MATEMATIKA TEKNIK KIMIA

Program Studi

Program Studi T

Teknik Ki

eknik Kimia

mia

Fakulta

Fakultas T

s Tekni

eknik

k

Univ

Universitas

ersitas Brawijaya

Brawijaya

 W

Pengola

Pengolahan Dat

han Data T

a Teknik

eknik &

&

Persamaan Pendekatan untuk Estimasi

Persamaan Pendekatan untuk Estimasi

Pengola

Pengolahan Dat

han Data T

a Teknik

eknik &

&

Persamaan Pendekatan untuk Estimasi

Persamaan Pendekatan untuk Estimasi

Pengolahan data teknik dan

Pengolahan data teknik dan

persamaan pendekatan untuk estimasi

persamaan pendekatan untuk estimasi

 A. P

 A. Persamaan

ersamaan Linier

Linier

Bentuk umum: y = ax + b

Bentuk umum: y = ax + b

bentuk grafis

bentuk grafis

pers. linier

pers. linier

 y= f (x1, x2, ……)

 y= f (x1, x2, ……)

2 variabel

 Variabel bebas/

faktor (independent

 variable)

 Variabel tdk bebas/

 variabel response

(dependent variable)

x = variable bebas

 y = variabel tidak bebas

D1,…..,Dn = jarak antara garis dengan titik secara vertikal

Garis regresi terbaik dicapai jika: D₁2_{+ D}

12+ ….. + Dn2memberikan nilai minimum

Persamaan regresi least square:

a0 dan a1 adalah koefisien regresi

Dimana a0 = intercept; a1 = gradien

 Y = a0 + a1X 

CASE

2

 y = variable bebas

x = variabel tidak bebas H3,…..,Hn = jarak antara garis dengan

titik secara horisontal/ deviasi

Persamaan regresi least square:

b0 dan b1 adalah koefisien regresi

 X dan Y adalah nilai koordinat

Contoh Soal:

In an experiment to determine the relationship between frequency and the

inductive reactance of an electrical circuit, the following results were obtained: Frequency (Hz) : 50 100 150 200 250 300 350

Inductive reactance (ohms) : 30 65 90 130 150 190 200 Determine the equation of the regression line of inductive reactance on frequency, assuming a linear relationship

Since the regression line of inductive reactance on frequency is required, the frequency is the independent variable, X, and the inductive reactance is the dependent variable, Y.

The equation of the regression line of Y on X is:  Answer:

Problem 1

Frequency, X Inductive reactance, Y

X

2

_XY

50 30 2500 1500 100 65 10000 6500 150 90 22500 13500 200 130 40000 16000 250 150 62500 37500 300 190 90000 57000 350 200 122500 70000 ΣX = 1400 ΣY = 855 ΣX2 _{= 350000 ΣXY = 212000}

= 0.586

= 4.94

the equation of the

regression line of inductive

reactance on frequency is:

Problem 2

For the data given in Problem 1, determine the equation of the

regression line of frequency on inductive reactance, assuming a

linear relationship

In this case, the inductive reactance is the independent variable X

and the frequency is the dependent variable Y. From equations 3

and 4, the equation of the regression line of X on Y is:

 Answer:

 Y = b0 + b1X 

= -6.15

= 1.69

the equation of the

regression line of inductive

reactance on frequency is:

B. Persamaan Logaritmik

Bentuk umum persamaan logaritmik adalah y = ax

n

x vs y pada koordinat logaritmik 

x

y

Persamaan

Persamaan logaritmik

logaritmik

dapat

dapat dilinierkan

dilinierkan

menjadi :

menjadi :

log y = log a + n log x

log y = log a + n log x

y’

y’ =

= ax

ax’

’ + b

+ b

dimana :

dimana :

y’ = log y

y’ = log y

x’ = log x

x’ = log x

Secara grafik dapat digambarkan dalam bentuk :

Secara grafik dapat digambarkan dalam bentuk :

log x vs log y pada koordinat linier

log x vs log y pada koordinat linier

log y

log y

log x

log x

y = ax

y = ax

nn

Contoh Soal:

Contoh Soal:

Data kesetimbangan biosorpsi Cu dengan

Data kesetimbangan biosorpsi Cu dengan saccharomyces cereviciae adalah sebagaisaccharomyces cereviciae adalah sebagai berikut :

berikut :

Berat biomassa (m) = 0.2 gram Berat biomassa (m) = 0.2 gram V

Volume lolume larutan arutan CuSOCuSO₄₄ (V) = 100 ml(V) = 100 ml No No CC_oo (mg/l) (mg/l) C C_ss (mg/l) (mg/l) q q_ss datadata (mg/g) (mg/g) % Penyerapan % Penyerapan 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 20 20 40 40 60 60 80 80 100 100 9.5325 9.5325 22.2425 22.2425 34.9525 34.9525 47.6625 47.6625 63.55 63.55 5.23375 5.23375 8.87875 8.87875 12.52375 12.52375 16.16875 16.16875 18.225 18.225 52.3375 52.3375 44.39375 44.39375 41.74583 41.74583 40.42188 40.42188 36.45 36.45 Hubungan antara Cs dengan qs adalah

