OPEN JOURNAL SYSTEMS
Flag Counter
NOTIFICATIONS
View
Subscribe / Unsubscribe
JOU RNAL CONTENT
Search
All
Search
Brows e By Issue By Author By Title Other Journals
E - J u r n a l M a t e m a t i k a
FO NT SIZE
INFO RMATION
For Readers For Authors For Librarians
KEY W O RDS
ANFIS Chernoff Faces GWPR Granger causality test Heteroscedasticity Joint Life Insurance Median Quantile Regression Monte Carlo
Multicollinearity OLSOptimization OutlierOverdispersion
Poisson Regression
Portmanteau testValue at Risk Vector Autoregressionbiplot multicollinearityoptimal lag test stationary testHOME ABOUT LOG IN REGISTER SEARCH CURRENT ARCHIVES EDITORIAL
TEAM CONTACT
E-Jurnal Matematika is one of the electronic journal at Udayana University, as a medium of communication among
enthusiasts in the field of mathematics and its application, such as statistics, financial mathematics, teaching mathematics
and other sciences in the field of applied mathematics. This journal was born as one of the real role of the Department of
Mathematics UNUD to support the acceleration of the achievement of quality targets UNUD, besides this journal issue is
driven by the Director General of Higher Education circular on requirements for the publication of scientific papers in the
journal Science Degree program. E-journal Mathematics also received the results of research that is not directly related to
the students' final assignment involves research or articles that are scholarly study.
Vol 5, No 1 (2016)
Table of Contents
Articles
PERBANDINGAN KEEFISIENAN METODE NEWTON-RAPHSON, METODE SECANT, DAN METODE BISECTION
DALAM MENGESTIMASI IMPLIED VOLATILIT IES SAHAM
IDA AYU EGA RAHAYUNI, KOMANG DHARMAWAN, LUH PUTU IDA HARINI 1-6
ANALISIS PRIORITAS SOLUSI KEMACETAN LALU LINTAS DI KOTA DENPASAR DENGAN MENGGUNAKAN
METODE ANALY TIC NETWORK PROCESS
NI WAYAN NINING ISMIRANTI, I PUTU EKA N. KENCANA, I KOMANG GDE
SUKARSA
7-13
PENENTUAN MODEL PREMI TIDAK KONSTAN PADA ASURANSI DANA PENSIUN PDF
LIA JENITA, I NYOMAN WIDANA, DESAK PUTU EKA NILAKUSMAWATI 14-21
PENERAPAN BOOTSTRAP DALAM METODE MINIMUM COVARIANCE DETERMINANT (MCD) DAN LEAST
MEDIAN OF SQUARES (LMS) PADA ANALISIS REGRESI LINIER BERGANDA
NI PUTU IIN VINNY DAYANTI, NI LUH PUTU SUCIPTAWATI, MADE SUSILAWATI 22-26
PENENTUAN HARGA OPSI DAN NILAI HEDGE MENGGUNAKAN PERSAMAAN NON-LINEAR BLACK-SCHOLES PDF
PUTU AYU DENI, KOMANG DHARMAWAN, G. K. GANDHIADI 27-31
PENENTUAN CADANGAN PREMI UNTUK ASURANSI JOINT LIFE PDF
NI LUH PUTU RATNA DEWI, I NYOMAN WIDANA, DESAK PUTU EKA
NILAKUSMAWATI
32-37
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International Lic ense. ISSN: 2303-1751
OPEN JOURNAL SYSTEMS
Flag Counter
NOTIFICATIONS
View
Subscribe / Unsubscribe
JOU RNAL CONTENT
Search
All Search
Brows e
By Issue By Author By Title
Other Journals
E - J u r n a l M a t e m a t i k a
INFO RMATION
For Readers For Authors For Librarians
KEY W O RDS
ANFIS Chernoff Faces GWPR Granger causality test Heteroscedasticity Joint Life Insurance Median Quantile Regression Monte Carlo
Multicollinearity OLSOptimization OutlierOverdispersion
Poisson Regression
Portmanteau testValue at Risk Vector Autoregressionbiplot multicollinearityoptimal lag test stationary testHOME ABOUT LOG IN REGISTER SEARCH CURRENT ARCHIVES EDITORIAL
TEAM CONTACT
Home
>
About the Journal>
Editorial TeamChief-in-Editor
Desak Putu Eka Nilakusumawati, Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Udayana, Indonesia
Associate Editor
I Made Eka Dwipayana, Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Udayana, Bali-Indonesia
Editorial Board
Dr. Tjokorda Bagus Oka, Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Udayana, Bali-Indonesia
Dr. Komang Dharmawan, Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Udayana, Bali-Indonesia
Drs. GK Gandhiadi, Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Udayana, Bali-Indonesia
Ir. I Komang Gde Sukarsa, Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Udayana, Bali-Indonesia
Ir. I Putu Eka Nila Kenc ana, Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Udayana, Bali-Indonesia
I Gusti Ayu Made Srinadi, Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Udayana, Bali-Indonesia
Made Susilawati, Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Udayana, Bali-Indonesia
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International Lic ense. ISSN: 2303-1751
1
PERBANDINGAN KEEFISIENAN METODE NEWTON-RAPHSON,
METODE SECANT, DAN METODE BISECTION DALAM
MENGESTIMASI IMPLIED VOLATILITIES SAHAM
Ida Ayu Ega Rahayuni§1
, Komang Dharmawan2, Luh Putu Ida Harini3
1
Jurusan Matematika, Fakultas MIPA - Universitas Udayana [Email: egaidaayu@gmail.com]
2Jurusan Matematika, Fakultas MIPA - Universitas Udayana [Email: dharmawan.komang@gmail.com] 3Jurusan Matematika, Fakultas MIPA - Universitas Udayana [Email: ballidah@gmail.com]
§
Corresponding Author
ABSTRACT
Black-Scholes model suggests that volatility is constant or fixed during the life time of the option certainly known. However, this does not fit with what happen in the real market. Therefore, the volatility has to be estimated. Implied Volatility is the etimated volatility from a market mechanism that is considered as a reasonable way to assess the volatility's value. This study was aimed to compare the Newton-Raphson, Secant, and Bisection method, in estimating the stock volatility value of PT Telkom Indonesia Tbk (TLK). It found that the three methods have the same Implied Volatilities, where Newton-Raphson method gained roots more rapidly than the two others, and it has the smallest relative error greater than Secant and Bisection methods.
Keywords: Black-Scholes, Implied Volatility,Newton-Raphson Method, Secant Method, Bisection Method
1. PENDAHULUAN
alah satu alternatif instrumen investasi yang dapat ditawarkan kepada investor didalam pasar modal adalah opsi (option). Pada tahun 1973, model Black-Scholes dikembangkan oleh Myron Scholes dan Fischer Black. Model ini memberikan solusi untuk penilaian call option dan put option yang tidak memberikan dividen. Pada model Black-Scholes, volatilitas bersifat konstan atau tetap selama usia opsi diketahui pasti. Namun, hal ini tidak sesuai dengan apa yang terjadi pada pasar sebenarnya. Oleh karena volatilitas bergerak secara random dan tidak dapat diobservasi secara langsung, maka harus dilakukan penaksiran nilai volatilitas (Dharmawan & Widana [2]). Nilai volatilitas dapat ditaksir menggunakan Implied Volatility. Implied Volatility adalah volatilitas yang diestimasi dari mekanisme pasar dengan memilih kontrak opsi dengan expiration date yang sama. Berdasarkan keadaan persaingan pasar, Black dan Scholes menunjukkan bahwa harga saham
mengikuti gerak Brown geometrik pada suku bunga dan volatilitas tertentu. Pergerakan harga saham tersebut dapat ditulis dalam bentuk sebagai berikut
dengan
: perubahan harga saham yang mengikuti gerak Brown geometric : rata-rata dari pengembalian saham
: perubahan waktu : nilai volatilitas : gerak Brownian
Menurut Lee [3], keadaan pasar yang demikian dikatakan tidak ada arbitrase. Dengan kata lain, pelaku pasar modal mengasumsikan bahwa harga opsi di pasar modal sama dengan harga teoritis yang dihitung menggunakan formula Black-Scholes, atau dapat ditulis sebagai
Rahayuni, I.A.E., Dharmawan, K., Harini, L.P.I Perbandingan Keefisienan Metode Newton-Raphson, Metode Secant, dan Metode Bisection…
dimana strike price dan masa jatuh tempo opsi sama dengan dan saham induk. Dalam hal ini, menyatakan harga opsi teoritis dari formula Black-Scholes yang didefinisikan oleh:
dengan
√
√
dengan adalah fungsi distribusi normal kumulatif standar.
