PENERAPAN TEORI BARIS DAN DERET DALAM EKONOMI

(1)

PENERAPAN TEORI BARIS DAN DERET

• Perkembangan Usaha

DALAM EKONOMI

Perkembangan Usaha

Perkembangan usaha yang dimaksud adalah sejauh usaha usaha yang pertubuhannya

sejauh usaha‐usaha yang pertubuhannya konstan dari waktu ke waktu mengikuti perubahan baris hitung

(2)

Contoh Soal Contoh Soal

• Perusahaan keramik menghasilkan 5.000 buah keramik pada bulan pertama produksinya keramik pada bulan pertama produksinya. Dengan adanya penambahan tenaga kerja, maka jumlah produk yang dihasilkan juga ditingkatkan.

j p y g j g g

Akibatnya, perusahaan tersebut mampu menambah produksinya sebanyak 300 buah setiap bulannya. Jika perkembangan produksinya konstan setiap bulan, berapa jumlah keramik yang dihasilkannya pada bulan ke 12 ?

Berapa buah jumlah keramik yang dihasilkannya selama tahun pertama produksinya ?

(3)

Jawab :

Jumlah keramik yang dihasilkannya pada bulan ke Jumlah keramik yang dihasilkannya pada bulan ke 12. S12 = a + (n – 1) b S12 a + (n 1) b = 5.000 + (12 – 1) 300 = 5 000 + (11) 300 = 5.000 + (11) 300 = 5.000 + 3.300 = 8.300 Jadi pada bulan ke 2 perusahaan tersebut dapat menghasilkan 8.300 buah keramik. Jumlah

k Mik dih ilk d l t t h

keraMik yang dihasilkan dalam satu tahun pertama.

D12 /2 ( 12) 12/2 (5 000 8 300) 6 D12 = n/2 (a + s12) = 12/2 (5.000 + 8.300) = 6 (13.300) = 79.800

(4)

Bunga Sederhana dan Potongan

Bunga merupakan suatu balas jasa yang

Sederhana

Bunga merupakan suatu balas jasa yang

dibayarkan bilamana kita menggunakan uang. Jika kita meminjam uang dari bank maka kita Jika kita meminjam uang dari bank maka kita membayar bunga kepada pihak bank tersebut Jik ki i ik b Jika kita menginvestasikan uang berupa tabungan atau deposito di bank maka bank b b k d ki membayar bunga kepada kita. Jumlah uang yang dipinjamkan atau diinvestasikan di bank disebut modal awal atau pinjaman pokok(principal)

(5)

Bunga dilihat dari satu pihak merupakan Bunga dilihat dari satu pihak merupakan pendapatan tetapi di lain pihak merupakan biaya biaya. Di pihak yang meminjamkan merupakan

pendapatan sedang di pihak yang meminjam pendapatan, sedang di pihak yang meminjam merupakan biaya

(6)

Misalkan kita berinvestasi p rupiah dengan suku Misalkan kita berinvestasi p rupiah dengan suku bunga tahunan i, maka pendapatan bunga pada akhir tahun pertama adalah Pip

Sehingga nilai akumulasi tahun pertama adalah P + Pi

P Pi

Pada akhir tahun kedua adalah P+P(2i) Pada akhir tahun ketiga adalah P + P(3i) Pada akhir tahun ketiga adalah P + P(3i)

Demikian seterusnya sampai pada akhir tahun ke n nilai akumulasinya adalah P+P(ni)y ( )

Jadi pendapatan hanya didapatkan dari modal awal saja setiap akhir tahun

(7)

Nilai dari pendapatan bunga ini tetap setiap tahunnya. Pendapatan bunga menurut metode ini dinamakan bunga sederhana dan dapat dinyatakan dengan rumus berikut: I = Pin Dengan : Dengan : I = Jumlah pendapatan bunga P = Pinjaman pokok atau jumlah investasi i = tingkat bunga tahunan n = jumlah tahun

(8)

Nilai dari modal awal pada akhir periode ke n Nilai dari modal awal pada akhir periode ke n (F_n)adalah jumlah dari modal awal P ditambah pendapatan bunga selama periode waktu ke –n pendapatan bunga selama periode waktu ke n F P Pi

(9)

Contoh

Hitunglah pendapatan bunga sederhana dan berapa Hitunglah pendapatan bunga sederhana dan berapa nilai yang terakumulasi di masa datang dari jumlah uang sebesar Rp. 12.000.000 yang diinvestasikan di Bank selama 4 tahun dengan bunga 15% per tahun Jawab Diketahui : P = Rp. 12.000.000; n = 4; I = 0.15 I = Pin I = Rp. 12.000.000 (4)(0.15) = Rp. 7.200.000 Nilai yang terakumulasi di masa datang pada tahun ke‐y g g p 4 adalah 7.200.000

(10)

Jadi Nilai dari modal awal pada akhir periode ke 4 (F ) d l h 4 (F₄) adalah F_n = P + Pin = Rp. 12.000.000 + 7.200.000 = Rp 19 200 000 Rp. 19.200.000

(11)

Potongan Sederhana

(

)

