• 1.barisan dan deret • 2.Nilai uang
• aplikasi
• Turunan 2 variabel dan aplikasinya • Integral dan alikasinya
• Matrik dan alikasinya
• Buku refrensi “matematika bisnis
“karangan Dumairi
• “Matematika ekonomi dan bisnis
A.
Barisan Aritmetika
Definisi
Bilangan yang tetap tersebut disebut beda dan
dilambangkan dengan b.
Perhatikan juga barisan-barisan bilangan
berikut ini.
a. 1, 4, 7, 10, 13, ...
b. 2, 8, 14, 20, ... Barisan Aritmetika c. 30, 25, 20, 15, ...
Barisan aritmetika adalah suatu
Contoh :
a. 1, 4, 7, 10, 13, ...
+3 +3 +3 +3
Pada barisan ini, suku berikutnya diperoleh dari suku sebelumnya ditambah 3. Dapat dikatakan bahwa beda sukunya 3 atau b =3.
b. 2, 8, 14, 20, ... +6 +6 +6
c. 30, 25, 20, 15, ...
–5 –5 –5
Pada barisan ini, suku berikutnya diperoleh dari suku sebelumnya ditambah –5. Dapat dikatakan bahwa beda sukunya –5 atau b = –5.
Secara umum dapat dikatakan sebagai berikut.
Rumus umum suku ke-n barisan aritmetika dengan suku pertama (U ) dilambangkan dengan a dan beda dengan b dapat ditentukan seperti berikut.
Jika Un adalah suku ke-n dari suatu barisan aritmetika maka berlaku b = Un – Un – 1.
U1 = a
Contoh 1 :
Tentukan suku ke-8 dan ke-20 dari barisan –3, 2, 7, 12, ....
Jawab:
–3, 2, 7, 12, …
Suku pertama adalah a = –3 dan bedanya b = 2 – (–3) = 5.
Dengan menyubstitusikan a dan b, diperoleh : Un = –3 + (n – 1)5.
Suku ke-8 : U8 = –3 + (8 – 1)5 = 32.
Contoh 2 :
Diketahui barisan aritmetika –2, 1, 4, 7, ..., 40. Tentukan banyak suku barisan tersebut.
Jawab:
Diketahui barisan aritmetika –2, 1, 4, 7, ..., 40.
Dari barisan tersebut, diperoleh a = –2, b = 1 – (–2)
B. Deret Aritmetika
• Definisi
• Deret aritmetika adalah jumlah n suku pertama
barisan aritmetika. Jumlah n suku pertama dari suatu barisan bilangan dinotasikan D .
Dengan demikian, Dn = U1 + U2 + U3 + ... + Un .
Untuk memahami langkah-langkah menentukan rumus Dn , perhatikan contoh berikut :
Misalkan U1, U2, U3, ..., Un merupakan
suku-suku dari suatu barisan
Contoh 1 :
Diketahui suatu barisan aritmetika 2, 5, 8, 11, 14. Tentukan jumlah kelima suku barisan tersebut. Jawab:
Jadi, jumlah kelima suku barisan tersebut adalah 40.
Menentukan rumus umum untuk D sebagai berikut. Diketahui rumus umum suku ke-n dari barisan aritmetika adalah
Dn = U1 + U2 + U3 + …+Un-2 + Un-1 + Un.
Dapat dinyatakan bahwa besar setiap suku adalah b kurang dari suku berikutnya.
Un-1 = Un – b
Un-2 = Un-1 – b = Un – 2b
Un-3 = Un-2 – b = Un – 3b
Demikian seterusnya sehingga Dn dapat
dituliskan
Dn= a + (a + b ) + (a + 2b ) + …+ (Un-2b) + (Un
Persamaan 1 dapat ditulis dengan urutan terbalik sebagai berikut:
Dn= Un+ (Un – b)+(Un – 2b)+ ... +(a+2b)+(a+b)+a …(2) Jumlahkan Persamaan (1) dan (2) didapatkan
Jadi, rumus umum jumlah n suku pertama deret aritmetika adalah
Keterangan:
Dn = jumlah n suku pertama
a = suku pertama
b = beda
Un = suku ke-n
n = banyak suku
Dn = (1/2) n(a + Un )
Contoh 2:
Jadi, jumlah 100 suku pertama dari deret tersebut adalah 10.100.
Contoh 3:
Hitunglah jumlah semua bilangan asli kelipatan 3 yang kurang dari 100.
Jawab:
Bilangan asli kelipatan 3 yang kurang dari 100 adalah 3, 6, 9, 12, ..., 99 sehingga diperoleh
a = 3, b = 3, dan Un = 99.