Hubungan antara Cs dengan qs adalah

Jika isotherm kesetimbangan yang dipakai adalah

Jika isotherm kesetimbangan yang dipakai adalah Model Isotherm Freundlich,Model Isotherm Freundlich, dengan persamaan : q

dengan persamaan : q_ss = K= K_FFCC_ss1/n1/n

Dimana Cs = konsetrasi cairan, q

Persamaan diatas dapat dilinierkan menjadi : Persamaan diatas dapat dilinierkan menjadi : log q

log q_ss = log K= log K_FF + (1/n) log C+ (1/n) log C_ss y’

y’ == axax’ ’ + b+ b

No

No

x = log C

x = log C

_ss

y = log q

y = log q

_ss

x

x

22

_xy

_xy

1

1

2

2

3

3

4

4

5

5

0.979207

0.979207

1.347184

1.347184

1.543478

1.543478

1.678177

1.678177

1.803116

1.803116

0.718813

0.718813

0.948352

0.948352

1.097734

1.097734

1.208676

1.208676

1.260668

1.260668

0.958846

0.958846

1.814904

1.814904

2.382325

2.382325

2.816277

2.816277

3.251226

3.251226

0.703867

0.703867

1.277604

1.277604

1.694329

1.694329

2.028373

2.028373

2.273129

2.273129

Total

Total

7.351161

7.351161

5.234243

5.234243

11.22358

11.22358

7.977302

7.977302

Menghitung harga a :

Menghitung harga a :

= 0.677828 = 0.677828

Menghitung harga b :

Menghitung harga b :

_{= 0.050284= 0.050284}

Dengan mengganti harga a dan b maka persamaan: y = 0.677828 x + 0.050284

log q_s = 0.677828 log C_s + 0.050284 Sehingga diperoleh harga (1/n) dan K_F, sbb :

1/n = 0.677828

K_F = 10^0.050284 = 1.12275242

Harga kf dan 1/n disubstitusikan persamaan isotherm freundlich akan diperoleh harga q_s model (perhitungan) dan persen kesalahan :

No

q

_{s data}

q

_{s model}

%

Kesalahan

1

2

3

4

5

5.23375

8.87875

12.52375

16.16875

18.225

5.176282854

9.192698152

12.48811818

15.40987089

18.72776711

1.09801091

3.535949903

0.284513983

4.693492756

2.75866727

C. Persamaan Eksponensial

Bentuk umum persamaan logaritmik adalah

Persamaan logaritmik dapat dilinierkan menjadi :

ln y = ln a + bx

Y= Ax + B

y = ae

bx

Dimana:

Y = ln y

X = x

B = ln a

A = b

Contoh Soal:

Pada suatu reaksi kimia diperoleh data hubungan antara temperatur (T)

dengan harga konstanta kecepatan reaksi (k) sebagai berikut :

No

Temperatur, K

k. 1/menit

1

300

0.0012

2

330

0.0017

3

360

0.0025

4

390

0.0036

5

420

0.0042

Jika hubungan antara k dan T mengikuti persamaan Arrhenius :

k = A.exp(-E/RT)

Answer:

Persamaan Arrhenius dapat dilinierkan menjadi :

ln k = ln A – E/RT

y = b – ax

No T, K k, 1/mnt x=1/T y=ln k xy x^2 1 300 0.0012 0.003333 -6.72543 -0.02242 1.11111E-05 2 330 0.0017 0.00303 -6.37713 -0.01932 9.18274E-06 3 360 0.0025 0.002778 -5.99146 -0.01664 7.71605E-06 4 390 0.0036 0.002564 -5.62682 -0.01443 6.57462E-06 5 420 0.0042 0.002381 -5.47267 -0.01303 5.66893E-06 0.014086 -30.1935 -0.08584 4.02535E-05

y= ln k 

x = 1/T

b = ln A

a = -E/R

Dari hasil perhitungan

akan diperoleh :

Harga konstanta pada persamaan linier (a dan b) :

a= -1373,19

b = -2,17002

Harga konstanta pada persamaan Arrhenius ( A dan E) dimana dimana

R = 1,987 cal/mol K:

A = 0,114175

E = 2728,529 cal/mol K









 









2 2 . .  x n  x  xy n  y  x a

 





 





   2 2 2 . . .  x n  x  x  y  xy  x b

bx

a

 x

 y

  b  x a  y   1

Persamaan berbentuk:

Persamaan diatas dapat dilinierkan menjadi:

dimana :

y’ = 1/y

x’ = 1/x

y’ = ax’ + b

Contoh Soal

Data kesetimbangan biosorpsi Cu dengan saccharomyces cereviacae

adalah sebagai berikut :

Berat biomassa (m)

= 0.2 gram

Volume larutan CuSO

₄

(V)

= 100 ml

No C_o (mg/l) C_s (mg/l) q_s data (mg/g) % Penyerapan 1 2 3 4 5 20 40 60 80 100 9.5325 22.2425 34.9525 47.6625 63.55 5.23375 8.87875 12.52375 16.16875 18.225 52.3375 44.39375 41.74583 40.42188 36.45 m Cs Co V  q_s 

(



)

bCs

bCs

q

qs

mas  

1

Hubungan antara Cs dengan qs adalah :

Jika isotherm kesetimbangan yang dipakai adalah Model

Isotherm Langmuir, dengan persamaan :

Persamaan dapat dilinierkan menjadi :

1/q

_s

= 1/ (q

_maks

bC

_s

) + 1/ q

_maks

Jika data-data dimasukkan akan diperoleh:

No C_o C_s 1/C_s = x q_s 1/q_s = y x2 _xy 1 2 3 4 5 20 40 60 80 100 9.5325 22.2425 34.9525 47.6625 63.55 0.104904 0.044959 0.02861 0.020981 0.015736 5.23375 8.87875 12.52375 16.16875 18.225 0.191068 0.112628 0.079848 0.061848 0.05487 0.011005 0.002021 0.000819 0.00044 0.000248 0.020044 0.005064 0.002284 0.001298 0.000863 Total 0.21519 0.500262 0.014533 0.029553

Menghitung harga :

 





 









2 2

.

