1 Nama Anggota 1:Darul Afandi ( ) Jawaban soal No 40. -

Universitas Jember Jurusan Matematika - FMIPA

MAM 1516 Analisis Kompleks

Deadline: Wednesday, 29–10–2014; 23:55 Tugas 2 – Template Jawaban

Nama Kelompok: Group J Nama Anggota:

1. Darul Afandi (111810101041)

2. Wahyu Nikmatus Sholihah (121810101010) 3. Irawati NIM (121810101021)

4. Kiki Kurdianto (121810101041)

5. Reyka Bella Desvandai (121810101080)

1 Nama Anggota 1:Darul Afandi (111810101041) Jawaban soal No 40.

———————————————————————————————————————- Soal no.40:

Hitunglah Hitung H (5z⁴ − z³ + 2)dz disekeliling (a) Lingkaran |z | = 1, (b) bujur sangkar dengan titik-titik sudut (0,1),(1,0),(1,1) dan (1,0), (c) kurva yang dibatasi parabola y = x² dari (0,0) ke (1,1) dan y = x² dari (1,1) ke (0,0)

Solusi:

a. Hitung H (5z⁴− z³+ 2)dz disekeliling Lingkaran |z | = 1

Penyelesaiaan:

|z| = 1 px²+ y² = 1

x²+ y² = 1 → r = 1

x = r cos θ = cos θ → dx = − sin θ dθ y = r sin θ = sin θ → dy = cos θ dθ

0 ≤ θ ≤ 2π

z⁴ = re^4πθ

z⁴ = 1(cos 4θ + i sin4θ) z³ = (cos 3θ + i sin3θ)

= I

c

(5z⁴− z³+ 2)dz

= Z 2pi

0

5(cos 4θ + isin4θ) − (cos 3θ + i sin3θ) + 2(dx + idy)

= Z 2pi

0

(5 cos 4θ + 5i sin 4θ − cos 3θ − i sin 3θ + 2)(− sin θ dθ + i cos θ dθ)

= Z 2pi

0

−5 cos 4θ sin θ + 5i cos 4θ cos θ − 5i sin 4θ sin θ − 5 sin 4θ cos θ + cos 3θ sin θ

− i cos 3θ cos θ + i sin 3θ sin θ + sin 3θ cos θ − 2 sin θ + 2i cos θ dθ Z

−5

2(sin 5θ − sin 3θ) −5

2(sin 5θ + sin 3θ) + 1

2(sin 4θ − sin 2θ) + 1

2(sin 4θ + sin 2θ) + 2 cos θ dθ + i

Z 5

2(cos 5θ + cos 3θ) − 5

2(cos 5θ − cos 3θ) − 1

2(cos 4θ + cos 2θ)

− 1

2(cos 4θ − cos 2θ) + 2 sin θ dθ

= Z

−5

2sin 5θ +5

2sin 3θ − 5

2sin 5θ − 5

2sin 3θ +1

2sin 4θ −1

2sin 2θ +1

2sin 4θ +1 2sin 2θ + 2 cos θ dθ + i

Z 5

2cos 5θ + 5

2cos 3θ − 5

2cos 5θ + 5

2cos 3θ − 1

2cos 4θ −1 2cos 2θ

− 1

2cos 4θ − 1

2cos 2θ + 2 sin θ dθ

= Z

−5 sin 5θ + sin 4θ + 2 cos θ dθ + i Z

5 cos 3θ − 4 cos 4θ − cos 2θ + 2 sin θ dθ

= [5.1

5cos 5θ −1

4cos 4θ + 2 sin θ + i(5.1

3sin 3θ − 1

4sin 4θ − 1

2sin 2θ − 2 cos θ)]^2θ₀

= [cos 5θ − 1

4cos 4θ + 2 sin θ + i(5

3sin 3θ − 1

4sin 2θ − 2 cos θ)]^2π₀

= [cos 10π − 1

4cos 8π + 2 sin 2π + i(5

3sin 6π −1

4sin 8π − 1

2sin 4π − 2 cos 2π)]

− [cos 0 − 1

4cos 0 + 2 sin 0 + i(5

3sin 0 − 1

4sin 0 − 1

2sin 0 − 2 cos 0)]

= [1 − 1

4 + 0 + i(0 − 0 − 0 − 2)] − [1 −1

4 + 0 + i(0 − 0 − 0 − 2)]

= 3

4− 2i) − (3 4 − 2i)

= 3

4− 2i − 3 4+ 2i

b. Bujursangkar dengan titik-titik sudut (0, 0), (1, 0), (1, 1), dan (0, 1) C1=Pada titik (0, 0) ke (1, 0) memiliki persamaan y = 0, dy = 0

Z 1,0 0,0

(5z⁴− z³+ 2)dz = Z 1

0

5((x + iy)⁴− (x + iy)³+ 2)d(x + iy)

= Z 1

0

5((x + iy)⁴− (x + iy)³+ 2)d(x + iy)

= Z 1

0

(5(x + 0)⁴− (x + 0)³ + 2)dx

= Z 1

0

5x⁴ − x³ + 2dx

= [x⁵− (1

4)⁴+ 2x]¹₀

= [1 − (1 4) + 2]

= 11 4

C2=Pada titik (1, 0) ke (1, 1) memiliki persamaan x = 1, dx = 0

Z 1,1 1,0

(5z⁴− z³+ 2)dz = Z 1

0

5((x + iy)⁴− (x + iy)³+ 2)d(x + iy)