Nilai volatilitas selalu positif karena adalah konstan dan monoton naik pada
[ (Dharmawan & Widana [2]).
Pada penelitian ini, solusi dari volatilitas akan diselesaikan menggunakan metode Newton-Raphson, metode Secant dan metode Bagi Dua (Bisection). Penurunan rumus metode Newton Raphson dapat dilakukan secara geometris dan dengan bantuan deret Taylor. Jika adalah hampiran saat ini, maka hampiran selanjutnya adalah yang dapat ditulis sebagai berikut.
sampai | | , dengan
| | | |
dan .
Metode Secant merupakan modifikasi dari metode Newton-Raphson, yaitu dengan mengganti fungsi turunan yang digunakan pada metode Newton-Raphson menjadi bentuk lain yang ekuivalen. Metode ini dimulai dengan hampiran awal dan untuk solusi . Selanjutnya dihitung sebagai hampiran baru untuk , yaitu
sampai | | .
Metode Bagi Dua (Bisection) dimulai dengan sebuah interval [ , ], dimana dan
berbeda tanda (Mathews [4]). Secara sistematis metode Bisection adalah metode pencarian akar dengan mengurangi separuh interval pertama untuk memilih titik
dan kemudian menganalisa kemungkinan yang akan timbul:
(i) Jika dan berbeda tanda, akar terletak di [ ]
(ii) Jika dan berbeda tanda, akar terletak di [ ]
(iii)Jika , diperoleh bahwa akar pada
Jika salah satu dari kasus (i) atau kasus (ii) terjadi, diperoleh interval yang merupakan setengah bagian dari interval pertama yang mengurung akar dan mengurangi separuh interval tersebut dengan proses yang sama. Pada proses selanjutnya, separuh interval baru tersebut dinamai [ , ] dan proses diulang sampai | | . Jika kasus (iii) terjadi, maka akar adalah .
Selanjutnya membandingkan perhitungan antara metode Newton-Raphson, metode Secant, dan metode Bisection dalam mengestimasi nilai volatilitas saham.
2. METODE PENELITIAN
A. Jenis dan Sumber Data
3
B. Algoritma untuk Menaksir Implied
Volatility
Tahapan-tahapan yang dilakukan pada penelitian ini adalah sebagai berikut:
1. Mencari harga observasi call option yang memiliki masa jatuh tempo dan strike price yang sama dengan saham induk, serta mencari harga saham sekarang dari underlying asset.
2. Menentukan fungsi volatilitas dan mencari turunan pertamanya.
3. Menyelesaikan persamaan dari fungsi volatilitas menggunakan metode numerik, yakni metode Newton-Raphson, metode Secant, dan metode Bisection.
a.Penyelesaian Menggunakan Metode Newton-Raphson
Langkah 1: Tetapkan hampiran awal
, , iterasi
maksimum
Langkah 2: Menghitung nilai dan turunan pertama fungsinya
Langkah 3: Menentukan nilai hampiran kedua yang terletak pada perpotongan garis singgung di ) dengan sumbu , dapat dihitung menggunakan persamaan (6) Langkah 4: Menghitung | | dengan
persamaan (7)
Langkah 5: Melakukan pengecekan: (i) Jika | | , maka iterasi
selesai dengan sebagai solusi dari fungsi volatilitas
(ii) Jika | | , maka kembali ke langkah 1.
b.Penyelesaian menggunakan metode Secant
Langkah 1: Tetapkan hampiran awal dan , ,
.
Langkah 2: Mengitung nilai dan
Langkah 3: Menentukan hampiran baru
dengan persamaan (8)
Langkah 4: Menghitung | | dengan persamaan (7)
Langkah 5: Melakukan pengecekan (i) Jika | | , maka iterasi
selesai dengan sebagai solusi dari fungsi volatilitas
(ii) Jika | | , maka kembali ke langkah 1 dengan menjadikan sebagai dan sebagai .
c.Penyelesaian menggunakan metode Bisection
Langkah 1: Tetapkan hampiran awal dan , ,
.
Langkah 2: Hitung nilai dan
.
Langkah 3: Memeriksa bahwa fungsi berubah tanda sepanjang interval [ ], ini dapat
diperiksa dengan:
. Jika
terpenuhi, hampiran awal dapat digunakan untuk iterasi berikutnya, namun jika tidak terpenuhi, pilih hampiran awal baru.
Langkah 4: Hampiran ketiga dapat ditentukan menggunakan persamaan (9).
Langkah 5: Hitung nilai
Langkah 6: Lakukan evaluasi sebagai berikut untuk menentukan di dalam subinterval mana akar fungsi terletak:
Rahayuni, I.A.E., Dharmawan, K., Harini, L.P.I Perbandingan Keefisienan Metode Newton-Raphson, Metode Secant, dan Metode Bisection…
(ii) Jika , maka
Langkah 7: Menghitung | | dengan persamaan (7)
Langkah 8: Melakukan pengecekan. (i) Jika | | , dengan
, maka iterasi selesai dengan sebagai solusi dari fungsi volatilitas
(ii) Jika | | , dengan
, maka kembali ke langkah 4.
4.Membandingkan nilai taksiran Implied Volatility, kecepatan iterasi, serta membandingkan keakuratan masing-masing metode dengan membandingkan nilai error relatif | | dari masing-masing metode.
3. HASIL DAN PEMBAHASAN
Fungsi volatilitas dapat didefinisikan sebagai
atau
adalah kontinu dan memiliki turunan sebagai berikut:
√ √
adalah kontinu.
Teorema Eksistensi dan Ketunggalan (Waluya [5]), “Misalkan dan kontinu,
maka solusinya ada dan tunggal”. Dalam hal ini, diperoleh bahwa dan
kontinu,
maka Teorema Eksistensi dan Ketunggalan terpenuhi, yaitu terdapat solusi tunggal dari persamaan (11).
Tabel 1 Iterasi dengan Menggunakan Metode Newton-Raphson
| |
1 0.060000 0.055815 -6.529788 0.068548 1.246985e-001
2 0.068548 -0.002051 -6.984392 0.068254 4.301345e-003
3 0.068254 -0.000002 -6.971129 0.068254 4.084282e-006
Tabel 2 Iterasi dengan Menggunakan Metode Secant
| |
5
Tabel 3 Iterasi dengan Menggunakan Metode Bisection
| |
1 0.060000 0.055815 0.100000 -0.237620 0.080000 -0.084613 2.500000e-001 2 0.060000 0.055815 0.080000 -0.084613 0.070000 -0.012240 1.428571e-001 3 0.060000 0.055815 0.070000 -0.012240 0.065000 0.022433 7.692308e-002 4 0.065000 0.022433 0.070000 -0.012240 0.067500 0.005243 3.703704e-002 5 0.067500 0.005243 0.070000 -0.012240 0.068750 -0.003464 1.818182e-002 6 0.067500 0.005243 0.068750 -0.003464 0.068125 0.000899 9.174312e-003 7 0.068125 0.000899 0.068750 -0.003464 0.068438 -0.001280 4.566210e-003 8 0.068125 0.000899 0.068438 -0.001280 0.068281 -0.000190 2.288330e-003 9 0.068125 0.000899 0.068281 -0.000190 0.068203 0.000354 1.145475e-003 10 0.068203 0.000354 0.068281 -0.000190 0.068242 0.000082 5.724098e-004 11 0.068242 0.000082 0.068281 -0.000190 0.068262 -0.000054 2.861230e-004 12 0.068242 0.000082 0.068262 -0.000054 0.068252 0.000014 1.430820e-004 13 0.068252 0.000014 0.068262 -0.000054 0.068257 -0.000020 7.153588e-005 14 0.068252 0.000014 0.068257 -0.000020 0.068254 -0.000003 3.576922e-005 15 0.068252 0.000014 0.068254 -0.000003 0.068253 0.000005 1.788493e-005 16 0.068253 0.000005 0.068254 -0.000003 0.068254 0.000001 8.942384e-006
Tabel 4 Perbandingan Nilai Volatilitas, Error Relatif dan Kecepatan Iterasi dari Metode Newton-Raphson, Metode Secant dan Metode Bisection
Metode
Newton-Raphson Secant Bisection
Implied Volatility 6,8254% 6,8254% 6,8254%
Berhenti pada Iterasi ke- 3 4 16
Error Relatif | | 4,084282e-006 1,393661e-006 8,942384e-006
Berdasarkan Tabel 1, dapat ditarik kesimpulan bahwa nilai volatilitas diperoleh pada iterasi ke-3 yaitu dengan nilai
dan error relatif
| | . Berdasarkan Tabel 2, dapat ditarik kesimpulan bahwa nilai volatilitas diperoleh pada iterasi ke-4 yaitu dengan nilai dan error relatif | | . Berdasarkan Tabel 3, dapat ditarik kesimpulan bahwa nilai volatilitas diperoleh pada iterasi ke-16 yaitu dengan nilai
% dan error relatif | |
. Berdasarkan Tabel 4 diperoleh hasil simulasi menggunakan metode Newton-Raphson, metode Secant, dan metode Bisection dengan nilai Implied Volatility yang sama, yaitu 6,8254%. Simulasi berhenti secara berturut-turut pada iterasi ke-3; 4; 16 dengan nilai error
relatif secara berturut-turut sebesar 4,084282e-006; 1,393661e-4,084282e-006; 8,942384e-006. Implied Volatility yang diperoleh menggunakan metode Newton-Raphson, Secant, dan Bisection memiliki nilai yang lebih besar dari nilai Implied Volatility di pasar modal, yaitu sebesar 6,25%. Berdasarkan pemaparan pada bab II, Implied Volatility yang tinggi mengakibatkan harga opsi menjadi mahal dan berlaku sebaliknya.
