B A B 7 DIFERENSIASI DAN INTEGRASI NUMERIK

B A B 7

DIFERENSIASI DAN INTEGRASI NUMERIK

A. D I F E R E N S I A S I N U M E R I K

 Misal diberikan set data Diketahui set data (x0,y0), (x1,y1), (x2,y2),

…., (x_n,y_n) yang memenuhi relasi y = f(x)

 Akan ditentukan dy/dx dalam interval [x₀,x_n]

1. Dari formula selisih muka Newton Ingat rumus interpolasi selisih muka Newton

3 0 2 0

0

0 y

! 3

) 2 p )(

1 p ( y p

! 2

) 1 p ( y p p y ) x (

y   



 









+ y ...

! n

) 1 n p )...(

2 p )(

1 p ( p

n 0 

 





 (1)

dengan x  x₀ ph (2)

dx dp dp dy dx

dy  =

dp dy h

1 (3)







    



 





 ...

6 2 6 3 2

) 1 2 ( 1

0 3 2

0 2

0 p p y

p y h y

dx

dy (4)







    



 





 ...

24 12 36 12

6 6 6 1

0 4 2

0 3 0

2 2 2 2

p y y p

y p h dx

y

d (5)

Jika diambil p = 0 sehingga x = x₀ (berarti x digunakan sebagai awal dari nilai xn) maka pers. (4) menjadi:







       

 











...

4 y y 1 3 y 1 2 y 1 h 1 dx

dy

4 0 3 0

2 0 0

x x 0

(6)







    





















...

2 y y 1 y

h 1 dx

y d

4 0 3 0

2 0 2 x

x 2 2

0

(7)

dan seterusnya.

Soal : jika diketahui y=3x^3 + 2x^2, maka tentukan y(3).

Untuk mengimplementasikan pers. (6) dan (7) dengan berdasarkan selisih muka newton, maka anda harus memulai daftar xn dari x yang ditanyakan. Jadi misalkan dipilih nilai h = 0,5 maka daftar untuk xn = [3, 3.5, 4, 4.5, 5, 5.5] kemudian ditentukan yn nya menurut soalnya.

N xn yn d yn d2 yn d3 yn

0 3 99

54.125

1 3.5 153.125 16.75

70.875 2.25

2 4 224 19 0

89.875 2.25 0

3 4.5 313.875 21.25 0

111.125 2.25

4 5 425 23.5

134.625 5 5.5 559.625

Dy/dx (x=3) = 93

n Xn yn d yn d2 yn d3 yn

0 2 32

27.375

1 2.5 59.375 12.25

39.625 2.25

2 3 99 14.5 0

54.125 2.25 0

3 3.5 153.125 16.75 0

70.875 2.25

4 4 224 19

89.875 5 4.5 313.875

Dy/dx) x=3 = 93

Coba jika anda memulai daftar xn dari 0 sehingga xn = [ 0, 0.5, 1, 1.5, 2 2.5, 3] maka anda harus menentukan nilai p sehingga persamaan yang anda gunakan adalah pers. (4) dan (5).

2. Selisih belakang Newton

...

! y n

) 1 n p )...(

1 p ( y p

! 2

) 1 p ( y p p y ) x (

y _{n n} ² _n    ⁿ _n 



 







 (8)

dengan x x_n  ph atau

h x p x ⁿ

 (jangan diubah ke bentuk yang

lain, yaitu xx_n  ph) (9)







    



 





 ...

6 2 6 3 2

1 2

1 3

2 2

n n

n p p y

p y h y

dx dy

 



^{1 ...}



1 _{2 3}

2 2 2











 y_n p y_n

h dx

y d







     

 











...

3 y y 1 2 y 1 h 1 dx

dy

3 n 2 n

n x

x _n

(10)







       





















...

