PONDASI MESIN

(1)

BAB DUA

Teori Umum

2.1 Resonansi dan

2.1 Resonansi dan pengaruhnypengaruhnyaa

Setiap sistem FISIK memiliki frekuensi karakteristik yang dikenal sebagai “frekuensi

alami”. Ini didefinisikan sebagai frekuensi di mana sistem akan bergetar saat mengalami

getaran bebas. Sebagai frekuensi operasi mesin mendekati frekuensi alami dari

pondasinya,

pondasinya, amplitudo amplitudo cenderung cenderung menjadi menjadi besar. besar. Sistem Sistem dikatakan dikatakan berada berada dalamdalam

"resonansi" ketika kedua frekuensi menjadi sama. Pada resonansi, ditemukan bahwa

selain amplitudo yang berlebihan, settlement (penurunan) besar juga terjadi. Dalam

perancangan

perancangan pondasi pondasi mesin, mesin, kriteria kriteria penting penting adalah, adalah, untuk untuk menghindari menghindari resonansi resonansi agaragar

amplitudo getaran tidak berlebihan. Terjadinya resonansi dapat dijelaskan secara

matematis dengan mempertimbangkan kasus sederhana dari sistem kebebasan derajat

tunggal.

2.2 Teori Sistem Kebebasan Derajat tunggal

Perhatikan sistem kebebasan derajat tunggal (Gambar 2.1) yang dibentuk oleh massa

yang kaku (m) yang bertumpu pada pegas kekakuan

yang kaku (m) yang bertumpu pada pegas kekakuan K K _{dan peredam kental yang}_{dan peredam kental yang}

memiliki koefisien redaman C. Suatu sistem dikatakan derajat tunggal ketika gerakannya

dibatasi hanya pada satu arah saja.

a.

a. Getaran bebasGetaran bebas

Biarkan sistem dipasang dengan memberikan kecepatan awal

Biarkan sistem dipasang dengan memberikan kecepatan awal V V _{ke massa. Persamaan}_{ke massa. Persamaan}

gerak untuk getaran bebas dari sistem adalah

GAYA

GAYA INERSIA INERSIA + + GAYA GAYA REDAMAN REDAMAN + + GAYA GAYA PEGAS PEGAS = = 0 0 (2.1)(2.1)

Gambar 2.1 z menunjukkan perpindahan, z dot kecepatan dan z double dot

percepatan massa. Sisi kanannya nol karena ada Sistem Kebebasan.

tidak ada gaya luar pada sistem selama getaran.

(2)

Solusi dari Persamaan 2.1 dapat ditulis sebagai berikut

dimana ad adalah konstanta yang mewakili perpindahan maksimum dan diketahui

sebagai “amplitudo bebas” sistem teredam. Frekuensi osilasi (ωnd) diberikan sebagai

berikut

dimana ωnd menunjukkan frekuensi alami dari tingkat tunggal teredam sistem

kebebasan. Untuk mendapatkan amplitudo bebas ad, kondisi awal pada saat gerakan

itu ditetapkan, harus dipertimbangkan, yaitu ketika t=0, z=0 dan z dot=0. subtitusikan

subtitusikan koordinat Ce = 2

√ 

di mana Ce disebut "redaman kritis" dan C/Ce = ,dimana disebut "rasio redaman" Persamaan. 2.3 dan 2.4 memberikan

Pers. 2.5 dan 26 memberikan "frekuensi alami teredam" dan “amplitudo bebas teredam” dari sistem derajat tunggal.

Jika redaman diabaikan, C=0, atau =0. Menjatuhkan sufiks "d" untuk menunjukkan kasus yang tidak terurai, Persamaan 2.5 dan 2.6 mengurangi menjadi

Aplikasi: Hubungan yang diberikan di atas untuk sistem derajat tunggal yang tidak teredam dengan getaran bebas akan digunakan dalam analisis pondasi palu (lihat contoh yang diberikan di bawah Bagian 4.5.7).

