Obicne diferencijalne jednadbe. Numericka analiza. M. Klaricić Bakula Listopad, 2008.

Numericka analiza

M. Klarici´c Bakula

Listopad, 2008.

1 Uvod

Mnogi prakticni problemi se nakon matematickog modeliranja svode na rješavanje diferencijalnih jednad bi. Dok se nekim jednad bama rješenje mo e eksplicitno izraz-iti pomo´cu poznatih funkcija, mnogo ve´cem broju njih se ne mo e odredizraz-iti egzaktno rješenje. Takve jednad be rješavamo numericki, a ponekad se i rješivim jednad bama mo e br e izracunati rješenje numerickim putem nego analitickim postupkom.

U ovom poglavlju ´cemo se upoznati s nekoliko metoda za rješavanje obicnih diferen-cijalnih jenad bi (ODJ) oblika

y0_{(x) = f (x; y (x)) ; x 2 (a; b) ;}

uz dodatni pocetni ili rubni uvjet.

Ako je uz jednad bu zadan pocetni uvjet y (a) = y₀; onda govorimo o pocetnom

(inicijalnom) problemu.

Ako je umjesto pocetnog uvjeta uz jednad bu zadan rubni uvjet

2 Eulerova metoda

Prije nego se upoznamo op´cenito s jednokoracnim metodama za rješavanje ODJ, pogledajmo kao ilustraciju najjednostavniju od njih: Eulerovu metodu. To je metoda za rješavanje pocetnog problema oblika

y0 (x) = f (x; y (x)) ; y (a) = y0; x 2 [a; b] :

Metoda se zasniva na ideji da se y0 u jednad bi zamjeni podijeljenom razlikom y0 (x) = y (x + h) y (x)

h + O (h) ;

pa rješenje diferencijalne jednad be zadovoljava jednad bu

y (x + h) = y (x) + hy0 (x) h_{O (h) = y (x) + hf (x; y (x))} h_{O (h)} = y (x) + hf (x; y (x)) + O h2

Clan h_{O (h) = O h}2 za dovoljno mali h mo emo zanemariti, pa dobijemo

Ocigledno tocnost ove formule znatno ovisi o tomu koliku smo pogrešku napravili odbaci-vanjem clana h_{O (h) ;} pa nam je cilj h smanjivati dok ne postignemo eljenu tocnost.

Stoga interval [a; b] podijelimo na n jednakih djelova, te stavimo h = b a

n ; xi = a + ih; i = 0; : : : ; n:

Korištenjem dobivene jednakosti (1) dobijemo aproksimaciju rješenja u tocki x₁ = a+h : y₁ = y (x1) y (x0) + hf (x0; y (x0)) = y (x0) + hf (x0; y0) :

Dobivenu aproksimaciju koristimo za racunanje aproksimacije rješenja u tocki x₂ = a + 2h = x₁ + h :

y₂ y (x₁) + hf (x1; y (x1)) = y1 + hf (x1; y1) :

Opisani postupak nazivamo Eulerovom metodom i mo emo ga kra´ce zapisati rekurz-ijom

y_i+1 y_i + hf (xi; yi) ; i = 0; : : : ; n 1;

gdje je pocetni uvjet y₀ zadan kao pocetni uvjet diferencijalne jednad be. Dobivene

3 Jednokoracne metode

Koriste´ci slicnu ideju kao u Eulerovoj metodi, diferencijalnu jednad bu

y0 (x) = f (x; y (x)) ; y (a) = y0; x 2 [a; b]

op´cenito mo emo riješiti tako da interval [a; b] podijelimo na n jednakih podintervala

oznacivši

h = b a

n ; xi = a + ih; i = 0; : : : ; n;

dok aproksimaciju rješenja y_i+1 u tocki x_i+1 racunamo iz y_i korištenjem aproksimacije

oblika

y (x + h) y (x) + h (x; y (x) ; h; f ) ;

Funkcija zove se funkcija prirasta, a razliciti izbori te funkcije de niraju razlicite metode. Uocimo da je sama funkcija f jedan od parametara funkcije : tako je u

Eulerovoj metodi s kojom smo se upoznali

(x; y (x) ; h; f ) = f (x; y (x)) :

Metode oblika

y_i+1 = yi + h (xi; yi; h; f ) ; i = 0; : : : ; n 1; (2)

nazivamo jednokoracnim metodama jer za aproksimaciju y_i+1 koriste samo vrijednost y_i, tj. u jednom koraku dobijemo iz y_i sljede´cu aproksimaciju y_i+1:

