2010, Том 12, Выпуск 4, С. 15–20
УДК512.542
О КОНЕЧНЫХ ГРУППАХ С НЕЗАВИСИМЫМИ ПОДГРУППАМИ
А. Х. Журтов, А. А. Цирхов
Представлены результаты исследования класса конечных групп, в которых любая неабелева под-группа независима. Сформулировано и доказано необходимое и достаточное условие независимости всех неабелевых подгрупп в конечной группе.
Ключевые слова:конечные группы, независимые подгруппы, группы Фробениуса, силовские под-группы.
Подгруппа H группы Gназывается независимой подгруппой, если NG(K)6NG(H) для любой нетривиальной подгруппыK изH.
Независимыми подгруппами, очевидно, являются группы простых порядков, нор-мальные подгруппы, дополнения групп Фробениуса. Другими примерами независимых подгрупп служат силовские2-подгруппы в простых группахL2(2m),Sz(22m+1
)иU3(2m). М. Сузуки [1] классифицировал конечные группы четного порядка с независимыми силовскими 2-подгруппами.
Л. И. Шидов [2] описал конечные группы, в которых независима каждая нильпотент-ная подгруппа.
Целью настоящей работы является изучение класса конечных групп, в каждой из которых любая неабелева подгруппа независима. Очевидно, рассматриваемому классу принадлежат все конечные метагамильтоновы группы, т. е. группы, в которых нормаль-ны все неабелевы подгруппы. Начало изучению метегамильтоновых групп положила ра-бота Г. М. Ромалиса и Н. Ф. Сесекина [3]. Конечные ненильпотентные метагамильтоновы группы классифицировал В. Т. Нагребецкий [4]. Конечные нильпотентные метагамиль-тоновы группы описаны в работе А. А. Махнева [5]. Бесконечные метагамильметагамиль-тоновы группы, а также обобщения как конечных, так и бесконечных метагамильтоновых групп рассматривались в работах различных авторов, из которых отметим работы С. Н. Чер-никова [6], Н. Ф. Кузенного и Н. Н. Семко [7], F. De Mari, F. De Giovanni [8]. Наиболее «свежие» результаты на эту тему содержаться в [9].
Основным результатом настоящей работы является следующая
Теорема 1. В конечной группе G любая неабелева подгруппа независима тогда и только тогда, когдаG метагамильтонова.
Предварительно докажем следующий результат.
Теорема 2. Пусть G — конечная группа, в которой каждая неабелева подгруппа независима. Тогда G обладает силовской башней. Более того, G является полупрямым произведением холловой нильпотентной подгруппы на абелеву подгруппу.
c
Напомним, что группа по определению обладает силовской башней, если она может быть получена с помощью полупрямых произведений из своих силовских подгрупп. Бо-лее точно, скажем, что нетривиальная группа G обладает силовской башней высоты
h > 0, если она при h = 1 примарна, а при h > 1 в ней есть нормальная нетривиаль-ная силовская подгруппа, фактор-группа по которой обладает силовской башней высоты h−1.
1. Основные определения и используемые результаты
ГруппаGназываетсягруппой Фробениусас ядромF и дополнениемH, если16=FEG,
16=H6G,G=F ·H,F∩H= 1 иCF(h) = 1для любого 16=h∈H.
Подгруппой Фраттини Φ(G) группы G называется пересечение ее максимальных подгрупп.
Приведем известные результаты, на которые будем ссылаться как на предложения с соответствующими номерами.
1. Любая подгруппа конечной группы G, содержащая нормализатор некоторой си-ловской подгруппы, совпадает со своим нормализатором в G[10, теорема4.2.4].
2.Если силовская подгруппаP конечной группы Gлежит в центре своего нормали-затора, тоGобладает нормальным дополнением кP, т. е. G=P ·N иP ∩N ={1} для некоторой нормальной подгруппыN из G[10, теорема14.2.1].
3.Любая группа нечетного порядка разрешима[11, теорема Фейта — Томпсона]. 4.Если G— конечная простая неабелева группа, в которой пересечение любых двух различных силовских 2-подгрупп тривиально, то G изоморфна L2(q), Sz(q) или U3(q) для некоторого четного числа q [1].