= Z 1

0

5((x + iy)⁴− (x + iy)³+ 2)d(x + iy)

= Z 1

0

(5(1 + iy)⁴− (1 + iy)³+ 2)idy

= i Z 1

0

5(1 + 4iy − 6y²− 4iy³+ y⁴)

− (1 + 3iy − 3y²− iy³) + 2dy

= i Z 1

0

(5 + 20iy − 30y²− 20iy³+ 5y⁴)

− 1 − 3iy + 3y²+ iy³+ 2dy

= i Z 1

0

(6 + 17iy − 27y²− 19iy³+ 5y⁴)dy

= i[6y + 17

2 iy²− 9y³−19

4 iy⁴+ y⁵]¹₀

= i[(6 + 17

2 i − 9 −19

4 i + 1) − 0]

= i[−2 + 15 4 ]

= −15 4 − 2i

C3=Pada titik (1, 1) ke (1, 0) memiliki persamaan x = 1 dx = 0

Z 1,0 1,1

(5z⁴− z³+ 2)dz = Z 0

1

5((x + iy)⁴− (x + iy)³+ 2)d(x + iy)

= Z 0

1

5((x + iy)⁴− (x + iy)³+ 2)d(x + iy)

= Z 0

1

(5(1 + iy)⁴− (1 + iy)³+ 2)idy

= i Z 0

1

5(1 + 4iy − 6y²− 4iy³+ y⁴)

− (1 + 3iy − 3y²− iy³) + 2dy

= i Z 0

1

(5 + 20iy − 30y²− 20iy³+ 5y⁴)

− 1 − 3iy + 3y²+ iy³+ 2dy

= i Z 0

1

(6 + 17iy − 27y²− 19iy³+ 5y⁴)dy

= i[6y + 17

2 iy²− 9y³−19

4 iy⁴+ y⁵]⁰₁

= i[0 − (6 + 17

2 i − 9 −19 4 i + 1)]

= i[2 − 15 4 ]

= 2i + 15 4

C4=Pada titik (1, 0) ke (0, 0) memiliki persamaan y = 0, dy = 0 Z 0,0

1,0

(5z⁴− z³+ 2)dz

= Z 0

1

(5(x + 0)⁴− (x + 0)³ + 2)dx

= Z 0

1

5x⁴ − x³ + 2dx

= [x⁵− (1

4)⁴+ 2x]⁰₁

= [0 − (1 − (1

4) + 2)]

= −11 4 Penyelesaiannya yang diinginkan adalah :

C1 + C2 + C3 + C4 = (11

4 ) + (−15

4 − 2i) + (2i + 15

4 ) + (−11 4 )

= 0

c. Kurva Pada Parabola y = x² dari(0, 0) ke (1, 1) dan y² = x dari (1, 1) ke (0, 0)

1). Lintasan C₁, y = x² → dy = 2x dx I

c

(5z⁴− z³+ 2) dz

= I

c

[5(x + iy)⁴− (x + iy)³+ 2] (dx + idy)

= I

c

5(x⁴+ y⁴− 6x²y²+ 4ix³y − 4ixy³) − (x³− 3xy²+ 3ix²y − iy³) + 2(dx + i2x dx)

= I

c

5x⁴+ 5y⁴− 30x²y²+ 20ix³y − 20ixy³− x³+ 3xy²− 3ix²y + iy³+ 2 (dx + i dy)

= I

c

5x⁴+ 5(x²)⁴− 30x²x⁴+ 20i x³x²− 20ix − x⁶− x³+ 3xx⁴− 3ix²x²+ ix⁶ + 2 (dx + i2x dx)

= I

c

5x⁴+ 5x⁸− 30x⁶+ 20ix⁵+ 20ix⁷− x³+ 3x⁵− 3ix⁴+ ix⁶+ 2 (dx + i2x dx)

= Z

5x⁴+ 5x⁸− 30x⁶− x³+ 3x⁵+ 2 − 40x⁶+ 40x⁸+ 6x⁵− 2x⁷ dx + i Z

10x⁵+ 10x⁹

− 60x⁷+ 20x⁵− 20x⁷− 2x⁴+ 6x⁶ − 3x⁴+ x⁶+ 4x dx

= Z

45x⁸− 2x⁷− 70x⁶+ 9x⁵+ 5x⁴− x³+ 2 dx + i

Z

(10x⁹− 80x⁷+ 7x⁶+ 30x⁵− 5x⁴+ 4x) dx

= [45

9 x⁹− 2

8x⁸− 70

7 x⁷+ 9

6x⁶+ 5

5x⁵ −1

4x⁴+ 2 dx + i(10

10x¹0 −80

8 x⁸+ 7

7x⁷ +30

6 x⁶+ 5

5x⁵+ 4 2x²)]¹₀

= [5x⁹ −1

4x⁸− 10x⁷+ 3

2x⁶ + x⁵− 1

4x⁴+ 2x + i(x¹0 − 10x⁸+ x⁷ + 5x⁶− x⁵+ 2x²)]¹₀

= [5 − 1

4 − 10 + 2

3+ 1 − 1

4 + 2 + i(1 − 10 + 1 + 5 − 1 + 2)] − 0[20 − 1 − 40 + 6 + 4 − 1 + 8 4

+ i(−2)] = −4 4 − 2i

= −1 − 2i

2). Lintasan C₂, x = y² → dx= 2y dy Z 0

1

(5x⁴+ 5y⁴− 30x²y²+ 20ix³y − 20ixy³− x³+ 3xy²− 3ix²y + iy³+ 2) (dx + idy)