.

 x

n

 x

 xy

n

 y

 x

a

= 1.521983

 

_

_

 





   2 2 2 . . .  x n  x  x  y  xy  x b = 0.034549

Dengan mengganti harga a dan b maka persamaan : y’ = 1.521983 x’ + 0.034549

atau

maka q_maks = 28.94419

untuk memperoleh harga q

_s

model (perhitungan)

No

C

_o

C

_s

1/q

_s

(model)

q

_s

model

1

20

9.5325

0.194213 5.149

2

40

22.243

0.102977 9.711

3

60

34.953

0.078094 12.805

4

80

47.663

0.066482 15.042

5

100

63.55

0.058499 17.094

1/q

_s

= 1/ (q

_maks

bC

_s

) + 1/ q

_maks

Harga C

_s

disubstitusikan ke persamaan

No q_{s data} q_{s model} % Kesalahan 1 2 3 4 5 5.23375 8.87875 12.52375 16.16875 18.225 5.149019 9.710997 12.80515 15.04172 17.09442 1.618937 9.37347 2.24695 6.970406 6.203459 % Kesalahan rata-rata 5.282644

Perhitungan % kesalahan :

Metode Interpolasi

Persamaan dasar metode interpolasi :

)

(

)

(

)

(

2 2 1 1 o o

Y 

Y 

 X 

 X 

 Xo

 X 

Yo

Y 

    

X

Y

Xo

Yo

X2

Y2

X3

Y3

X4

Y4

Misal untuk suatu variabel bebas dan terikat :

Contoh Soal:

Pada steam tabel pada steam jenuh terdapat nilai H

_fg

untuk masing-masing temperatur sebagai berikut :

T, o_{F H}

fg

100 950

120 942

150 935

Berapa harga H_fg pada T = 130 o_F?

Answer: ) 942 935 ( 30 10 942  

LANGKAH-LANGKAH UMUM DALAM MEMBUAT SUATU PERSAMAAN DARI SUATU DATA PERCOBAAN :

1. BUAT GRAFIK (X,Y)

2. TENTUKAN PERSAMAAN YANG PALING SESUAI 3. HITUNG KONSTANTA-KONSTANTA YANG ADA 4. HITUNG PERSEN KESALAHAN RATA-RATA

5. PERSAMAAN DIANGGAP MENDEKATI DATA JIKA PERSEN KESALAHAN RATA-RATANYA < 10%

Operasi Matriks di Excel

•

Operasi matriks dapat digunakan untuk

menyelesaikan sistem persamaan secara simultan.

Metode ini biasanya dipakai dalam neraca massa.

•

Contoh:

2

3

4

8

3

2

2 1 2 1











 x  x  x  x

 B

 AX 



















3 4 3 2  A















2 1  x  x  X 

_















2 8  B

 X 



 A

1

B

Blok sel yang akan digunakan untuk matriks inverse lalu ketik:

=MINVERSE(C2:D3) lalu tekan Ctrl-Shift-Enter bersamaan

Blok sel yang akan digunakan untuk matriks X lalu ketik:

=MMULT(C5:D6,G2:G3) lalu tekan Ctrl-Shift-Enter bersamaan

Column 1

Column 2

Column 3

Time

Concentration

-r

_A

t,

s

C

_A,

mol/liter

0

10

0.1256

20

8

0.0919

40

6

0.0614

60

5

0.0476

120

3

0.0233

180

2

0.0132

300

1

0.0050

-r

_A

= kC

_An

Exercise

Reactant A decomposes in a batch reactor A

product

The composition of A in the reactor is measured at various times

with results shown in the following columns 1 and 2.

Find the reaction constant and reaction order if the reaction

equation is

-r

_A

= kC

_An

Column 1 Column 2 Column 3 Column 4 Column 5 Column 6 Column 7 Time Concentration -r_A x = log CA y = log -rA x2 xy

t, s C_A, mol/liter 0 10 0.1256 1.0000 -0.9010 1 -0.9010 20 8 0.0919 0.9031 -1.0367 0.8156 -0.9362 40 6 0.0614 0.7782 -1.2116 0.6055 -0.9428 60 5 0.0476 0.6990 -1.3225 0.4886 -0.9244 120 3 0.0233 0.4771 -1.6331 0.2276 -0.7792 180 2 0.0132 0.3010 -1.8796 0.0906 -0.5658 300 1 0.0050 0 -2.3010 0 0 Total 4.1584 -10.2855 3.2279 -5.0494

Persamaan dapat dilinierkan menjadi : log -r_A = log k + n log C_A

y’ = ax’ + b

Menghitung harga a :

= 1.4

Menghitung harga b :

_{= -2.30103}

-r

_A

= kC

_An n = 1.4 k = 0.005

Exercise!!

A wet paper pulp is found to contain 71% water. After drying it is found that 60% Of the original water has been removed. Calculate the following:

(a)The composition of the dried pulp

(b)The mass of water removed per kilogram of wet pulp

Solution:

Wet pulp Pulp: 0.29 H₂O: 0.71

F Dried pulp_{Pulp: 0.505}

H₂O

H₂O

x y

Solution:

Persoalan di atas dapat disederhanakan berdasarkan neraca massa komponen menjadi persamaan aljabar sebagai berikut:

0.505x = 0.29 0.495x + y = 0.71 A= 0.505 0 B= 0.29 0.495 1 0.71 A-1_{= 1.9802 0} -0.98 1 X = 0.574 0.426

Nilai x dan y dapat dicari dengan menggunakan matriks yang diperoleh menggunakan excel dimana A X = B atau X = A-1 _B

x = 0574 y = 0.426

Latihan Soal 1

Steam table adalah tabel yang menyediakan data-data fisis dari

uap H

₂

O pada berbagai suhu dan tekanan, baik pada kondisi

 jenuh atau superheat. Tentukan entalpi steam pada tekanan 150

kPa dan 360

o

C bila data yang tertera pada steam table adalah

sebagai berikut:

Tekanan, kPa H, pada 350o_{C H, pada 400}o_C

125 3175,2 3277,8

150 3073,9 3174,7

Suatu kolom distilasi umumnya beroperasi untuk

memisahkan seperti campuran etanol air berikut:

Hitunglah massa distilat per kg limbah!

