Materi Riset Operasi OR9Sistem antrian

(1)

Sistem Antrian

Riset Operasi

Semester Genap 2011/2012

(2)

Permasalahan Fasilitas drive in

• _{Secara rata-rata 10 mobil per jam tiba di}

suatu fasilitas drive in satu meja layan.

• _{Diasumsikan rata-rata waktu layanan setiap}

pelanggan adalah 4 menit,

• _{Waktu antar kedatangan dan waktu}

pelayanan menyebar secara eksponensial.

• _{Terdapat beberapa permasalahan yang}

menjadi ukuran performance dari fasilitas layanan ini.

(3)

Permasalahan Fasilitas Drive

In

1. Berapa peluang bahwa fasilitas tersebut menganggur, atau idle?

2. Berapa rata-rata jumlah mobil yang mengantri untuk dilayani?

3. Berapa rata-rata lama setiap mobil harus menunggu sampai dia selesai dilayani?

4. Secara rata-rata berapa pelanggan yang akan dilayani per jam oleh fasilitas

tersebut?

(4)

Permasalahan Model Optimasi

Antrian

• Montir-montir yang bekerja pada suatu bengkel perakitan komponen mesin perlu mencari

komponen yang diperlukan di gudang komponen.

• Secara rata-rata terdapat 10 montir per jam yang datang ke gudang untuk mencari

komponen.

• Di gudang bekerja seorang asisten untuk

membantu mencari komponen dengan gaji $6 per jam, dan butuh waktu 5 menit untuk

mencari setiap komponen yang dibutuhkan.

(5)

• _{Setiap montir menghasilkan barang}

seharga $10 per jam, sehingga setiap jam yang dihabiskannya di gudang berarti

merugikan perusahaan $10.

• _{Perlukah perusahaan mempekerjakan}

pembantu asisten gudang dengan gaji $4 per jam yang mampu mengurangi waktu pencarian komponen menjadi 4

menit/komponen?

(6)

• _{Semua permasalahan-permasalahan}

tersebut dapat dipelajari solusinya di dalam Sistem Antrian.

(7)

Sistem Antrian (Queueing System)

• _{Input Process: sebaran peluang dari}

pola kedatangan pelanggan sepanjang waktu

• _{Service Distribution: sebaran peluang}

dari waktu acak selesainya pelayanan server bagi satu pelanggan

• _{Disiplin antrian: jumlah server dan}

urutan pelayanan pelanggan.

(8)

• _{Beberapa contoh:}

8/15/17 Dr. Rahma Fitriani, S.Si, M.Sc

SITUASI INPUT PROCESS PROSES LAYANAN DISIPLIN ANTRIAN Bank Waktu kedatanga n antar pelanggan Waktu pelayanan oleh teller -Jumlah teller -First Comes First Served Kasir di Supermark et Waktu kedatanga n antar pelanggan Waktu layanan oleh kasir -Jumlah teller -First Comes First served Fasilitas

Drive in Waktu kedatanga n antar pelanggan

Waktu layanan oleh meja layanan

-1 meja layanan

-First

(9)

Kebaikan yang dapat dievaluasi

pada Sistem Antrian

• _{Sebaran peluang jumlah pelanggan:}

perencanaan kapasitas dan pelayanan ruang mengantri → kepuasan dan pelayanan

pelanggan.

• _{Peluang server menganggur: Pemanfaatan}

server atau optimalisasi jumlah server bekerja.

• _{Hasil dari sistem: berapa banyak pelanggan}

terlayani.

• _{Lama waktu antrian: kepuasan pelanggan}→

meminimumkan biaya (bahkan risiko

kehilangan nyawa) yang berhubungan dengan lama waktu mengantri.

(10)

Little’s Formula

• _{Sistem beroperasi pada waktu lama, pada}

keadaan stabil (steady state):

L : rata-rata jumlah pelanggan di dalam sistem,

λ : laju kedatangan pelanggan ke dalam sistem,

W : rata-rata lama waktu yang dihabiskan pelanggan di dalam sistem

(11)

Little’s Formula

• _{Hubungan Selanjutnya:}

L₀ : rata-rata jumlah pelanggan yang menunggu di dalam sistem sebelum dilayani

W₀ : rata-rata lama waktu tunggu sebelum dilayani

0 0 W

L 

layanan waktu

rata

-rata

(12)

Notasi Pada model Antrian

A / B / c

Sebaran waktu kedatangan

Sebaran waktu layanan

Jumlah server

Pada dua notasi pertama:

• _{G=GI : sembarang sebaran} • _{M: sebaran eksponensial}

(memoryless)

• E_k: sebaran gamma dengan

orde k (Erlang)

• _{D: deterministik}

Contoh:

• _M/M/_{1: kedatangan proses}

Poisson, waktu layanan eksponensial, 1 server.

• _M/M/_∞_{: idem, server tak hingga}

banyaknya: situasi ‘swalayan’.

• _M/G/_{1: kedatangan proses}

Poisson, waktu layanan

sembarang sebaran, 1 server

(13)

Sistem

M/M/

1

• Proses kelahiran dan kematian:

– _X₍_t_{): jumlah pelanggan yang berada di sistem}

pada waktu t

– _{Kedatangan satu pelanggan pada selang waktu}

[t, t+h) membuat X(t) bertambah satu dengan peluang

– Satu pelanggan selesai terlayani pada selang waktu

[t, t+h) membuat X(t) berkurang satu dengan peluang





 



X t h k1X t k



λho(h), untukk 0,1,2,...

P





 



X t h k 1X t k



 h o(h), untukk 1,2,3,...