= Z 0

1

(5y⁸+ 5y⁴− 30y⁸y² + 20iy⁶y − 20iy²y³− y⁶ + 3y²y² − 3iy⁴y + iy³+ 2) (2y dy + i dy)

= Z 0

1

(5y⁸+ 5y⁴− 30y⁶+ 20iy⁷− 20iy⁵ − y⁶+ 3y⁴− 3iy⁵+ iy³+ 2) (2y dy + i dy)

= Z 0

1

(5y⁸+ 20iy⁷− 31y⁶− 23iy⁵+ 8y⁴ + iy³+ 2) (2y dy + i dy)

= Z 0

1

10y⁹− 20y⁷− 62y⁷+ 23y⁵+ 16y⁵− y³+ 4y dy + i Z

(5y⁸+ 40y⁸− 31y⁶

− 46y⁶+ 8y⁴+ 2y⁴+ 2 dy

= Z 0

1

10y⁹− 82y⁷+ 39y⁵− y³+ 4y dy + i Z

(5y⁸+ 40y⁸− 31y⁶− 46y⁶+ 8y⁴+ 2y⁴+ 2 dy

= [10

10y¹0 − 82

8 y⁸+ 39 6 y⁶− 1

4y⁴+ 2y²+ i(45

9 y⁹ −77

7 y⁷+10

5 y⁵+ 2y)]⁰₁

= [y¹0 − 41

4 y⁸+ 13 2 y⁶− 1

4y⁴+ 2y² + i(5y − 11y⁷+ 2y⁵+ 2y)]⁰₁

= (1 − 41 4 + 13

2 − 1

4 + 2 + i(5 − 11 + 2 + 2))

= −(4 − 41 + 26 − 1 + 8 + i

4 (−2)) = (−4

4 − 2i) = 1 + 2i

∴ Jadi, C1+ C₂

= (−1 − 2i) + (1 + 2i)

= −1 − 2i + 1 + 21

= 0

2 Nama Anggota 2: Wahyu Nikmatus sholihah (121810101010) Jawaban soal no.39

———————————————————————————————————————- Soal No.39

Hitunglah H

C

z²dz disekeliling lingkaran (a) |z| = 1 dan (b) |z − 1| = 1

Jawab (a)

|z| = 1 px²+ y² = 1 x²+ y² = 1

x = rcosθ dx = −sinθdθ 0 ≤ θ ≤ 2π

y = rsinθ dy = cosθdθ

H

C

z²dz

=H

C

(x − iy)²(dx + idy)

=H

C

(x²− y²− 2ixy)(dx + idy)

=R2π

0 (cos²θ − sin²θ − 2i cos θ sin θ)(− sin θdθ + i cos θdθ)

=R2π

0 (cos²θ − sin²θ − i sin 2θ)(− sin θdθ + i cos θdθ)

=R2π

0 (− cos²θ sin θ + sin³θ + i sin 2θ sin θ + i sin³θ − i sin²θ cos θ + i sin 2θ cos θ)dθ

=R2π

0 (sin³θ − cos²θ sin θ + sin 2θ cos θ)dθ + iR2π

0 (cos³θ − sin²θ cos θ + sin 2θ sin θ)dθ

= ((− cos θ + ¹₃cos³θ) + (¹₃cos³θ) + (−¹₃cos 3θ − cosθ))|^2π₀ + i((sin θ − ¹₃ sin³θ) − (¹₃sin³θ) + (²₃sin 3θ))|^2π₀

= ([(−1 + ¹₃) + ¹₃ + (−¹₃ − 1)] − [(−1 + ¹₃) + ¹₃ + (−¹₃ − 1)]) − i(0)

= ([−2 + ¹₃] − [−2 + ¹₃]) − 0

= 0 − 0

= 0

Hasil yang didapat adalah 0 (b)

|z − 1| = 1 p(x − 1)² + y² = 1 (x − 1)² + y² = 1

(x − 1) = rcosθ y = rsinθ

x = rcosθ − 1 dx = −sinθdθ 0 ≤ θ ≤ 2π

y = rsinθ dy = cosθdθ

H

C

z²dz

=H

C

(x − iy)²(dx + idy)

=H

C

(x²− y²− 2ixy)(dx + idy)

=R

C

x²dx −R

C

y²dx − 2iR

C

xydx + iR

C

x²dy − iR

C

y²dy + 2R

C

xydy

=R

C

x²dx −R

C

y²dx + 2R

C

xydy + i(R

C

x²dy −R

C

y²dy − 2R

C

xydx) R

C

x²dx −R

C

y²dx + 2R

C

xydy ... persamaan (1) i(R

C

x²dy −R

C

y²dy − 2R

C

xydx) ... persamaan (2)

Persamaan (1) R

C

x²dx −R

C

y²dx + 2R

C

xydy

=R2π

0 (cos θ + 1)²(− sin θdθ) −R2π

0 sin²θ(− sin θdθ) + 2R2π

0 (cos θ + 1)(sin θ) cos θdθ

=R2π

0 (cos²θ + 2 cos θ + 1)(− sin θdθ) +R2π

0 sin³θdθ + 2R2π

0 (cos θ + 1)(sin θ) cos θdθ

= −R2π

0 (cos²θ sin θ + 2 cos θ sin θ + sin θ)dθ+R2π

0 sin³θdθ+2R2π

0 (cos²θ sin θ + cos θ sin θ)dθ

=R2π

0 (cos²θ sin θ)dθ −R2π

0 sin θdθ +R2π

0 sin³θdθ

= (¹₃cos³θ)|^2π₀ − (¹₂sin²θ)|^2π₀ + (− cos θ + ¹₃cos³θ)|^2π₀

= 0 − 0 + 0

= 0

Persamaan (2) i(R

C

x²dy −R

C

y²dy − 2R

C

xydx)