Terlebih dahulu kita cari n sebagai berikut ;
Un = a + (n – 1)b
99 = 3 + (n – 1)3 3n = 99
n = 33
Dn = n (a + U )
D33 = x 33(3 + 99)
= 1.683
Jadi, jumlah bilangan asli kelipatan 3 yang kurang dari 100 adalah 1.683
n
2 1
Soal – soal
1. Carilah suku ke – 20 dari barisan aritmatika, 3, 8, 13, 18, …
2. Carilah suku ke – 27 pada setiap barisan aritmatika berikut ini :
a. 3, 7, 11, … b. 15, 13, 11, 9, …
c. -8, -4, 0, 4, … d. -6, -1, 4, 9, …
3. Suku ke -3 dan suku ke -16 dari barisan aritmatika adalah 13 dan 78. Tentukanlah
suku pertama dan bedanya. Berapakah Un
dan Dn
4. Terdapat 60 suku dalam barisan aritmatika yang mana suku pertama adalah 9 dan
5. Carilah jumlah dari
a. 40 bilangan bulat positif ganjil yang pertama
b. 25 bilangan bulat positif genap yang pertama
Perusahaan keramik menghasilkan 5000buah keramik pada pertama produksi. Dengan
adanya penambahan tenaga kerja maka jumlah produk yang dihasilkan juga dapat ditingkatkan. Akibatnya, perusahaan terebut mampu
menambah produksinya sebanyak 300 buah
setiap bulanya. Jika perkembangan produksinya konstan setiap bulan. Berapa jumlah keramik
1. Perusahaan genteng nglames menghasilkan
3000 buah genteng pada bulan pertama
produksinya. Dengan penambahan tenaga kerja dan peningkatan produktifitas, perusahaan
mampu menambah produksinya sebanyak 500 buah setiap bulan. Jika perkembangan
produksinya konstan, berapa buah genteng
yang dihasilkannya pada bulan kelima ? Berapa buah yang telah dihasilkan sampai dengan
2. Besar penerimaan PT ABC dari hasil penjualan barangnya Rp 720 juta pada tahun kelima dan Rp 980 pada tahun ketujuh. Apabila perkembangan hasil penjualan tersebut berpola seperti barisan aritmetika, berapa
perkembangan penerimaannya per
tahun ? Berapa besar penerimaan pada tahun pertama dan pada tahun ke
Perusahaan keramik menghasilkan 5.000 buah keramik pada bulan pertama
produksinya. Dengan adanya penambahan tenaga kerja, maka jumlah produk yang dihasilkan juga ditingkatkan. Akibatnya, perusahaan tersebut mampu menambah produksinya sebanyak 300 buah setiap bulannya. Jika perkembangan produksinya konstan setiap bulan, berapa jumlah
Penerimaan Perusahaan Bagus dari hasil penjualannya sebesar Rp. 1,2 miliar pada
tahun kelima dan sebesar Rp. 1,8 miliar pada tahun ketujuh. Apabila perkembangan
penerimaan perusahaan tersebut konstan dari tahun ke tahun, berapakah perkembangan
penerimaannya per tahun, berapakah
penerimaannya pada tahun pertama dan pada tahun ke berapa penerimaannya mencapai
1. 5 720, 7 980
diketahui u U cari
perkemmbangan perthn b
th keberapa jika penerimaan juta
3. Pabrik sepatu jempol memproduksi 10.000
pasang sepatu pada tahun pertama operasinya. Namun karena situasi perekonomian yang tidak menguntungkan, produksinya terus menyusut 500 pasang setiap tahun. Berapa produksinya: a. pada tahun keempat ?
b. pada tahun ke- lima belas ?
, 700.000, 00
,
125.000,00.
Ketika awal bekerja seorang karyawan sebuah perusahaan
digaji Rp per bulan
Setahun berikutnya gaji per bulannya akan naik sebesar Rp Demikian seterusnya untuk tahun tahun berikutn
.
9?
Perusahaan keramik menghasilkan 500 buah keramik pada pertama produksi. Dengan
adanya penambahan tenaga kerja maka jumlah produk yang dihasilkan juga dapat ditingkatkan. Akibatnya, perusahaan terebut mampu
menambah produksinya sebanyak 300 buah
setiap bulanya. Jika perkembangan produksinya konstan setiap bulan. Berapa jumlah keramik
Jumlah keramik yang dihasilkan
pada bulan ke 12
a
n= a
1+ (n-1) b
a
12= 5000 + (12-1)300
= 5000 + (11) 300
= 5000 + 3300
(1
)
a suku pertama r rasio yang tetap n banyaknya suku
Barisan dan Deret Geometri
Barisan Geometri adalah susunan bilangan yang dibentuk menurut urutan tertentu, di mana susunan bilangan di antara dua suku yang berurutan mempunyai rasio yang
tetap (dilambangkan dengan huruf r).