5. Пусть T — силовская 2-подгруппа простой группы L2(q), Sz(q) или U3(q). Тогда
NG(T) неабелева,NG(T) =T H, гдеH 6= 1 иNG(H)66NG(T) [1].
6.ПустьH — дополнение группы Фробениуса[12]. Тогда
(а) силовские p-подгруппы из H являются циклическими при p > 2, а при p = 2 — циклическими или кватернионными группами;
(б) если в H есть инволюция t, то hti содержит все инволюции из H иft=f−1 для
любого элементаf из ядра.
7.Если все силовские подгруппы группы Gциклические, тоG — полупрямое произ-ведение холловой циклической подгруппы на циклическую подгруппу [12].
8. Если N — конечная примарная группа, A — группа порядка, взаимно простого с|N|, действующая нетривиально наN, тоA действует нетривиально на фактор-группе по подгруппе ФраттиниΦ(N) группыN [10, теорема 12.2.2].
9.ЕслиV — элементарная абелева группа иA — действующая наV группа, порядок которой взаимно прост с |V|, тоV =V1× · · · ×Vs, где каждая Vi,i= 1, . . . , s, является
минимальной A-инвариантной подгруппой [10, теорема16.3.2].
2. Доказательство теоремы 2
В дальнейшем G означает конечную группу, каждая неабелева подгруппа которой независима.
Лемма 1. В любой подгруппе и любой фактор-группе группыGвсе неабелевы под-группы независимы.
Если U¯ = U/V — неабелева подгруппа в G/V = ¯G и 1 6= W/V 6 U/V, то U — неабелева,W 6= 1 и
NG/V(W/V) =NG(W/V)6NG(U/V) =NG/V(U/V),
поэтомуU¯ — независимая подгруппа вG.¯ ⊲
Лемма 2. ПустьP — силовскаяp-подгруппа группы GиH — подгруппа, содержа-щаяNG(P). Если H неабелева, то NG(K)6H для любой нетривиальной подгруппыK
изH.
⊳ По условию H независима. По предложению 1 NG(H) = H. Поэтому NG(K) 6 NG(H) =H.⊲
Лемма 3. Если P — силовскаяp-подгруппа вGи NG(P) неабелева, то (а)P ∩Px ={1} для любогоx∈G\NG(P),
(б)NG(P) — холлова подгруппа.
⊳(a): Предположим противное. ТогдаG6=NG(P) и существуетx∈G, для которого P 6=P∩Px6= 1. Выберемxтак, чтобы порядок подгруппыD=P∩Pxбыл наибольшим. Тогда hNP(D), NPx(D)i не является p-подгруппой и поэтому в N
G(D) существуют, по меньшей мере, две различные силовскиеp-подгруппы.
С другой стороны, NG(P)— независима, поэтому NG(D)6NG(P) и, следовательно, вNG(D)есть только одна силовскаяp-подгруппа. Полученное противоречие доказывает
(a).
(б): Пусть 1 6= U — силовская подгруппа из N = NG(P). По условию NG(U) 6 NG(N). По предложению 1NG(N) =N, поэтомуNG(U)6N. Отсюда вытекает, чтоU — силовская подгруппа вGи, таким образом, NG(P) — холлова подгруппа.⊲
Лемма 4. ГруппаGразрешима.
⊳ Предположим противное. По лемме 1 можно считать, чтоG — неабелева простая группа. По теореме Фейта — Томпсона (предложение 3) порядок G четен. По предло-жению 2 нормализатор силовской 2-подгруппы группыGнеабелев и, следовательно, по лемме 3 пересечение любых двух различных силовских 2-подгрупп изGтривиально. По предложению 4 GизоморфнаL2(q),U3(q)илиSz(q)для некоторого четного числаq. По лемме 2 из предложения 5 получаем противоречие.⊲
Лемма 5. Если P — силовская подгруппа в G, нормализатор N которой неабелев и отличен от G, то G — группа Фробениуса, ядро которого есть элементарная абелева группа, а дополнение совпадает сN.
