Integrasi. Menghitung luas daerah di bawah kurva: f(x) f(x)

Integrasi

f(x)

Menghitung luas daerah di bawah kurva:

f(x)

analitik numerik

a b x

∫

b a

dx f(x)

a b x

∑

i

i i

f(x ) w

∫ ∑

=

≅

=

N

1 i

i i b

a

) f(x w dx

f(x) I

Integral numerik sering disebut juga sebagai quadrature; integrasi numerik disebut sebagai integrasi dgn menjumlah quadrature.

Meski tidak terlihat pada rumus akhir, pada integrasi numerik integrand f(x) diinterpolasi dengan suatu polinomial:

∫ ∑

=

≅

=

N

1 i

i i b

a

) f(x w dx

f(x) I

p(x)

f(x) ≅

^polinomial

Dilihat dari titik-titik tempat integrand f(x) dihitung, ada teknik integrasi numerik yang menggunakan berjarak tetap dan ada yang memakai

berjarak tidak tetap.

x

i

x

i

x

_i

Contoh (akan dibahas):

• quadrature trapezoid, Simpson menggunakan berjarak sama,

• quadrature Gaussian menggunakan berjarak tidak sama.

x

i

x

i

Quadrature Trapezoid

Kurva integrand f(x) diinterpolasi dengan sebuah garis lurus (f(x) diinterpolasi dengan fungsi linier / polinomial orde 1):

sx r

p(x) ),

p(x w dx

p(x) dx

f(x) I

N

1 i

i i b

a b

a

+

=

=

≅

=

∫ ∫ ∑

=

f(x) Untuk menarik garis lurus

diperlukan minimal 2 titik, dipilih titik f(a) dan f(b):

f(b) p(b)

f(a),

p(a) = =

a b x

p(x)

∫

^b

a

dx p(x)

) bw s(aw

) w r(w

) a 2s(b

a) 1 - r(b

sb) (r

w sa) (r

w dx sx) (r

2 1

2 1

2 2

2 1

b

a

+ +

+

=

− +

+ +

+

=

∫

+

sx

r p(x) = +

Dengan diketahui hanya p(a) dan p(b) (r dan s tidak dicari), maka integrasi numerik dikerjakan untuk N = 2:

p(b) w

p(a) w

) p(x w

) p(x w ) p(x w dx

p(x)

_{1 1 2 2 1 2}

2

1 i

i i b

a

+

= +

=

= ∑

∫

=

? w

,

w

_{1 2}

=

Mencari dan :

w

₁

w

₂

Rumus quadrature trapezoid:

) a 2(b

bw 1 aw

a - b w

w

2 2

2 1

2 1

−

= +

= +

) bw s(aw

) w r(w

) a 2s(b

a) -

r(b _{1 2 1 2}

a) 2 (b

w 1

w

₁

=

₂

= −

( _{f(a) f(b)} )

2 dx h f(x) I

b

a

+

≅

= ∫ ^{(h = b − a)}

luas trapezoid (lihat gambar)

Quadrature Simpson & Boole

Cara yang sama seperti pada quadrature trapezoid bisa dipakai untuk polinomial p(x) orde lebih tinggi. Contoh, quadrature Simpson memakai p(x) fungsi

kuadratik / polinomial orde 2 untuk menginterpolasi integrand f(x):

N 2 1 i

i i c

a c

a

tx sx

r p(x) ),

p(x w dx

p(x) dx

f(x)

I = ∫ ≅ ∫ = ∑ = + +

=

f(x) Untuk membuat kurva

kuadratik diperlukan

minimal 3 titik, dipilih titik f(a), f(b) dan f(c):

f(c) p(c)

f(b), p(b)

f(a), p(a)

=

=

=

a c x

p(x)

∫

^b

a

dx p(x)

b dengan

2 c b a +

=

) tb sb

(r w ) ta sa

(r w dx

) tx sx

(r ₁ ² ₂ ²

c

2 = + + + + +

+

∫

+

tx

2

sx r

p(x) = + +

Integrasi numerik dikerjakan untuk N = 3:

p(c) w

p(b) w

p(a) w

) p(x w dx

p(x)