(3)

Misalkan sistem yang ditunjukkan pada Gambar 2.1 dikenai gaya tarik harmonis P0

sin ωmt. Bergantung pada eksitasi, dua kasus dapat terjadi dalam amplitudo eksitasi

adalah konstan dan yang lainnya dimana amplitudonya proporsional ke kuadrat frekuensi operasi melingkar ωm. Seperti yang telah dibahas sebelumnya di bagian

1.5, kasus yang terakhir muncul dalam mekanisme rotasi atau mekanisme rotasi seimbang. Kasus ini menjadi perhatian utama pondasi mesin.

i. Eksitasi Gaya Tetap

Amplitudo gaya tarik (P0) konstan, yaitu tidak tergantung pada frekuensi paksa dalam

kasus ini.

Persamaan gerak sistem kebebasan derajat tunggal teredam yang dikenai gaya eksitasi dapat ditulis

di mana P0 adalah amplitudo gaya tarik.

Di bawah gaya eksitasi, sistem memiliki kecenderungan untuk bergetar pada frekuensi operasinya ωm. Solusi dari Persamaan 2.9 dalam kondisi kondisi mapan (mengabaikan

bagian sementara yang sesuai dengan getaran bebas) oleh karena itu, dinyatakan sebagai

Dimana ad adalah amplitudonya dan α adalah perbedaan fasa antara gaya tarik dan

perpindahan.

Subtitusi persamaan 2.10 dalam Persamaan 2.9 dan memecahkan ungkapan berikut untuk addan α dapat dengan mudah:

Subtitusikan,

(4)

Subtitusi P/K = zst, perpindahan statis

Persamaan 2.12a dapat ditulis sebagai

Disini μ disebut “faktor pembesaran”. Gambar 2.2a menunjukkan variasi μ dengan η (Persamaan 2.13b) untuk berbagai nilai

Gambar 2.2 Respon Derajat Tunggal Sistem Teredam Bawah (a) Eksitasi Gaya Konstan (Persamaan 2.13b), (b) Rotasi Eksitasi Jenis Massa (Persamaan 2.18).

ii. Rotasi Eksitasi Jenis Massa

Seperti yang terlihat pada Bagian 1.5, faya tarik P dalam kasus eksitasi tipe eksitasi yang berputar-putar atau tidak seimbang adalah dari

di me saya adalah massa putar yang timbal balik atau tidak seimbang, e menunjukkan

perpindahan dalam kasus tipe reciprocating dan eksentrisitas massa yang tidak seimbang di kasus mekanisme tipe berputar , dan ωm adalah frekuensi gerak

Amplitudo gaya tarik P0 dalam kasus ini berbanding lurus dengan kuadrat frekuensi

operasi (ωm).

Persamaan gerak untuk satu tingkat sistem kebebasan dikenai jenis gaya eksitasi ini ditulis sebagai

Subtitusikan P0 = meeω2m, di Pers. 2.11a, solusinya menjadi

Subtitusi ω2n= K/m ; =



(5)

Dimana μ adalah “faktor pembesaran" yang ditentukan oleh sisi kiri Pers. 2.17; μ adalah faktor pembesaran untuk kasus eksitasi gaya konstan (Persamaan 2.13b). Gambar 2.2b menunjukkan variasi μ' dengan η (Persamaan 2.18) untuk berbagai nilai dari

Ungkapan untuk α adalah sama dengan yang diberikan dalam Pers. 2.12b. Corollary : Ketika redaman dalam sistem diabaikan, C = 0, = 0, maka

untuk eksitasi gaya konstan (2.19a)

untuk eksitasi tipe eksitasi putar dan (2.19b)

Selanjutnya saat η = 1, keduanya dan μ' menjadi tak terbatas. Ini menandai tahap "resonansi". Dalam prakteknya, amplitudo pada resonansi akan terbatas karena redaman yang secara langsung melakukan prosent dalam sistem fisik. Namun, diinginkan untuk memastikan dalam desain struktur yang terisi secara dinamis sehingga nilai rasio frekuensi η, jauh dari satu kesatuan. Menurut Is: 2974 (Pt. I), rentang kerja untuk rasio frekuensi diberikan oleh ketidaksetaraan

1,4 ˂ η ˂ 0,5

Gambar 2.2a, b menunjukkan hubungan frekuensi amplitudo untuk getaran yang teredam dari sistem pegas massa di bawah aksi tipe gaya konstan dan eksitasi tipe massa berputar.