Rahayuni, I.A.E., Dharmawan, K., Harini, L.P.I Perbandingan Keefisienan Metode Newton-Raphson, Metode Secant, dan Metode Bisection…
dibandingkan metode Secant dan metode Bisection. Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa metode Newton-Raphson adalah metode terbaik dalam menaksir Implied Volatility saham, karena metode Newton-Raphson konvergen paling cepat dan paling akurat dibandingkan metode Secant dan metode Bisection.
4. KESIMPULAN DAN SARAN
A. Kesimpulan
Berdasarkan hasil dan pembahasan yang telah diuraikan pada bab sebelumnya, estimasi Implied Volatility saham menggunakan metode Newton-Raphson, metode Secant dan metode Bisection dengan hampiran awal 0,06 dan hampiran kedua 0,1 untuk metode Secant dan metode Bisection memiliki perolehan nilai Implied Volatility yang sama, yaitu 6,8254% yang nilainya lebih tinggi dari Implied Volatility di pasar modal, yaitu 6,25%. Implied Volatility yang tinggi akan mengakibatkan harga opsi menjadi mahal. Metode Newton-Raphson lebih cepat konvergen, yaitu pada iterasi ke-3 dan menghasilkan nilai error relatif yang lebih kecil dari pada metode Secant dan metode Bisection. Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa metode Newton-Raphson adalah metode terbaik dalam menaksir Implied Volatility saham, karena metode ini konvergen paling cepat dan paling akurat dibandingkan metode Secant dan metode Bisection..
B. Saran
Metode Newton-Raphson, Secant dan Bisection tidak dapat memberikan keputusan di dalam pasar modal, metode ini hanya dapat menaksir nilai Implied Volatility, yang dapat digunakan sebagai gambaran/acuan dalam melakukan suatu keputusan. Implied Volatility juga dapat ditaksir menggunakan metode GARCH (conditional volatility), Monte Carlo dengan simulasi, dan Model Heston dengan stokastik volatilitas.
DAFTAR PUSTAKA
[1] Black, F. & Scholes, M., 1973. The Pricing of Options and Corporate Liabilities. The Journal of Political Economy, 81(3), PP. 637-659.
[2] Dharmawan, Komang & Widana, I Nyoman., 2011. Aplikasi Algoritma Biseksi dan Newon-Raphson dalam Menaksir Nilai Volatilitas Implied. Jurnal Matematika Vol. 2 No. 1, Desember 2011. ISSN: 1693-1394.
[3] Lee, Roger. W., 2002. Implied Volatility: Statics, Dynamics, and Probabilitic Interpretation. Recant Advances in Applied Probability 2005, pp. 241-268.
[4] Mathews, John H., 1992. Numerical Methods. For Mathematics, Science, and Engineering. Second edition. USA: Prentice-Hall International, Inc.
7
ANALISIS PRIORITAS SOLUSI KEMACETAN LALU LINTAS
DI KOTA DENPASAR DENGAN MENGGUNAKAN METODE
ANALYTIC NETWORK PROCESS
Ni Wayan Nining Ismiranti§1,I Putu Eka N. Kencana2, I Komang Gde Sukarsa3
1
Jurusan Matematika Fakultas MIPA- Universitas Udayana[email: ning.ismiranti@gmail.com] 2Jurusan Matematika Fakultas MIPA- Universitas Udayana[email: i.putu.enk@gmail.com]
3Jurusan Matematika Fakultas MIPA- Universitas Udayana[email: sukarsakomang@yahoo.com] §Corresponding Author
ABSTRACT
The aim of this research is to find the alternative solutions that could be used to handle the traffic congestions in the Denpasar City and the priorities of each alternative. The main problem of this research is determining the appropriateness of alternatives and its criterias that could be used to set the priorities of the alternatives. Based on the interview with the transport experts of Denpasar City, there are three main factors that affect the traffic congestion i.e (1) the ratio of the volume of vehicles on the road capacity, (2) the existing traffic management, and the traffic regulation . The interviewee also suggest that there are six alternatives that can be used to handle traffic congestion. These alternatives are (1)improve the public transport system, (2) use technology to monitor and enforce the rules,(3) create a 3 in 1 rule, (4) create road pricing rule,(5) optimize the existing management in the road, and (6) create rule of road zoning. Based on the calculations by Analytic Network Process (ANP) method, improving the public transport system is the best alternative among others that is appropriate to handle traffic congestion in the Denpasar City.
Keywords: Analytic Network Process, Traffic Congestion, Priorities, Denpasar
1. PENDAHULUAN
Metode ANP (Analytic Network Process) merupakan pengembangan dari Analytic Hierarcy Process (AHP) yang dikembangkan oleh Thomas L. Saaty yang digunakan untuk memilih alternatif terbaik dari sejumlah alternatif yang ada berdasarkan beberapa kriteria. Metode ANP menguraikan suatu masalah kedalam bentuk jaringan tanpa membuat asumsi elemen yang tingkatnya lebih tinggi dan elemen yang tingkatnya lebih rendah seperti yang terdapat pada AHP (Saaty & Vargas [3]).
Pada penelitian ini metode ANP akan digunakan untuk mencari prioritas alternatif-alternatif solusi yang bisa digunakan untuk menangani kemacetan lalu lintas di Kota Denpasar. Alternatif-alternatif solusi serta kriteria-kriteria yang akan digunakan diperoleh dari para narasumber yang merupakan para pengamat transportasi di Kota Denpasar.
Adapun alternatif-alternatif solusi yang akan dipaparkan merupakan alternatif solusi yang termasuk ke dalam manajemen lalu lintas tanpa pembangunan atau perluasan jalan.
ANP merupakan suatu teori pengukuran multycriteria yang digunakan untuk mendapat skala prioritas dari suatu penilaian individu yang termasuk ke dalam sebuah skala fundamental (Saaty [1]), seperti yang terdapat pada Tabel 1.
Tabel 1. Skala Fundamental
Intensitas Kepentingan
1 Dua aktivitas berkontribusi secara sama besar 3 Kontribusi suatu aktivitas sedikit lebih besar
dibandingkan yang lain
5 Kontribusi suatu aktivitas lebih besar dibandingkan yang lain
7
Kontribusi suatu aktivitas jauh lebih besar dibandingkan yang lain, aktivitas ini lebih dominan dilakukan dalam kenyataan
9
Fakta menunjukkan bahwa suatu aktivitas merupakan urutan tertinggi yang mungkin dalam suatu penegasan
Ismiranti, N.W.N., Kencana, I P.E.N., Sukarsa, I K.G. Analisis Prioritas Solusi Kemacetan Lalu Lintas…
Langkah awal dari penggunaan metode ANP adalah dengan membentuk suatu model yang berbentuk sebuah jaringan yang saling dihubungkan dengan tanda panah. Jaringan tersebut menggambarkan hubungan saling ketergantungan antara komponen satu dan komponen yang lain dimana komponen yang berada di pangkal tanda panah memberikan pengaruh kepada komponen yang berada di ujung tanda panah, seperti Gambar 1.
Jaringan timbal balik yang memiliki ketergantungan dari dalam dan luar elemen
Tanda panah dari C4 ke C2 menunjukkan ketergantungan elemen C2 pada elemen yang terdapat pada C4
C4 ..
C3 ..