= i[R2π

0 (cos θ + 1)²(cos θdθ) −R2π

0 sin²(cos θdθ) − 2R2π

0 (cos θ + 1)(sin θ)(− sin θdθ)]

= i[R2π

0 (cos³θ + 2 cos²θ + cos θ)dθ −R2π

0 sin²cos θdθ + 2R2π

0 (sin²θ cos θ + sin²θ)dθ]

= i[R2π

0 (cos³θ + 2 cos²θ + cos θ)dθ +R2π

0 sin²cos θdθ + 2R2π

0 (sin²θ)dθ]

= i[((sin θ + ¹₃sin³θ) + 2(^θ₂ +¹₂sin θ) + (sin θ))|^2π₀ + (¹₃sin³θ)^2π₀ + (^θ₂ − ¹₂sin θ)^2π₀ ]

= i[(0 + 2((π + 0) − 0) + 0 + 0 + 2((π − 0) − 0)]

= i[2π + 2π] = 4iπ

Persamaan (1) + Persamaan (2)

= 0 + 4iπ

= 4iπ

Hasil yang didapat adalah 4iπ

3 Nama Anggota 3:Irawati (121810101010) Jawaban soal no 42 dan 46.

———————————————————————————————————————

Soal No.42 Hitunglah R

C

z²dz + z²dz sepanjang kurva yang didefinisikan oleh z²+ 2z z + z² = (2 − 2i)z + (2 + 2i)z dari titik z=1 ke z=2+2i

Solusi R

C

z²dz + z²dz didefinisikan oleh :

z²+ 2zz + z² = (2 − 2i)z + (2 + 2i)z dari titik z = 1 ke z = 2 + 2i

Z

C

(x − iy)²d(x + iy) + (x + iy)²d(x − iy)

= Z

C

(x²− 2ixy − y²)(dx + idy) + (x²+ 2ixy − y²)(dx − idy)

= Z

C

(x²− 2ixy − y²)dx + i(x²− 2ixy − y²)dy + (x²+ 2ixy − y²)dx + i(x²+ 2ixy − y²)dy

= Z

C

x²− 2ixy − y²+ x²+ 2ixy − y²)dx + i(x²− 2ixy − y²− x²− 2ixy + y²)dy

= Z

C

(2x²− 2y²)dx + i(−4ixy)dy

= Z

C

(2x²− 2y²)dx + (4xy)dy...P ers(1)

Misal z = x + iy dan z = x − iy, maka:

z²+ 2zz + z² = (2 − 2i)z + (2 + 2i)z

x²+ 2ixy − y²+ 2(x + iy)(x − 2y) + x²− 2ixy − y² = (2 − 2i)(x + iy) + (2 + 2i)(x − iy) 2x²− 2y²+ 2x²+ 2y² = 2x + 2iy − 2ix + 2y + 2x − 2iy + 2ix + 2y

4x² = 4x + 4y x² = x + y

y = x²− x...pers(2) dy = (2x − 1)dx...pers(3) Persamaan (2) dan (3) disubtitusikan ke persamaan (1):

R

C

(2x²− 2(x² − x))dx + 4x(x²− x)(2x − 1)dx

=R

C

2x − 2(x⁴− 2x³+ x²)dx + 4x(2x³− 3x²+ x)dy

=R

C

(2x² − 2x²+ 4x³− 2x²)dx + (8x⁴− 12x³+ 4x²)dx

=R2

0 (6x⁴− 8x³+ 4x²)dx

= ⁶₅x⁵− 2x⁴+⁴₃x³]²₁

= ⁶₅(31) − 2(15) +⁴₃(7)

= ²⁴⁸₁₅

Jadi R

C

z²dz + z²dz sepanjang kurva yang didef inisikan oleh z²+ 2zz + z² = (2 − 2i)z + (2 + 2i)z dari titik z = 1 ke z = 2 + 2i adalah ²⁴⁸₁₅

Soal No.46

Hitunglah H (5x + 6y − 3)dx(3x − 4y + 2)dy di sekeliling suatu segitiga di bidang xy dengan titik sudut (0,0), (4,0) dan (4,3)

Solusi

H (5x + 6y − 3)dx(3x − 4y + 2)dy menggunakan teorema Green :

pada titik(0, 0)(4, 3) y − y1

y2 − y1 = x − x1 x2 − x1 y − 0

3 − 0 = x − 0 4 − 0 (y − 0)4 = (x − 0)3

4y = 3x y = 3

4x

I

P dx + Qdy = Z Z

R

(dQ dx − dP

dy)dxdy

= Z Z

R

( d

dx(3x − 4y + 2) − d

dy(5x + 6y − 3))dxdy

= Z Z

R

(3 − 6)dxdy

= Z Z

R

(−3y)dydx

= Z 4

0

Z _4y³

0

(−3y)dydx

= Z 4

0

(−3y)]

3 4

0ydx

= Z 4

0

(−3(3

4y) − 0)dx

= Z 4

0

(−9 4x)dx

= −9 8x²]⁴₀

= −9

8.4² − 0

= −9 8.16

= −18

Jadi H (5x + 6y − 3)dx(3x − 4y + 2)dy di sekeliling suatu segitiga di bidang xy dengan titik sudut (0, 0) , (4, 0) dan(4, 3) adalah − 18

4 Nama Anggota 4:Kiki Kurdianto (121810101041) Jawaban soal no 50 dan 72

———————————————————————————————————————

Soal No 50:

Periksa teorema green di bidang untuk H

C

x²ydx + y³− xy²dy dimana C batas daerah yang dikelilingi suatu lingkaran x²+ y² = 4, x²+ y² = 16.

