (k ).

2 _{Desain penjadwalan monorel dan trem yang terintegrasi}

disusun berdasarkan periode keberangkatan monorel dan trem yang didapatkan dari nilai eigen λ(A) = 4.6 dan waktu keberangkatan awal monorel dan trem yang didapatkan dari vektor eigen. Desain penjadwalan yang dilakukan dipengaruhi oleh jumlah moda yang beroperasi, waktu tempuh, dan aturan sinkronisasi.

(66)

Kesimpulan dan Saran Saran

Kajian aljabar max-plus pada pemodelan dan penjadwalan ini berdasarkan rencana pembangunan monorel dan trem di kota Surabaya. Pada penelitian ini belum memperhitungkan waktu melakukan perpindahan moda, dan faktor lain yang bisa mempengaruhi monorel dan trem dalam beroperasi yang berakibat dalam penjadwalan yang kurang sempurna sehingga perlu adanya penelitian yang mengkaji lebih dalam.

Diharapkan nantinya dari penelitian ini sebagai acuan

penelitian-penelitian berikutnya dan dapat dimanfaatkan oleh Dinas Perhubungan Kota Surabaya sehingga dapat memenuhi kebutuhan transportasi kota Surabaya.

(67)

BAB 1 Pendahuluan Tinjauan Pustaka Analisis dan Pembahasan Kesimpulan dan Saran Daftar Pustaka Daftar Pustaka

Pusat Data dan Informasi Sekretariat Jenderal Kementerian Perhubungan - Republik Indonesia.2009. Rencana Pembangunan Jangka Panjang Departemen Perhubungan

2005-2025.<URL:www.dephub.go.id/ >

Aminah,Siti.2007.Transportasi public dan aksesbilitas Masyarakat Perkotaan.Artikel Media Masyarakat, Kebudayaan dan Politik Vol. 20 - No. 1 / 2007-01 .

Surabaya.go.id.2011.Demografi. <URL: http://http://www.surabaya.go.id/profilkota/ index.php?id=22>

BKKPM.2011.Surabaya Akan Bangun Trem dan Monorel.

<URL:http://bkppm.surabaya.go.id/index.php?option=com content&view=article&id=146:surabaya akan bangun-trem-dan-monorel&catid=34:berita-media-massa&Itemid=66&lang=in>

Jawa Pos.Rabu, 23 Januari 2013Transportasi masal. Jawa Pos halaman 26.

Rahmawati, N.2012.Analisis Pemodelan Dan Penjadwalan Busway Di Surabaya dengan Aljabar Max-Plus, Tesis Magister Matematika ITS Surabaya

Fahim, K.2013.Aplikasi Aljabar Max-Plus Pada Pemodelan Dan Penjadwalan Busway Yang Diintegrasikan Dengan Kereta Api Komuter, Tugas Akhir Matematika ITS Surabaya

Oktavianto, K.2013.Implementasi Aljabar Max-Plus Pada Pemodelan Dan Penjadwalan Keberangkatan Bus Kota Damri(Studi Kasus di Surabaya Tugas Akhir Matematika ITS

Subiono.2012.Aljabar Maxplus dan Terapannya.Buku Ajar Kuliah Pasca Sarjana Matematika, ITS, Surabaya.

Subiono,Fahim.K., dan Adzkiya,D .2013.Maxplus Algebra And Petrinet Toolbox. <http://atoms.scilab. org/toolboxes/maxplus_etrinet>