1 kg Feed (F): 35% Etanol 65% H₂O Distilat (D): 85% Etanol 15% H₂O Waste(W): 5% Etanol 95% H₂O

Latihan Soal 2

D = 0.375

Latihan Soal 3

Pure gaseous reactant A (C_A0 = 100milimol/lt) is fed at a steady rate into A mixed flow reactor (V = 0.1 liter) where it dimerizes (2A R). For different gas feed rates the following data are obtained:

Run number 1 2 3 4

 υ₀, liter/hr 10 3 1.2 0.5

C_Af , millimol/liter 85.7 66.7 50 33.4 Find k and n if the rate equation is

-r

A

= kC

An

Solver

Microsoft Excel mempunyai modul yang disebut Excel Solver yang mengijinkan pemakai untuk memasukkan nilai decision variable, constraint, dan objective untuk  melakukan optimasi ke dalam cell dari suatu spreadsheet

Misal ada persamaan sebagai berikut: X₁ = 2T

X₂ = 3T Y₁ = 4.2 X₁ Y₂ = 7.5 X₂ Y₁ +Y₂ = 1

Uap sebanyak F mol/mnt yang mengandung i-butane, n-butane dan n-hexane dengan fraksi mol umpan masing-masing sebesar 0.3, 0.2, 0.5, didinginkan di dalam suatu kondensor sehingga terbentuk campuran uap dan cairan yang kemudian dipisahkan dalam suatu flash. Tekanan sistem sebesar 1500 mmHg. Diinginkan perbandingan laju alir mol liquid dan laju alir mol feed (L/F) = 0.42. Berapakah suhu pendinginan yang diperlukan serta komposisi cairan dan uap yang diperoleh?

Data tekanan uap setiap komponen adalah sebagai berikut: A = i-butane B = n-butane C = n-hexane

P dalam mmHg dan t dalam 0_C

Algoritma Perhitungan

Langkah penyelesaian:

1. Trial T (suhu pendinginan dalam 0_C)

2. Hitung dari pers. (2) 3. Hitung xi dari pers. (3) 4. Hitung yi dari pers. (3)

5. Cek apakah nilai T yang ditrial sudah memenuhi pers. (4). Jika belum, kembali ke langkah(1)

……(1)

……(2)

……(3)

Hukum Kekekalan &

Hukum Kekekalan Massa

Neraca massa total:

massa tidak dapat berkurang atau bertambah, sehingga neraca massanya dapat dituliskan sebagai berikut:

Laju akumulasi massa dalam sistem laju massa masuk  sistem laju massa keluar sistem =

-Neraca massa komponen:

massa suatu komponen dapat berkurang atau bertambah, sehingga neraca massanya menjadi:

Laju akumulasi massa komponen i dalam sistem = laju massa komponen i masuk sistem laju massa komponen i keluar sistem

-+ laju massa komponen i yang terbentuk 

-

_{komponen i yang}laju massa

Hukum Kekekalan Energi

laju akumulasi energi

dalam sistem =

laju energi masuk  sistem

laju energi keluar sistem

-+

laju energi yang timbul dalam

sistem

-laju energi yang terpakai dalam

sistem

Energi yang timbul ataupun terpakai dalam sistem dapat disebabkan oleh adanya reaksi kimia, reaksi nuklir, listrik, magnet, gesekan dan kompressi.

Reaksi eksoterm akan menambah energi dalam sistem sedangkan reaksi endoterm akan mengurangi energi dalam sistem.

Energi dapat dibagi menjadi dua yaitu:

• Energi yang dimiliki oleh aliran massa yaitu energi kinetik, energi potensial, energi dalam dan energi alir

Hukum Kecepatan

a. Kecepatan Perpindahan Massa Perpindahan massa secara difusi: Perpindahan massa secara konveksi: dimana,

= Laju perpindahan massa komponen A ke arah x [mol/s] = koefisien difusivitas komponen A [m2 _/s]

= luas perpindahan massa [m2_]

= gradien konsentrasi komponen A ke arah x = koefisien perpindahan massa [m/s]

= konsentrasi A pada bidang batas [mol/m3_]

b. Kecepatan Perpindahan Panas Perpindahan massa secara konduksi: Perpindahan massa secara konveksi: dimana,

= laju perpindahan panas ke arah x [W], [Btu/h] = konduktivitas termal [W/m. K]

= luas perpindahan panas [m2_]

= gradien temperatur ke arah x

= koefisien perpindahan panas konveksi [W/m2._K]

= temperatur pada interface [K] = temperatur pada badan fluida [K]

c. Kecepatan Reaksi

maka kecepatan reaksinya dapat dituliskan sebagai berikut:

dimana,

= laju reaksi komponen A

= konstanta reaksi = konsentrasi A = konstanta reaksi

Prosedur Penyelesaian dalam perumusan matematik suatu sistem proses:

1. Buat sketsa sistem, definisikan variabel-variabel &

parameter-parameter

2. Pilih kontrol volume yang ditinjau untuk pengembangan modelnya

3. Buat persamaan neraca pada control volume dengan menggunakan

hukum-hukum kecepatan dan atau hukum kesetimbangan yang

diperlukan. Umumnya akan dihasilkan persamaan diferensial

4. Tulis kondisi batas dan kondisi awal

5. Selesaikan persamaan diferensial pada pers. (3) dengan kondisi

batas/awal pada pers (4)

6. Interpretasi penyelesaian

Asumsi diberikan untuk beberapa situasi atau variabel yang tidak 

terlalu berpengaruh.