Solusi:

Perhitungan dengan Teorema Green Misal

P = x²y maka ∂P/∂y = x²

Q = y³− xy² maka ∂Q/∂x = −y²

I

C

x²ydx + y³− xy²dy = Z Z

∂Q

∂x − ∂P

∂xdA

= Z 2π

0

Z 2 4

(−y²− x²)rdrdΘ

= Z 2π

0

Z 2 4

(−r²sin²Θ − r²cos²Θ)rdrdΘ

= Z 2π

0

((−r⁴/4) sin²Θ − (r⁴/4) cos²Θ)]²₄dΘ

= Z 2π

0

(−4 sin²Θ − 4 cos²Θ − (−64 sin²Θ − 64 cos²Θ))dΘ

= Z 2π

0

(60 sin²Θ + 60 cos²Θ)dΘ

= 60 Z 2π

0

(sin²Θ + cos²Θ)dΘ

= 60 Z 2π

0

(1)dΘ

= 60.Θ]^2π₀

= 60.2π − (−60).0

= 120π

Perhitungan dengan menggunakan Integral Garis Untuk x²+ y² = 16

x = 4cost → maka∂x = −4 sin tdt y = 4sint → maka∂y = 4 cos tdt

dengan 0 < t < 2π Maka,

Z 2π 0

((4 cos t)²(4 sin t))d(4 cos t) + ((4 sin t)³ − (4 cos t)(4 sin t)²)d(4 sin t)dx

= Z 2π

0

((16 cos²t.4 sin t)(−4 sin t))d(t) + ((64 sin³t − 64 sin²t cos t)(4 cos t)²)d(t)dx

= Z 2π

0

((−256 cos²t sin²t + 256 cos t sin³t − 256 cos²t sin²t))d(t)

= Z 2π

0

((−512 cos²t sin²t + 256 cos t sin³t))d(t)

= Z 2π

0

(−512 cos²t sin²t)d(t) + Z 2π

0

(256 cos t sin³t)d(t)

Z 2π 0

(−512 cos²t sin²t)d(t) = −512 Z 2π

0

(cos²t sin²t)d(t)

= −512 Z 2π

0

(1 + cos 2t 2

1 − cos 2t 2 )d(t)

= −512 4

Z 2π 0

((1 + cos 2t)(1 − cos 2t))d(t)

= −128 Z 2π

0

((1 − cos 2t + cos 2t − cos²2t))d(t)

= −128 Z 2π

0

(1 − cos²2t)d(t)

= −128 Z 2π

0

(1 − cos²2t)d(t)

= −128 Z 2π

0

(1 −1

2(1 + cos 4t))d(t)

= −128 Z 2π

0

(1 −1

2− cos 4t 2 )d(t)

= −128 Z 2π

0

(1

2 −cos 4t 2 )d(t)

= −128[

Z 2π 0

(1

2)dt − 1 2

Z 2π 0

(cos 4t)dt]

= −128([1

2t]^2π₀ − 1 2

Z 2π 0

(cos w)dw 4 )

= −128([1

2t]^2π₀ − [1

8sin 4t]^2π₀ )

= −128(π − (1

8sin 8π − 1

8sin 0))

= −128π + 16sin8π

= −128π

Z 2π 0

(256 cos t sin³t)d(t) = 256 Z 2π

0

(cos t sin³t)d(t)

= 256 Z 2π

0

((1 − cos²t)(cos t)(sin t))d(t)

= 256 Z 2π

0

(cos t − cos³t)(sin t))d(t)

= 256[

Z 2π 0

(cos t sin t)dt − Z 2π

0

(cos³t sin t)dt]

= 256[

Z 2π 0

(u sin t) du

− sin t− Z 2π

0

(u³sin t) du

− sin t]

= 256([−1

2u²+1 4u⁴]^2π₀ ]

= 256([−1

2cos²t + 1

4cos⁴t]^2π₀ ]

= 256[(−1 2 +1

4) − (−1 2 +1

4)]

= 0 Sehingga,R2π

0 ((4 cos t)²(4 sin t))d(4 cos t) + ((4 sin t)³− (4 cos t)(4 sin t)²)d(4 sin t)dx = −128π Untuk x²+ y² = 4

x = 2 cos t → maka∂x = −2 sin tdt y = 2 sin t → maka∂y = 2 cos tdt dengan −2π < t < 0

Maka,

Z 0

−2π

((2 cos t)²(2 sin t))d(2 cos t) + ((2 sin t)³− (2 cos t)(2 sin t)²)d(2 sin t)dx

= Z 0

−2π

((4 cos²t.2 sin t)(−2 sin t))d(t) + ((8 sin³t − 8 sin²t cos t) (2 cos t)²)d(t)dx

= Z 0

−2π

((−16 cos²t sin²t + 16 cos t sin³t − 16 cos²t sin²t))d(t)

= Z 0

−2π

((−32 cos²t sin²t + 16 cos t sin³t))d(t)