Seperti dapat dilihat dari diagram, kurva untuk dua rangkaian kasus serupa muncul. Akan tetapi, dapat diketahui, bahwa puncak resonan untuk nilai redaman secara bertahap beralih dari ordinat pada η = 1. Puncak terjadi pada nilai η kurang dari satu pada eksitasi gaya konstan dan pada nilai yang η lebih besar dari satu pada pada

Kasus eksitasi tipe massa berputar.

Ekspresi untuk frekuensi resonansi dan pada sistem kebebasan derajat tunggal untuk dua kasus diberi

Tabel 2.1 HUBUNGAN UNTUK SISTEM TEPAT SEDERHANA SISTEM FREEDOM

(6)

Penerapan : Teori sistem pegas massa tunggal di bawah gaya getaran digunakan dalam analisis fondasi blok untuk jenis mesin reciprocating atau rotating ( Bagian 4.4)

2.3 Teori Sistem Kebebasan Dua Gelombang

2.3.1 Kasus Tidak Teredam

a. Getaran Bebas

Gambar 2.3a menunjukkan sistem kebebasan dua derajat yang terdiri dari massa m1

dan m2 dan pegas memiliki kekakuan K 1 dan K 2. Getaran bebas diinduksi dalam

sistem dengan memberi kecepatan awal atau perpindahan ke salah satu massa. Perbedaan persamaan yang menggerakkan gerak massa m1 dan m2 diberikan oleh

Biarkan ωn1 dan ωn2 menjadi frekuensi alami melingkar dari sistem. Hal ini dapat

diturunkan bahwa ωn1 dan ωn2 adalah akar dari persamaan orde keempat berikut

Gambar 2.3: Sistem Kebebasan Dua Tingkat (a) Tanpa redaman, (b) Dengan redaman.

Dimana ωn1 dan ωn2 adalah "frekuensi pembatas" yang didefinisikan sebagai berikut:

ωn2 adalah frekuensi sistem ketika kekakuan K 1 diasumsikan tak terhingga (pegas

bawahnya kaku) dan ωn1 adalah Frekuensi ketika K 2 diasumsikan tak terbatas.

Persamaan 2.22 dapat ditulis ulang sebagai

Dimana β = K 2 / K 1

Persamaan 2.25 adalah kuadratik dan member ikan dua akar nyata untuk ωn yang mana

dua frekuensi alami melingkar dari sistem. Gambar 2.4 menunjukkan variasi dengan rasio massa α untuk kasus tertentu dimana β = α atau

2

1

=

2

1

. Signifikansi praktis dari

(7)

getaran di pondasi mesin yang ada. Ini dapat diamati dari Gambar 2.4 bahwa semakin kecil rasio massa semakin dekat dua frekuensi alami.

untuk Kasus ketika Gerakan bebas dari dua massa dapat dinyatakan sebagai

Untuk mendapatkan yang gratis amplitudo dari dua massa, kondisi awal harus digunakan. Misalkan diasumsikan bahwa getaran bebas ditetapkan pada saat massa atas diberi kecepatan awal V _{. Kasus ini akan diilustrasikan dalam analisis pondasi}

palu. Kondisi awal untuk digunakan adalah:

Pada waktu t = 0

Z1= Z2= 0

Z2= Vdan Z1 = 0

Dengan menggunakan kondisi awal ini, perpindahan z1 dan z2 massa m1 dan m2 dapat

diungkapkan sebagai

Biasanya amplitudo yang terkait dengan dua frekuensi yang lebih tinggi ωn1 dan ωn2

akan kecil. Jika ωn1 ˃ ωn2, mengabaikan bagian yang disumbangkan oleh frekuensi

alami yang lebih tinggi, amplitudo α1 dan α2 dapat ditulis sebagai

Dan

Aplikasi : Analisis dinamis pondasi palu, yang akan dijelaskan di Bagian 4.5 didasarkan pada sistem derajat dua yang mengalami getaran bebas. 2.29a dan 2.29b yang diturunkan pada bagian ini akan digunakan untuk perhitungan frekuensi alami dan amplitudo masing-masing pondasi hammer.

(8)

b. Gaya Getaran

KASUS 1: Bila gaya tarik hanya bekerja pada massa m2 .