Garam: 10 kg

Air: 1 m3

ρ tidak bisa diasumsikan tetap atau dengan kata lain Contoh:

Garam: 10 gr

Air: 1 m3

Bisa dianggap ρ tetap, berarti

Contoh soal 1 (Kondisi Steady):

Suatu tangki dengan volume 100 lt, mula-mula mengandung garam dengan

konsentrasi sebesar C_A0 kg/lt. Ke dalam tangki dialirkan air dengan laju 5 lt/mnt. Sedangkan liquid mengalir dari tangki dengan laju 5 lt/mnt. Jabarkan suatu

persamaan yang menggambarkan perubahan konsentrasi garam yang keluar reaktor setiap waktu! Penyelesaian:  υ_air = 5 lt/mnt C_A1= 0 ρ₁ = ρ air  C_A ρ  υ _{lar. garam} = 5 lt/mnt C_A2= ρ₂ = ρ lar. garam

Contoh soal 2 (Kondisi Unsteady):

Suatu tangki dengan volume 100 lt, mula-mula berisi air murni. Ke dalam

tangki dialirkan larutan garam dengan konsentrasi 0,0015 kg/lt dan laju

5 lt/mnt. Sedangkan liquid mengalir dari tangki dengan laju 3 lt/mnt.

1.Sebuah tangki berisi 2 m3 _{air. Ke dalam tangki mengalir larutan garam dengan}

konsentrasi 20 kg/ m3 _{dengan kecepatan alir 0,02 m}3 _{/s. Liquid mengalir dari tangki}

dengan rate 0,01 m3 _{/s. Berapa konsentrasi dalam tangki jika tangki mengandung 4 m}3

larutan garam?

2. Tangki yang berisi larutan garam mula-mula bervolume 100 lt dengan konsentrasi 0,002 kg/lt. Kemudian air murni dialirkan ke dalam tangki dengan laju 1 lt/mnt.

a. Jabarkan suatu persamaan diferensial yang menggambarkan perubahan konsentrasi garam dalam tangki setiap waktu

b. Hitung waktu yang dibutuhkan jika diinginkan konsentrasi garam dalam tangki sebesar 0,001 kg/lt

3. Dua buah tangki masing-masing bervolume 25 m3_{, berisi larutan garam dengan}

konsentrasi 100 kg/ m3_{. Ke dalam tangki pertama dialirkan air murni dengan rate}

0,2 m3 _{/min sedangkan larutan garam yang keluar tangki pertama dialirkan ke tangki}

kedua dengan rate 0,2 m3 _{/min. Larutan garam yang keluar dari tangki kedua juga}

mempunyai rate yang sama yaitu 0,2 m3 _/min.

a. Hitung waktu yang dibutuhkan agar konsentrasi garam dalam tangki pertama sebesar 10 kg/ m3

b. Hitung konsentrasi garam dalam tangki kedua pada saat konsentrasi garam dalam Tugas 1:

2. Suatu reaktor batch dengan volume konstan mengalami reaksi seri

berikut ini: A

k1

B

k2

C

Anggap reaksi – reaksi ini orde 1. Mula-mula di dalam reaktor terdapat

larutan A dengan kadar C

_A0

mol/volume. Tentukan C

_A

(t), C

_B

(t), C

_C

(t)

Contoh soal 3

1. 5 m

3

 _{/jam larutan yang mengadung reaktan A dengan konsentrasi 2}

kgmol/m

3

dialirkan ke dalam suatu reaktor alir tangki berpengaduk,

yang mula-mula berisi pelarut murni sebanyak 2 m

3

_{. Di dalam}

reaktor terjadi reaksi peruraian A

R + S yang merupakan reaksi

irreversible orde 1. Dari reaktor keluar larutan dengan laju alir 5

m

3

 _/jam.

a. Tentukan persamaan yang menyatakan konsentrasi A dalam reaktor

sebagai fungsi waktu

b. Tentukan waktu yang dibutuhkan agar konsentrasi A yang keluar

reaktor

Lump Parameter & Distributed Parameter Model

Lump parameter model: Model formulasi matematik suatu proses

dimana variabel-variabel dependennya

seragam di seluruh bagian sistem

Contoh: Sistem tangki teraduk 

Konsentrasi di seluruh reaktor sama

Sistem yang ditinjau untuk formulasi matematik adalah seluruh

bagian sistem

Distributed Parameter Model: Model formulasi matematik suatu proses

dimana nilai variabel-variabel proses

tersebut tidak seragam di seluruh bagian

sistem

Sistem yang ditinjau untuk formulasi matematik adalah bagian elemen

kecil dari sistem keseluruhan

Contoh: Sistem reaktor plug flow

Control Volume

in out

Liquid yang dialirkan ke dalam

reaktor tidak tercampur dengan

sempurna sehingga terjadi

ILUSTRASI PROSES PEMODELAN

Contoh:

Proses pendinginan fluida yang mengalir di dalam pipa

berpenampang lingkaran.

MODEL 1

 _–

PLUG FLOW

1. Buat sketsa sistem.



Plug flow:



Profil kecepatan fluida

berbentuk plug (merata

pada posisi radial).



Elemen fluida bercampur

sempurna ke arah radial

sehingga temperatur

fluida merata pada

bidang normal terhadap

bidang aliran (arah

 Jika tube tidak panjang atau perbedaan temperatur tidak

besar, maka sifat fisik fluida tidak banyak berubah.

