GRAVITASI EINSTEIN DAN BRANEWORLD DALAM DAERAH EFEKTIF ENERGI RENDAH
DAN DIMENSI EKSTRA
DISERTASI
Karya tulis sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Doktor dari
Institut Teknologi Bandung
Oleh ARIANTO NIM: 30203007
INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG 2007
ABSTRAK
GRAVITASI EINSTEIN DAN BRANEWORLD DALAM DAERAH EFEKTIF ENERGI RENDAH
DAN DIMENSI EKSTRA
Oleh ARIANTO NIM: 30203007
Dalam disertasi ini, ditinjau teori gravitasi Einstein dengan dimensi lebih dari empat (dimensi ekstra), seperti supergravitasi dan gravitasi braneworld dalam ruang-waktu 5-dimensi. Bulk ditinjau memiliki topologi orbifold . Pertama dipaparkan fisika dimensi ekstra dalam perspektif teori gravitasi Einstein mulai dari gambaran Kaluza-Klein hingga gravitasi braneworld. Dibahas pula model- model braneworld (model Randall-Sundrum, Arkani-Hamed-Dimopoulos-Dvali dan Dvali-Gabadadze-Porrati) yang berbeda serta implikasi kosmologinya.
Ditinjau kompaktifikasi supergravitasi tak gauge 5-dimensi yang terkopel dengan multiplet vektor dan hipermultiplet pada orbifold . Dalam model ini, manifold skalar multiplet vektor adalah sembarang sedangkan skalar hipermultiplet membentang (span) manifold Einstein self-dual yang dibangun oleh Calderbank and Pedersen. Diturunkan energi efektif rendah supergravitasi
dalam 4-dimensi, baik pada sektor boson maupun fermion.
Selanjutnya, diperkenalkan braneworld 5-dimensi. Dikembangkan formulasi kurvatur kovarian untuk memperoleh informasi 4-dimensi dari persamaan Einstein 5-dimensi yang menentukan geometri bulk. Dimulai dari dua buah brane yang memilki simetri ]2 pada masing-masing titik tetap orbifold
kemudian diturunkan persamaan-persamaan Einstein induksi pada kedua brane.
Dua buah suku tambahan muncul dalam persamaan-persamaan Einstein 4- dimensi: Sebuah suku kuadratik yang berasal dari sumber dan sebuah suku non lokal yang merupakan proyeksi tensor Weyl 5-dimensi. Tensor ini berkontribusi pada suku radiasi sehingga persamaan Friedmann dimodifikasi.
Dengan menerapkan formulasi kurvatur kovarian pada metode ekspansi gradien, dipelajari model-model Randall-Sundrum (RS I dan RS II) dengan penekanan pada persamaan-persamaan gerak efektif pada brane. Melalui syarat junction, diperoleh sebuah ketertalaan (fine tuning) untuk solusi orde-0. Persamaan Einstein termodifikasi diturunkan dari ekspansi orde-1. Korespondensi AdS/CFT muncul untuk kasus ekspansi orde yang lebih tinggi dalam skema iterasi energi rendah.
Ditinjau pula skenario kosmologi dengan dua buah brane yang bergerak di dalam bulk 5-dimensi. Seperti dalam model born-again-braneworld (BAB), kedua brane
dapat bertumbukan. Tensor energi-momentum pada brane yang memiliki tegangan positif diberikan oleh fluida ideal dan pada brane yang memilki tegangan negatif adalah kostanta kosmologi yang bergantung waktu. Dinamika radion (medan skalar pada brane) mengandung informasi mengenai jarak wajar (proper distance) antara kedua brane.
Generalisasi skenario dua buah brane model Randall-Sundrum, mengijinkan sebuah brane yang lain berada dalam bulk. Sistem tiga buah 3-brane sejajar yang dapat memiliki tegangan brane positif atau negatif ditinjau pada daerah energi rendah. Diturunkan persamaan-persamaan gerak untuk masing-masing brane.
Untuk orde-1, diperoleh Lagrangian efektif radion dari sistem. Dalam kasus ini ditunjukkan bahwa solusi persamaan Friedmann termodifikasi oleh dark radiation pada brane bulk serta dua brane lainnya yang diperoleh melalui eleminasi langsung medan-medan radion dan penyekalaan Weyl dari metrik pada brane.