C2 .. C1 ..
feedback
Putaran dalam komponen menunjukan ketergantungan dari elemen elemen dalam suatu
komponen
Gambar 1. Ilustrasi Jaringan ANP
Selain dengan menggunakan jaringan, hubungan saling ketergantungan juga bisa digambarkan dengan menggunakan matriks seperti matriks berikut:
nn n n n n n nc
c
c
c
c
c
c
c
c
C
2 1 2 22 21 1 12 11Ketergantungan setiap komponen pada suatu sistem dapat dibentuk dalam suatu matriks nol-satu
C
dengan sifat nilai 1 pada matriks diberikan apabila terdapat pengaruhyang diberikan komponen
c
i terhadapkomponen cjdan nilai 0 diberikan apabila tidak
ada pengaruh yang diberikan komponen
c
iterhadap komponen cj. Dalam hal ini cijadalah
nilai ketergantungan komponen cj terhadap
komponen
c
i yang berisi nilai 0 atau 1,c
iadalah komponen yang memberikan pengaruh
dan cj adalah komponen yang dipengaruhi.
Pada penelitian menggunakan ANP seringkali digunakan lebih dari satu narasumber sebagai acuan. Hal ini akan memungkinkan diperolehnya pendapat yang berbeda mengenai bobot dari suatu perbandingan, akan tetapi metode ANP hanya memerlukan satu bobot untuk satu perbandingan dalam membentuk suatu matriks perbandingan berpasangan. Apabila hal ini terjadi maka bobot-bobot dari para narasumber harus dirata-ratakan dengan menggunakan persamaan geometric mean (Saaty & Vargas [3]).
n n ij
z
z
z
a
1
2 1
.
.
.
)
(
(1)Dengan
ij
a : nilai rata-rata perbandingan
berpasangan kriteria
A
i dengan A jk
Z
: nilai perbandingan yang diberikannarasumberke
k
,k
=1,2,..., n n : banyak narasumberMatriks perbandingan berpasangan merupakan matriks berukuran nn yang berisikan bobot perbandingan yang dilakukan terhadap elemen-elemen dalam suatu komponen dimana elemen-elemen ini memengaruhi suatu elemen lainnya. Misalkan terdapat suatu
komponen
C
1 yang berisi elemen1
1 12 11
,
e
,...,
e
ne
dan elemen-elemen tersebutmemberikan pengaruh terhadap elemen
e
21pada komponen
C
2 , maka matriksperbandingan yang terbentuk adalah seperti berikut:
1
1
1
2 1 2 21 1 12
n n n na
a
a
a
a
a
A
Nilai a pada perbandingan berpasangan ij
merepresentasikan nilai kepentingan dari elemen ke i terhadap elemen ke
j
padakomponen
C
1 berkaitan dengane
21sebagai9
dalam perbandingan merupakan nilai yang terdapat pada Tabel 1 dan pengisiannya dilakukan dengan prinsip resiprokal. Maksud dari resiprokal adalah jika diketahui nilai dari
ij
a maka secara otomatis nilai dari a akan ji
sama dengan kebalikan dari a ij .
Setelah membentuk suatu matriks perbandingan A , selanjutnya akan dilakukan
suatu proses pencarian eigen vector. Eigen vector diperoleh dari persamaan (Saaty & Vargas [3]):
w
w
A
.
max.
(2)dengan
w
: eigen vectormax
: eigen value terbesarA : matriks perbandingan berpasangan
Eigen vector yang diperoleh dari proses ini akan menjadi vektor prioritas dari elemen-elemen yang dibandingkan dalam matriks A .
Konsistensi dari setiap perbandingan berpasangan harus diuji, berikut adalah persamaan untuk menguji konsistensi dari matriks perbandingan berpasangan (Saaty & Vargas [3]). .
RI
CI
CR
(
3
)
Keterangan:
CR
: rasio konsistensiCI
: index konsistensiRI : random consistency index
Index konsistensi diperoleh dengan rumus (Saaty & Vargas [3]):
1
)
(
max
n
n
CI
(4)Nilai-nilai dari RI dapat dilihat pada Tabel 2
Tabel 2. Tabel Random Consistency Index
Orde 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
RI 0 0 0,52 0,89 1,11 1,25 1,35 1,40 1,45 1,49
Sumber: Saaty & Vargas, 2001, hal.9. [2]
Setiap matriks perbandingan dikatakan
konsisten apabila nilai
CR
tidak lebih dari 10%. Setelah memastikan bahwa setiap matriks perbandingan berpasangan cukup konsisten,langkah selanjutnya adalah membuat suatu supermatriks. Supermatriks berisikan vektor-vektor prioritas dari setiap perbandingan. Misalkan suatu sistem memiliki
N
komponenyaitu
C
1,
C
2,
,
C
N dan setiap komponenmemiliki beberapa elemen. Komponen-komponen tersebut dihubungkan satu sama lain hingga terbentuk suatu model jaringan dari sistem yang diinginkan. Dari model tersebut akan dibentuk matriks-matriks perbandingan berpasangan yang masing-masing akan menghasilkan vektor prioritas. Nilai vektor prioritas dari setiap perbandingan dimasukkan pada kolom blok supermatriks yang bersesuaian. Blok-blok supermatriks tersebut akan disusun menjadi satu supermatriks seperti supermatriks berikut:
NN N N N NW
W
W
W
W
W
W
W
W
W
2 1 2 22 21 1 12 11 Keterangan:W
: supermatriks yang terbentukij
W
: matriks yang berisi bobot prioritas
elemen-elemen dalam komponen ke i terhadap elemen-elemen dalam komponen ke
j
.Submatriks W yang terdapat dalam ij
supermatriks disebut blok supermatriks.
ij
W merupakan sebuah matriks berukuran
j i n
n seperti yang ditampilkan pada matriks berikut: ) ( ) ( ) ( ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 2 1 2 1 2 1 j n i i i j n j n j in j in j in j i j i j i j i j i j i ij w w w w w w w w w W Keterangan: ) (jl
ik
Ismiranti, N.W.N., Kencana, I P.E.N., Sukarsa, I K.G. Analisis Prioritas Solusi Kemacetan Lalu Lintas…
Setiap perhitungan yang dilakukan pada penelitian ini akan dilakukan dengan bantuan software super decision. Perangkat lunak super decision merupakan perangkat lunak yang digunakan untuk membantu pengambilan keputusan yang mengimplementasikan metode ANP.
2. METODE PENELITIAN
Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data primer yang diperoleh melalui proses wawancara yang dilakukan terhadap para narasumber. Adapun narasumber yang menjadi acuan dalam penelitian ini adalah anggota satuan lalu lintas, dinas perhubungan serta para pengamat transportasi yang terdapat di Kota Denpasar.
Langkah-langkah penelitian yang dilakukan pada penelitian ini adalah sebagai berikut (Santoso, et al [4]):
1. Tentukan narasumber yang akan diwawancarai.
2. Melakukan wawancara terhadap narasumber untuk memperoleh kriteria dan alternatif solusi yang sesuai untuk menangani kemacetan yang terjadi di Kota Denpasar.
3. Membentuk model jaringan beradasarkan hasil wawancara yang di peroleh pada poin ke-2 serta menyusun angket beradasarkan model jaringan yang terbentuk.
4. Melakukan wawancara terhadap narasumber untuk mengetahui bobot dari masing-masing kriteria dan alternatif. Wawancara ini merupakan wawancara terstruktur dengan menggunakan angket yang telah dibuat.
5. Membuat matriks perbandingan berpasangan yang menggambarkan pengaruh setiap elemen terhadap kriteria. 6. Setelah semua bobot perbandingan
terkumpul, masukkan nilai-nilai kebalikannya serta nilai di diagonal utama kedalam matriks perbandingan berpasangan, cari prioritas masing-masing kriteria dan uji konsistensinya.
7. Cari vektor prioritas dari matriks yang dibuat pada langkah ke-6.
8. Ulangi langkah 5, 6, dan 7 pada semua kriteria
9. Buat unweighted supermatrix
10. Buat weighted supermatrix 11. Buat limmiting supermatrix.
12. Ambil nilai dari alternatif yang dibandingkan untuk mengetahui hasil akhir perhitungan.
3. HASIL DAN PEMBAHASAN
Tahap awal dari penelitian ini adalah pengambilan data yang menggunakan metode wawancara. Wawancara dilakukan untuk memperoleh faktor-faktor penyebab kemacetan lalu lintas serta solusinya.Wawancara ini dilakukan terhadap para narasumber yang merupakan para pengamat transportasi yang juga merupakan anggota Masyarakat Transportasi Indonesia (MTI) yang berada di Kota Denpasar. Setelah melakukan wawancara terhadap para pengamat transportasi maka diperoleh faktor-faktor penyebab kemacetan serta alternatif solusi yang bisa digunakan untuk menanganinya. Faktor-faktor serta alternatif solusi ini kemudian disusun menjadi suatu jaringan ANP seperti Gambar 2.