Perhatikan sistem derajat dua yang ditunjukkan pada Gambar 2.3a. Massa m2 dikenai

aksi karat sinis yang berosilasi, di mana P0 adalah kekuatan puncak dan ωm

merupakan frekuensi operasi. Persamaan diferensial gerak untuk osilasi gaya dari sistem diberikan oleh

penyelesaian, amplitudo α1 dan α2 dari dua massa m1 dan m2 diperoleh seperti di

bawah

di mana ωn1 dan ωn2 dan α didefinisikan oleh Persamaan 2.23a dan 2.23b dan 2.24

masing-masing dan

dapat diketahui bahwa Persamaan 2.32 sama dengan Persamaan 2.22 dengan ωm

disubstitusi untuk ωn .

Aplikasi: Kasus ini akan diilustrasikan dalam analisis pondasi blok yang berada pada peredam untuk mesin reciprocating vertikal (Bagian 4.4) dan untuk analisis kerangka

silang dari pondasi berbingkai dengan metode amplitudo (Bab 5). KASUS 2: Bila gaya tarik hanya bekerja pada massa (m1).

Pertimbangkan lagi sistem yang sama seperti yang ditunjukkan pada Gambar 2.3a. Kekuatan berosilasi P0 sin ωmt sekarang bekerja pada massa m1. Persamaan

diferensial yang menggambarkan gerak sistem adalah

(9)

Persamaan 2.34a dan 2.34b dapat ditulis bentuk ekspresi untuk faktor dinamis μ1 dan

μ2 sebagai berikut dengan substitusi yang sesuai

dan

dimana

dan

Untuk kasus tertentu ketika

2

2

=

1

1

(dipertimbangkan dalam Bagian 2.3a), yaitu, η2

= η1(= η say) Persamaan. 2.34c d 2.34d dapat disederhanakan lebih lanjut sebagai

Gambar 2.5 menunjukkan variasi μ1 dan μ2 (diberikan oleh Persamaan 2.34e dan

2.34f) dengan η untuk kasus bila α = 0,2.

Dua hal yang perlu dicatat dari gambar ini adalah

1. Ada dua nilai η di mana μ1 atau μ2 adalah ∞. Nilai-nilai dari ωm yang sesuai

dengan ordinat tak terbatas ini adalah frekuensi alami ωn1 dan ωn2.

2. Ketika η = 1, yaitu ωm= ωn2, α1= 0

Dengan kata lain, bila nilai m2 dan k 2 adalah sedemikian rupa sehingga



2

2

sama

dengan frekuensi (ωm) gaya tarik yang bekerja pada massa m1, maka amplitudo

massa m1 akan menjadi nol. Saat ωn2 = ωm, sedangkan pada α = 0, amplitudo massa

m2 dapat diperoleh (dari Persamaan 2.34b) sebagai

Amplitudo massa m2 sama dengan perpindahan statisnya (perpindahan m2 di bawah

pengaruh statis P0).

Aplikasi : Perlakuan teoritis di atas akan berguna dalam penerapan penetralisir getaran tidak teredam untuk fondasi blok kaku seperti yang dijelaskan pada Bagian 7.3c.

(10)

Gambar 2.5: Kurva respon untuk sistem Kebebasan Dua Tingkat Tidak Teredam untuk Kasus ketika α = 0,2 dan

2

2

=

1

1

2.3.2 Kasus Teredam a. Getaran bebas

Perhatikan sistem yang ditunjukkan pada Gambar 2.3b. Nilai redaman viskos C1

dan C2 adalah ionisasi yang diperkenalkan di sini. Sulit untuk secara tepat

menilai C1 dan C2 dalam praktek dan akibatnya umumnya tidak

dipertimbangkan dalam rancangan praktis berdasarkan sistem kebebasan derajat banyak. Namun, perlakuan teoritis berikut tidak dapat diabaikan, dan data ini akan sangat membantu dalam kasus di mana pengaruh redaman Bergerak untuk bisa didapat dari lapangan atau sebaliknya. Sistem persamaan yang digambar pada Gambar 2.3b dapat dituliskan sebagai berikut:

Baik z1 dan z2 adalah fungsi harmonis dan dapat ditunjukkan oleh vektor.