2. Membuat asumsi:

1.

Keadaan tunak;

2.

Sifat fisik fluida (

  

,

C 

_p

,

_k

dll) konstan;

3.

Temperatur dinding konstan dan merata (tidak berubah

ke arah

z

_atau

r 

_{) dengan nilai}

T 

 _w

_;

4.

Temperatur inlet konstan dan merata (tidak berubah ke

arah

r 

_{) dengan nilai}

T 

₀

_{, dimana}

T 

₀

_>

T 

 _w

_;

5.

Profil kecepatan berbentuk plug atau datar sehingga

merata ke arah

z

_atau

r;

6.

Fluida bercampur sempurna (turbulen Re > 2100)

sehingga temperatur merata ke arah radial;

7.

Konduksi termal sepanjang sumbu relatif kecil

 3. Buat sketsa elemen volume diferensial sistem

(fluida alir) atau

“volume

_kontrol."

4. Kembangkan hukum kekekalan energi umum



Keadaan tunak



akumulasi nol.



Tidak ada sumber kimia, nuklir atau listrik



tidak ada

pembangkit panas.



Panas hanya berpindah melalui perimeter elemen akibat

perbedaan temperatur antara fluida dan dinding.



Laju pengambilan panas menggunakan hukum pendinginan

Newton (+)

Luas kontak = keliling x panjang.

Koefisien perpindahan panas,

h

_konstan.

Tanda bar di atas

T 

_{menyatakan nilai rata-rata antara}

T 

₍

z

₎



Kembangkan hukum kekekalan energi umum



Sepanjang sumbu, panas masuk dan keluar hanya

melalui konveksi (aliran) sehingga



Dua suku pertama: laju alir massa x entalpi lokal (temp.

Disusun kembali dan dibagi



_z

, diperoleh

Dengan



Pengelompokan parameter menjadi satu suku

(parameter lumping)

menjadi

.

dimana

.

Contoh soal

Suatu cairan dengan suhu T0 masuk ke dalam pipa dengan

kecepatan superfisial v. Cairan tersebut didinginkan pada

saat melewati pipa. Di luar pipa terdapat cairan pendingin dan

dianggap suhu dinding dalam pipa seragam dan konstan sebesar

Tw. Anggap aliran sangat turbulen sehingga distribusi kecepatan

cairan adalah flat. Koefisien perpindahan panas secara konveksi

pada dinding pipa adalah h. Tentukan distribusi suhu cairan di

dalam pipa!

PENERAPAN HUKUM KEKEKALAN ENERGI &

HUKUM KECEPATAN PERPINDAHAN PANAS

Suatu shell silinder metalik digunakan sebagai peralatan

perpindahan panas, dimana panas mengalir dari permukaan dalam

ke permukaan luar. Jika kedua permukaan tersebut mempunyai

temperatur konstan yang berbeda, cari distribusi temperatur kondisi

steady dalam material tersebut!

Contoh soal

MODEL 2

 _–

KECEPATAN PARABOLIK



 Volume kontrol berbentuk cincin dengan tebal

r 

dan panjang

_z

;



Panas melewati dua permukaan, area anular yang normal

terhadap aliran fluida, dan area sepanjang keliling cincin;



Fluks panas (laju per satuan luas normal) menggunakan

MODEL 2

 _–

KECEPATAN PARABOLIK



Laju bersih pembentukan (pelepasan) panas oleh

konduksi = fluks x luas area normal terhadap arah

fluks.

 –

KECEPATAN PARABOLIK



Dua koordinat posisi



proses diferensiasi parsial,

misalnya

disusun kembali dan dibagi dengan 2



_z



_r 

.

.

 –

KECEPATAN PARABOLIK

Dengan limit, diperoleh



Turunan terhadap

z

menunjukkan nilai

r 

konstan,

sehingga

r 

_{dapat ditempatkan di luar suku; dengan}



Substitusi hukum Fourier dan

u

_z

ke

diperoleh

MODEL 2

 _–

KECEPATAN PARABOLIK

Tugas 2:

. Sebuah bola berongga (dengan jari-jari dalam 0,5 m dan jari-jari luar

0,6 m) berturut-turut dipertahankan pada suhu 330 K dan 310 K.

Konduktivitas termal bahan bola adalah 0,9 W/m.K. Anggap

perpindahan panas hanya terjadi secara konduksi.

a.Tentukan distribusi suhu pada dinding bola

b.Tentukan laju panas yang hilang dari bola

. Suatu batang silider terbuat dari logam yang kedua ujungnya terisolasi

sehingga perpindahan panas hanya ke arah radial saja. Mula-mula

batang silinder berada pada suhu seragam T

₀

. Jabarkan persamaan

diferensial yang menggambarkan peristiwa perpindahan panas di

dalam silinder jika dianggap perpindahan panas terjadi secara

3. Sebuah sirip berbentuk segitiga dengan panjang L, lebar dasar sirip

W dan tebal sebesar satu satuan panjang. Dasar sirip di las pada suatu

benda tertentu dengan temperatur konstan T

_B

. Dari sirip terjadi

kehilangan panas secara konveksi ke lingkungan yang bertemperatur

T

_A

. Koefisien transfer panas secara konveksi pada permukaan adalah

h (Btu/j.ft

2

_.

0

_{F) dan konduktivitas panas dari sirip adalah k} 

(Btu/j.ft

2

_.