Gambar 2. Jaringan ANP yang terbentuk
11
A1 A2 A3 A4 A5 A6 MJ MP
JK
P JKU JP D PP A1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1
A2 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1
A3 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1
A4 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1
A5 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1
A6 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1
MJ 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 MP 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 JKP 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1
JKU 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1
JP 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 D 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 PP 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 Alternatif Manajemen Rasio Regulasi
Gambar 3. Tabel yang Berisi Matriks Ketergantungan
Dari matriks pada Gambar 3 akan dibentuk sebuah angket perbandingan. Angket tersebut digunakan sebagai alat bantu melakukan wawancara untuk memperoleh bobot dari setiap perbandingan. Bobot-bobot tersebut kemudian disusun menjadi matriks-matriks
perbandingan berpasangan sesuai dengan item pertanyaan yang terdapat pada angket. Setiap bobot dimasukkan ke dalam matriks perbandingan berpasangan dengan prinsip resiprokal yang kemudian dicari vektor prioritasnya.
Vektor-vektor prioritas tersebut kemudian disusun menjadi sebuah supermatriks. Dalam hal ini terdapat tiga buah supermatriks yang akan terbentuk yaitu: unweighted supermatrix, weighted supermatrix, dan limiting supermatrix. Unweighted supermatrix merupakan supermatriks yang dibuat dengan menyusun setiap vektor prioritas pada kolom yang sesuai, seperti Gambar 4.
A1 A2 A3 A4 A5 A6 MJ MP JKP JKU JP D PP
A 1 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.206 0.477 0.000 0.047 0.050 A 2 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.073 0.047 0.000 0.308 0.355 A 3 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.065 0.093 0.000 0.103 0.091 A 4 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.166 0.122 0.000 0.224 0.201 A 5 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.223 0.111 0.000 0.119 0.155 A 6 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.267 0.150 0.000 0.199 0.150
MJ 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.500 0.000 0.000 0.000 0.000
MP 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.500 0.000 0.000 0.000 0.000
JKP 0.333 0.833 0.833 0.833 0.833 0.750 0.800 0.800 0.000 0.000 0.000 0.500 0.800 JKU 0.667 0.167 0.167 0.167 0.167 0.250 0.200 0.200 0.250 0.000 0.000 0.500 0.200
JP 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.750 0.000 0.000 0.000 0.000
D 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500 0.750 0.000 0.000 0.000 0.000
PP 0.500 0.50000.500 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500 0.250 0.000 0.000 1.000 0.000
Gambar 4. Unwiehted Supermatrix
Tabel ini menunjukan prioritas tiap alternatif terhadap masing masing faktor. Dari tabel pada Gambar 4 diperoleh bahwa berdasarkan faktor JKP alternatif 6 mendapat bobot prioritas tertinggi yaitu 0,267, berdasarkan faktor JKU alternatif 1 mendapat bobot prioritas tertinggi yaitu 0,477, berdasarkan faktor disiplin dan faktor pengawasan alternatif 2 mendapat bobot tertinggi yaitu
0,308 dan 0,355. Gambar 4 ini hanya berisikan bobot perbandingan antar elemen, belum mencangkup perbandingan antar cluster (komponen). Oleh karena itu nilai-nilai yang terdapat pada Gambar 4 harus dikalikan dengan nilai-nilai pada perbandingan cluster untuk membentuk supermatiks baru yang disebut weighted
supermatrix.
Ismiranti, N.W.N., Kencana, I P.E.N., Sukarsa, I K.G. Analisis Prioritas Solusi Kemacetan Lalu Lintas…
A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 MJ MP JKP JKU JP D PP A 1 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.031 0.477 0.000 0.004 0.018 A 2 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.011 0.047 0.000 0.029 0.128 A 3 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.010 0.093 0.000 0.010 0.033 A 4 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.025 0.122 0.000 0.021 0.072 A 5 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.034 0.111 0.000 0.011 0.056 A 6 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.041 0.150 0.000 0.019 0.054 MJ 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.136 0.000 0.000 0.000 0.000 MP 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.136 0.000 0.000 0.000 0.000 JKP 0.278 0.694 0.694 0.694 0.694 0.625 0.533 0.533 0.000 0.000 0.000 0.083 0.512 JKU 0.556 0.139 0.139 0.139 0.139 0.208 0.133 0.133 0.118 0.000 0.000 0.083 0.128 JP 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.354 0.000 0.000 0.000 0.000 D 0.083 0.083 0.083 0.083 0.083 0.083 0.167 0.167 0.077 0.000 0.000 0.000 0.000 PP 0.083 0.083 0.083 0.083 0.083 0.083 0.167 0.167 0.026 0.000 0.000 0.740 0.000
Gambar 5. Weighted Supermatrix
Nilai-nilai yang terdapat pada Gambar 5 merupakan nilai prioritas yang diperoleh dengan menggabungkan hasil perbandingan elemen dan perbandingan clutser. Gambar 5 memperlihatkan bahwa berdasarkan faktor JKP alternatif 6 mendapat bobot prioritas tertinggi yaitu 0,041, berdasarkan faktor JKU alternatif 1 mendapat bobot prioritas tertinggi yaitu 0,477, berdasarkan faktor disiplin dan faktor pengawasan alternatif 2 mendapat bobot tertinggi yaitu 0,029 dan 0,128. Nilai-nilai yang terdapat pada Gambar 5 digunakan untuk memeperoleh sepermatriks baru yang disebut limitting supermatrix.
Pada weighted supermatrix yang terdapat pada Gambar 5, alternatif yang mendapat prioritas tertinggi pada setiap faktor masih berbeda beda. Oleh karena itu supermatriks ini terus dipangkatkan sampai setiap kolom yang terdapat pada satu baris yang sama memiliki nilai yang sama dan membentuk supermatriks baru yang disebut limitting supermatrix. Supermatriks pada Gambar 5 dipangkatkan dengan tujuan untuk mencangkup semua hubungan saling memengaruhi yang mungkin terjadi pada setiap elemen dan alternatif, baik itu pengaruh langsung maupun pengaruh tak langsung.
A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 MJ MP JKP JKU JP D PP
A 1 0.091 0.091 0.091 0.091 0.091 0.091 0.091 0.091 0.091 0.091 0.000 0.091 0.091 A 2 0.027 0.027 0.027 0.027 0.027 0.027 0.027 0.027 0.027 0.027 0.000 0.027 0.027 A 3 0.023 0.023 0.023 0.023 0.023 0.023 0.023 0.023 0.023 0.023 0.000 0.023 0.023 A 4 0.037 0.037 0.037 0.037 0.037 0.037 0.037 0.037 0.037 0.037 0.000 0.037 0.037 A 5 0.035 0.035 0.035 0.035 0.035 0.035 0.035 0.035 0.035 0.035 0.000 0.035 0.035 A 6 0.044 0.044 0.044 0.044 0.044 0.044 0.044 0.044 0.044 0.044 0.000 0.044 0.044 MJ 0.039 0.039 0.039 0.039 0.039 0.039 0.039 0.039 0.039 0.039 0.000 0.039 0.039 MP 0.039 0.039 0.039 0.039 0.039 0.039 0.039 0.039 0.039 0.039 0.000 0.039 0.039 JKP 0.259 0.259 0.259 0.259 0.259 0.259 0.259 0.259 0.259 0.259 0.000 0.259 0.259 JKU 0.150 0.150 0.150 0.150 0.150 0.150 0.150 0.150 0.150 0.150 0.000 0.150 0.150 JP 0.102 0.102 0.102 0.102 0.102 0.102 0.102 0.102 0.102 0.102 0.000 0.102 0.102 D 0.061 0.061 0.061 0.061 0.061 0.061 0.061 0.061 0.061 0.061 0.000 0.061 0.061 PP 0.096 0.096 0.096 0.096 0.096 0.096 0.096 0.096 0.096 0.096 0.000 0.096 0.096
Gambar 6. Limiting Supermatrix
Limiting supermatrix akan memperlihatkan prioritas dari masing-masing alternatif beradasarkan seluruh kriteria yang ada. Langkah selanjutnya adalah menyusun alternatif-alternatif tersebut beradasarkan
13
Tabel 3. Prioritas Alternatif
Alternatif Nilai Prioritas
Alternatif 1 0,091 1
Alternatif 6 0,044 2
Alternatif 4 0,037 3 Alternatif 5 0,035 4
Alternatif 2 0,027 5 Alternatif 3 0,023 6
Keterangan:
Alternatif 1: Memperbaiki sistem angkutan umum
Alternatif 2: Menggunakan teknologi untuk mengawasi dan menegakkan aturan
Alternatif 3: Membuat aturan
Alternatif 4: Membuat aturan road pricing Alternatif 5: Mengoptimalkan manajemen jalan
Alternatif 6: membuat aturan zonasi jalan
4. KESIMPULAN DAN SARAN
Beradasarkan hasil yang diperoleh, dapat disimpulan bahwa alternatif-alternatif solusi yang dapat digunakan dalam menangani kemacetan lalu lintas di Kota Denpasar adalah memperbaiki sistem angkutan umum, menggunakan teknologi untuk mengawasi dan menegakkan aturan, membuat aturan 3 in 1,
membuat aturan road pricing,
mengoptimalkan manajemen jalan, membuat aturan zonasi jalan. Berdasarkan perhitungan menggunakan Metode ANP, dari keenam alternatif tersebut, alternatif terbaik yang bisa digunakan untuk menangani kemacetan lalu lintas di Kota Denpasar adalah alternatif memperbaiki sistem angkutan umum.