³ _{1 2 3}

1 i

i i c

a

+ +

=

= ∑

∫

=

? w

, w ,

w

_{1 2 3}

=

Mencari :

w

₁

, w

₂

, w

₃

) a 3(c

w 1 c w b w a

) a 2(c

cw 1 bw

aw

a - c w

w w

3 3

3 2 2

2 1

2

2 2

3 2

1

3 2

1

−

= +

+

−

= +

+

= +

+

) w c w b w t(a

) cw bw

s(aw )

w w

r(w )

a 3t(c

) 1 a 2s(c

a) 1 - r(c

) tc sc

(r w

3 2 2

2 1

2

3 2

1 3

2 1

3 3

2 2

2 3

2 1

a

+ +

+

+ +

+ +

+

=

− +

− +

+ +

+

∫

a) 3(c

w 2

a) 6(c

w 1 w

2

3 1

−

=

−

=

=

Diperoleh Rumus quadrature Simpson:

( _{f(a) 4f(b) f(c)} )

3 dx h f(x) I

c

a

+ +

≅

= ∫

2 a h c −

dengan yaitu jarak antar titik tempat f(x) dihitung:

= x

_i

h = b − a = c − b

Dengan cara yang sama, menggunakan p(x) polinomial orde 3 diperoleh rumus quadrature Simpson :38

(

_{f(a) 3f(b) 3f(c) f(d)}

)

8 dx 3h

f(x) I

d

a

+ +

+

≅

=

∫

^



 



 = =b−a =c−b =d−c 3

a - h d

dan dengan p(x) polinomial orde 4 rumus quadrature Boole:

(

_{7f(a) 32f(b) 12f(c) 32f(d) 7f(e)}

)

45 dx 2h

f(x) I

e

a

+ +

+ +

≅

=

∫





















−

=

−

=

−

=

−

=

=

d e

c d

b c

a 4 b

a - h e

Integrasi Komposit

Polinomial orde rendah memadai untuk menginterpolasi sebuah fungsi dalam daerah yang sempit. Untuk daerah yang lebar diperlukan orde yang lebih tinggi.

Alternatif lain yaitu, membagi daerah fungsi yang lebar itu dalam beberapa daerah yang sempit, lalu di tiap daerah yang sempit itu digunakan polinomial orde rendah untuk interpolasi.

Quadrature trapezoid dan Simpson pada dasarnya memadai untuk daerah

integrasi yang sempit, namun dengan membagi daerah integrasi dalam beberapa integrasi yang sempit, namun dengan membagi daerah integrasi dalam beberapa daerah yang sempit, maka quadrature trapezoid dan Simpson bisa dipakai juga untuk daerah integrasi yang lebar. Integral total merupakan jumlah semua integral untuk daerah yang sempit. Integrasi seperti ini disebut integrasi komposit.

Bergantung pada integrand f(x), daerah integrasi yang lebar bisa dibagi dalam beberapa daerah sempit yang sama atau berbeda panjang. Juga, semua integral untuk daerah yang sempit bisa dihitung menurut rumus quadrature yang sama, misal semuanya trapezoid, atau berbeda-beda, sesuai kurva di tiap daerah sempit itu. Kasus sederhana yaitu, bila daerah integrasi dibagi sama panjang dan untuk tiap daerah digunakan rumus quadrature yang sama.

Contoh, daerah integrasi [a,b] dibagi dalam N bagian sama panjang.



 



 −

= +

+ + +

=

=

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

+

+ +

N a d b

dx f(x) dx

f(x) ...

dx f(x) dx

f(x) dx

f(x) I

b

d - b d

- b

2d - b 2d

a

d a d

a

a b

a

• integrasi komposit menggunakan quadrature trapezoid

( )

[

₂¹ _{0 N 1 2 N 1}

]

b

a

f ...

f f f

f h dx f(x)

I = ∫ ≅ + + + + +

−

a

N ..., 0, i

ih), f(a

f N ,

a

h b −

_i

= + =

=

• integrasi komposit menggunakan quadrature Simpson

( ) ( )

[

₂¹ _{0 2N 1 3 2N 1 2 4 2N 2}

]

b

a

f ...