Da bismo pojednostavnili zapis ubudu´ce ´cemo izostaviti parametar f iz zapisa

argu-menata funkcije :

O odabiru funkcije ovisi i tocnost metode. Za ocekivati je da ako odaberemo tako da aprosimacija tocnog rješenja y dana s

y (x + h) y (x) + h (x; y (x) ; h; f )

bude što tocnija, to ´ce tocnija biti i aproksimacija y_i+1 vrijednosti y (x_i) dana rekurzijom (2) :

Pogrešku aproksimacije

y (x + h) y (x) + h (x; y (x) ; h; f )

danu s

(x; h) = (x; h) (x; y (x) ; h) ;

pri cemu je y tocno rješenje jednad be i

(x; h) = y (x + h) y (x) h

Red metode odgovara njenoj tocnosti. Op´cenito, za jednokoracnu metodu ka emo da je reda (konzistencije) p ako je

(x; h) = O (hp) :

Što je ve´ci p metoda je tocnija, a to posti emo odgovaraju´cim odabirom funkcije : Ve´c

smo vidjeli da je npr. Eulerova metoda reda 2.

Pod tocnoš´cu metode podrazumijevamo ponašanje pogreške

y (x_i) y_i:

Da bismo pojednostavnili argumentaciju, promatrat ´cemo pogrešku u ksiranoj tocki y:

Ako je jednokoracna metoda reda p; onda je

4 Runge-Kuttine metode

Najpoznatije jednokoracne metode su zasigurno Runge-Kuttine metode. Kod ovih metoda je funkcija prirasta oblika

(x; y; h) =

r

X

j=1

!_jk_j (x; y; h) ;

gdje su funkcije k_j zadane s

k_j (x; y; h) = f x + c_jh; y + h r X l=1 jlkl (x; y; h) ! ; j = 1; : : : ; r:

Broj r nazivamo brojem stadija RK metode, i on oznacava koliko puta moramo

izvred-njavati funkciju f u svako koraku metode. Razliciti izbor koe cijenata !_j; c_j i _jl de nira

razlicite RK metode.

Iz gornjeg izraza vidimo da se funkcije k_j javljaju s obje strane jednad be, tj. zadane

Koe cijenati !_j; c_j i _jl se najceš´ce biraju tako da red metode bude što je mogu´ce

ve´ci. U praksi se najceš´ce koriste metode kod kojih je _jl = 0 za l j: Naime, u tom

slucaju k_j mo emo izracunati preko k₁; : : : ; k_{j 1}; pa su funkcije k_j zadane eksplicitno.

Takve Runge-Kuttine metode nazivamo eksplicitnim RK metodama. Nadalje, obicno se dodaje i uvjet

r

X

j=1

jl = cj:

Smisao ovog uvjeta bit ´ce objašnjen kasnije.

Što se tocno doga ¯da i kako se biraju koe cijenti najbolje ´cemo vidjeti iz jednoga prim-jera.

5 Primjer: Eksplicitna RK metoda s dva stadija

Pretpostavimo da za r = 2 imamo ispunjene prije spomenute uvjete na koe cijente

jl; tj. da se radi o eksplicitnoj metodi. Tada imamo samo jedan nepoznati koe cijent jl = i vrijedi (x; y; h) = 2 X j=1 !_jk_j (x; y; h) = !₁k₁ (x; y; h) + !₂k₂(x; y; h) ; k₁ = k1(x; y; h) = f (x; y) ; k₂ = k2(x; y; h) = f (x + h; y + hk1) :

Razvojem k₂ u Taylorov red reda 2 oko nule po varijabli h dobijemo k₂ = f + h (fx + fy f ) +

h2

2 fxx

2 _{+ 2f}

Razvoj u Taylorov red reda 3 rješenja y diferencijalne jednad be y0 = f ima oblik y (x + h) = y (x)+hf +h 2 2 (fx + fyf )+ h3 6 fxx + 2fxyf + fyyf 2 _{+ f} y (fx + fyf ) +O h4 :

Koristili smo pravila deriviranja

y00 = f_x + f_yf;

y000 = f_xx + 2f_xyf + f_yyf2 + f_y (f_x + f_yf ) :