Hasil ini juga menunjukkan bahwa interpretasi yang diberikan untuk medan radion dalam skenario dua buah brane dapat digeneralisasi menjadi skenario tiga buah brane. Dalam kasus ini dua buah radion memberikan realisasi teori efektif pada masing-masing brane.
Pembahasan berikutnya adalah meninjau persamaan-persamaan gravitasional efektif pada energi rendah dalam braneworld di mana pelanggaran Lorentz terjadi di dalam ruang bulk sepanjang dimensi ekstra. Melalui pendekatan proyeksi geometrik, ditemukan bahwa evolusi tensor Weyl ditentukan oleh kontribusi dari medan-medan materi pada brane dan sebuah konstanta integrasi yang berhubungan dengan perturbasi gelombang gravitasional dalam bulk. Hasil ini juga mempengaruhi kopling gravitasional dari persamaan-persamaan medan gravitasional efektif pada brane. Dengan menerapkan metrik Friedmann- Robertson-Walker (FRW) dan materi fluida ideal pada brane, ditinjau persamaan- persamaan dinamika efektif untuk faktor skala brane dalam berbagai macam bentuk materi.
Akhirnya, dikaji akibat-akibat pelanggaran Lorentz pada dinamika medan skalar.
Secara khusus dipelajari dinamika medan skalar dalam teori skalar-vektor-tensor di mana medan vektor terkendala menjadi vektor satuan time-like. Dengan mengambil bentuk umum aksi dari medan skalar, persamaan-persamaan dinamika teori gravitasi skalar-vektor-tensor digunakan untuk menggambarkan solusi-solusi kosmologi. Dipaparkan pula solusi-solusi medan skalar biasa dan medan phantom, yang berhubungan dengan vektor kopling fungsi pangkat (power law) dan parameter Hubble. Hasilnya, persamaan keadaan adalah konstan dalam ruang- waktu de Sitter dan ekspansi fungsi pangkat dengan vektor kopling kuadratik, dan menjadi dinamik untuk n > 2. Ditinjau kembali skenario inflasi berdasarkan teori gravitasi skalar-vektor-tensor pelanggaran Lorentz. Khususnya, kopling antara medan skalar dan medan vektor pelanggaran Lorentz dimasukkan di dalam model.
Formalisme sistem dinamik digunakan untuk mempelajari perilaku atraktor dari sebuah model kosmologi yang mengandung medan skalar dengan vektor kopling kuadratik dan potensial chaotic.
Kata-kata kunci: Dimensi ekstra, kompaktifikasi orbifold, kosmologi braneworld
iii
ABSTRACT
EINSTEIN GRAVITY AND BRANEWORLD IN LOW ENERGY EFFECTIVE REGIME
AND EXTRA DIMENSION
by ARIANTO NIM: 30203007
In this dissertation, we consider the Einstein theory of gravity with more than four dimensions (extra dimensions) such as supergravity and braneworld gravity in five-dimensional space-time. The bulk is taken to have the topology of an orbifold
. First, we give an overview of extra dimensional physics in the perspective of the Einstein theory of gravity, from the Kaluza-Klein picture up to modern braneworld. We describe the different models (Randall-Sundrum, Arkani-Hamed- Dimopoulos-Dvali, Dvali-Gabadadze-Porrati) and their impacts on cosmology.
We consider compactification of five dimensional ungauged supergravity coupled to vector multiplet and hypermultiplets on orbifold . In the model, the vector multiplets scalar manifold is arbitrary while the hypermultiplet scalars span a generalized self dual Einstein manifold constructed by Calderbank and Pedersen. The bosonic and the fermionic sectors of the low energy effective
supergravity in four dimensions are derived.
From the geometry of orbifold , we then investigate five-dimensional braneworld. We develop the covariant curvature formalism for extracting four- dimensional information from the five-dimensional Einstein equations governing the bulk geometry. We start with two -symmetric branes at fixed points of an orbifold
]2
and derive the induced Einstein equations on both branes. Two additional terms appear in the four-dimensional Einstein equations: a local quadratic term in the sources and a non local term which is a projection of the five-dimensional Weyl tensor. This last tensor, which it acts as a radiation term, modifies the Friedmann equations.