Dalam penelitian ini masih terdapat beberapa kekurangan salah satunya adalah analisis yang digunakan hanya menggunakan aspek traffic management analysis. Oleh karena itu pada penelitian selanjutnya bisa ditambahkan aspek-aspek lain dalam melakukan analisisnya misalnya aspek sosial dan budaya.
DAFTAR PUSTAKA
[1] Saaty. 2004. Fundamental of The Analytic Network Process Dependence and Feedback in Decision Making With a Singel Network. Journal of System Science and System Engineering, 129-157.
[2] Saaty, T.L., & Vargas, L. G. 2001. Models, Methods, Concepts and Applications of the Analytic Hierarchy Process. New York: Springer Science+Business Media New York.
[3] Saaty, T.L., & Vargas, L. G. 2006. Decision Making With The Analytic Network Process Economic Political, Social and Technological Applications with Benefits, Opportunities, Cost and Risk (2 ed.). New York: Springer Science+Business Media, LLC.
[4] Santoso, Leo Willyanto, Alexander Setiawan & Januar R. Stanley. 2009. Pembuatan Aplikasi Sistem Seleksi Calon Pegawai dengan Metode Analytic Network Process (ANP) di PT X. Teknik Informatika, Fakultas Teknologi Industri
E-Jurnal Matematika Vol. 5 (1), Januari 2016, pp. 14-21 ISSN: 2303-1751
PENENTUAN MODEL PREMI TIDAK KONSTAN
PADA ASURANSI DANA PENSIUN
Lia Jenita§1, I Nyoman Widana2, Desak Putu Eka Nilakusmawati3
1Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Udayana [Email:liajenitat@gmail.com] 2Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Udayana [Email:nwidana@yahoo.com] 3Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Udayana [Email:nilakusmawati@unud.ac.id]
§Corresponding Author
ABSTRACT
Pension plan is an effort to anticipate the life of old on the day. In the pension program, there are two methods of normal due’s calculation to be paid by the insured each year, the Entry Age Normal method, namely calculation of normal dues with constant premiums and projected unit credit method, namely calculation of normal dues with Premium Increases Each year or is not constant. This paper wants to develop an inconstant premium calculation method with constant premium increase
annually. Where the pension plan participants’ age when he joined the pension plan is 19 years and
the retirement age on this contract is 55 years, with premium increases of 5% of the normal dues early. The large ratio of premiums is, for dues normal at the age of 19 years until the age of 28 years, but for dues normal at the age of 29 years to the age of 33 years and to normal dues at the age of 34 years old until the age of one year before retirement.
Keyword: Entry Age Normal, futures contract, Premium Increases Each, constant premium increase annually
1. PENDAHULUAN
Asuransi dana pensiun merupakan salah satu bentuk upaya perencanaan masa tua dengan tujuan menjamin kesejahteraan hidup pada saat memasuki usia pensiun. Program Asuransi adalah suatu program yang mengupayakan sejumlah pertanggungan dengan pihak-pihak yang terlibat, yaitu pihak penanggung (perusahaan asuransi) dan pihak tertanggung (individual atau kelompok sebagai pemegang polis). Pihak penanggung memberikan jaminan suatu pengganti kerugian yang dialami atau diderita tertanggung sesuai perjanjian dan kesepakatan kedua belah pihak. Pihak tertanggung memiliki kewajiban untuk membayarkan sejumlah uang yang disebut dengan premi sesuai polis yang disepakati kedua belah pihak pada awal perjanjian asuransi.
Oleh karena itu, Dana pensiun atau sering disebut asuransi hari tua adalah asuransi yang mengupayakan sejumlah nilai manfaat (benefit)
pensiun bagi pesertanya yang bertujuan membentuk sejumlah dana untuk dapat dipergunakan nantinya di hari tua setelah mereka tidak bekerja lagi.
Menurut UU No.11 Tahun 1992 yang berisikan tentang hal-hal yang menyangkut tentang dana pensiun. Selain sebagai bentuk jaminan masa tua para pegawai yang bekerja di perusahaannya, dana pensiun juga merupakan salah satu tanggung jawab perusahaan terhadap semua pegawai yang telah bekerja keras selama masa kerjanya di perusahaan itu.
15
dalam bentuk pembayaran iuran normal dilakukan dalam bentuk pemotongan gaji pegawai. Gaji yang dipotong menjadi investasi selama masa kerja dan akumulasi dana untuk pembayaran manfaat pensiun dalam memelihara kesinambungan penghasilan peserta pada hari tua (Futami [2]).
Dalam melakukan perhitungan premi, penulis menggunakan formula baru yaitu perhitungan premi tidak konstan dengan kenaikan premi tiap tahunnya konstan. Metode ini adalah metode perhitungan normal cost dengan mengalokasikan total manfaat pensiun secara merata sejak tanggal perhitungan aktuaria. Metode tersebut menggunakan asumsi skala gaji yang akan diestimasi pada masa depan (future value) dan diasumsikan bahwa gaji mengalami peningkatan.
Menurut Futami [3], jika seseorang berinvestasi sebesar Rp.1,- pada saat sekarang dan tingkat bunga yang berlaku sebesar maka total pokok besar bunga sebesar bunga setelah tahun adalah:
. (1)
Besar total manfaat yang didapatkan selama tertanggung aktif bekerja dari umur tahun sampai dengan tahun, dinotasikan sehingga besar manfaat yang akan diterima oleh tertanggung pada tahun dinotasikan (Sembiring [5]).
(2)
Manfaat yang didapatkan oleh peserta pensiun merupakan proporsi gaji sebesar persen yang kemudian diakumulasikan sesuai waktu yang telah ditentukan selama dan berdasarkan skala gaji berikut:
a. Asumsi Gaji Terakhir
Gaji terakhir pada usia tahun yang diharapkan dinotasikan dengan
. (3) b. Asumsi Rata-Rata Gaji Selama Bekerja
Rata-rata gaji yang diharapkan selama bekerja adalah
[ ]
[
] (4) Nilai akhir anuitas yang dilakukan selama
tahun dengan peningkatan sebesar dinotasikan dengan | sehingga persamaan di atas dapat ditulis menjadi:
| . (5)
Sehingga diperoleh manfaat pensiun tertanggung sampai berusia tahun adalah
[ | ] (6)
Present Value of Future Benefit adalah nilai sekarang dari manfaat pensiun yang akan diterima oleh tertanggung saat memasuki usia pensiunnya atau tahun. Sistem pembayaran manfaat pensiun yang dilakukan tiap tahun sampai tertanggung meninggal.
r ̈ r-x [6] (7)
Gambar 1. Skema Pembayaran
Keterangan:
r
= nilai sekarang dari manfaat pensiun normal di usia x tahun;
= besar manfaat pensiun normal; ̈ = nilai sekarang dari anuitas
seumur hidup di usia pensiun tahun;
= faktor diskonto selama
tahun; dan
r-x = tingkat penyusutan aktuaria total
E-Jurnal Matematika Vol. 5 (1), Januari 2016, pp. 14-21 ISSN: 2303-1751
Present value of future normal cost adalah nilai sekarang dari iuran normal yang dibayarkan secara berkala oleh peserta dimulai dari peserta berusia tahun
sampai memasuki usia pensiun berusia – tahun, yang dinotasikan dengan r . Besar pembayaran berkala iuran normal yang dilakukan setiap awal tahun sebesar dimulai dari peserta masuk program pensiun (usia tahun) sampai memasuki usia pensiun selang waktu usia tahun dapat dijelaskan dengan skema pembayaran tampak pada Gambar 2.