Sada je lokalna pogreška diskretizacije jednaka

y (x + h) y (x) h (x; y (x) ; h) = y (x + h) y (x) h !1k1 (x; y; h) + !2k2 (x; y; h) = (1 !₁ !₂) f + h (f_x + f_yf ) 1 2 !2 +h2 f_xx + 2fxyf + fyyf2 1 6 !₂ 2 2 + 1 6fy (fx + fyf ) + O h 3 _:

Da bi metoda bila reda jedan koe cijente treba odabrati tako da se poništi prvi clan u razvoju (tj. clan kod kojeg se javlja h0), dakle treba biti

1 !₁ !₂ = 0:

Ako je još ispunjeno i

1

2 !2 = 0;

metoda ´ce bit reda dva jer ´ce isceznuti clan uz h1: Kako imamo tri nepoznanice i dvije

jednad be, ocito nam za dobiti jedinstveno rješenje manjka barem jedna jednad ba. Uvo ¯denjem slobodnog koe cijenta t dobivamo jedno mogu´ce parametarsko rješenje

gornjeg sustava:

!_{2 = t 6= 0; !1} = 1 t; = 1 2t:

U posebnom slucaju !₂ = 0 radi se o metodi s jednim stadijem, i to upravo o Eulerovoj

metodi.

Za !₂ = t = 1 dobijemo modi ciranu Eulerovu metodu kod koje je (x; y; h) = f x + h

2; y + h

2f (x; y) :

Za !₂ = t = 1=2 dobijemo Heunovu metodu kod koje je (x; y; h) = 1

2 (k1 + k2) ; k₁ = f (x; y) ;

6 Eksplicitne RK metode s cetiri stadija (RK-4

metode)

U praksi najceš´ce susre´cemo RK metode s cetiri stadija. Odgovaraju´ce jednad be koje moraju zadovoljavati nepoznati koe cijenti RK-4 metoda su:

!₁ + !2 + !3 + !4 = 1 (R1) !₂c₂ + !3c3 + !4c4 = 1 2 (R2) !₂c2₂ + !3c2₃ + !4c2₄ = 1 3 (R3a) !₃c_{2 32} + !₄(c_{2 42} + c_{3 43}) = 1 6 (R3b)

!₂c3₂ + !3c3₃ + !4c3₄ = 1 4 (R4a) !₃c2_{2 32} + !₄ c2_{2 42} + c2_{3 43} = 1 12 (R4b) !₃c₂c_{3 32} + !₄ (c_{2 42} + c_{3 43}) c₄ = 1 8 (R4c) !₄c_{2 32 43} = 1 24 (R4d) Pri tom je c₁ = 0; c2 = 21; c3 = 31 + 32; c4 = 41 + 42 + 43:

Dakle, vidimo da (nakon sre ¯divanja) imamo 8 jednad bi i 10 nepoznatih koe cijenata. Naglasimo sljede´ce: ako elimo metodu reda 1, onda treba biti ispunjen samo uvjet

(R1) ; ako elimo metodu reda 2, onda treba biti ispunjen i uvjet (R2) ; ako elimo

metodu reda 3, onda trebaju biti ispunjeni i uvjeti (R3a) i (R3b) i tako dalje. U

najbol-jem slucaju imat ´cemo osam jednad bi, što u konacnici zna´ci najmanje dva slobodna parametra u rješenju.

Napomenimo da metoda s cetiri stadija (RK-4 metoda) mo e biti najviše reda 4: dva stupnja slobode iz sustava jednad bi ne mogu se iskoristiti tako da se red metode podigne na 5. Op´cenito, za metode s jednim, dva, tri ili cetiri stadija red metode u najboljem slucaju odgovara broju stadija. Za metode s 5, 6 i 7 stadija najve´ci mogu´ci red je redom 4, 5 ili 6, dok je za metode s 8 ili više stadija najve´ci mogu´ci red barem za dva manji od broja stadija. Upravo to je razlog što su metode s cetiri stadija najpopularnije. Naime, da bismo pove´cali red za jedan (s 4 na 5) moramo pove´cati broj stadija za dva (s 4 na 6), a to znatno uve´cava slo enost metode.