(Simple discount)

P= Nilai Sekarang

F = Nilai masa datang tahun ke n F_n = Nilai masa datang tahun ke – n I = Tingkat bunga

(12)

(13)

Bunga

Bunga Majemuk

Majemuk

`Misalkan suatu investasi dari P rupiah

d ti k t b I t h k

pada tingkat bunga I per tahun, maka pendapatan bunga pada tahun pertama

d l h Pi adalah Pi,

`Selanjutnya nila investasi ini pada akhir tahun pertama akan menjadi

(14)

`Hasil dari P(1+i) dianggap sebagai modal

l d l t h k d d

awal pada permulaan tahun kedua dan

pendapatan bunga yang diperoleh adalah P(1+i)I

`Sehingga hasil nilai investasi pada akhirgg p tahun kedua adalah

P(1+i) + P(1+i)I = P+Pi+Pi+Pii( ) ( )

(15)

`Selanjutnya hasil dari P(1+i)2 _{dianggap sebagai}

d l l d l h k i d

modal awal pada permulaan tahun ketiga dan pendapatan bunga yang diperoleh

P(1+i)2i,

`Sehingga total investasi tahun ketiga adalahgg g P(1+i)2 + P(1+i)2i = P(1+i)2(1+i) =P(1+i)3

(16)

`Demikian seterusnya sampai n sehingga d l h

rumusnya adalah F_n = P(1+i)n

dimana Fn _{= Nilai masa datang}

P = Nilai sekarang P Nilai sekarang i = bunga per tahun

j l h h

(17)

Contoh

Jika Bapak James mendepositokan uangnya di Bank sebesar Rp. 5.000.000 dengan tingkat

bunga yang belaku 12 presen per tahun

dimajemukkan, berapa nilai total deposito Bapak James pada akhir tahun ketiga? Berapa banyak pula pendapatan bunganya Penyelesaian : Diketahui P = Rp. 5.000.000; i=0.12 per tahunp ; p n=3 F_n = P(1+i)n n ( ) F₃ = Rp. 5.000.000 (1+0.12)3 _{= Rp 5.000.000(1,12)}3 =Rp. 7.024.640

(18)

(19)

(20)

(21)

Nilai

(22)

Contoh

(23)

(24)

Model

Model Pertumbuhan

Pertumbuhan Penduduk

Penduduk

• Penerapan deret ukur yang paling konvensional di bidang ekonomi adalah dalam hal perhitungan pertumbuhan penduduk, sebagaimana pernah dinyatakan oleh Malthus, penduduk dunia tumbuh mengikuti pola deret ukur. Yang dirumuskan

P_t = P₁ R t-1 Dimana : R = 1 + r P₁ = jumlah pada tahun pertama (basis) P_t = jumlah pada tahun ke‐t b h h r = persentase pertumbuhan per‐tahun t = indeks waktu (tahun)

(25)

Contoh

Contoh::

• Penduduk suatu kota berjumlah 1 juta jiwa pada tahun 1991, tingkat pertumbuhannya 4 persen per tahun. Hitunglah jumlah penduduk kota tersebut

pada tahun 2006,pertumbuhannya menurun

j di 2 5 % b j l h 11 t h

menjadi 2,5 %, berapa jumlahnya 11 tahun kemudian? Jawab: Dik t Diket : P₁ = 1.000.000 r = 4 % = 0,04 maka: R = 1 + r = 1 + 0,04 = 1,04

(26)

• P tahun 2006 ≡ P₁₆ P_t = P₁ Rt‐1 t 1 P₁₆ = 1.000.000 (1,04)16‐1 = 1.000.000 (1,04)_{1.000.000 (1,04)}15 = 1.000.000 1,800943 = 1 800 943 jiwa = 1.800.943 jiwa Utk 11 t h k di • Utk 11 tahun kemudian P₁ = 1.800.943 r = 2,5 % = 0,025 R = 1 + r = 1 + 0,025 = 1,025

(27)

• _{P 11 tahun kemudian ≡ P}₁₁ P_t = P₁ Rt‐1 P = 1 800 943 (1 + 0 025)11‐1 P₁₁ = 1.800.943 (1 + 0,025) = 1.800.943 (1,025)10 = 1.800.943 . 1,280084 = 2.305.359 Jadi jumlah penduduk 11 tahun kemudian 2 305 359 jiwa 2.305.359 jiwa.

(28)

Contoh

Contoh--contoh

contoh soal

soal

Seorang nasabah merencanakan

mendepositokan uangnya di Bank sebanyak Rp.p g y y p 10 juta dalam jangka waktu 5 tahun. Pembungaan depositonya dengan tingkat bunga yangdiasumsikan depositonya dengan tingkat bunga yangdiasumsikan konstan sebesar 11% pertahun

*B j l h dit i d khi

*Berapa jumlah uang yang diterimanya pada akhir tahun kelima jika didepositokan dengan

pembungaan tiap 6 bulan sekali ? pembungaan tiap 6 bulan sekali ?