Menuliskan vektor sebagai bilangan kompleks dan subtitusikan

dalam Persamaan. 2.37a 2.37b, dan pemecahannya, persamaan pemerintahan berikut diperoleh untuk frekuensi alami dan alami sistem.

(11)

Dimana,

Dimana ωn2 , ωn1 dan α sudah didefinisikan dalam Persamaan 2.23a, 2.23 b dan 2.24

masing-masing, dan adalah rasio redaman dengan

Konsekuensi: Bila = 0, dan = 0, Persamaan 2.39 dikurangi menjadi bentuk yang diberikan oleh Persamaan 2.22 untuk kasus yang tidak terurai.

b. Gaya Getaran

KASUS 1: bila gaya harmonisa P0 sin ωmt bekerja pada massa m1.

Persamaan gerak untuk sistem dapat ditulis sebagai

Karena sistem bergerak pada Frekuensi gaya tarik dalam kondisi steady state, solusinya dapat diasumsikan dalam bentuk:

Dengan mensubstitusikan hubungan ini di persamaan 2.4la dan 2.41b dan pemecahannya, hubungan berikut diperoleh untuk α1 dan α2

di mana F (ω2m) diberikan oleh Persamaan 2.39

Dengan menggunakan prinsip-prinsip aljabar kompleks, modulus α1 dan α2 dapat

(12)

Kasus Khusus : Ketika = 0, (yaitu redaman pada sistem bawah diabaikan) dan = , amplitudo massa m1 dikenai gaya harmonisa P0sin ωmt diberikan oleh

dimana f (ω2m) diberikan oleh Pers. 2.32 atau dalam hal parameter dasar, mengganti

C1 = 0 dan C2= C

Dinyatakan dalam bentuk non-dimensional, Persamaan 2.46a dan 2.46b dapat ditulis lebih lanjut sebagai

dimana

Untuk kasus

2

2

=

1

1

(yang dipertimbangkan dalam kasus sebelumnya), η2 = η1 (= η

say), Gambar 2.6 menunjukkan variasi μ1 dengan η untuk berbagai nilai redaman ( ).

Menariknya dari Gambar 2.6 yang terlepas dari tingkat redamannya. semua kurva respon melewati dua titik tetap S1 dan S2, absis yang dapat diperoleh sebagai akar

(13)

Gambar 2.6 Respon Massa m1 untuk berbagai Rasio Redaman ( )

Dimana β =

1

2

Untuk kasus tertentu yang dipertimbangkan di atas sejak η1 = η2, β = 1,0 diberikan

dengan mensubstitusikan, absis dari titik-titik tetap S1 dan S2 pada Gambar 2.6 2

dengan α = 0,2 dalam kasus ini.

Tabel 2.2 dan 2.3 memberikan nilai-nilai μ1 dan μ2 untuk berbagai nilai rasio

frekuensi dan rasio redaman untuk Kasus tertentu ketika η1 = η2 atau hubungannya

2

2

=

1

1

terpenuhi.

Aplikasi: Teori yang dijelaskan dalam kasus tertentu di atas digunakan dalam perancangan peredam getaran massa tambahan, yang akan dijelaskan pada Bagian

7.3c. Data yang terkandung dalam Tabel 2.2 dan 2.3 akan berguna dalam pemilihan parameter yang sesuai untuk perancangan peredam getaran massa tambahan untuk

fondasi blok kaku.

2.4 Sistem Kebebasan Derajat Ganda

Analisis getaran sistem kebebasan derajat banyak relatif lebih rumit dan sering mengharuskan penggunaan komputer digital, pendekatan teoritis untuk analisis sistem semacam itu untuk kasus yang tidak terungkap diberikan pada bagian ini untuk manfaat dari pembaca yang berminat. Matriks notasi digunakan di sini untuk presentasi ringkas.

