2. Metode MODI (Modified Distribution) / Faktor Pengali (Multiplier)

C:\Documents and Settings\Pak Yusup\My Documents\BackUp FD\Materi TRO\Modul Kuliah TRO\PERTEMUAN 11.doc

Hal. 1 dari 7

2. Metode MODI (Modified Distribution) / Faktor Pengali (Multiplier)

Metode MODI disebut juga metode Faktor Pengali atau Multiplier. Cara iterasinya sama seperti Metode Batu Loncatan. Perbedaan utama terjadi pada cara pengevaluasian variabel non basis, atau penentuan penurunan ongkos transport per unit untuk tiap variabel.

Cara ini dikembangkan berdasarkan teori dualitas. Untuk setiap baris ke-i dari tabel transportasi dikenal suatu bilangan baris (multiplier ui ) dan untuk setiap kolom ke-j disebut bilangan kolom (multiplier vj ) sehingga untuk tiap variabel basis Xij diperoleh persamaan :

ui + vj = Cij (i)

Cara pengisiannya ditentukan terlebih dahulu salah satu ui atau vj secara sembarang misalnya u1 = 0, dengan demikian dengan menggunakan persamaan (i) dapat diperoleh nilai ui dan vj yang lain. Setelah ui dan vj terisi semua maka untuk semua variabel non basis dapat dihitung :

Zij -Cij = ui + vj - Cij (ii)

Akan diperoleh tabel optimal jika semua Zij -Cij ≤ 0 (semua negatif atau nol).

Jika tabel belum optimal cara menentukan variabel yang masuk menjadi basis (Entering Variable) dan variabel yang keluar basis (Leaving Variable) caranya sama seperti Metode Batu Loncatan.

Contoh Soal:

Diketahui table Transportasi sebagai berikut:

T1 T2 T3 ai

50 100 100

A1

X11 X12 X13

120

200 300 200

A2

X21 X22 X23

170

100 200 300

A3

X31 X32 X33

160

bj 150 210 90 450

Tentukan :

a). Ongkos Awal dengan Metode Ongkos Kolom Terkecil ! b). Jawab Optimal dengan Metode MODI !

C:\Documents and Settings\Pak Yusup\My Documents\BackUp FD\Materi TRO\Modul Kuliah TRO\PERTEMUAN 11.doc

Hal. 2 dari 7

Jawab:

a). Ongkos Awal dengan Metode Ongkos Kolom Terkecil :

T1 T2 T3 ai

50 100 100

A1

120 x x 120

200 300 200

A2

x 80 90 ¹⁷⁰

100 200 300

A3

30 130 x 160

bj 150 210 90 450

Zawal = 50.120 + 300.80 + 200.90 + 100.30 + 200.130 = 77.000

b). Jawab Optimal dengan Metode MODI :

1). Evaluasi dari variable basis dengan memisalkan salah satu nilai dari ui atau vj

dengan sebarang bilangan bulat tertentu, misalkan : u1 = 0 (tidak harus u1 yang dimisalkan dan tidak harus nol bilangannya), sehingga dapat dihitung:

C11 = u1 + v1
50 = 0 + v1
v1 = 50.

C31 = u3 + v1
100 = u3 + 50
u3 = 50.

C32 = u3 + v2
200 = 50 + v2
v2 = 150.

C22 = u2 + v2
300 = u2 + 150
u2 = 150.

C23 = u2 + v3
200 = 150 + v3
v3 = 50.

T1 T2 T3 ai ui

50 100 100

A1

120 ^{x x 120 u1 = 0}

200 300 200

A2

x 80 90 ^{170 u2 = 150}

100 200 300

A3

30 130 x 160 u3 = 50

bj 150 210 90 450

vj v1 = 50 v2 = 150 v3 = 50

2). Evaluasi dari variable non basis dengan menghitung nilai dari Zij −Cij = ui + vj - Cij , sehingga diperoleh:

Z12 −C12 = u1 + v2 - C12 = 0 + 150 – 100 = 50

C:\Documents and Settings\Pak Yusup\My Documents\BackUp FD\Materi TRO\Modul Kuliah TRO\PERTEMUAN 11.doc

Hal. 3 dari 7

Z13 −C13 = u1 + v3 - C13 = 0 + 50 – 100 = –50 Z21 −C21 = u2 + v1 - C21 = 150 + 50 – 200 = 0 Z33 −C33 = u3 + v3 - C33 = 50 + 50 – 300 = –200

3). Karena masih ada nilai dari Zij−Cij yang positif (Zij−Cij > 0) maka table belum Optimal.