• Berapa jumlah uang yang diterimanya jika

didepositokan dengan pembungaan tiap tiga bulan

(29)

• Jawab jumlah uang dengan pembungaan tiap 6 bulan sekali • Pn = P0 (1 + r/m)n.m = 10.000.000 (1 + 0,11/2)5.2 = 10.000.000 (1 + 0,055)10 = 10.000.000 (1,708144) ( , ) = 17.081.444,58

Jadi dalam waktu lima tahun uang nasabah Jadi dalam waktu lima tahun uang nasabah

tersebut yang dibungakan setiap enam bulan sekali menjadi Rp. 17.081.444,58.

(30)

• Jawab jumlah uang dengan pembungaan tiap 3 b l k li bulan sekali • Pn = P0 (1 + r/m)n.m = 10.000.000 (1 + 0,11/4)5.4 = 10.000.000 (1 + 0,0275)20 = 10.000.000 (1,720428431) = 17.204.284,31 Jadi dalam waktu lima tahun uang nasabah tersebut yang dibungakan setiap enam bulan sekali menjadi Rp. 17.204.284,31

(31)

Contoh

Contoh Soal

Soal

• Penduduk suatu kota metropolitan tercatat 3 25 j ji d h 2008 di ki k 3,25 juta jiwa pada tahun 2008, diperkirakan menjadi 4,5 jiwa pada tahun 2013. Jika tahun 2008 di h d b 2008 dianggap tahun dasar, berapa persen pertumbuhannya ? Berapa Jumlah d d k d h 2015 ? penduduknya pada tahun 2015 ?

(32)

J b t t b h d d k P • Jawab persentase pertumbuhan penduduk : Pn = P0 (1 + i)n 4,5 = 3,25 (1 + i)2013‐2008 4,5 = 3,25 (1 + i)5 4,5/3,25 = (1 + i)5 1 3846 = (1 + i)5 1,3846 = (1 + i)5 1,38461/5 = 1 + i i = 1,38461/5 – 1 i = 0,0673 i = 6,73 %

(33)

Latihan

Latihan Soal

Soal 11

Pabrik Coklat “Silverquen” menghasilkan Sejuta bungkus coklat pada tahun pertama berdirinya, dan 1,6 juta bungkus pada tahuny , , j g p ketujuh.

a Andaikata perkembangan produksinya a.Andaikata perkembangan produksinya konstan, berapa tambahan produksinya per tahun ?

(34)

b.Berapa produksinya pada tahun kesebelas c.Pada tahun ke berapa produksinya 2,5 jutap p y , j

bungkus coklat ? Berapa bungkus coklat yang telah ia hasilkan

y g

(35)

Latihan

Latihan Soal

Soal 22

Pabrik kecap “Nambewan” memproduksi 24.000 botol kecap pada tahun ke-6

operasinya. Karena persaingan keras darip y p g kecap-kecap merek lain, produksinya terus menurus secara konstan sehingga pada

menurus secara konstan sehingga pada tahun ke-10 hanya memproduksi

(36)

a) Berapa botol penurunan produksinya per t h

tahun

b) Pada tahun ke berapa pabrik kecap tersebut tidak berproduksi (tutup)

c) Berapa botol kecap yang ia hasilkan selama operasinya ?.

(37)

Latihan

Latihan Soal

Soal 33

Hitunglah bunga dari Rp 1.000.000 selama 2 tahun dengan tingkat bunga 10% apabila

(38)

Latiahn

Latiahn Soal

Soal 44

Jika Anda menabung Rp 2.500.000 dengan

b j k 8% l i h

bunga majemuk 8% selama tiga tahun, kemudian memindahkan tabungan tersebut ke

b d b j k h

tabungan dengan bunga majemuk tahunan 10%. Berapakah jumlah yang akan Anda terima

l h h k 6 ? setelah tahun ke 6.?

(39)

Latihan

Latihan Soal

Soal 55

• Pada ulang tahun ke‐20, Trinita memperoleh h di h b R 10 000 000 b i hadiah uang sebesar Rp10.000.000,‐ sebagai hasil dari tabungan ayahnya semenjak Trinita dil hi k B b dilahirkan. Berapa besarnya uang yang ditabungkan ayahnya pada saat dia dilahirkan, jik i k b b id k b b h jika tingkat bunga tabungan tidak berubah yaitu 6% per tahun (dihitung bulanan)?

(40)

Latihan

Latihan Soal

Soal 66

• Seorang bapak menabung dalam bentuk d i b i i k i b i deposito sebagai persiapan untuk warisan bagi anaknya sebesar Rp 20.000.000,‐ dan setelah 25 h i di bil d b 25 tahun uang itu diambil dengan bunga tetap 6% per tahun yang dihitung bulanan. Berapa j l h b k b ? jumlah uang bapak tersebut?

(41)

Daftar

Daftar Pustaka

Pustaka

• Dumairy.1999.Matematika Terapan Untuk

Bi i d Ek i Y k BPFE UGM

Bisnis dan Ekonomi, Yogyakarta, BPFE UGM

• Joseph Kalangi, Matematika Ekonomi dan Bisnis, Penerbit Salemba Empat, 2002