2.4.1 Getaran Bebas

Perhatikan sistem yang ditunjukkan pada Gambar 2.7. Di bawah getaran bebas, tidak ada kekuatan yang menarik pada massa manapun. Sistem dikatakan memiliki n derajat ding terhadap n persamaan gerak yang dapat ditulis dalam bentuk

(14)

Sistem persamaan (2.51) dapat ditulis dalam bentuk matriks sebagai

dimana (M) adalah matriks massa diagonal diberikan oleh

[ K _{] adalah matriks kekakuan yang, dalam bentuk umumnya, diwakili oleh}

Kij adalah koefisien kekakuan yang dapat dievaluasi untuk sistem struktur tertentu. Untuk sistem seperti rantai yang ditunjukkan pada Gambar 2.7,

Subtitusikam, z1 = α1 sin ωt, z2 = α2 sin ωt dan sebagainya, dalam Pers. 2.52 dan

menyederhanakan

dimana

Masalah aljabar mewakili Pers. 2.56 disebut "masalah nilai eigen matriks, yang disebut juga" eigen real oleh masalah "untuk membedakannya dari masalah nilai eigen kompleks yang diperoleh ketika matriks redaman juga dipertimbangkan dalam persamaan gerak (Persamaan 2.51). Persamaan 2.56 mewakili seperangkat persamaan homogen (determinan sisi kanan sama dengan nol), kondisi untuk mendapatkan solusi non-trivial menjadi penentu yang dibentuk oleh koefisien sisi kiri dari sistem persamaan harus menunjukkan relasinya. dalam bentuknya yang umum sebagai

Persamaan 2.58 pada ekspansi memberi n akar untuk ω, katakan ω, ω ... ω sedemikian rupa sehingga ω < ω < .... ω Frekuensi alami yang mendasar adalah ω1

dan ω2, ω3, .... ωn adalah tingkat kebebasan yang lebih tinggi dari sistem kebebasan

berganda. Istilah ω1, ω2, .... ωn dapat juga disebut sistem “nilai eigen”.

Mengganti setiap nilai pada satu waktu dalam sistem persamaan, seseorang dapat mengevaluasi nilai relatif α1 ,α2 .... αn. Dapat dicatat bahwa nilai absolut α1 ,α2 .... αn

tidak dapat diperoleh Karena persamaan homogen. Ada banyak metode yang dapat digunakan untuk solusi masalah nilai eigen. Program komputer standar tersedia untuk memecahkan masalah nilai eigen yang melibatkan matriks besar, seperti dalam kasus

(15)

ketika jumlah derajat kebebasan terlalu besar untuk ditangani dengan perhitungan manual. Jika

{}

menunjukkan kolom vektor dengan komponen relatif α1 ,α2 .... αn,

yang sesuai dengan nilai ωr (nilai eigen r th ) lalu

{}

disebut vektor eigen (juga disebut vektor modal atau bentuk mode) yang sesuai dengan nilai eigen ωr.

Hubungan penting berikut, yang dikenal sebagai “kondisi ortogonalitas vektor eigen” akan berguna

dan

Dimana r dan s adalah dua mode yang berbeda.

yang terkandung dalam kurung bunga T superscript T transpos matriks.

Untuk mendapatkan matriks perpindahan

{}

pada setiap saat t setelah gerakan bebas diatur, kondisi awal yang tepat harus diterapkan.

Misalkan

{}

dan

{}

menunjukkan vektor perpindahan dan kecepatan awal pada waktu t = 0, Ungkapan berikut untuk

{}

dapat diturunkan berdasarkan nilai eigen dan dari sistem vektor eigen.

Persamaan 2.60 memberi perpindahan Z1 ,Z2 .... Zn setiap saat t. Dapat dicatat bahwa

produk matriks

{}

2

[]{}

dalam penyebut adalah jumlah skalar.

Cek berguna untuk perhitungan diberikan dengan identitas sebagai berikut,

Sisi kanan adalah identitasnya. matriks, juga disebut “matriks unit”

2.4.2 Gaya Getaran

Perhatikan sistem yang ditunjukkan pada Gambar 2.7 dengan gaya harmonis P0 sin

ωmt , P2 sin ωmt .... Pn sin ωmt bertindak pada massa m1, m2, mn masing-masing.

Amplitudo gaya tarik diwakili oleh vektor gaya

{}

dimana Persamaan sistem dapat ditulis dalam bentuk matriks demikian:

(16)

Solusi steady state dari Persamaan 2.63 dapat dinyatakan dalam

di mana

{}

adalah kolom vektor amplitudo yang tidak diketahui.