6 y y 5 12 y 11 3 y 1 h

1 dx

y d

5 n 4 n

3 n 2 n

2 x

x 2 2

n

(11)

3. Formula Stirling

2 y y

! 3

) 1 p ( y p

2 p 2

y p y

y

y ²

1 2 2 2

2 1 0 2

0 1

x  

    





 



 

 +

4 2 2

2

! y 4

) 1 p ( p

 

 (12)

















 



 





 





 







 _{    }



2 ...

y y

30 1 2

y y

6 1 2

y y

h 1 dx

dy _{1 0} ³ ₂ ³ ₁ ⁵ ₃ ⁵ ₁

x x ₀

(13)







     



























...

90 y y 1

12 y 1

h 1 dx

y d

6 3 4 2

2 1 2 x

x 2 2

0

(14)

B. INTEGRASI NUMERIK

 Misal diberikan set data Diketahui set data (x0,y₀), (x₁,y₁), (x₂,y₂),

…., (x_n,y_n) yang memenuhi relasi y = f(x)

 Akan ditentukan I =



_a^bydx

1. Selisih muka Newton

I =



_x^x₀^{nydx =}



_x^x₀^n_^{y0py0p(p}₂^_!^{1)2y0p(p1}₃⁾⁽_!^{p2)3y0...}_^{dx (15)}

Karena variable integran p sedangkan integrasi dilakukan thd x maka dari ph

x

x  ₀  dan dx = h dp dan batas integrasinya dari 0 s/d n maka pers.

(15) menjadi:

I =



x^xn_^{      } p p^ p^{ } y ^{ }_^dp p y

y p p y h

0

! ...

3

) 2 )(

1 (

! 2

) 1 (

0 3 0

2 0

0







   



 







 ...

24 ) 2 ( 12

) 3 2 (

2 ⁰

3 2 0

2 0

0 n n y

n y y n

y n nh

I (16)

N=jumlah lubang (celah) antara xi.

Soal: tentukan

_

³



^



0

2

3 2

3x x dx

2. Aturan Trapesoida

I =



_x^x₀^{nydx =}



_x^x₀^1ydx



_x^x₁^2ydx



_x^x₂^{3ydx...}



_x^x_nⁿ_1^{ydx (17)}



2 0



0 1 x

x¹ydx hy y

0







 ⁼



2⁽ 1 0⁾



1

0 y y

y

h  



^y₀ ^y₁



2

h 

 (18)

demikian pula dengan cara yang sama



_{1 2}



x

x y y

2 ydx h

2 1





 ⁽¹⁹⁾



_{2 3}



x

x y y

2 ydx h

3 2





 ⁽²⁰⁾



_{n 1 n}



x

x y y

2 ydx h

n 1 n



 _





(21) Jika pers. (19) s/d (21) dijumlahkan maka diperoleh:



_{0 1 2 3 n 1 n}



x

x y 2(y y y ... y ) y

2 ydx h

n 0













 _



⁽²²⁾

Kekeliruan : h y"(x) 12

) a b

E (  ²



 (23)

Soal:

Tentukan integral dari :

a.



₀^{ sinxdx b.}





10

0 4 dx

x 1

1

3. Metode Simpson

Dari pers. (16) jika diambil n = 2 maka







   



x^x  ^{0 0 2}y⁰

6 y 1 y h 2

2ydx

0

= 







    (y 2y y ) 6

) 1 y y ( y h

2 _{0 1 0 2 1 0}

=



^y₀ ^4y₁ ^y₂



3

h   (24)

dengan cara yang sama maka



_{2 3 4}



x

x y 4y y

3 ydx h

4 2







 ⁽²⁵⁾



_{n 2 n 1 n}



x

x y 4y y

3 ydx h

n 2 n





 _{ }





(26) Jika pers. (24) s/d (26) dijumlahkan maka diperoleh:



n n n



x

x h y y y y y y y y y y

nydx























 _{ }



0 ₃ ^{0 4( 1 3 5 ... 1) 2( 2 4 6 ... 2)}

(27)

Kekeliruannya: h y (x) 12

) a b

E (  ^{4 (4)}



 (28)

4. Integrasi Romberg



 ^b

aydx

I (29)

untuk increment h₁ maka integrasinya disebut I₁ dan untuk increment h₂ maka integrasinya disebut I₂.