7 Neke poznate RK-4 metode

7.1 Klasicna Runge-Kutta metoda

= 1 6 (k1 + 2k2 + 2k3 + k4) ; k₁ = f (x; y) ; k₂ = f x + h 2; y + h 2k1 ; k₃ = f x + h 2; y + h 2k2 ; k₄ = f (x + h; y + hk3) :

7.2 3/8 metoda

= 1 8 (k1 + 3k2 + 3k3 + k4) ; k₁ = f (x; y) ; k₂ = f x + h 3; y + h 3k1 ; k₃ = f x + 2h 3 ; y h 3k1 + hk2 ; k₄ = f (x + h; y + h (k1 k2 + k3)) :

7.3 Gillova metoda

= 1 6 k1 + 2 p 2 k2 + 2 + p 2 k3 + k4 ; k₁ = f (x; y) ; k₂ = f x + h 2; y + h 2k1 ; k₃ = f x + h 2; y + h p 2 1 2 k1 + h 2 p2 2 k2 ! ; k₄ = f x + h; y h p 2 2 k2 + h 2 + p2 2 k3 ! :

8 O koe cijentima Runge-Kuttine metode

Iz prethodnog smo vidjeli da za RK metode s 2 i 4 stadija treba vrijediti

X

j

!_j = 1

da bi one bile konzistentne s redom barem 1. To op´cenito vrijedi za sve RK metode, a o tomu nam govori sljede´ci teorem.

TEOREM. Runge-Kuttina metoda sa s stadija ima red konzistencije barem 1 ako i samo

ako vrijedi

s

X

j=1

DOKAZ. Teorem srednje vrijednosti daje nam ocjene

y (x + h) = y (x) + hy0 _{(x) + O1} h2

i

k_j = f x + c_jh; y + hX

l jlkl = f (x; y) + O2 (h) ;

pa lokalna greška diskretizacije koja je dana s

(x; h) = y (x + h) y (x) h X j !_jk_j zadovoljava jednakost (x; h) = y0 _{(x) + O1}(h) X j !j (f (x; y) + O2(h)) :

Budu´ci je y rješenje diferencijalne jednad be y0 = f (x; y) ; to vrijedi (x; h) = f (x; y) + O1(h) X j !j (f (x; y) + O2 (h)) = f (x; y) 1 X j !j + O3(h) :

Sljede´ca zanimljivost je vezana uz odre ¯divanje koe cijenata c_j: Ve´c smo prije spomenuli

da je uobicajen izbor c_j = P_{l jl}: Me ¯dutim, ostaje pitanje da li je takav izbor najbolji?

Odgovor je da i o tomu nam govori naredni teorem. TEOREM. Neka je RK metoda zadana s

y_i+1 = y_i + h s X j=1 ek_j; ek_j = f x + _ecj; y + h s X l=1 jlekl !

reda konzistencije p;_e te neka je p red konzistencije metode zadane s y_i+1 = yi + h s X j=1 k_j; k_j = f x + c_j; y + h s X l=1 jlkl ! ; pri cemu je c_j = s X l=1 jl: Tada je p p:_e

9 Konvergencija jednokoracnih metoda

U ovom odjeljku ´cemo promatrati ponašanje konvergencije pribli nog rješenja y_i

do-bivenog nekom jednokoracnom metodom.

Oznacimo s F_n(a; b) prostor svih funkcija f : (a; b) _{R ! R} kojima su sve

parci-jalne derivacije do ukljucivo reda n neprekidne i ogranicene. U daljnjem tekstu ´cemo

pretpostavljati da je promatrana funkcija f _{2 F1}(a; b) ; a s y ´cemo oznaciti egzaktno

rješenje pocetnog problema

y0 = f (x; y) ; y (x₀) = y0; x0 2 [a; b] ; y0 2 R:

Uocimo da pretpostavka f _{2 F1} (a; b) povlaci egzistenciju i jedinstvenost rješenja y na

intervalu [a; b] :

Neka (x; y; h) de nira jednokoracnu metodu

y_i+1 = y_i + h (x_i; y_i; h) ; i = 0; 1; 2; : : :

Za ksirani x _{2 [a; b]} de niramo korak

h_n = x x0 n

i globalnu pogrešku diskretizacije

e (x; h_n) = yn y (x) :

Promatrat ´cemo globalnu pogrešku diskretizacije kada n _{! 1} jer tada h_{n ! 0} i x_n = x:

DEFINICIJA. Jednokoracna metoda je konvergentna ako za sve x _{2 [a; b]} i sve f ₂ F₁ (a; b) vrijedi

lim

n_!1e (x; hn) = 0:

Ono što je za nas znacajno jest da su sve jednokoracne metode reda p > 0

konver-gentne i da, štoviše, vrijedi

e (x; h_{n) = O (h}p_n) :