Moreover, we apply the covariant curvature formalism of low energy expansion method in the bulk to study the Randall-Sundrum models with an emphasis of the effective equation of motions on the brane. Through the junction condition, we deduce in the zeroth order fine tuning for RS model. The modified Einstein equation is derived from the first order expansion. We also clarify the emergence of the AdS/CFT correspondence for the case of the higher order expansion in a low energy iteration scheme. Furthermore, we consider a cosmology scenario with two branes moving in a five dimensional bulk. As in the case of born-again-
braneworld (BAB) model, it is possible that the branes collide. The energy- momentum tensor is taken to describe a perfect fluid on the positive tension brane and a time dependent cosmological on the negative tension brane. The dynamics of the radion (scalar field on the brane) contains information about the proper distance between the branes.
We then generalize the Randall-Sundrum two branes scenario allowing for a third brane to live in the bulk. The three parallel 3-branes system with both positive and negative tension is studied in a low energy regime. The effective equations of motion on the brane are derived and in particular we examine, in the first order, the radion effective lagrangian for this system. In this case, we show the solution of the modified Friedmann equation with dark radiation on the middle brane and the other branes by direct elimination of the radion fields and Weyl scaling of the metric on the branes. The result shows that the interpretation given to the radion field in two brane scenario can be generalized to a three brane scenario. In this case both the two radion fields contribute to the realization of effective theory on each brane.
Furthermore, we discuss the effective gravitational field equations at low energies on the braneworld where Lorentz violation occurs in the bulk space along the extra dimension. In the Lorentz violation model, we find that the evolution of Weyl tensor is given by contributions of the matter fields on the brane and a constant of integration which corresponds to perturbations due to gravitational waves in the bulk. This result affects the gravitational coupling of the effective gravitational field equations on the brane. Upon introducing the FRW metric and perfect fluid matter on the brane, we consider the effective dynamical equations for the brane scale factor with various kinds of matter.
Finally, the impact of Lorentz violation on the dynamics of a scalar field is investigated. In particular, we study the dynamics of a scalar field in the scalar- vector-tensor theory where the vector field is constrained to be unity and time like.
By taking a generic form of the scalar field action, a generalized dynamical equation for the scalar-vector-tensor theory of gravity is obtained to describe the cosmological solutions. We present a class of solutions for an ordinary scalar field or phantom field corresponding to a power law coupling vector and the Hubble parameter. As the results, we find a constant equation of state in de Sitter space- time and power law expansion with the quadratic of coupling vector, while a dynamic equation of state is obtained for n > 2. Then, we reconsider the inflationary scenario based on the Lorentz violating scalar-vector-tensor theory of gravity. In particular, the coupling between the scalar fields and the Lorentz violating vector is incorporated in our model. Finally, we use the dynamical system formalism to study the attractor behavior of a cosmological model containing a scalar field endowed with a quadratic coupling vector and a chaotic potential.
Keywords: Extra dimension, orbifold compactification, braneworld cosmology.
v
GRAVITASI EINSTEIN DAN BRANEWORLD DALAM DAERAH EFEKTIF ENERGI RENDAH
DAN DIMENSI EKSTRA
Oleh ARIANTO NIM: 30203007
Institut Teknologi Bandung
Menyetujui Tim Pembimbing
Tanggal 11 Juli 2007
Ketua
(Freddy Permana Zen, D.Sc.)
Anggota
(Dr. rer. nat. Bobby Eka Gunara)
Dipersembahkan kepada
My happy small world Selly, Igo and Kenny
vii
PEDOMAN PENGGUNAAN DISERTASI
Disertasi Doktor yang tidak dipublikasikan terdaftar dan tersedia di Perpustakaan Institut Teknologi Bandung, dan terbuka untuk umum dengan ketentuan bahwa hak cipta ada pada pengarang dengan mengikuti aturan HaKI yang berlaku di Institut Teknologi Bandung. Referensi kepustakaan diperkenankan dicatat, tetapi pengutipan atau peringkasan hanya dapat dilakukan seizin pengarang dan harus disertai dengan kebiasaan ilmiah untuk menyebutkan sumbernya.
Memperbanyak atau menerbitkan sebagian atau seluruh disertasi haruslah seizin Direktur Program Pascasarjana, Institut Teknologi Bandung.
