MODUL 5
Peubah Acak Diskret Khusus
Terdapat beberapa peubah acak diskret khusus yang sering muncul dalam aplikasi.
Peubah Acak Seragam ( Uniform)
Bila X suatu peubah acak diskret dimana setiap elemen dari X mempunyai kesempatan yang sama untuk terpilih (muncul) maka distribusi dari X adalah seragam ( uniform) . Adapun fkp dari X adalah
n n x
x X
P 1 1 , 2 , 3 ,... , )
(
0 selainnya.
Peubah Acak Bernoulli dan Binomial
Misal suatu percobaan yang keluarannya diklasifikasikan sebagai sukses dan gagal. Jika x=1 bila keluarannya sukses dan x=0 bila keluarannya gagal, maka fungsi kepadatan peluang dari X adalah
P(0) = P(X=0) = 1-p = q
P(1) = P (X=1) = p
Dimana 0≤p≤1 adalah peluang sukses , p+q = 1
Peubah acak X dikatakan peubah acak Bernoulli jika fungsi kepadatan
peluangnya adalah persamaan
P ( X x ) p
xq
1xx 0 , 1
0 selainnyaJika percobaan Bernoulli dilakukan n kali secara bebas, dimana masing – masing menghasilkan sukses dengan peluang p atau gagal dengan peluang 1-p=q . Dan jika X peubah acak yang menyatakan banyaknya sukses yang terjadi dari n percobaan, maka X dikatakan peubah acak Binomial dengan parameter (n,p). Dengan demikian dapat dikatakan bahwa peubah acak Bernoulli adalah peubah acak Binom
ial dengan parameter (1,p).
Fungsi kepadatan peluang dari peubah acak Binomial dengan parameter (n,p) adalah
n x
p x p
x n X
P ( )
x( 1 )
n x 0 , 1 , 2 ,...
0 yang lain Suatu
percobaan dikatakan berdistribusi binomial jika memenuhi kriteria : a. Percobaan dilakukan pengulangan sejumlah n kali secara bebas.
b. Setiap pengulangan hanya ada dua hasil yang mungkin yaitu sukses atau gagal.
c. Peluang untuk hasil sukses adalah p dan peluang hasil yang gagal adalah q=1-p
Contoh
Lima koin yang setimbang dilemparkan. Jika hasil dari lemparan bebas, temukan fungsi kepadatan peluang dari banyaknya gambar yang muncul.
Jawab:
Percobaan dalam soal adalah percobaan Binomial dengan n = 5 dan p = ½ . Sehingga fungsi kepadatan peluang dari banyaknya gambar yang muncul adalah
5 , 4 , 3 , 2 , 1 , 0 )
5 . 0 ( ) 5 . 0 5 ( ) (
)
(
5x
x x X P x
p
x xSoal :
Suatu ujian terdiri atas 10 pertanyaan pilihan ganda, masing – masing dengan 4 kemungkinan jawaban dan hanya satu yang benar.
a. Hitung peluang seorang yang menjawab hanya secara menebak – nebak saja memperoleh 10 jawaban yang benar !
b. Hitung peluang seorang menjawab benar lebih dari 5 pertanyaan !
Peubah Acak Poisson
Peubah acak X yang mempunyai nilai salah satu dari nilai 0,1,2,…dikatakan peubah acak Poisson dengan parameter jika untuk >0,
) ! (
)
( x
x e X P x p
x
, x=0,1,2,…0 selainnya
Peubah acak Poisson dapat digunakan sebagai pendekatan peubah acak binomial dengan parameter (n,p) bila n besar dan p cukup kecil sehingga np adalah ukuran yang “cukup”. Dengan kata lain, jika n percobaan yang bebas, setiap percobaan menghasilkan sukses dengan peluang p dilakukan, maka bila n besar dan p cukup kecil sehingga np “cukup”, banyaknya sukses yang terjadi dapat didekati dengan peubah acak Poisson dengan parameter =np.
Beberapa contoh peubah acak yang mengikuti hukum peluang Poisson
Banyaknya hasil produksi yang cacat dari suatu mesin.
Banyaknya orang dalam suatu populasi yang hidup sampai 100 tahun
Banyaknya kecelakaan lalu lintas pada suatu daerah.
Banyaknya nomor telepon yang salah yang di-dial dalam suatu hari Contoh :
Misalkan suatu mesin cetak membuat kesalahan secara acak pada kertas cetak, rata – rata 2 kesalahan tiap kertas. Hitung peluang bahwa dalam satu kertas yang dicetak, terdapat satu kesalahan cetak.
Jawab.
Misalkan Y adalah peubah acak yang menyatakan banyaknya kesalahan cetak dari suatu kertas, maka Y mempunyai sebaran Poisson dengan = 2. Maka peluang bahwa dalam suatu kertas yang dicetak terdapat satu kesalahan cetak adalah
27 .
! 0 1 ) 2 1 (
1
2
e
Y P
Soal :
Rata-rata banyaknya tanker minyak yang tiba tiap hari di suatu pelabuhan adalah 10. Pelabuhan tersebut hanya mampu menerima paling banyak 15 tanker
perhari. Hitung peluang bahwa pada suatu hari tertentu tanker terpaksa diminta pergi karena pelabuhan tidak mampu melayani !