Dari kekeliruan pada metode trapesoida sebagaimana pada pers. (23) jika digunakan increment h = h₁ maka diperoleh:

) x (

"

y 12 h

) a b

E₁ (  ₁²



 (30)

Jika digunakan increment h = h₂ maka diperoleh:

) x (

"

y 12 h

) a b

E₂ (  ₂²



 (31)

Jika pers. (30) dibagi dengan (31) maka menghasilkan:

2 2 2 1 2 1

h h E

E  (32)

demikian pula kesalahan relative E1 terhadap E2:

2 2

2 2 2 1 2

2 1

h h h E

E

E 

 

atau

2 1 2 2

2 2 1

2 2

h h

h E

E E



  (33)

karena E₂ E₁ I₂ I₁, maka ) I I ( h h

E h _{2 1}

2 1 2 2

2

2 2 



 (34)

2 2

3 I E

I   = (I I )

h h

I h _{2 1}

2 1 2 2

2

2 2 





2 1 2 2

2 2 1 2 1 2

3 h h

h I h I I



  (35)

Misalkan diambil h₁ h dan h₂ 0.5h₁ 0.5h maka



^h,0.5h

 

^{4I(0.5h) I(h)}



I

I 3

3   1  (36)

Kaitan pada pers. (36) sangat penting intuk menentukan nilai integrasi berikutnya.

Jika dibuat table menjadi:

Jadi ada dua cara untuk memperoleh I yang sebenarnya yaitu dengan 1. Is = I+E

2. Is = 1/3(4I2 – I1) >> cukup menggunakan 2 data I dengan h yang berbeda dimana h2 = ½ h1. nilai h dipilih bebas dan dijamin hasilny akan sama saja.

Ex.: Gunakan metode Romberg untuk menghitung ^I



₀¹_1¹_x ^teliti

sampai 3 tempat decimal. Ambil h = 0.5, 0.25 dan 0.125.

I1=I(h)

I(h ; 0.5h)

=1/3(4I2-I1)

I2=I(0.5h) I(h ; 0.5h ; 0.25h)

I(0.5h ; 0.25h) I(h ; 0.5h ; 0.25h

; 0.125h)

I3=I(0.25h) I(0.5h ; 0.25h ;

0.125h) I(0.25h ; 0.125h)

I4=I(0.125h)

BAB 8

SOLUSI PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA

Bentuk Pers. Diferensial:

) y , x ( dx f

dy  (1)

1. Penyelesaian dengan deret Taylor Misal y’ = f(x,y) dengan y(0) = y₀.

Jika y(x) merupakan penyel. Eksak dari (1) maka deret Taylornya di sekitar x = x₀ adalah :

...

! y 3

) x x y (

! 2

) x x y ( ) x x ( y ) x (

y ^,₀^,,

0 3 ,

, 0 0 2 ,

0 0

0  

 







 (2)

Jika nilai-nilai dari y₀^,,y^,₀^,,... diketahui maka y diketahui.

Ex: Tentukan y(0,1) jika diketahui y’ = x- y² dan y(0) = 1 dengan mengunakan deret Taylor.

Jawab: Karena y(0) = 1 maka x₀ = 0 sehingga pers. (2) menjadi:

...

! y 5 y x

! 4 y x

! 3 y x

! 2 xy x y ) x (

y ⁽₀⁵⁾

) 5 4 ( 0 , 4

, , 0 , 3

, 0 , 2

0  0    



186 y

; 34 y

; 8 y

; 3 y

; 1

y^,₀  ^,₀^,  ^,₀^,,  ⁽₀⁴⁾  ⁽₀⁵⁾ 

maka ( 186) ...