KATA PENGANTAR
Bismillahirrohmanirrohiim
Alhamdulillah, puji syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT yang telah memberi pertolongan, pengetahuan dan kekuatan kepada penulis untuk dapat menyelesaikan disertasi berjudul “Gravitasi Einstein dan Braneworld dalam Daerah Efektif Energi Rendah dan Dimensi Ekstra”. Ucapan terima kasih yang pertama dan penghargaan setinggi-tingginya disampaikan kepada:
Bapak Freddy Permana Zen, D.Sc.,
sebagai ketua Tim Pembimbing atas segala saran, kebaikan, bimbingan dan nasehatnya selama penelitian berlangsung dan selama penulisan disertasi ini.
Terima kasih telah memperkenalkan topik penelitian ini dan dari beliau penulis banyak belajar tentang fisika, menjadi seorang researcher serta makna kehidupan.
Ucapan terima kasih juga disampaikan kepada:
1. Anggota Tim Pembimbing Dr. rer. nat. Bobby Eka Gunara atas bimbingan, saran, kritik dan nasehat.
2. Rekan-rekan Laboratorium Fisika Teoretik, Asep Y.W atas persahabatannya dan Supardi yang telah meluangkan waktu untuk membaca dan mengkoreksi kesalahan gramatikal.
3. Departemen Pendidikan dan Kebudayaan atas bantuan Beasiswa Pendidikan Pascasarjana (BPPs) yang diterima selama pendidikan program doktor ini.
4. Mama Adde, Papa Joesaldi, Jerry, Dedek, Sri terima kasih atas doa dan power of word-nya.
Semoga segala kebaikannya menjadi amal sholeh dan dibalas lebih besar oleh Allah SWT., Amien.
Akhirnya, penulis berharap karya ini dapat bermanfaat bagi orang lain.
Bandung, Juni 2007 Penulis
ix
DAFTAR ISI
ABSTRAK ... ii
ABSTRACT ... iv
PEDOMAN PENGGUNAAN DISERTASI ... viii
KATA PENGANTAR ... ix
DAFTAR ISI ... x
DAFTAR LAMPIRAN ... xiv
DAFTAR GAMBAR ... xv
DAFTAR SINGKATAN DAN LAMBANG ... xvi
Bab I Pendahuluan ... 1
I.1 Latar Belakang ... 1
I.1.1 Latar Belakang Teoretik ... 1
I.1.2 Latar Belakang Kosmologi ... 10
I.2 Masalah Penelitian ... 11
I.3 Tujuan dan Lingkup Penelitian ... 13
I.3.1 Tujuan ... 13
I.3.2 Ruang Lingkup Penelitian ... 14
I.4 Asumsi-asumsi dan Hipotesis ... 14
I.4.1 Asumsi Geometrik ... 14
I.4.2 Asumsi Fisis ... 15
I.4.3 Hipotesis ... 15
I.5 Pendekatan dan Metode Penelitian ... 15
I.6 Pelaksanan Penelitian ... 15
I.7 Sistematika Disertasi ... 17
Bab II Tinjauan Pustaka: Dimensi Ekstra dan Braneworld ... 21
II.1 Pendahuluan ... 21
II.2 Teori Kaluza-Klein dan Dimensi Ekstra Kompak ... 23
II.3 Braneworld dan Dimensi Ekstra ... 27
II.3.1 Model Horava-Witten ... 27
II.3.2 Mekanisme Lokalisasi ... 29
II.3.3 Skenario ADD dan Dimensi Ekstra Besar ... 31
II.4 Dimensi Ekstra Lengkung dan Model Randall-Sundrum (RS) ... 33
II.4.1 RS I dan Masalah Hirarki ... 34
II.4.2 Pemecahan Masalah Hirarki ... 36
II.4.3 RS II dan Alternatif Kompaktifikasi ... 37
II.5 Braneworld Dvali-Gabadadze-Porrati (DGP) ... 39
II.6 Kosmologi Braneworld ... 40
II.6.1 Kosmologi 4-dimensi: Hasil Relativitas Umum ... 41