= Z 0

−2π

(−32 cos²t sin²t)d(t) + Z 0

−2π

(16 cos t sin³t)d(t)

Z 0

−2π

(−32 cos²t sin²t)d(t) = −32 Z 0

−2π

(cos²t sin²t)d(t)

= −32 Z 0

−2π0

(1 + cos 2t 2

1 − cos 2t 2 )d(t)

= −32 4

Z 0

−2π

((1 + cos 2t)(1 − cos 2t))d(t)

= −8 Z 0

−2π

((1 − cos 2t + cos 2t − cos²2t))d(t)

= −8 Z 0

−2π

(1 − cos²2t)d(t)

= −8 Z 0

−2π

(1 − cos²2t)d(t)

= −8 Z 0

−2π

(1 −1

2(1 + cos 4t))d(t)

= −8 Z 0

−2π

(1 −1

2 − cos 4t 2 )d(t)

= −128 Z 0

−2π

(1

2 − cos 4t 2 )d(t)

= −8[

Z 0

−2π

(1

2)dt − 1 2

Z 0

−2π

(cos 4t)dt]

= −8([1

2t]⁰_−2π− 1 2

Z 0

−2π

(cos w)dw 4 )

= −8([1

2t]⁰_−2π− [1

8sin 4t]⁰_−2π)

= −8(−π − (1

8sin 0 − 1

8sin(−2π)))

= 8π

Z 0

−2π

(16 cos²t sin³t)d(t) = 16 Z 0

−2π

(cos^tsin³t)d(t)

= 16 Z 0

−2π

((1 − cos²t)(cos t)(sin t))d(t)

= 16 Z 0

−2π

(cos t − cos³t)(sin t))d(t)

= 16[

Z 0

−2π

(cos t sin t)dt − Z 0

−2π

(cos³tsint)dt]

= 16[

Z 0

−2π

(u sin t) du

− sin t − Z 0

−2π

(u³sin t) du

− sin t]

= 16([−1

2u²+ 1 4u⁴]^2π₀ ]

= 16([−1

2cos²t + 1

4cos⁴t]⁰_−2π]

= 16[(−1 2+ 1

4) − (−1 2 + 1

4)]

= 0 Sehingga, R0

−2π((2cost)²(2sint))d(2cost) + ((2sint)³− (2cost)(2sint)²)d(2sint)dx = 8π jadi nilai yang diinginkan adalah C1 + C2 = −128π + 8π = −120π

soal no 72

Tunjukkan secara langsung bahwa R3+4i

4−3i (6z²+ 8iz)dz memiliki nilai sama sepanjang lintasan C yang menghubungkan titik-titik 3+4i dan 4-3i untuk (a) suatu garis lurus, (b) garis lurus dari 3+4i ke 4+4i dan kemudian dari 4+4i ke 4-3i. (c) lingkaran |z| = 5.

a. Suatu garis lurus 3 + 4i → (3, 4) 4 − 3i → (4, −3)

Persamaan garis dari kedua titik tersebut adalah y = −7x + 25

Z 3+4i 4−3i

(6z²+ 8iz)dz = Z 4

3

6(x + iy)²+ 8i(x + iy)d(x + iy)

= Z 4

3

6(x²− y²+ 2xiy) + 8i(x + iy)d(x + iy)

= Z 4

3

6(x²− (−7x + 25)²+ 2xi(−7x + 25)) + 8ix − 8(−7x + 25) (dx − 7idx)

= Z 4

3

6(x²− (49x²− 350x + 625) − 14x²i + 50xi) + 8ix + 56x − 200 (dx − 7idx)

= Z 4

3

6(x²− 49x² − 350x + 625 − 14x²i + 50xi) + 8ix + 56x − 200 (dx − 7idx)

= Z 4

3

−288x²+ 2100x − 3750 − 84x²i + 308xi + 81x + 56x − 200 (dx − 7idx)

= Z 4

3

(−288x² + 2156x − 3950) + i(84x²+ 308x)(dx − 7idx)

= Z 4

3

(−288x² + 2156x − 3950 − 588x²+ 2100x)dx+

i Z 4

3

7(288x²− 2156x + 3950) + (−84x²+ 308x)dx

= Z 4

3

(−876x² + 4312x − 3950)dx + i Z 4

3

(1932x²− 14784x + 27650)dx

= [292x³+ 2156x²− 3950]⁴₃+ [644x³− 7392x²+ 27650x]⁴₃

= (−18688 + 34496 − 15800 + 7884 − 19404 + 11850)+

i(41216 − 118272 + 17388 + 66528 − 829950)

= 388 − 266i

(b) garis lurus dari 3+4i ke 4+4i dan kemudian dari 4+4i ke 4-3i C1=garis lurus dari 3+4i ke 4+4i

3 + 4i → (3, 4) 4 + 4i → (4, 4)

Persamaan garis dari kedua titik tersebut adalah y=4 maka ∂y = 0∂x

C1 = Z 3+4i

4−3i

(6z²+ 8iz)dz = Z 4

3

6(x + iy)²+ 8i(x + iy)d(x + iy)

= Z 4

3

6(x²− y²+ 2xiy) + 8i(x + iy)d(x + iy)

= Z 4

3

6(x²− (4)²+ 2xi(4)) + 8i(x + i4)(dx + idy)

= Z 4

3

6x²− 96 + 48xi + 8ix − 32(dx + idy)

= Z 4

3

(6x²− 128) + i(56x)(dx + idy)