Gambar 2. Skema Pembayaran Iuran Normal Selama Masa Kerja
Berdasarkan skema pada Gambar 2 pembayaran iuran normal selama masa kerja tertanggung selang waktu usia tahun sampai dengan berusia tahun adalah
2 r-1-a .
Sehingga nilai sekarang iuran normal pada saat tertanggung berusia tahun yang dinotasikan dengan r dan dirumuskan sebagai berikut
r ∑ (8)
2. Metode Perhitungan Premi
Metode Entry Age Normal adalah nilai sekarang dari manfaat pensiun yang akan datang akan sama dengan nilai sekarang iuran normal (premi) yang akan datang pada saat berusia pensiun .
Pada dasarnya, iuran normal yang akan dibayarkan oleh tertanggung secara berkala (PVFNC) pada selang usia tahun sampai tahun, dipergunakan untuk melakukan pembayaran manfaat (PVFB) yang nantinya akan diberikan kepada tertanggung pada saat pensiun. Nilai sekarang dari iuran normal saat
peserta berusia tahun adalah r sedangkan nilainya akan sama dengan nilai sekarang manfaat pensiun saat tertanggung berusia tahun yaitu r (Nurcahyani & Endang [4]), sehingga diperoleh persamaan:
r r
Sehingga berdasarkan persamaan (7) dan (8), maka nilai NC dapat dirumuskan sebagai berikut:
̈ r-x ∑
∑ ̈ r-x ∑
̈ r-x
EAN ̈ ∑
EAN ̈ ̈ ̅̅̅̅̅̅̅̅ (9)
Metode Projected Unit Credit
Metode Projected Unit Credit (PUC) adalah merupakan metode perhitungan iuran normal yang membagi total manfaat pensiun pada saat usia pensiun. Dimana total dari masa kerja peserta pensiun menjadi suatu unit manfaat pensiun yang kemudian dialokasikan pada setiap tahun pada masa kerja (Bower,et al. [7]).
Iuran normal (NC) seorang peserta yang berusia dan pensiun pada usia didefinisikan sebagai nilai sekarang dari manfaat yang akan terima peserta pensiun dimasa yang akan datang dan akan menyebar secara merata setiap tahunnya selama masa kerja (Futami [3]). Sehingga iuran normal untuk metode ini dapat dirumuskan sebagai berikut:
PUC ̈ r-x
3. HASIL DAN PEMBAHASAN
Model (formula) Premi Tidak Konstan
17
saat berusia tahun dan akan terhitung pensiun pada usia tahun.
Misalkan adalah nilai tunai yang harus di bayarkan tertanggung setiap tahunnya. Pada tahun pertama tertanggung membayarkan iuran sebasar dan tahun kedua sebesar dan seterusnya mengalami peningkatan sebesar setiap tahunnya sampai mencapai usia pensiun satu tahun sebelum. Sehingga besar iuran terakhir yang akan dibayarkan tertangngung adalah . Sebaliknya sebagai hak yang akan didapatkan peserta pensiun bila hidup sampai usia , akan mendapatkan tanggungan (uang pensiun) mulai usia tahun sebesar seumur hidup. Apabila peserta pensiun meninggal sebelum mencapai usia
, maka peserta pensiun tidak mendapatkan uang tanggungan apapun. Dari kontrak ini maka nilai tunai dari premi yang akan dibayarkan peserta pensiun adalah:
[
]
[ ]
[ {
}
]
[
] [
]
[
]
[
]
Sehingga diperoleh nilai sekarang dari iuran normal (premi) yang dibayarkan peserta pensiun adalah :
[
] (11)
Sedangkan untuk nilai tunai dari manfaat pensiun yang akan dibayarkan oleh perusahaan asuransi pensiun bagi peserta pensiun adalah:
̈ Berdasarkan prinsip ekuivalensi yang telah dijelaskan terlebih dahulu pada persamaan (9) dimana nilai uang yang masuk kedalam perusahaan harus sama dengan nilai uang yang dikeluarkan perusahaan. Sehingga dengan mengunakan persamaan ekuivalensi dari persamaan (11) dan (12) maka akan diperoleh persamaan:
[ ]
̈
[ ]
̈
[ ] ̈
[ ] ̈
Dimana [ ] menyatakan besar iuran normal pada tahun pertama , sehingga besar premi pada tahun ke_ adalah:
[ ]
Contoh Kasus Penerapan
Berdasarkan rumusan masalah yang telah dijelaskan pada bab sebelumnya, maka akan diberikan contoh kasus yang berkaitan dengan permasalahan pada penelitian ini (Nurcahyani & Endang [4]). Dalam hal ini, bila seorang karyawan mulai menjadi peserta pensiun semenjak berusia 19 tahun dan akan terhitung pensiun pada usia 56 tahun , dengan gaji pokok terakhir yang diterima karyawan yang diakumulasikan dalam satu tahun adalah sebesar -. Perhitungan (valuasi) dilakukan pada saat peserta berusia 24 tahun. Kemudian untuk tahun berikutnya iuran normal yang akan dibayar ditambahkan dengan sebesar 5% dari besar manfaat pensiun dengan tingkat suku bunga sebesar 11% dan sebesar 2,5% adalah:
a. Perhitungan Manfaat Pensiun
E-Jurnal Matematika Vol. 5 (1), Januari 2016, pp. 14-21 ISSN: 2303-1751
manfaat pensiun untuk premi tindak konstan dengan peningkatan secara konstan, digunakan asumsi rata-rata gaji yang diperoleh karyawan selama masih aktif bekerja sebagai berikut: Pada contoh kasus yang disajikan telah di ketahui gaji pokok terakhir yang diterima karyawan yaitu sebesar - maka selanjutnya untuk menentukan besar manfaat pensiun berdasarkan besar gaji terakhir dapat menggunakan persamaan(2) sehingga diperoleh:
,-
b. Perhitungan Nilai Sekarang Manfaat Pensiun (Present Value of Future Benefit)
Pada kasus perhitungan nilai iuran premi tidak konstan dengan kenaikan konstan, pada penelitian ini menggunakan asumsi skala rata rata gaji selama pegawai (peserta pensiun) selama masih aktif bekerja sebagai berikut:
56
56-23
̈ 56-23
( )
(1) Jadi, diperoleh nilai sekarang total manfaat pensiun yang akan di peroleh peserta program pensiun saat mencapai usia 23 tahun sebesar Rp. ,-.
Sehingga diperoleh nilai adalah: ( )
c. Perhitungan Iuran Normal (Premi)
Perhitunan Iuran Normal Metode Entry Age Normal
Berdasarkan persamaan (9) diperoleh iuran normal yang akan dibayarkan peserta program dana pensiun adalah:
EAN ̈ ̈ ̅̅̅̅̅̅̅̅
̈ ̅̅̅̅̅̅̅̅
Perhitunan Iuran Normal Metode Projected Unit Credit
Berdasarkan persamaan (10) diperoleh iuran normal yang akan dibayarkan peserta program dana pensiun adalah:
PUC
Perhitungan Nilai Iuran Normal dengan Formula Baru
Perhitungan iuran yang harus dibayarkan oleh peserta pensiun pada penelitian ini, dimana pada setiap tahunnya premi yang wajib dibayarkan peserta pensiun bertambah sebesar . Seperti yang telah dijelaskan pada persamaan (12), perhitungan nilai premi yang harus dibayarkan adalah:
[ ]
̈
(
)
Sedangkan untuk perhitungan iuran normal pada usia 24 tahun menggunakan persamaan sehingga diperoleh:
[ ]
19
0 50000000 100000000 150000000
24 27 30 33 36 39 42 45 48 51 54
Gaji Terakhir
0.00 200000.00 400000.00 600000.00 800000.00 1000000.00 1200000.00 1400000.00
24 26 28 30 32 34 36 38 40
PUC ILP formula Baru
Gambar 3. Grafik Nilai Sekarang dari Manfaat Pensiun (Present Value of Future Benefit) dengan Asumsi Skala Gaji Terakhir.
Gambar 3 menunjukkan bahwa penggunaan asumsi gaji terakhir menghasilkan manfaat pensiun yang sangat tinggi. Hal ini menyatakan bahwa penggunaan skala gaji terakhir akan menunjukkan penggunaan asumsi gaji lainnya, mengingat setiap tahun pegawai selalu mendapatkan peningkatan gaji. Tetapi kekurangan saat mengunakan asumsi gaji terakhir adalah perusahaan asuransi dapat saja mengalami kerugian dikarenakan harus melakukan pembayaran kekurangan pembiayaan yang terjadi diawal masa kepesertaan bagi peserta program pensiun yang memperoleh peningkatan penghasilan tiap tahunnya.
Sedangkan untuk perbandingan, perhitungan pembiayaan iuran normal ditunjukkan pada Gambar 4.