(14)

Sistem M/M/1

• _{Parameter proses kelahiran dan}

kematian:

– μ_k=μ, untuk k = 0, 1, 2, … : Parameter kematian

– λ_k= λ, untuk k =1, 2, 3, … : Parameter kelahiran, λ₀= 0

(15)

Sistem

M/M/

1

• _Sebaran_equilibrium_{atau sebaran}_steady

state bagi jumlah pelanggan di dalam sistem:

• _{Peluang pada suatu waktu tertentu}

terdapat k pelanggan di dalam sistem

,... 2 , 1 , 0 )

) ( (

lim  





 P X t k k

t

k untuk

(16)

• _{Pembilang adalah deret geometrik terhingga jika λ}

<µ, atau ρ<1

 Sehingga:

• _{Untuk kasus di mana λ >µ, atau ρ>1 , sistem tidak}

akan stabil. ,... 2 , 1 untuk , 0         k k k    



            0 0 0 1 1 k k k k        



  1 1 0 k k   

₀ 1 1 

                          

 ₀ 1

k k

(17)

17

• _Perhatikan:

Adalah sebaran peluang bagi sebaran geometrik dengan peluang sukses:

 Sehingga, rata-rata jumlah pelanggan di dalam

sistem L:

Adalah nilai harapan dari sebaran geometrik.

 , 2 , 1 , 0 ,

1 _ 

(18)

Penentuan L

18

• Hasil tersebut dapat diterapkan untuk memperoleh L

 Traffic intensity: ukuran bagi system performance

 L terbatas jika λ <µ, or ρ<1, selainnya sistem akan ‘

exploded’.

 

_          1 :

~ Geometric p p

X  

(19)

Penentuan

W, W

₀

dan

L

₀

• _W₀_{: rata-rata lama waktu tunggu}

pelanggan di antrian sebelum dilayani

• _W_{: rata-rata lama waktu yang dihabiskan}

pelanggan di dalam sistem

 

__

 

_ _ _













L 1 1

W

L

(



)



1 layanan

waktu rata

-rata ₀

0   

W W

W

   

1 1 ₍ ₎ 1

0   

 











(20)

• _L₀: nilai harapan panjang antrian atau rata-rata jumlah pelanggan yang menunggu

selain yang dilayani

0

0 W

L 

) (

0 0

2

  

 

 





_



_



W

(21)

Permasalahan Fasilitas drive in

• _{Secara rata-rata 10 mobil per jam tiba di suatu}

fasilitas drive in satu meja layan.

• _{Diasumsikan rata-rata waktu layanan setiap}

pelanggan adalah 4 menit,

• _{Waktu antar kedatangan dan waktu pelayanan}

menyebar secara eksponensial.

Dr. Rahma Fitriani, S.Si, M.Sc 8/15/17

λ=10

mobil/jam

4 menit/mobil ↔ μ=15

mobil/jam

Adalah sistem M/M/1

(22)

• _{Berapa peluang bahwa fasilitas tersebut}

menganggur, atau idle?

• _{Peluang sistem idle: peluang bahwa tidak}

ada pelanggan di dalam sistem

• _{Berapa rata-rata jumlah mobil yang}

mengantri untuk dilayani? 

 ₀ 1

3 1 15

10 1  

) (

0

2

  







L

  1 2mobil

3 4 10 15

102

  

(23)

• _{Secara rata-rata berapa pelanggan yang}

akan dilayani per jam oleh fasilitas tersebut?

– _{Jika fasilitas sibuk terus, maka akan melayani}

=15 mobil/jam

– _{Karena ada peluang idle 1/3, maka hanya}

akan melayani

• _{Berapa rata-rata lama setiap mobil harus}

menunggu sampai dia selesai dilayani?

 



1

W

jam 20menit

5 1 10 15

1

 

 

mobil/jam 10

15 3

2

(24)

Permasalahan Model Optimasi

Antrian

• Montir-montir yang bekerja pada suatu bengkel perakitan komponen mesin perlu mencari

komponen yang diperlukan di gudang komponen.

• Secara rata-rata terdapat 10 montir per jam yang datang ke gudang untuk mencari

komponen.

• Di gudang bekerja seorang asisten untuk

membantu mencari komponen dengan gaji $6 per jam, dan butuh waktu 5 menit untuk

mencari setiap komponen yang dibutuhkan.

Dr. Rahma Fitriani, S.Si, M.Sc 8/15/17

λ = 10 montir/jam

(25)

• _{Setiap montir menghasilkan barang}

seharga $10 per jam, sehingga setiap jam yang dihabiskannya di gudang berarti

merugikan perusahaan $10.

• _Sistem_M/M/_1.

• _{Biaya yang akan diminimumkan:}

• _{Tanpa pembantu asisten gudang:}

jam jam jam tan keterlamba biaya 2 -rata pelayanan biaya 2 -rata biaya 2 -rata   L jam $10

tan keterlamba biaya 2 -rata

 ) $50

(26)

• _{Dengan pembantu asisten gudang:}

• _{$4 per jam yang mampu mengurangi}

waktu pencarian komponen menjadi 4 menit/komponen:

μ = 60/4 = 15 komponen

10 $ ) 4 6 $( pelayanan biaya 2 -rata    jam      

$10 $10

tan keterlamba biaya 2 -rata _L

jam 5 $20

10 10

$  



(27)

• _{Dengan pembantu asisten gudang total}

biaya menjadi berkurang, dari $56 menjadi $30.

• _{Pembantu asisten gudang perlu}

dipekerjakan.