4). Menentukan Variabel yang masuk menjadi basis dengan memilih nilai Max { Zij−Cij } = 50 yaitu nilai dari Z12−−−−C12, maka X12 masuk menjadi basis.

5). Menentukan Variabel yang keluar dari basis dengan cara :

*) Buat loop yang melalui variable yang baru masuk menjadi basis (X12) : X11 – X31 + X32 – X12

*) Variabel yang keluar basis adalah : Min {X11 , X32} = Min {120, 130} = 120, yang merupakan nilai dari X11, maka X11 keluar basis.

*). Penyesuaian nilai variable dalam basis:

X11 = Keluar Basis X31 = 30 + 120 = 150

X32 = 130 – 120 = 10 X12 = 120 (masuk jadi basis).

Sehingga tabelnya berubah seperti berikut ini:

T1 T2 T3 ai ui

50 100 100

A1

x 120 x 120 u1 = 0

200 300 200

A2

x 80 90 ^{170 u2 = 200}

100 200 300

A3

150 10 ^{x 160 u3 = 100}

bj 150 210 90 450

vj v1 = 0 v2 = 100 v3 = 0 Dengan memisalkan : u1 = 0, maka :

C12 = u1 + v2
100 = 0 + v2
v2 = 100.

C22 = u2 + v2
300 = u2 + 100
u2 = 200.

C23 = u2 + v3
200 = 200 + v3
v3 = 0.

C32 = u3 + v2
200 = u3 + 100
u3 = 100.

C31 = u3 + v1
100 = 100 + v1
v1 = 0. (seperti terlihat pada table di atas).

Total Ongkosnya adalah :

Z1 = 100.120 + 300.80 + 200.90 + 100.150 + 200.10 = 71.000 atau Z1 = Zawal – (50 x 120) = 77.000 – 6.000 = 71.000.

C:\Documents and Settings\Pak Yusup\My Documents\BackUp FD\Materi TRO\Modul Kuliah TRO\PERTEMUAN 11.doc

Hal. 4 dari 7

3). Evaluasi dari variable non basis dengan menghitung nilai dari Zij −Cij = ui + vj - Cij , sehingga diperoleh:

Z11 −C11 = u1 + v1 - C11 = 0 + 0 – 50 = –50 Z13 −C13 = u1 + v3 - C13 = 0 + 0 – 100 = –100 Z21 −C21 = u2 + v1 - C21 = 200 + 0 – 200 = 0 Z33 −C33 = u3 + v3 - C33 = 100 + 0 – 300 = –200

4). Karena semua nilai dari Zij−Cij ≤ 0 maka table sudah Optimal (minimum) dengan total ongkos minimum 71.000.

Soal di atas jika diselesaikan dengan LINDO diperoleh hasil sebagai berikut:

MIN 50 X11 + 100 X12 + 100 X13 + 200 X21 + 300 X22 + 200 X23 + 100 X31 + 200 X32 + 300 X33

SUBJECT TO

2) X11 + X12 + X13 = 120 3) X21 + X22 + X23 = 170 4) X31 + X32 + X33 = 160 5) X11 + X21 + X31 = 150 6) X12 + X22 + X32 = 210 7) X13 + X23 + X33 = 90 END

LP OPTIMUM FOUND AT STEP 7 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 71000.00

VARIABLE VALUE REDUCED COST X11 0.000000 50.000000 X12 120.000000 0.000000 X13 0.000000 100.000000 X21 0.000000 0.000000 X22 80.000000 0.000000 X23 90.000000 0.000000 X31 150.000000 0.000000 X32 10.000000 0.000000 X33 0.000000 200.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 200.000000 3) 0.000000 0.000000 4) 0.000000 100.000000 5) 0.000000 -200.000000 6) 0.000000 -300.000000 7) 0.000000 -200.000000

C:\Documents and Settings\Pak Yusup\My Documents\BackUp FD\Materi TRO\Modul Kuliah TRO\PERTEMUAN 11.doc

Hal. 5 dari 7

NO. ITERATIONS= 7

RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:

OBJ COEFFICIENT RANGES

VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X11 50.000000 INFINITY 50.000000 X12 100.000000 50.000000 INFINITY X13 100.000000 INFINITY 100.000000 X21 200.000000 INFINITY 0.000000 X22 300.000000 0.000000 100.000000 X23 200.000000 100.000000 INFINITY X31 100.000000 0.000000 INFINITY X32 200.000000 200.000000 0.000000 X33 300.000000 INFINITY 200.000000 RIGHTHAND SIDE RANGES

ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 120.000000 0.000000 0.000000 3 170.000000 0.000000 0.000000 4 160.000000 0.000000 0.000000 5 150.000000 0.000000 0.000000 6 210.000000 0.000000 0.000000 7 90.000000 0.000000 0.000000 Hasil tersebut jika dinyatakan dalam table transportasi adalah sebagai berikut:

T1 T2 T3 ai

50 100 100

A1

120 ¹²⁰

200 300 200

A2

80 90 ¹⁷⁰

100 200 300

A3

150 10 ¹⁶⁰

bj 150 210 90 450

Dengan Total Ongkosnya adalah :

ZMin = 100.120 + 300.80 + 200.90 + 100.150 + 200.10 = 71.000.

C:\Documents and Settings\Pak Yusup\My Documents\BackUp FD\Materi TRO\Modul Kuliah TRO\PERTEMUAN 11.doc

Hal. 6 dari 7

Masalah Transportasi Tidak Seimbang

Suatu permasalahan transprotasi dikatakan seimbang (balanced transportation model) jika total penawaran (kapasitas sumber) atau total supply sama dengan total permintaan (kapasitas tujuan) atau total demand, dengan kata lain :

1 m

i i

a

=

∑ ⁼

1 n

j j

b

=

∑

Dalam persoalan yang sebenarnya, batasan ini tidak selalu dipenuhi, atau dengan kata lain jumlah supply yang tersedia mungkin lebih besar atau lebih kecil dari jumlah yang diminta, jika hal ini terjadi disebut dengan model transprotasi tidak seimbang (unbalanced).

Namun setiap persoalan transportasi selalu dapat dibuat menjadi seimbang dengan memasukkan variabel semu (artificial variable). Jika jumlah demand melebihi jumlah supply, maka dibuat suatu sumber dummy yang akan mensupply kekurangan tersebut, yaitu sebanyak :

1 n

j j

b

=

∑ ⁻

1 m

i i

a

=

∑ ^.

Sebaliknya, jika jumlah supply melebihi jumlah demand, maka dibuat suatu tujuan dummy yang akan menyerap kelebihan tersebut, yaitu sebanyak

1 m

i i

a

=

∑ −

1 n

j j

b

=

∑

Ongkos transportasi per-unit (Cij) dari sumber dummy keseluruh tujuan adalah nol.

Hal ini dapat dipahami karena pada pada kenyataannya dari sumber dummy tidak terjadi pengiriman.

Atau dengan kata lain masalah transportasi tidak seimbang dapat diselesaikan jika diubah menjadi bentuk yang seimbang dengan cara menambah daerah sumber atau daerah tujuan semu dimana ongkos transportasi per-unit (Cij) dari daerah sumber atau ke daerah tujuan semu semuanya nol dan kapasitas sumber atau tujuan semu merupakan selisih antara

1 m

i i

a

=

∑ ^dengan

1 n

j j

b

=

∑ ^.

C:\Documents and Settings\Pak Yusup\My Documents\BackUp FD\Materi TRO\Modul Kuliah TRO\PERTEMUAN 11.doc

Hal. 7 dari 7

Contoh Soal:

Diketahui table Transportasi sebagai berikut:

T1 T2 T3 ai

50 100 100

A1 120

200 300 200

A2 170

100 200 300

A3 160

bj 150 200 90

Dari contoh di atas merupakan masalah transportasi tidak seimbang karena total kapasitas sumber (

1 m

i i

a

=

∑ = 450 ) lebih banyak dari pada total kapasitas tujuan (

1 n

j j

b

=

∑ = 440) . Agar dapat

diselesaikan, maka persoalan di atas harus diubah menjadi bentuk yang seimbang dengan cara menambah daerah tujuan semu (Dummy), sehingga akan menghasilkan table yang seimbang sebagai berikut:

T1 T2 T3 Dummy ai

50 100 100 0

A1 120

200 300 200 0

A2 170

100 200 300 0

A3 160

bj 150 200 90 10 450