! 5 ) x 34

! ( 4 ) x 8

! ( 3 ) x 3

! ( 2 ) x 1 ( x 1 ) x ( y

5 4

3 2





















20 ...

x 31 12

x 17 3 x 4 2 x x 3 1

5 4

3 2















dengan ensubstitusi x = 0,1 pada pers. Di atas maka y(0,1) = 0,9138.

Dengan perhitungan sampai suku ke 5 maka apakah sudah sesuai dengan ketelitian yang diminta?

5 4

10 2. 1 20

x

31 _

  x  0.126

jadi untuk x = 0,1 telah memenuhi karena lebih kecil dari 0,126.

2. Metode Picard

Misal y’ = f(x,y) dengan y(0) = y₀. Dari integrasi pers. (1) diperoleh:





 ^x

0 x

0

dx ) y , x ( f y

y (3)

dalam bentuk iterasi dapat ditulis:





 ^x

x 0

) 0 1 (

0

dx ) y , x ( f y

y (4)





 ^x

x

) 1 0 (

) 2 (

0

dx ) y , x ( f y

y (5)





 ^x

x

) 2 0 (

) 3 (

0

dx ) y , x ( f y

y dan seterusnya (6)



^



 ^x

x

) 1 n 0 (

) n (

0

dx ) y , x ( f y

y (7)

Semakin besar n semakin teliti hasilnya.

Ex: selesaikan y' xy² dengan y(0) = 1. tentukan y(0,1).

x x dx

x dx

y x

y  



^x   



0^x    ² 

2 0

) 0 ( )

1 (

2 1 1 ) 1 ( 1 ) (

1 ²



 



















 



  















 ^x f x y dx ^xx y dx ^x x x x dx

y 0

2 2

0 0

) 1 ( )

1 ( )

2 (

2 1 1

1 1

) , (

1 ^{2 2}





^







 



 



    



 







 



 



     





 ^x x x x x x x dx ^x x x x x dx

0

4 3 2 0

3 2 4

2

4 2 1

3 1 1

4 2 1 1

1

5 4

3 2

20 1 4

1 3 2 2

1x3x  x  x  x



Jadi untuk menentukan y(0,1) masih lebih teliti jika diperoleh dari y⁽²⁾(0,1), yaitu :

5 4

3

2 (0,1)

20 ) 1 1 , 0 4( ) 1 1 , 0 3( ) 2 1 , 0 2( ) 3 1 , 0 ( 1 ) 1 , 0

(      

y

3. Metode Euler

y’ = f(x,y); y(0) = y0.





 ¹

0

x 0 x

1 y f(x,y)dx

y (7)

Jika f(x,y)  f(x₀,y₀) pada x₀  x  x₁ maka pers. (7) dapat ditulis menjadi:





 ¹

0

x

x 0 0

0

1 y f(x ,y )dx

y ^{y0 f(x0,y0)}



_x^x₀^{1dx y0 hf(x0,y0)}

dengan cara yang sama untuk x₁  x  x₂ maka





 ²

1

x

x 1 1

1

2 y f(x ,y )dx

y y f(x ,y ) ^x dx y₁ hf(x₁,y₁)

1 x 1

1 ²

1











) y , x ( hf y

y_n1  _n  _{n n} (8)

Ex: selesaikan y’ = -y dengan y(0) = 1 dengan metode Euler.

Dengan menggunakan h = 0,01 maka y₁= 1 + h(-1)

y(0,01) = 1 + (0,01) (—1) = 0,99 y(0,02) = 0,99 + 0,01(-0,99) = 0,9801 y(0,03) = 0,9801 + 0,01(-0,9801) = 0,9703 y(0,04) = 0,9703 + 0,01(-0,9703) = 0,9606

Penyel. Eksak dari pers. di atas adalah y = e^-x yang dengan x = 0,06 maka y = 0,9608.

) y , x ( hf

y₀  _{0 0}