Peubah Acak Geometri
Suatu percobaan Bernoulli yang dilakukan berulang-ulang sehingga didapat sukses yang pertama terjadi. Jika X peubah acak menyatakan banyaknya percobaan yang diperlukan hingga didapat sukses yang pertama maka
P ( X = x ) = qx-1p x = 1,2,… (2.4) Peubah acak X yang mempunyai fu
ngsi kepadatan peluang seperti persamaan di atas dikatakan berdistribusi geometri dengan parameter p
Contoh
Hitunglah peluang bahwa seseorang yang melemparkan sekeping uang
logam yang setimbang, memerlukan 4 lemparan sampai diperoleh sisi gambar.
Jawab.
Dengan menggunakan distribusi geometrik dengan n=4 dan p = ½, dapat diperoleh
P(X = 4) = 1/2 ( 1/2)3 = 1/16 Contoh :
Suatu keranjang yang terdiri dari N bola putih dan M bola hitam. Bola diambil secara acak, sampai bola hitam terambil. Diasumsikan setiap bola yang terambil dikembalikan lagi sebelum pengambilan berikutnya, berapa peluang bahwa (1) tepat n pengambilan diperlukan dan (2) minimal k pengambilan dibutuhkan.
Jawab .
Misalkan bahwa X adalah banyaknya pengambilan yang diperlukan untuk mengambil bola hitam, maka X akan memenuhi persamaan di atas dengan p = M/(M+N). Sehingga
1. n
n n
N M
MN N
M M N
M n M X P
) (
) (
1 1
2.
1
) (
n
k
n M N
N N
M k M X P
N M
N N
M N N M
M k
1
1
1
k
N M
N
Peubah Acak Binomial Negatif
Bila ada serangkaian percobaan Bernoulli dengan peluang sukses p dan peluang gagal q . Bila terjadi n pengulangan dan diantaranya tepat ada r kejadian yang sukses maka X adalah banyaknya kejadian yang gagal yang terjadi diantara n pengulangan dan telah terjadi r buah kejadian yang sukses.
Ilustrasi :
…….GS … SG …S S
ada (r-1) sukses diantara ((n-1) pengulangan.
Sehingga ada [(n-1)-(r-1)] = n-r yang gagal.
Peluang r n r
p
rq
n rr p n
q r p
n
1 1 1
1
1 [( 1) ( 1)]
Dengan memisalkan n - r = x
,...
3 , 2 , 1 )
1 1 (
)
(
p p x
x x x r
X
P
r x0 selainnya
Peubah acak yang fungsi kepadatan peluangnya mengikuti persamaan di atas dikatakan sebagai peubah acak binomial negatif dengan parameter (r,p) Contoh :
Hitunglah peluang seseorang yang melemparkan tiga uang logam akan mendapatkan semua sisi gambar atau semua sisi angka untuk yang kedua kalinya pada lemparan yang kelima
Jawab.
Dengan menggunakan distribusi binomial negatif dengan n=5, r=2 dan p=2/8 = ¼. Maka peluang seseorang yang melempar 3 uang logam akan
mendapatkan semua sisi gambar atau semua sisi angka untuk yang kedua kalinya pada lemparan yang kelima adalah
116 27 64
37 256 14 4 3 4 1 1 2
1 ) 5
5
( 2 3
X P
Peubah Acak Hipergeometrik
Bila dalam suatu populasi terbatas N terdapat dua kelompok ( misal cacat dan tidak cacat) masing masing banyaknya D dan N-D. Dipilih n unsur secara acak tanpa pengembalian. Jika X adalah banyaknya yang terpilih yang berasal dari kelompok D ( cacat) maka fungsi kepadatan peluang dari X adalah
) , min(
,...
2 , 1 , 0 )
( x n D
n N
x n
D N x D x
X
P
0 selainnya
Peubah acak X yang mempunyai fungsi kepadatan peluang seperti pada persamaan di atas dikatakan berdistribusi hipergeometrik
Contoh :
Seseorang hendak menanami halaman belakang dan depan rumahnya dengan tanaman bunga. Dari sebuah kotak yang berisi 3 umbi tulip dan 4 umbi mawar, ia mengambil 3 umbi secara acak untuk ditanam di halaman depan dan sisanya ditanam di halaman belakang. Berapa peluang ketika musim berbunga tiba di halaman depan berbunga 1 tulip dan 2 mawar?
Jawab.
Dengan menggunakan distribusi hipergeometrik maka diketahui bahwa N
= 7, D= 3,n = 3 dan x =1. Sehingga peluang bahwa ketika musim berbunga di halaman depan berbunga 1 tulip dan 2 mawar adalah
35 18
! 4
! 3
! 7
! 2
! 2
! 4
! 2
! 1
! 3
3 7 2 4 1 3 ) 1
(
X P
Soal :
Suatu perusahaan mempunyai 20 doktor dengan 5 diantaranya adalah doktor terbaik di bidang teknik. Suatu tim yang terdiri dari 10 orang akan dibentuk untuk menyelesaikan suatu permasalahan yang cukup berat. Berapa peluang kelima doktor terbaik yang dimiliki oleh perusahaan tersebut masuk dalam tim yang akan dibentuk?