= Z 4

3

(6x²− 128)dx − 56xdy+

i Z 4

3

(6x²− 128)dy − 56xdx

= Z 4

3

(6x²− 128)dx + i Z 4

3

56xdx

= [2x³− 128x]⁴₃ + i[28x²]³₄

= (128 − 512 − 54 + 384) + i(448 − 252)

= −54 + 196i C2=garis lurus dari 4+4i ke 4-3i

4 + 4i → (4, 4) 4 − 3i → (4, −3)

Persamaan garis dari kedua titik tersebut adalah x=4 maka ∂x = 0∂y

C2 = Z 3+4i

4−3i

(6z²+ 8iz)dz = Z −3

4

6(x + iy)²+ 8i(x + iy)d(x + iy)

= Z −3

4

6(x²− y²+ 2xiy) + 8i(x + iy)d(x + iy)

= Z −3

4

6((4)²− y²+ 2(4)iy) + 8i(4 + iy)(dx + idy)

= Z −3

4

96 − 6y²+ 48yi + 32i − 8y(dx + idy)

= Z −3

4

(96 − 6y²− 8y) + i(48y + 32)(dx + idy)

= Z −3

4

(96 − 6y²− 8y)dx − (48y + 32)dy+

i Z −3

4

(96 + 6y²− 8y)dy − (48y + 32)dx

= Z −3

4

(−48y − 32)dy + i Z −3

4

96 − 6y²− 8y

= [−24y²− 32y]⁻³₄ + i[96y − 2y³− 4y²]⁻³₄

= (−216 + 96 + 384 + 128) + i(−288 + 54 − 36 − 384 + 128 + 64)

= 392 − 462i

Jadi, nilai yang diinginkan adalah C1 + C2 = (−54 + 196i) + (392 − 462i) = 338 − 266i (c) lingkaran |z| = 5 x²+ y² = 5

x = 5 cos t y = 5 sin t

Dimana 0 ≤ t ≤ 2π

5 Nama Anggota 5:Reyka Bella Desvandai (121810101080) Jawaban soal no 38 dan 61.

———————————————————————————————————————

Soal No.38 Hitunglah:

Z 2−i i

(3xy + iy²)(dx + idy)

a. sepanjang garis lurus yang menghubungkan z = i dan z = 2-i b. sepanjang kurva

x = 2t − 2, y = 1 + t − t²

jawab :

batas dari (i) sampai dengan (2-i)

maka titik bergerak dari (0,1) sampai (2,-1)

x = (x(1) − x(0))t + x(0) x = (2 − 0)t + 0

x = 2t dx = 2

y = (y(1) − y(0))t + y(0) y = (−1 − 1)t − 1

y = −2t − 1 dy = −2

maka batas t dari : 0 ≤ t ≤ 1

Z 1 0

(6t(−2t + 1) + i(−2t + 1)²(2 − 2i)dt Z 1

0

(−12t²+ 6t + i(4t²− 4t + 1))(2 − 2i)dt Z 1

0

(−12t²+ 6t + 4t²i − 4ti + i)(2 − 2i)dt Z 1

0

(−24t²+ 24t²i + 12t − 12ti + 8t²i + 8t²− 8ti − 8t + 2i + 2)dt Z 1

0

(−16t²+ 32t²i + 4t − 20ti + 2i + 2)dt

= −16

3 t³+ 32

3 t³i + 2t²− 10t²i + 2ti + 2t

= (−16 3 + 32

3 i + 2 − 10i + 2i + 2) − 0

= (−16

3 + 2 + 2) + (32

3 − 10 + 2)i

= (12 − 16

3 ) + (32 − 24 3 )i

= −4 3 +8

3i

b. sepanjang kurva

x = 2t − 2, y = 1 + t − t²

x = 2t − 2 y = 1 + t − t² (1)

dx = 2 dy = −2t + 1 (2)

(3)

mencari batas t terlebih dahulu x =2t-2 batas bawah = i

maka melalui titik (0,1) ketika x = 0, maka diperoleh x = 2t-2

0 = 2t-2 2 = 2t t = 1

batas atas = 2-i

maka melaui titik (2,-1) ketika x = 2, maka diperoleh 2 = 2t-2

4 = 2t t = 2

1 ≤ t ≤ 2 Z 2

1

(3xy + iy²)(dx + idy) Z 2

1

(3(2t − 2)(1 + t − t²) + i(1 + t − t²)²)(2 + (−2t + 1)i) Z 2

1

((6t³+ 12t²− 6 + i(t⁴− 2t³− t² + 2t + 1))(2))dt+

Z 2 1

((6t³+ 12t²− 6 + i(t⁴− 2t³− t² + 2t + 1))(i − 2ti))dt Z 2

1

(−12t³+ 24t²− 12 + 2t⁴i − 4t³i − 2t²i + 4ti + 2i)dt + Z 2

1

(−6t³i + 12t⁴i)+

(12t²i − 24t³i − 6i + 12ti − t⁴+ 2t⁵+ 2t³− 4t⁴+ t²− 2t³− 2t + 4t²− 1 + 2t)dt Z 2

1

(2t⁵− 5t⁴− 12t³+ 29t²− 13 + i(14t⁴− 34t³ + 10t²+ 16t − 4))dt

= 1

3t⁶− t⁵− 3t⁴+29

3 t³− 13t + i(14

5t⁵− 34

4 t⁴+ 10

3 t³+ 8t²− 4t)

t=2

= 64

3 − 32 − 48 +232

3 − 26) + i(448

5 − 136 + 80

3 + 32 − 8)