⊳По лемме 4 вG есть нетривиальная элементарная абелева нормальная q-подгруп-па V для некоторого простого числа q. Поскольку N неабелева, H = V ·N тоже неа-белева. По условию G = NG(V) 6 NG(H), откуда NG(H) = G. С другой стороны, по предложению 1 NG(H) = H. Отсюда G = H = V ·N. Далее, V ∩N△N и V ∩N△V, т. е. V ∩N△G. С другой стороны, если V ∩N 6= 1, то по условию и предложению 1 G=NG(V ∩N)6NG(N) =N, вопреки выборуP. ПоэтомуV ∩N ={1}.
Если теперьn∈N, то по условиюCV(n)6N∩V ={1}. ОтсюдаG=V ·N — группа Фробениуса.⊲
Лемма 6. Если в G нормализатор каждой силовской подгруппы абелев или совпа-дает сG, тоG— полупрямое произведение холловой нормальной подгруппы на абелеву подгруппу иGобладает силовской башней.
подгрупп — абелевы группы, поэтому по предложению 2 для каждой из этих силовских подгрупп вGесть нормальное дополнение, пересечение которых совпадает сH, поэтому G/H — прямое произведение абелевых силовских подгрупп.
В частности,G обладает силовской башней.⊲
Лемма 7. G обладает силовской башней иG — полупрямое произведение холловой нормальной подгруппы на абелеву подгруппу.
⊳Предположим противное. Пусть G — минимальный контрпример. По лемме 6 вG есть силовская подгруппа, нормализаторN которой неабелев и отличен отG. По лемме 5 G— группа Фробениуса, ядроV которой — элементарная абелева группа. Так как ядро группы Фробениуса — холлова подгруппа, то V — силовская подгруппа в G. В силу минимальности G по лемме 1 G/V обладает силовской башней, поэтому G обладает силовской башней.
Если силовская 2-подгруппа вN неабелева, тоV — нециклическая подгруппа. Далее, по предложению 6 (б) N обладает единственной инволюцией t и ϑt = ϑ−1 для любого элементаϑ∈V. Еслиϑ6= 1, тоK =hϑ, tiнеабелева группа иhϑi=NG(K)∩V. Посколь-куV — нециклическая группа, V 66NG(K), однако по условиюV 6NG(hϑi) 6NG(K). Это противоречие показывает, что силовская 2-подгруппа вN абелева. По предложению 6 (а) все силовские подгруппы в N циклические, а по предложению 7 N =AB — полу-прямое произведение холловой циклической подгруппыAна циклическую подгруппуB. Так какN неабелева, то NN(B)6=N и поэтому NG(V B) =V NN(B)6=G. Поскольку V B неабелева, то из условия следует, что G = NG(V) 6 NG(V B). Это противоречие доказывает лемму и вместе с ней теорему 2.⊲
3. Доказательство теоремы 1
Пусть G — минимальный противоречащий пример. Тогда в G существует неабеле-ва подгруппа, нормализатор которой отличен от G. Кроме того, для любой неабелевой подгруппы H из Gи любой нетривиальной подгруппы K из H выполняется включение NG(K)6NG(H).
По теореме 2 G=N A, где N — холлова нильпотентная нормальная в Gподгруппа, A — абелева подгруппа и N ∩A ={1}. Зафиксируем эти обозначения до конца доказа-тельства.
Лемма 8. Gне нильпотентна.
⊳Предположим противное. Пусть U — неабелева подгруппа группы G, для которой NG(U)6=G. Так какGнильпотентна, тоNG(NG(U))6=NG(U). По лемме 1 из минималь-ностиGвытекает, чтоNG(U)△G. ЕслиZ(G)∩U 6= 1, тоG=NG(Z(G))6NG(Z(G))6 NG(U1)6=G, тоG=NG(Z(G))6NG(U1)6=G, что не верно. ПоэтомуU1△G. Поскольку
коммутантU1 нетривиален и совпадает с коммутантомK подгруппыU, тоK△G, и мы
получаем противоречие с условием:G=NG(K)6NG(U)6=G.⊲
Лемма 9. CN(A) — собственная нормальная подгруппа в N и N/CN(A) —
элемен-тарная абелева группа, на которой Aдействует неприводимо.