f f f

...

f f 2 f

3 f dx 2h

f(x)

I =

∫

≅ + + + + + ₋ + + + + ₋

2N ..., 0, i

ih), f(a

f 2N ,

a

h b −

_i

= + =

=

f(x)

Integrasi komposit trapezoid untuk daerah integrasi [a,b] yang dibagi 8 sama panjang:

( )

[

₂¹ _{0 8 1 2 3 4 5 6 7}

]

b

a

f f f f f f f f

f h dx f(x)

I = ∫ ≅ + + + + + + + +

a b x

h

f(x)

Integrasi komposit yang menggunakan quadrature trapezoid dan Simpson;

daerah integrasi [a,b] yang dibagi 3:

(

_{a a h1 c}

) (

_{c c h2 b}

)

b

a

f 4f

3 f f h2 2f

2 f dx h1

f(x)

I = ∫ ≅ +

₊

+ + +

₊

+

Simpson trapezoid

a b x

h1 h1 2h2

c

Quadrature Gaussian

Quadrature Gaussian memanfaatkan polinomial yang memiliki sifat orthogonal dan ternormalisasi sebagai berikut:

∫ ∑

=

=

=

n

0 i

i i n

nm b

a

m

n

(x)O (x) dx δ , O (x) b x

v(x)O

Contoh:

=

=

²ⁿ₂⁺¹ _{n n}

n

P , P

O

=

=

_n!¹ _{n n}

n

L , L

O

polinomial Legendre polinomial Laguerre

nm 1

1 -

m

n

(x)O (x) dx δ

O =

∫

nm 0

m n

x

- O (x)O (x)dx δ

e =

∫

∞

Dengan quadrature Gaussian, dievaluasi integral berbentuk:

∫ ∑

=

=

N

1 i

i i b

a

) f(x w

v(x)f(x)dx

w

_i

, x

_i

= ?

Anggap integrand f(x) merupakan polinomial orde 2N-1 (atau katakan saja f(x) diinterpolasi dengan polinomial p(x) orde 2N-1):

s(x) r(x)

x a p(x)

f(x)

1 - 2N

0 i

i

i

= +

=

≅ ∑

=

s(x) bisa ditulis sebagai

s(x) = q(x)O

_N

(x)

dengan q(x) polinomial orde N-1:

∑

∑ ⁼

=

1 - N

i i 1

-

N i

i

x c O (x)

d q(x)

∑

∑

=

=

=

=

1 - 2N

N i

i i 1

- N

0 i

i

i

x , s(x) a x

a

dengan

r(x)

Mencari :

x

_i

∑

∑

=

=

=

=

0 i

i i 0

i

i

x c O (x)

d q(x)

Maka:

v(x)s(x)dx c v(x)O (x)O (x)dx c δ 0

1 - N

0 i

iN i 1

- N

0 i

b

a

N i

i b

a

=

=

= ∑ ∫ ∑

∫

=

=

Secara numerik: v(x)s(x)dx ws(x ) wq(x)O (x) 0

N

1 i

i N i i N

1 i

i i b

a

=

=

=

∑ ∑

∫

=

=

Mengingat q(x) fungsi sembarang, persamaan terakhir dipenuhi hanya jika

N)

.

..., 1, (i 0 ) (x

O

_{N i}

= =

i

=

x

akar polinomial

O

_N

(x) (i = 1, ..., N)

Integrasi numerik yang sama tentu berlaku juga untuk integrand polinomial orde lebih rendah, contohnya r(x), yang berorde N-1:

Mencari :

w

_i

Untuk integrand f(x) dan s(x), yang merupakan polinomial orde 2N-1 berlaku integrasi numerik:

∫ ∑

∫ ∑

=

=

=

=

N

1 i

i i b

a N

1 i

i i b

a

) s(x w v(x)s(x)dx

) f(x w v(x)f(x)dx

∑

∫ ⁼ ∑

^N

⁼

^{N-1 i}

b

x a r(x)

, ) r(x w

v(x)r(x)dx ∑ ∑

∫

=

=

=

=

0 i

i i 1

i

i i a

x a r(x)