II.6.2 Kosmologi 5-dimensi: Hasil Randall-Sundrum Braneworld ... 44
II.7 Rangkuman ... 48
Bab III Supergravitasi dan Kompaktifikasi Orbifold ... 50
III.1 Pendahuluan ... 50
III.2 Supergravitasi N = 2 dalam 5-dimensi ... 50
III.2.1 Multiplet Gravitasional ... 51
III.2.2 Kopling Multiplet Vektor dan Hipermultiplet ... 51
III.2.2.1 Manifold Skalar ... 51
III.2.2.2 Ruang Einstein Self-Dual Torus ... 53
III.3 Kompaktifikasi pada Orbifold ... 53
III.3.1 Analisis Transformasi Orbifold ... 53
III.3.2 Hasil Kompaktifikasi Sektor Boson ... 58
III.3.3 Hasil Kompaktifikasi Sektor Fermion ... 61
III.4 Rangkuman ... 65
Bab IV Gravitasi Braneworld ... 68
IV.1 Pendahuluan ... 68
IV.2 Gravitasi Braneworld ... 69
IV.2.1 Syarat Junction dan Suku Batas ... 72
IV.2.2 Persamaan Einstein pada Brane ... 77
IV.2.3 Kekekalan Tensor Energi-Momentum pada Brane ... 81
IV.2.4 Persamaan Evolusi Tensor Weyl ... 83
IV.3 Tensor Energi-Momentum pada Bulk ... 85
IV.4 Rangkuman ... 86
Bab V Teori Efektif Energi Rendah dan Kosmologi Braneworld ... 89
V.1 Pendahuluan ... 89
xi
V.2 Sistem Satu Buah 3-brane ... 90
V.2.1 Model ... 90
V.2.2 Ekspansi Energi Rendah ... 91
V.3 Persamaan-Persamaan Efektif pada Brane ... 92
V.3.1 Solusi Orde-0 ... 92
V.3.1 Solusi Orde-1 ... 93
V.3.1 Solusi Orde-2 ... 95
V.3.4 Implikasi Kosmologi Sistem Satu Buah Brane ... 99
V.4 Sistem Dua Buah Brane ... 101
V.4.1 Model ... 101
V.4.1 Teori Efektif pada Brane ... 103
V.5 Implikasi Kosmologi Sistem Dua Buah Brane ... 106
V.5.1 Dinamika Radion ... 108
V.5.2 Pengaruh Radiasi Gelap ... 112
V.6 Rangkuman ... 113
Bab VI Skenario Randal-Sundrum dan Brane Bulk ... 115
VI.1 Pendahuluan ... 115
VI.2 Model Tiga Buah 3-brane l ... 115
VI.2.1 Solusi Orde-0 ... 119
VI.2.2 Solusi Orde-1 ... 122
VI.3 Persamaan Gerak Efektif pada Brane ... 125
VI.3.1 Persamaan Gerak pada Brane-C ... 125
VI.3.2 Persamaan Gerak pada Brane Orbifold: Brane-A dan Brane-B ... 127
VI.4 Persamaan Friedmann pada Brane ... 132
VI.5 Gravitasi Skalar-Tensor pada Braneworld ... 137
VI.6 Rangkuman ... 140
Bab VII Pelanggaran Lorentz dan Gravitasi Braneworld ... 142
VII.1 Pendahuluan ... 142
VII.2 Model ... 143
VII.3 Solusi Persamaan Bulk ... 145
VII.3.1 Solusi Orde-0 ... 145
VII.3.2 Solusi Orde-1 ... 147
VII.3.3 Solusi Orde-2 ... 151
VII.4 Implikasi Kosmologi ... 155
VII.5 Rangkuman ... 160
Bab VIII Aspek Kosmologi Teori Skalar-Vektor-Tensor ... 162
VIII.1 Pendahuluan ... 162
VIII.2 Teori Gravitasi Skalar-Vektor-Tensor ... 163
VIII.3 Persamaan Dinamika Medan Skalar ... 167
VIII.3.1 Solusi Eksak dan Evolusi Medan Skalar ... 169
VIII.3.2 Dinamika Persamaan Keadaan ... 171
VIII.4 Skenario Inflasi Pelanggaran Lorentz ... 172
VIII.4.1 Potensial Fungsi Pangkat Kebalikan ... 174
VIII.4.1.1 Daerah Gelindingan Perlahan Pelanggaran Lorentz ... 174
VIII.4.1.2 Daerah Gelindingan Perlahan Standar ... 177
VIII.4.2 Potensial Fungsi Pangkat ... 179