Subtitusi persamaan 2.64 di persamaan 2.63 dan menyederhanakan, persamaan berikut diperoleh:

di mana, superscript -1 menunjukkan inversi dari matriks persegi yang terkandung dalam kurung bunga dari Persamaan 2.66

CATATAN: Karena redaman tidak dipertimbangkan dalam sistem persamaan 2.63, jika ωm sama dengan salah satu frekuensi alami sistem, matriks

{[]−

2

[]}

menjadi Matriks tunggal (nilai determinannya menjadi nol) dan oleh karena itu tidak dapat dibalikkan.

Alternatif solusi: frekuensi natural ωr (r = 1, 2, ... n) dan mode alami

{}

pertama

ditentukan seperti yang dijelaskan di atas sebelumnya. Amplitudo diperoleh dari hubungan berikut.

2.5 Respon Sementara

2.5.1 Sistem Kebebasan Transien Respon

pengaruh sistem 2,5 inci umum dari sistem massa pegas 2 di bawah waktu sebagai showti Perhatikan gerak variasi gaya dengan gaya transien AT F (r) yang ditunjukkan pada Gambar 2.8. Pulsa berdurasi pendek dalam diagram dapat dianggap terdiri dari Hubungan Waktu, Gambar 2.8: A General Force-TIME Respon Az dari sistem mengalami denyut nadi yang memiliki momentum Seperti dapat ditulis Seperti dosa menang (t Dimana con adalah frekuensi alami dan t adalah periode yang sampai sistem syste telah beristirahat sebelum aksi pulsa. (2,69) m con sill wn (tT) Respon sistem terhadap aksi kumulatif dari rangkaian pulsa semacam itu diberikan oleh (2,70) n con (tT) Persamaan 2.70 disebut integral "integral Duhamel" atau integral konvolusi CATATAN: Jika sistem tidak beristirahat pada t0, istilah getaran bebas (A sin orst + B cos onti juga harus ditambahkan ke sisi kanan dari Persamaan 2.70 untuk mendapatkan perpindahan total setiap saat Jadi

(17)

secara umum m con sin con r (2.71) Asin cant B cos cont Perpati khusus Pertimbangkan respon dari sistem unduhan satu tingkat yang dikenai pulsa rectenular ditunjukkan pada Gambar 2.9. Beban Po tiba-tiba diterapkan dan disimpan pada sistem untuk durasi T.

Gambar 2.9 Pulsa Rectangular. Gambar 2.10 menunjukkan variasi faktor dinamis u (zlzet, di mana z s perpindahan statis, PolK) dengan rasio periode TITn dimana ns periode alami sistem. 1,8 Gambar 2.10: Respon Transien untuk Sistem Tunggal-Gelar 1.0 Akibat Pulsa Rectargular. 0,8 0,6 RASIO PERIODE Aplikasi: Perlakuan teoritis di atas akan berguna untuk analisis dinamis fondasi blok yang mendukung dampak yang menyebabkan mesin seperti palu, pengepres, dan lain-lain. (Lihat Contoh 3 di Bagian 4.5.7). 2.5.2 Respon Sistem Kebebasan Gelombang Berganda Respon sistem kebebasan berganda yang mengalami vektor gaya sementara dapat diperoleh sebagai berikut. Misalkan matriks perpindahan awal dan kecepatan pada saat t-0 dilambangkan dengan RB, dan R Jika vr adalah vektor eigen yang sesuai dengan nilai eigen (atau circular natural frequency wr) maka matriks kolom (R] t mengandung- pemindahan sistem setiap saat oleh pemberi kerja berikut oleh relasi umum berikut ini: dosa sin Gat 2.72) F (T) sin cor (t - T) d

Perlu dicatat bahwa bagian pertama dari sisi kanan Persamaan. 2,72 menunjukkan displace. di bawah getaran bebas (Persamaan 2.60) dan bagian kedua adalah respon karena gaya transien (Persamaan 2.70) yang melibatkan fungsi pemaksaan dapat dievaluasi. Pers. 2.72 akan berguna hanya jika integral hubungan gaya-waktu Integrasi numerik menggunakan komputer digital akan diperlukan jika pembaca dapat merujuknya bersifat acak. Untuk metode integrasi numerik, buku standar tentang analisis numerik.

(18)