, ) r(x w v(x)r(x)dx

Dari penurunan rumus quadrature trapezoid, Simpson dll sebelum ini diketahui bahwa untuk mencari bisa digunakan r(x) sembarang polinomial orde N-1 (koefisien tidak diperlukan). Karena itu, dipilih r(x) yang memudahkan:

a

_i

w

ⁱ

N) ..., 1, j (i, x ,

x x ) x

x l(x, r(x)

i

j i j

j

i  =











−

= −

=

∏

≠

ik i

k

, x ) δ l(x =

Diperoleh: ^N _j

1 i

j i i b

a

j)dx wl(x,x ) w

x

v(x)l(x, =

∑

=

∫

=

N) ..., 1, (j )dx x

v(x)l(x, w

b

a

j

j =

∫

=

Pada integrasi numerik seperti quadrature trapezoid dan Simpson, diperlukan 2N buah titik untuk integrand polinomial orde 2N-1:

x

_i

f(x) ≅ p(x)

Pada integrasi numerik Gaussian, diperlukan N buah titik evaluasi untuk integrand polinomial orde 2N-1.

trapezoid Simpson Simpson Boole

: 2N = 2 : 2N = 3 : 2N = 4

38

x

i

p(x) f(x) ≅

Boole dst

: 2N = 5

Secara umum, dengan begitu, quadrature Gaussian memerlukan titik evaluasi lebih sedikit (separuh) dari yang diperlukan integrasi numerik yang mengikuti cara seperti quadrature trapezoid dan Simpson.

Bergantung pada keperluan, integrasi komposit juga bisa diterapkan

menggunakan quadrature Gaussian atau campuran quadrature Gaussian dan yang lain.

Quadrature Gauss-Legendre

Quadrature Gauss-Legendre menggunakan polinomial Legendre :

n

:

21

n 2n

P

O =

⁺ _nm

1

1 -

m

n(x)O (x)dx δ

O =

∫

Asalnya, quadrature Gauss-Legendre dipakai untuk integral berbatas [-1,1]:

∫ ∑

=

=

N

1 i

i i 1

1 -

) f(x w f(x)dx

P

n

=1 1 i

-

Namun dengan mengganti variabel integrasi, quadrature Gauss-Legendre dapat juga dipakai untuk mengevaluasi integral dengan batas bukan [-1,1].

Contoh:

∫ ∑

=

=

N

1 i

i i 1

1 -

) f(x w f(x)dx

2 1 x 1)

( 1

1) ( x a b

a

y +

− =

−

−

= −

−

−

i i

21 i i

N

1 i

i i b

a

2 w a u b

a a) 1)(b (x

y

) f(y u f(y)dy



 



=  −

+

− +

=

=

∑

∫

=

(transformasi linier)

− ∫

=

b

a

f(y)dy a

b

2

Contoh dan quadrature Gauss-Legendre untuk beberapa N terkecil:

x

_i

w

_i

x

0.577350269189626 0.774596669241483 N

2 3

∫ ∑

=

=

N

1 i

i i 1

1 -

) f(x w f(x)dx

±

±

w

1.000000000000000 0.555555555555556 0.774596669241483

0.000000000000000 0.861136311594053 0.339981043584856 0.906179845938664 0.538469310105683 0.000000000000000 3

4

5

±

±

±

±

±

0.555555555555556 0.888888888888889 0.347854845137454 0.652145154862546 0.236926885056189 0.478628670499367 0.568888888888889

Distribusi pada quadrature Gauss-Legendre tidak merata seperti

distribusi pada quadrature trapezoid dan Simpson. Makin dekat ke batas-batas integral distribusi makin rapat. Distribusi itu simetris terhadap garis x = 0.

x

i

x x = 1

x = 0 x = -1

Ilustrasi untuk N = 11:

Distribusi ini lebih cocok untuk

integrand f(x) yang bentuk kurvanya lebih tajam di sekitar batas

integral, sementara kurang tajam di bagian tengah.

Untuk f(x) yang berkurva tajam di bagian tengah dan kurang tajam di sekitar batas integral diperlukan beberapa penanganan (mis. membagi daerah integrasi, redistribusi x dll).