0

_{F). Pada kondisi steady state, jabarkan persamaan}

diferensial yang menggambarkan hubungan antara temperatur

dengan jarak dari dasar sirip (L-x)

Bentuk umum :

dimana x

₁

, x

₂

, . . . , x

_n

variabel tak diketahui,

a

ij

,

bi

,

i = 1, 2, . . . , m; j = 1, 2, . . . , n bil. diketahui.

Ini adalah SPL dengan m persamaan dan n variabel.

Persamaan Aljabar Linear

 Atau bila dinyatakan dalam notasi matriks:

Metode Penyelesaian Persamaan Aljabar Linear

Langsung: digunakan pada matriks yang rapat (dense matrix)

 Yaitu matriks yang elemen-elemen nol-nya hanya sedikit

Metode: Eliminasi Gauss, eliminasi Gauss-Jordan dan LU decomposition

Tak Langsung: digunakan untuk sparse matriks  Yaitu matriks yang banyak elemen-elemen nol-nya

Dimana metode ini butuh harga awal (tebakan) Metode: Jacobi dan Gauss-Siedel

Prinsipnya: merupakan operasi eliminasi dan substitusi variabel-variabelnya sedemikian rupa sehingga dapat terbentuk matriks segitiga atas , dan akhirnya solusinya diselesaikan menggunakan teknik substitusi balik (backsubstitution).

Diagonal utama tidak boleh sama dengan nol

Contoh matriks segitiga atas

Perlu dicatat: Pada setiap tahap, arr TIDAK BOLEH sama dengan nol

Tiap tahap diadakan pertukaran baris agar harga

a

rr adalah

Contoh: Contoh:

Carilah x1, x2, dan x3 dari persamaan berikut dengan cara Eliminasi Gauss Carilah x1, x2, dan x3 dari persamaan berikut dengan cara Eliminasi Gauss

3x 3x₁₁ –  –  xx₂₂ + 2x+ 2x₃₃ = 12= 12 x x₁₁ + 2x+ 2x₂₂ + 3x+ 3x₃₃ = 11= 11 2x 2x₁₁ –  – 2x2x₂₂ –  –  xx₃₃ = = 22 Penyelesaian: Penyelesaian: B B₂₂- 1/3B- 1/3B₁₁ B B₃₃- 2/3B- 2/3B₁₁ B B₃₃+ 4/7B+ 4/7B₂₂ x x₃₃ = 2= 2 x x₂₂= 1= 1 Substitusi Substitusi xx₃₃ ke pers. 2 ke pers. 2 Substitusi Substitusi xx₂₂ dan

Prinsipnya: mirip sekali dengan metode EG, namun dalam metode ini harga Prinsipnya: mirip sekali dengan metode EG, namun dalam metode ini harga (absolut) yang besar ada di diagonalnya

(absolut) yang besar ada di diagonalnya

1.

1. JJikika sa seebubuah ah babariris ss seelulururuhnhnyyaa bukanbukan merupakan angka nol, maka angkamerupakan angka nol, maka angka bukan nol pertama pada baris tersebut adalah 1 (

bukan nol pertama pada baris tersebut adalah 1 (leading 1).leading 1).

2.

2. JikJika ada ada 2 baa 2 baris ris berberuruurutan tan yanyang samg sama-sa-samama tida tidak tak terderdiri iri dardari ani angka gka nolnol seluruhnya, maka

seluruhnya, maka leading 1 dari baris yang lebih bawah berada dileading 1 dari baris yang lebih bawah berada di

sebelah kanan dari leading 1

sebelah kanan dari leading 1 yang yang beradaberada di baris yang lebih atasdi baris yang lebih atas.. 3.

3. PaPada da sesetitiap ap kokololom m yayang ng mmememililikikii leading 1 di kolomnyaleading 1 di kolomnya , maka  , maka nilai yangnilai yang ada di kolom

ada di kolom tersebut kecualitersebut kecuali leading 1 adalah nol.leading 1 adalah nol.

Syarat Metode Syarat Metode Gauss-Jordan Gauss-Jordan

METODA GAUSS-JORDAN

METODA GAUSS-JORDAN

Contoh: Contoh:

Selesaikan sistem persamaan berikut dengan metode Gauss-Jordan! Selesaikan sistem persamaan berikut dengan metode Gauss-Jordan!

Penyelesaian: Penyelesaian: Tukar baris Tukar baris 1 dan 4 1 dan 4 B B₁₁ /6 /6 B B₂₂-2B-2B₁₁'' B B₃₃-4B-4B₁₁'' Tukar baris Tukar baris 2 dan 3 2 dan 3 BB_BB22 /(-1 /(-11/3)1/3) 1 1-1/6B-1/6B22'' B B₃₃-5/3B-5/3B₂₂'' B B₄₄-2B-2B₂₂''

B₃ /(75/11) B₁+ 9/11B₃' B₂+12/11B₃' B₄-24/11B₃' B₄ /(39/25) B₁- 1/25B₄' B₂+77/275B₄' B₃-62/75B₄' Sehingga: x₁ = -1/2 x₂ = 1 x₃ = 1/3 x₄ = -2

Prinsipnya: melakukan dekomposisi matriks A terlebih dahulu sehingga dapat terbentuk matriks-matrik segitiga atas dan bawah, kemudian secara mudah dapat melakukan substitusi balik (backsubstitution) untuk berbagai vektor VRK (vektor  ruas kanan).

Matriks A diuraikan ke dalam hasil kali dua matriks L dan U, dimana L adalah

Triangular bagian bawah (Lower) dan U adalah Triangular matriks bagian atas (Upper) dengan angka 1 pada diagonalnya.