LEMA. Ako brojevi _i zadovoljavaju ocjenu oblika j i+1j (1 + ) j ij + B; > 0; B 0; i = 0; 1; 2; : : : onda vrijedi j nj en j 0j + en 1 B:

DOKAZ. Iz pretpostavke leme odmah slijedi

j nj (1 + ) n j 0j + h 1 + (1 + ) + (1 + )n 1 i B = (1 + )n _{j 0j +} (1 + ) n 1 B en _{j 0j +} e n ₁ B; jer je 0 1 + < e za > 1

TEOREM. Za dane x_{0 2 [a; b]} i y_{0 2 R} promatramo pocetni problem y0 = f (x; y) ; y (x₀) = y₀;

koji ima jedinstveno rješenje y (x) : Neka je funkcija neprekidna na skupu G = _{f(x; y; h) j x 2 [a; b] ; jy} y (x)_j ; _jhj h_0g

za neke h₀; > 0. Nadalje, neka postoje pozitivne konstante M i N takve da vrijedi j (x; y1; h) (x; y2; h)j M jy1 y2j

za sve (x; y1; h) ; (x; y2; h) 2 G i

j (x; h)j = j (x; h) (x; y (x) ; h)j N _jhjp; p > 0

za sve x _{2 [a; b] ; h} h₀: Tada postoji h _{2 (0; h0}] takav da za globalnu pogrešku

diskretizacije vrijedi nejednakost

je (x; hn)j jhnjp N

eMjx x0j 1

M

DOKAZ. Funkcija e de nirana s e (x; y; h) = 8 < : (x; y; h) ; _{(x; y; h) 2 G} (x; y (x) + ; h) ; x 2 [a; b] ; jhj h₀; y y (x) (x; y (x) ; h) ; x _{2 [a; b] ; jhj} h₀; y y (x)

je ocigledno neprekidna na skupu

e

G = _{f(x; y; h) j x 2 [a; b] ; y 2 R; jhj} h_0g

i za sve (x; y1; h) ; (x; y2; h) 2 eG zadovoljava uvjet

Zbog

e (x; y (x) ; h) = (x; y (x) ; h)

tako ¯der vrijedi

(x; h) e (x; y (x) ; h) N _jhjp ; x _{2 [a; b] ; jhj} h₀: (4)

Pretpostavimo da jednokoracna metoda generirana s e de nira aproksimacije y_ei za y (x_i) ; pri cemu je x_i = x0 + ih; tj.

e

y_i+1 = y_ei + he (x_i;ye_i; h) ; i = 0; 1; 2; : : :

Zbog

y (x_i+1) = y (xi) + h (xi; h)

za pogrešku _eei = y_ei y (x_i) lako dobijemo rekurzivnu formulu eei+1 = eei + h

h

e (x; eyi; h) e (x; y (xi) ; h)

i

No iz (3) i (4) imamo

e (x_i; y_ei; h) e (x_i; y (x_i) ; h) M _jey_i y (x_{i)j = M je}e_{ij ;} e (x_i; y (x_i) ; h) (x_i; h) N _jhjp ;

pa dobivamo i rekurzivnu ocjenu

jee_{i+1j (1 + jhj M) je}e_{ij + N jhj}p; i = 0; 1; 2; : : :

pri cemu je _ee0 = y_e0 y (x₀) = 0: Iz prethodne leme lako slijedi

jee_ij N _jhjp e

M_{jx x}ij 1

Neka je sada x _{2 [a; b] ; x 6= x0}, ksiran i h = h_n = (x x_{0) =n; n 2 N:} Tada zbog x_n = x₀ + nh = x; _{ee(x; hn}) = _een vrijedi jee (x; h_n)j N _jhjp e M_{jx x}0j 1 M

za sve x _{2 [a; b]} i sve h_n za koje je ispunjeno _jhnj h₀: Budu´ci je _jx x_{0j jb} a_j i > 0; to postoji h _{2 (0; h0}] takav da je _jee (x; h_n)j za sve x _{2 [a; b]} i sve h_n za koje

je ispunjeno _jhnj h₀: Drugim rijecima, za jednokoracnu metodu generiranu funkcijom

prirasta zbog de nicije e za _jhj h₀ imamo ispunjeno e

y_i = yi; eei = ei; e (xi; yei; h) = (xi; yi; h) :

Tvrdnja teorema, dakle, slijedi za sve x _{2 [a; b]} i sve h_n = (x x_{0) =n; n 2 N;} uz jhnj h

10 Višekoracne metode