Jika a1 adalah suku pertama dan r adalah rasio yang tetap, maka suku ke 2 dan
seterusnya adalah a2 = a1r
Sehingga bentuk umum dari barisan geometri untuk suku ke-n adalah
an = a1rn-1 atau Sn = a1rn-1
Di mana an = Sn = suku ke – n
a1 = suku pertama
Contoh
Carilah suku ke delapan darii barisan geometri di mana suku pertama
adalah 16 dan rasionya adalah 2 Jawab:
Diketahui : a1 = 16 , r = 2, n=8
Ditanyakan S8 = …?
2
Suku pertama suatu deret geometri adalah dan jumlah sampai tak berhingga adalah Carilah rasionya
Soal - soal
1. Carilah jumlah dari 6 suku pertama pada setiap barisan berikut ini:
a.2, 10,50, 250, … c. 6, 3, …
b.3, 9, 27, 81 d. 16,8, 4, 2, …
2. Carilah enam suku pertama dari barisan geometri berikut
a.a = 2; r =1/2 d. a = 6; r = -1/2
b.a = 12; r =1/3 e. a = 4; r =1/3
3. Carilah nilai dari deret geometri
untuk 4 bilangan pertama dari setiap barisan geometri dengan a dan r
diketahui di bawah ini
a.a = 4; r =1/4 d. a = 10; r = -2
b.a = 4; r =1/4 e. a = 15; r =1/3
10
3 / 4 .
Sebuah bola jatuh dari ketinggian m
memantul kembali dengan ketinggian kali tinggi sebelumnya Pemantulan berlangsung terus menerus sehingga bola berhenti Tentukan jumlah seluruh lintasan bola
50.000,00
1% .
,
.
Setiap awal bulan Nyoman menabung Rp
di suatu bank yang memberikan bunga per bulan Pada tiap akhir bulan bunganya ditambahkan
pada tabungannya
Berapakah uang Nyoman di bank itu pada akhir 1
1?
tahun ke jika ia tidak pernah mengambil tabungannya
sampai akhir tahun ke
Penerapan
PERHITUNGAN BUNGA
•Bunga merupakan biaya modal
•Besar kecilnya jumlah bunga yang merupakan
Bunga Sederhana dan
Potongan Sederhana
Bunga merupakan suatu balas jasa yang
dibayarkan bilamana kita menggunakan uang. Jika kita meminjam uang dari bank maka kita membayar bunga kepada pihak bank tersebut Jika kita menginvestasikan uang berupa
tabungan atau deposito di bank maka bank membayar bunga kepada kita.
Jumlah uang yang dipinjamkan atau
Bunga dilihat dari satu pihak
merupakan pendapatan tetapi di lain pihak merupakan biaya.
Di pihak yang meminjamkan
Misalkan kita berinvestasi p rupiah dengan suku bunga tahunan i, maka pendapatan bunga pada akhir tahun pertama adalah Pi Sehingga nilai akumulasi tahun pertama adalah
P + Pi
Pada akhir tahun kedua adalah P+P(2i) Pada akhir tahun ketiga adalah P + P(3i) Demikian seterusnya sampai pada akhir
Nilai dari pendapatan bunga ini tetap setiap tahunnya.
Pendapatan bunga menurut metode ini dinamakan bunga sederhana dan dapat dinyatakan dengan rumus berikut:
I = Pin
Dengan I = Jumlah pendapatan bunga P = Pinjaman pokok atau jumlah
investasi
Nilai dari modal awal pada akhir
periode ke n (Fn )adalah jumlah dari
modal awal P ditambah pendapatan bunga selama periode waktu ke –n
Contoh
Hitunglah pendapatan bunga
sederhana dan berapa nilai yang terakumulasi di masa datang dari
Contoh
Hitunglah pendapatan bunga sederhana dan berapa nilai yang terakumulasi di masa datang dari jumlah uang sebesar Rp. 12.000.000 yang diinvestasikan di Bank selama 4 tahun dengan bunga 15% per tahun
Jawab
Diketahui : P = Rp. 12.000.000; n = 4; I = 0.15 I = Pin
Fn = P + Pin
Potongan Sederhana (Simple
discount)
P= Nilai Sekarang
Fn = Nilai masa datang tahun ke – n i = Tingkat bunga
Koperasi Lestari memberikan
pinjaman kepada anggotanya atas
dasar bunga tunggal sebesar 2% per bulan. Jika seorang anggota
meminjam modal sebesar Rp
3.000.000,00 dengan jangka waktu pengembalian 1 tahun, tentukan
a. besar bunga setiap tahunnya; b. besar uang yang harus
Bunga Majemuk
• Misalkan suatu investasi dari P rupiah pada tingkat
bunga I per tahun, maka pendapatan bunga pada tahun pertama adalah Pi,
• Selanjutnya nila investasi ini pada akhir tahun
pertama akan menjadi P + Pi = P (1 + i)
• Hasil dari P(1+i) dianggap sebagai modal awal
pada permulaan tahun kedua dan pendapatan bunga yang diperoleh adalah
P(1+i)I
• Sehingga hasil nilai investasi pada akhir tahun
kedua adalah
• Selanjutnya hasil dari P(1+i)2 dianggap sebagai
modal awal pada permulaan tahun ketiga dan pendapatan bunga yang diperoleh
P(1+i)2i,
• Sehingga total investasi tahun ketiga adalah
P(1+i)2 + P(1+i)2i = P(1+i)2(1+i) =P(1+i)3
• Demikian seterusnya sampai n sehingga rumusnya
Contoh
Jika Bapak James mendepositokan uangnya di Bank sebesar rp. 5.000.000 dengan tingkat
bunga yang belaku 12 presen per tahun dimajemukkan, berapa nilai total deposito
Bapak James pada akhir tahun ketiga? Berapa banyak pula pendapatan bunganya
Penyelesaian :
Diketahui P = Rp. 5.000.000; i=0.12 per tahun n=3
Fn = P(1+i)n
F3 = Rp. 5.000.000 (1+0.12)3 = Rp 5.000.000(1,12)3
65
Contoh soal:
66
2. Tabungan Arumi Bachsin di
BNI akan menjadi sebesar Rp.