Penentuan elemen-elemen matriks L dan U dapat dijabarkan sebagai berikut:

METODA LU DECOMPOSITION

Dengan operasi perkalian matriks maka dapat diperoleh elemen-elemen L dan U yaitu Baris-baris L dikali kolom ke-1 U:

L₁₁ =a₁₁ L₂₁ = a₂₁ L₃₁ = a₃₁ L₄₁= a₄₁ Baris ke-1 L dikali kolom-kolom U:

L₁₁ U₁₂=a₁₂ L₁₁ U₁₃= a₁₃ L₁₁ U₁₄= a₁₄ L₄₁= a₄₁ Baris-baris L dikali kolom ke-2 U:

L₂₁ U₁₂+ L₂₂=a₂₂ L₃₁ U₁₂+ L₃₂= a₃₂ L₄₁ U₁₂+ L₄₂= a₄₂ L₂₂=a₂₂ - L₂₁ U₁₂ L₃₂= a₃₂ -L₃₁ U₁₂ L₄₂= a₄₂- L₄₁ U₁₂ Dengan cara yang sama diperoleh: _L

33=a33 – L31 U13 – L32 U23

L₄₃= a₄₃ – L₄₁ U₁₃ – L₄₂ U₂₃

Rumus umum untuk memperoleh elemen-elemen L dan U:

Untuk j = 1 L_i1 = a_i1

Untuk i = 1 U_1j = a_1j /L₁₁ = a_1j /a₁₁

Setelah elemen-elemen L dan U diperoleh Penyelesaian pers. A X = c Gunakan transformasi yang sama pada vektor c menjadi vektor baru c’.

Bila vektor c’ digabung dengan matriks U maka penyelesaian dapat dicari Persamaan umum untuk menghitung c’ :

Persamaan untuk substitusi kembali:

Contoh:

Selesaikan sistem persamaan-persamaan berikut dengan metode LU decomposition:

Penyelesaian: Dari soal diperoleh:

Tugas

Gambar berikut ini memperlihatkan sistem tiga buah reaktor yang terhubungkan oleh pipa-pipa.

Laju perpindahan setiap komponen/zat melalui setiap pipa merupakan perkalian dari laju alir volumetriknya (Q, dalam satuan m3/detik) dengan konsentrasinya yang keluar dari masing-masing reaktor (C, dalam satuan mg/m3_).

Sistem proses berada dalam kondisi steady, yang berarti bahwa laju massa masuk ke setiap reaktor sama dengan laju massa keluar.

Susunlah neraca massa pada masing-masing reaktor dan selanjutnya selesaikanlah

sistem persamaan aljabar linier yang terbentuk (untuk menentukan harga-harga C1, C2, dan C3).

Tugas Kelompok

Studi Kasus

Umpan berupa zat A murni dengan laju 100 kmol/jam.

Kendala:

1. 80% dari A dan 40% dari B di dalam alur 2 didaur ulang

(recycle).

2. Perbandingan mol A terhadap mol B di dalam alur 1 adalah 5:1

Susunlah neraca massa pada masing-masing alat dan selanjutnya

selesaikanlah sistem persamaan aljabar linier yang terbentuk!

Prosedur penyelesaian: Baris-baris persamaan diatur kembali sehingga elemen-elemen diagonal diusahakan mempunyai harga yang relatif lebih besar dibanding elemen pada baris yang sama

METODA JACOBI

Pendekatan awal x(1) _{hitung masing-masing komponen x, untuk i = 1,2,……n}

dengan pesamaan:

dimana adalah harga xi pada pendekatan k 

Iterasi dihentikan bila harga mendekati _{yaitu bila:}

METODA GAUSS-SIEDEL

Metode ini hampir sama dengan metode Jacobi. Prosedur penyelesaiannya adalah:

Iterasi dihentikan bila harga mendekati _{yaitu bila:}

Contoh:

Tentukan x, y, dan z dari sistem persamaan-persamaan berikut dengan metode Jacobi dan Gauss Siedel dengan harga awal x₀ = 1, y₀ = 2 dan z₀ = 2

Penyelesaian:

Persamaan dapat ditulis Proses iterasi Jacobi:

Proses iterasi Gauss Siedel:

Introduction

Even with advanced methods of integration there are many mathematical

functions which cannot be integrated by analytical methods and thus

approximate methods have then to be used. Approximate methods

of definite integrals may be determined by what is termed

numerical

integration.

It may be shown that determining the value of a definite integral is, in

fact, finding the area between a curve, the horizontal axis and the

specified ordinates. Three methods of finding approximate areas under

curves are the trapezoidal rule, the mid-ordinate rule and Simpson’s rule,

and these rules are used as a basis for numerical integration.

Trapezoidal rule

Let a required definite integral be denoted by

and be

represented by the area under the graph of 

An approximation to the area under the curve may be determined

by joining the tops of the ordinates by straight lines. Each interval

is thus a trapezium, and since the area of a trapezium is given by:

area = ½ (sum of parallel sides) (perpendicular distance between them)

then,

(a) Use integration to evaluate,

correct to 3 decimal places,

(b) Use the trapezoidal rule with 4 intervals to evaluate the integral

in part (a), correct to 3 decimal places

Problem 1

(b) The range of integration is the difference between the upper

and lower limits, i.e. 3 - 1 = 2.

Using the trapezoidal rule with 4 intervals gives an interval

width

and ordinates situated at 1.0, 1.5, 2.0,

2.5 and 3.0.

Corresponding values of

are shown in the table below,

each correct to 4 decimal places (which is one more decimal

place than required in the problem).

Problem 2

Use the trapezoidal rule with 8 intervals to evaluate

 , correct 

to 3

decimal places

With 8 intervals, the width of each is

giving ordinates

at 1.00, 1.25, 1.50, 1.75, 2.00, 2.25, 2.50, 2.75 and 3.00.