действует нетривиально на одном из сомножителей, например, наV1. ПустьC— полный
прообразV2×. . .×VsвN. ТогдаC△GиN/C ≈V1. Осталось показать, чтоC=CN(A). Очевидно, чтоCN(A)6C. Предположим, чтоC66CN(A). В этом случаеCA— неабеле-ва подгруппа иNG(CA)6=G. С другой стороны, по условиюG=NG(C)6NG(CA)6=G. Это противоречие доказывает лемму. ⊲
Лемма 10. Любая неабелева подгруппа изN инвариантна в G. ⊳Пусть K — неабелева подгруппа из N.
Из лемм 1 и 8 вытекает, что K△N, а из леммы 9 следует, что K0 =CN(A)∩K 6= 1. Теперь по условиюNG(K)>NG(K0)>A, поэтому K ⊳ G.⊲
Лемма 11. ЕслиH — неабелева подгруппа изG, тоH △G.
⊳По лемме 10 можно считать, чтоH66N. ПустьH0 =H∩N. ТогдаH0— нормальная
вH холлова подгруппа и поэтомуH =H0A0, гдеA0 сопряжена с некоторой подгруппой
изA. Не нарушая общности, можно считать, что A0 6A. Так какH 66N, тоA0 6= 1. По
условиюA 6NG(A0) 6NG(H), т. е. A нормализуетH и, в частности, нормализует H0.
Если H0 неабелева, то по лемме 10 G = NG(H0) 6NG(H), т. е. H△G. Поэтому можно
считать, чтоH0 абелева и, следовательно,A не централизуетH0. Из леммы 9 вытекает,
что 1 6= [H0, A] = [H, A]⊳ G. По условию G =NG([H0, A]) 6 NG(H0A), т. е. H0⊳G. Это
означает, что H△G. Лемма и теорема 1 доказаны.⊲
Литература
1. Suzuki M.Finite groups of even order in which Sylow2-groups are independent // Ann. Math.—1964.— Vol. 80, № 1.—P. 58–77.
2. Шидов Л. И.О конечных группах с нормализаторным условием // Сиб. мат. журн.—1980.—Т. 21, № 6.—C. 141–145.
3. Ромалис Т. М., Сесекин Н. Ф.О метагамильтоновых группах // Мат. зап. Уральского ун-та.— 1966.—Т. 5, № 3.—C. 45–49.
4. Нагребецкий В. Т.Конечные ненильпотентные группы, любая неабелева подгруппа которых ин-вариантна // Мат. зап. Уральского ун-та.—1967.—Т. 6, № 1.—C. 80–88.
5. Махнев А. А. О конечных метагамильтоновых группах // Мат. зап. Уральского ун-та.—1976.— Т. 10, № 1.—C. 60–75.
6. Черников С. Н.Группы с заданными свойствами систем подгрупп.—М.: Наука, 1980.—384 с. 7. Кузенный Н. Ф., Семко Н. Н. Строение разрешимых ненильпотентных метагамильтоновых
групп // Мат. заметки.—1983.—Т. 34, № 2.—C. 179–188.
8. F. de Mari, F. de Giovanni.Groups with finitely many normalizers of non-abelian subgroups // Ricerche di mat.—2006.—Vol. 55, № 2.—P. 311–317.
9. Ballester-Bolinchesn A., Cossey J.Finite groups with subgroups super-soluble or subnormal // J. Al-gebra.—2009.—Vol. 321, № 7.—P. 2042–2052.
10. Холл М.Теория групп.—М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1962.—468 с.
11. Feit W., Thompson J. G.Solvability of groups of odd order // Pacific J. Math.—1963.—Vol. 13, № 3.— P. 755–1029.
12. Burnside W.Theory of groups of finite order.—Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1911.
Статья поступила 29 сентября 2010 г.
Журтов Арчил Хазешович
Кабардино-Балкарский госуниверситет,
заведующий кафедрой геометрии и высшей алгебры
Цирхов Аубекир Ахметханович
Кабардино-Балкарский госуниверситет,
ассистент кафедры геометрии и высшей алгебры
РОССИЯ, 360004, Нальчик, ул. Чернышевского, 175 E-mail:tsirkhov@mail.ru
ON FINITE GROUPS WITH INDEPENDENT SUBGROUPS
Zhurtov A. H., Tsirkhov A. A.
Represented the rezults of investigation of class of finite groups in which any non abelian group is independent. Formulated and proved the necessary and sufficient condition of independence of non abelian group in the finite group.