Gambar 4. Grafik Pembiayaan Iuran Normal Mengunakan Metode Projected Unit
Credit (PUC), Individual Level Premium (ILP) Berdasarkan Asumsi Gaji Terakhir
Grafik garis berbentuk layang-layang yang ditunjukkan pada gambar 4 menunjukan bahwa
pembiayaan iuran normal (premi) dengan mengunakan metode Projected Unit Credit akan mengalami peningkatan setiap tahunnya. Pada metode ini peningkatan iuran normal yang terjadi setiap tahunnya tidak secara konstan, sehingga pada saat peserta mencapai usia lebih tua peningkatan besar iuran normal yang harus dibayarkan peserta program dana pensiun semakin melonjak tinggi disesuaikan dengan perkiraan besar manfaat yang akan didapatkan peserta pensiun jika membayar iuran normal pada umur tersebut. Peningkatan iuran normal mengunakan metode Projected Unit Credit dapat dilihat dengan grafik garis yang berwarna biru.
Sedangkan grafik garis berbentuk pesegi yang ditunjukkan pada gambar 4 menunjukkan pembiayaan iuran normal dengan mengunakan metode Individual Level Premium. Perhitungan iuran normal (premi) dengan mengunakan metode ini cenderung tetap saat pegawai baru menjadi peserta pensiun sampai pegawai memasuki usia pensiun. Hal ini disebabkan karena perhitungan pembiayaan iuran normal dengan metode Individual Level Premium tidak dipengaruhi oleh usia peserta program dana pensiun saat tahun perhitungan aktuaria (saat peserta berusia x tahun), tetapi dipengaruhi oleh usia peserta program dana pensiun saat memasuki program dana pensiun (saat peserta berusia e tahun).
E-Jurnal Matematika Vol. 5 (1), Januari 2016, pp. 14-21 ISSN: 2303-1751
Berdasarkan hasil perhitungan pembiayaan iuran normal setiap tahun, berikut ini diperoleh perbandingan hasil nilai akhir perhitungan iuran normal setiap tahunnya menggunakan tiga formula yang berbeda. Pada perhitungan ini diasumsikan bahwa setiap peserta yang memasuki program dana pensiun pada usia tahun dan masih hidup saat memasuki usia pensiun (berusia tahun).
Berdasarkan perhitungan nilai akhir pembiayaan iuran normal, diperoleh total akhir pembiayaan iuran normal dengan Projected Unit Credit adalah sebesar Rp.12.695.636,-, sedangkan total nilai akhir pembiayaan iuran normal dengan mengunakan Entry Age Normal adalah sebesar Rp.5.896.427,-, dan total nilai akhir pembiayaan iuran normal dengan menggunakan formula kenaikan kostan adalah Rp.8.066.992,-
Penggunaan pembiayaan akhir menggunakan formula kenaikan iuran normal secara konstan, menghasilkan nilai akhir iuran yang lebih tinggi dibandingkan dengan Individual Level Premium dan lebih rendah dari nilai akhir iuran dengan menggunakan metode Projected Unit Credit. Oleh karena itu, perhitungan pembiayaan iuran normal dari sudut pandang peserta asuransi dapat memilih formula kenaikan iuran normal secara konstan. Dengan demikian, peserta pensiun tidak merasa terbebani dengan kenaikan iuran normal setiap tahunnya dikarenakan kenaikan yang terjadi setiap tahunnya selalu konstan.
4. KESIMPULAN DAN SARAN
Penelitian ini menunjukkan bahwa:
1. Formula model premi tidak konstan dengan kenaikan konstan pada tahun pertama adalah:
̈
dengan menyatakan besar iuran normal
pada tahun pertama, sehingga besar premi pada tahun ke_ adalah:
2. Bilamana usia peserta program dana pensiun saat mengikuti program pensiun adalah 19 tahun dan usia pensiun pada kontrak ini adalah 55 tahun, dengan kenaikan premi sebesar 5% dari iuran normal awal. Adapun besar perbandingan premi adalah sebagai berikut, untuk iuran normal pada saat berusia 19 tahun sampai usia 28 tahun, tetapi
untuk iuran normal pada saat berusia 29 tahun sampai usia 33 tahun dan
untuk iuran normal pada saat berusia 34 tahun sampai usia satu tahun sebelum pensiun. Adapun saran untuk pengembangan penelitian selanjutnya agar peneliti selanjutnya menggunakan asumsi tingkat suku bunga pembiayaan investasi yang berbeda. Selain itu, agar kontrak program dana pensiun yang selanjutnya dapat diperbaharui dengan kontrak program dana pensiun dimana peserta program dana pensiun tetap memperoleh pembiayaan usia tua (pensiun) pada saat peserta pensiun mengalami sesuatu kejadian dipertengahan sebelum mencapai usia pensiun.
DAFTAR PUSTAKA
[1] Aitken, W. H 1994. A Problem Solving Approach to Pensiun Funding And Valuation. 2nd edition. Winsted: Actex Publications.
[2] Futami, T. 1993a. Matematika Asuransi Jiwa Bagian I. Herliyanto, Gatot, penerjemah.Tokyo: oriental Life Insurance Cultural Development Center. Terjemahan
dari: Seimei Hoken Sugaku, Jokan (“92
revision).
[3] Futami, T. 1993b. Matematika Asuransi Jiwa Bagian II. Herliyanto, Gatot, penerjemah.Tokyo: oriental Life Insurance Cultural Development Center. Terjemahan
dari: Seimei Hoken Sugaku, Jokan (“92
revision).
21
[5] Sembiring, R.K. 1986. Buku Materi Pokok Asuransi I. Departemen Pendidikan dan Kebudayaan Universitas Terbuka.
[6] Winklevoss. 1993. Pengertian Dana
Pensiun. http://wisuda.unud.ac.id. Diakses tangal 16 Juni 2015.
E-Jurnal Matematika Vol. 5 (1), Januari 2016, pp. 22-26 ISSN: 2303-1751
PENERAPAN BOOTSTRAP DALAM METODE MINIMUM
COVARIANCE DETERMINANT (MCD) DAN LEAST MEDIAN OF
SQUARES (LMS) PADA ANALISIS REGRESI LINIER BERGANDA
Ni Putu Iin Vinny Dayanti§1, Ni Luh Putu Suciptawati2, Made Susilawati3
1Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Udayana [Email: vinnyiindayanti@gmail.com] 2
Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Udayana [Email: putusuciptawati@yahoo.co.id] 3Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Udayana [Email: mdsusilawati@unud.ac.id]
§
Corresponding Author
ABSTRACT
Ordinary Least Squares (OLS) Method is a good method to estimate regression parameters when there is no violation in classical assumptions, such as the existence of outlier. Outliers can lead to biased parameters estimator, therefore we need a method that can may not affected by the existence of outlier such as Minimum Covariance Determinant (MCD) and Least Median of Squares (LMS). However, the application of this method is less accurate when it is used for small data. To overcome this problem, it was aplicated bootstrap method in MCD and LMS to determine the comparison of bias in parameters which were produced by both methods in dealing outlier in small data. The used bootstrap method in this study was the residual bootstrap that works by resampling the residuals. By using 95% and 99% confidence level and 5%, 10% and 15% outlier percentage, MCD-bootstrap and LMS-bootstrap give value of parameter estimators which were unbias for all percentage of outlier. We also found that the widht of range which produced by MCD-bootstrap method was shorter than LMS-bootstrap method produced. This indicates that MCD-bootstrap method was a better method than LMS-bootstrap method.
Keywords: outliers, bias, robust, Minimum Covariance Determinant, Least Median of Squares, bootstrap residual
1. PENDAHULUAN
Analisis regresi linier berganda merupakan analisis yang digunakan untuk menyelidiki hubungan linier antara dua atau lebih peubah prediktor terhadap peubah respon yang berskala minimal interval (Neter, et al [1]).
Metode kuadrat terkecil (MKT) merupakan metode penduga parameter regresi yang baik bila tidak terjadi pelanggaran asumsi klasik, seperti adanya pencilan. Pencilan merupakan data yang pengamatannya berada jauh dari sekelompok data amatan lainnya yang menyebabkan penduga parameter bersifat bias (Neter, et al [1]). Metode yang bisa mengatasi pencilan yaitu Minimum Covariance Determinant (MCD) dan Least Median of Squares (LMS). Namun penggunaan metode MCD dan LMS kurang tepat apabila berhadapan
dengan data berukuran kecil. Penelitian ini dilakukan dengan menerapkan bootstrap pada kedua metode (MCD-bootstrap) dan (LMS-bootstrap) untuk mengetahui perbandin