532.400.000
tiga tahun akan
datang. Jika tingkat bunga bank
yang berlaku
10 %
per tahun,
0
Ilustrasi 5 : Bunga Majemuk
0
3 3
0
Ilustrasi 6
a. Jika 100.000, 0,1, 3maka
(1 ) 100.000(1 0,1) 133.100
Soal
Misalkan A menginvestasikan uang sebesar Rp 4.000.000 pada suatu bank dengan tingkat bunga 5% per tahun. Berapa
jumlah uang A (pokok tabungan+bunga) setelah 10 tahun bila :
a. bunga dibayarkan setahun sekali b. bunga dibayarkan semesteran c. bunga dibayarkan per triwulan d. bunga dibayarkan bulanan
e. bunga dibayarkan harian
1 2 10%
2(2)
Ilustrasi 8
Empat tahun kedepan saya akan studi lanjut. Diperkirakan biaya yang harus dikeluarkan sebesar Rp.50.000.000. Jika bunga bank 7%
0
50.000.000 1 37.880.815,328669168 4
50.000.000 37.789.187, 072786272 Jadi uang yang masih diinvestasikan saat ini
sebesar Rp 37.789.187, 0728
x
P e
Ilustrasi 9
Soal-Soal
1. Jika bunga bank 7% per tahun yang dibayarkan kontinyu, berapa lama uang mesti diinvestasikan agar menjadi dua kali lipat?
(Jawab : 9,902102579 tahun)
2. Jika bunga bank dibayarkan secara kontinyu dan uang menjadi dua kali lipat setiap 13 tahun, berapa persen bunga yang ditetapkan bank?
0 0
0
3. Setelah diinvestasikan selama 5 tahun dengan tingkat bunga 9% per tahun yang dibayarkan tahunan, modal sebesar P menjadi Rp 100.000. Berapakah P ?
ANUITAS NILAI SEKARANG
Materi
•Pendahuluan
•Anuitas nilai sekarang
•Menentukan besarnya angsuran •Menetukan jumlah periode
•Menentukan tingkat bunga
pendahuluan
• Anuitas a(annuity) adalah rangkaian
pembayaran atau penerimaan
sejumlah uang,dengan periode waktu yang saa untuk setiap pembayaran
• Ada 3 jenis anuitas • 1.anuitas biasa
• 2.anuitas dimuka (annuity due)
• Besar anuitas adalah besarnya
• Misal :
• Pak Thomas tiap bulan membayar kredit
rumahnya yang terdiri dari angsuran sebesar
Rp. 300.000,00 dan bunga sebesar Rp.
125.000,00, maka:
anuitas yang dibayarkan adalah Rp. 425.000,00 (Rp.300.000,00 + Rp. 125.000,00).
Artinya:
RUMUS ANUITAS
a1 = Angsuran periode ke-1
• Josima meminjam uang dari Bank BRI
sebesar Rp. 10.000.000,00
pembayaran dilakukan dengan cara anuitas dengan memperhitungkan
• Penyelesaian :
• Diketahui : M = Rp.
10.000.000,00
• Andra meminjam uang sebesar Rp.
50.000.000,00 pinjaman itu akan
dilunasi dengan cara anuitas selama 2 tahun yang pembayarannya setiap 6 bulan. Bunga yang ditetapkan 24% per tahun. Hitunglah besarnya
• Diketahui : M = Rp.
50.000.000,00
i = 24% per tahun = 12% per 6 bulan (semester)
• M = Rp. 50.000.000,00
i = 24% per tahun = 12% per 6 bulan (semester)