= 64

3 − 106 + (232

3 + i(1344 − 1680 + 400

15 )

= −22

3 + i(64 15)

t=1

= 1

3− 1 − 3 + 29

3 − 13 − i(14 5 −34

4 +10

3 + 8 − 4)

= 10 − 17 + i(168 − 510 + 200 + 240

60 )

= −7 + i(98 60)

hasil pengintegralan (t=2)-(t=1)

= (−22

3 + i(64

15)) − (−7 + i(98 60))

= (−22

3 + 7) + i(64 15 −98

60))

= −1 3+ i79

30

Soal No.61:

Periksa Teorema Cauchy untuk fungsi z³− iz²− 5z + 2i

jika C adalah a. lingkaran

|z| = 1 b. lingkaran

|z − 1| = 2 c. ellips

|z − 3i| + |z + 3i| = 20 jawab :

z³− iz²− 5z + 2i I

C

z³− iz²− 5z + 2idz z = x + iy

I

C

(x + iy³− i(x + iy²) − 5(x + iy) + 2i)dz I

C

(x³− 3xy²+ 2xy − 5x + 3x²yi − iy³− x²i + iy²− 5yi + 2i)dz I

C

(x³− 3xy²+ 2xy − 5x) + i(3x²y − y³ − x² + y²− 5y + 2)dz

u = x³− 3xy²+ 2xy − 5x

∂u

dx = 3x² − 3y² + 2y − 5

∂u

dy = −6xy + 2x

v = 3x²y − y³− x²+ y²− 5y + 2

∂v

dx = 6xy − 2x

∂v

dy = 3x² − 3y² + 2y − 5

a.

|z| = 1

px² + y² = 1 x²+ y² = 1

x = cost dx = −sint

y = sint dy = cost

0 ≤ t ≤ 2π

untuk menunjukkan suatu fungsi berlaku teorema Cauchy yaitu : I

C

f (z)dz = 0

karena f(z) = u + iv analitik dan memiliki turunan yang kontinu, mengakibatkan

∂u dx = ∂v

dy (4)

∂v

dx = −∂u

dy (5)

(6) kontinu di dalam dan pada C. sehingga teorema Green dapat digunakan dan diperoleh :

Z 2π 0

(−∂v dx −∂u

dy)dxdy + i(

Z 2π 0

(∂u dx −∂v

dy))dxdy = 0

∂u

dx = 3x² − 3y² + 2y − 5

= 3(cost)²− 3(sint)²+ 2(sint) − 5

= 3cos²t − 3sin²t + 2sint − 5

∂u

dy = −6xy + 2x

= −6(cost)(sint) + 2cost

= −6costsint + 2cost

∂v

dx = 6xy − 2x

= 6costsint − 2cost

∂v

dy = 3x² − 3y² + 2y − 5

= 3cos²t − 3sin²t + 2sint − 5

Z 2π 0

(−∂v dx −∂u

dy)dxdy + i(

Z 2π 0

(∂u dx −∂v

dy))dxdy = 0

= Z 2π

0

(−(6costsint − 2cost) − (−6costsint + 2cost)) − sintcost+

i Z 2π

0

(3cos²t − 3sin²t + 2sint − 5 − (3cos²t − 3sin²t + 2sint − 5) − sintcost

= Z 2π

0

0 + i Z 2π

0

0

= 0

Berdasarkan persamaan diatas terbukti bahwa fungsi

|z| = 1 terbukti analitik b.

|z − 1| = 2

px² + y²+ (−1)² = 2 x²+ y² + 1 = 4

x²+ y² = 3 x =√

3cost dx = −√

3sint y =√

3sint dy =√

3cost 0 ≤ t ≤ 2π

karena f(z) analitik maka pada kasus ini harus dibuktikan : Z 2π

0

(−∂v dx −∂u

dy)dxdy + i(

Z 2π 0

(∂u dx −∂v

dy))dxdy = 0

∂u

dx = 3x² − 3y² + 2y − 5

= 3(√

3cost)² − 3(√

3sint)²+ 2(√

3sint) − 5

= 9cos²t − 9sin²t + 2√

3sint − 5

∂u

dy = −6xy + 2x

= −6(√

3cost)(√

3sint) + 2(√ 3cost)

= −18costsint + 2√ 3cost

∂v

dx = 6xy − 2x

= 6(√

3cost)(√

3sint) − 2(√ 3cost)

= 18costsint − 2√ 3cost

∂v

dy = 3x² − 3y² + 2y − 5

= 3(√

3cost)² − 3(√

3sint)²+ 2(√

3sint) − 5

= 9cos²t − 9sin²t + 2√

3sint − 5

Z 2π 0

(−∂v dx −∂u

dy)dxdy + i(

Z 2π 0

(∂u dx −∂v

dy))dxdy = 0 Z 2π

0

((−(18costsint − 2√

3cost) − (−18costsint + 2√

3cost)) −√

3sint√

3cost+

i Z 2π

0

((9cos²t − 9sin²t + 2√

3sint − 5) − (9cos²t − 9sin²t + 2√

3sint − 5)) −√

3sint√ 3cost Z 2π

0

0 + i Z 2π

0

0

= 0

c.

|z − 3i| + |z + 3i| = 20 px²+ y²+ (−3i)²+p

x²+ y²+ (3i)² = 20 2p

x²+ y²− 9 = 20 4(x² + y²− 9) = 400

x²+ y²− 9 = 100 x²+ y² = 109

x =√

109cost dx = −√

109sint y =√

109sint dy =√

109cost