VIII.4.2.1 Daerah Gelindingan Perlahan Pelanggaran Lorentz ... 179
VIII.4.2.2 Daerah Gelindingan Perlahan Standar ... 181
VIII.5 Analisis Ruang Fasa ... 182
VIII.5.1 Sistem Dinamik ... 182
VIII.5.2 Sistem Dinamik Medan Skalar ... 183
VIII.6 Rangkuman ... 187
Bab IX Kesimpulan ... 189
DAFTAR PUSTAKA ... 191
RIWAYAT HIDUP ... 201
xiii
DAFTAR LAMPIRAN
Lampiran A Transformasi Konformal... 210
Lampiran B Kompaktifikasi Suku Fermion ... 212
DAFTAR GAMBAR
Gambar III.1 Geometri Orbifold ... 66
Gambar IV.1 Struktur geometri untuk dua buah brane, M4 x . Masing- masing brane ditempatkan pada titik-titik tetap orbifold. Ada dua bayangan identik bulk, daerah I dan II, dengan empat buah bidang batas seperti ditunjukan pada gambar (berwarna hijau), yang memberikan dua buah bayangan aksi bulk dan suku batas Gibbons-Hawking ... 69
Gambar IV.2 Vektor satuan normal, , untuk brane dengan tegangan positif didefinisikan menuju daerah positif. Sehingga normal menuju ke dalam untuk positif adalah
na
( ) a
Na+ = −n di mana adalah
normal menuju keluar ... 73 Na
Gambar V.1 Radion sebagai jarak antara dua brane ... 102
Gambar V.2 Jarak proper antara dua buah brane untuk Γ = 0, tanpa pengaruh radiasi gelap. Warna merah adalah kurva untuk log(0.25(exp(0.4 t)-1)) dan kurva warna biru untuk log(0.25(exp(0.4 t)-1))... 110
Gambar V.3 Jarak proper antara dua buah brane untuk Γ = 4/3, Γ = 2/3 dan Γ
= 1/3. Kurva warna merah, biru, hitam, kuning dan hijau masing- masing untuk kurva: log(0.2(t0.5+t)), log(0.1(t2-t)), log(0.1(t2+t)), log(0.1(t-log(t))) dan log(0.1(t+log(t))) ... 111
Gambar VI.1 Sistem tiga buah 3-brane ... 116
Gambar VIII.1 Sebuah titik kritis dimana kopling antara vektor pelanggaran Lorentz dan medan skalar menjadi tidak efektif ... 173
Gambar VIII.2 Bidang fasa solusi dominasi kinetik pelanggaran Lorentz... 186
Gambar VIII.3 Bidang fasa solusi potensial-kinetik pelanggaran Lorentz... 186
xv
DAFTAR SINGKATAN DAN LAMBANG
SINGKATAN Nama Pemakaian
pertama kali pada halaman
ADD Arkani-Hamed-Dimopoulos-Dvali 6
AdS Anti deSitter 8
AdS/CFT Anti deSitter/Conformal Field Theory 84
DGP Dvali-Gabadadze-Porrati 38
FRW Friedmann-Robertson-Walker 40
HW Horava –Witten 6
GZK Greisen-Zatsepin-Kuzmin 157
RS I/II Randall-Sundrum I/II 7
S-AdS Schwarchild- Anti deSitter 44
SUGRA Supergravity 2
SUSY Supersymmtery 2
TSDE Torus Self-Dual Einstein 48
LAMBANG
g ab Metrik ruang-waktu 5-dimensi, a b, =0,1, 2,3,5 14
h ab Metrik induksi pada brane 14
μ ν, Indeks ruang-waktu5-dimensiμ ν, =0,1, 2,3,5
49 μ ν , Indeks ruang-waktu 4-dimensiμ ν, =0,1, 2,3 23
M 4 Manifold ruang-waktu 4-dimensi 5
X Manifold kompak internal dimensi ekstra 5
Catatan:
Dalam disertasi ini ada beberapa lambang ditulis sama dengan makna berbeda.
Untuk itu, setiap lambang yang ditulis di dalam teks isi disertasi diberikan penjelasan sesuai dengan konteks pembahasan.
