Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pembelajarannya. Jurusan Matematika, FMIPA UM. 13 Agustus 2016

Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pembelajarannya. Jurusan Matematika, FMIPA UM. 13 Agustus 2016

METODE NUMERIK STEPEST DESCENT DENGAN ARAH PENCARIAN

RERATA ARITMATIKA

Rukmono Budi Utomo

Universitas Muhammadiyah Tangerang

rukmono.budi.u@mail.ugm.ac.id

rukmono.budi.u@students.itb.ac.id

Abstrak

Penelitian ini mengkaji tentang Metode numerik Stepest Descent dengan arah pencarian Rerata Aritmatika. Penelitian dilakukan dengan memahami terlebih dahulu mangenai metode numerik Stepest Descent dengan arah pencarian gradien beserta algoritmanya. Setelah itu dikonstruksi metode numerik Stepest Descent dengan arah pencarian Rerata Aritmatika beserta algoritmanya. Dalam penilitian ini juga diberikan contoh penggunaan kedua metode numerik dalam menyelesaikan masalah optimisasi tanpa kendala beserta analisinya.

Kata kunci: metode numerik steepest descent, arah pencarian gradien, rerata aritmatika

PENDAHULUAN

Tidak selamanya solusi analitik dari suatu permasalahan matematika khususnya masalah optimisasi dapat dengan mudah ditemukan. Terkadang ditemukan kendala yang cukup rumit sehingga solusi analitik dari permasalahan optimisasi tersebut tidak mudah ditemukan. Berdasarkan hal tersebut solusi numerik merupakan sesuatu hasil yang cukup realistis untuk dicari meski hasilnya merupakan hampiran atau pendekatan. Metode numerik merupakan suatu metode pendekatan (approximation) dari solusi sejati, dan berdasarkan hal tersebut terdapat besarnya angka kesalahan (eror) yang dihasilkan oleh perhitungan numerik. Kesalahan ini lebih sering diakibatkan baik karena pemotongan suku atau pembulatan nilai. Masalah optimisasi merupakan persoalan yang banyak menggunakan metode numerik dalam mencari solusi penyelesaian tatkala solusi analitik sulit ditemukan.

Menurut kendalanya (constrain), masalah optimisasi dibagi dua yakni masalah optimisasi dengan kendala dan tanpa kendala, sedangkan menurut variabel bebasnya masalah optimisasi juga dibagi atas dua, yakni masah optimisasi dengan satu variabel bebas dan banyak variabel bebas.Masalah optimisasi juga dibagi atas dua bagian berdasarkan banyaknya fungsi objektif yang dioptimalkan, yakni masalah optimisasi dengan satu fungsi objektif dan banyak fungsi objektif.

Metode numerik untuk menyelesaikan masalah optmisasi dengan kendala dapat menggunakan metode Kuhn-Tucker atau pengali Lagrange, sedangkan untuk masalah optimisasi tanpa kendala dengan satu variabel bebas dapat menggunakan metode Golden Rasio, Fibonacci, Biseksi, Dichotomus dan Secant. Lebih lanjut untuk menyelesaikan masalah optmisasi dengan lebih dari satu variabel bebas dapat menggunakan metode Aksial, Newton, Hook and Jeeves, Stepest Descent, Arah Konjugasi, dan Rosenberg. Untuk menyelesaikan masalah optimisasi dengan banyak fungsi objektif dapat menggunakan program linear multi objektif, namun hal tersebut tidak dibahas dalam tulisan ini

Makalah ini membahas mengenai metode numerik Steepest Descent degan arah pencarian (direction) berupa rerata aritmatika. Diketahui bahwa metode Steepest Descent pada umumnya menggunakan arah pencarian gradien biasa

d

_k

 

Z X

 

_k , sedangkan pada

penelitian ini arah pencarian dimodifikasi menjadi rerata aritmatika

 

1 n k k k

Z X

d

n



 





dan

 

1

 

2 k k k

Z X

Z X

d

n













. Penelitian dilakukan dengan memahami terlebih dahulu mengenai metode numerik Steepest Descent dengan arah pencarian gradien biasa kemudian menyusun algoritma untuk metode Steepest Descent dengan arah pencarian rerata aritmatika Dalam tulisan ini juga akan diberikan contoh perhitungan numerik untuk metode Steepest Descent dengan kedua arah pencarian tersebut beserta analisis dan perbandingan keakuratan solusi antara keduanya.

PEMBAHASAN Definisi Ruang Vektor

Himpunan tak kosong V merupakan ruang vektor apabila x y z V, ,  dan a b, R sedemikian hingga memenuhi aksioma-aksioma sebagai berikut:

i.

x

 

y V

ii. x  y y x iii.



x



y



  

z

x



y



z



iv.

 

0 V

0

   

V

V

0

0

v.

     

0

V

x

 

x

0

vi. ax V vii.

a x





y





ax ay



viii.



a b x







ax bx



ix.

 

ab x



a bx

 

x. 1xx Definisi Norm

Diberikan X Y,

sembarang

dua vektor. Sembarang bilangan riil ||X ||dinamakan norm dari

X

apabila memenuhi aksioma-aksioma sebagai berikut i. |X || 0

ii.

||

aX

|| 0

 

X



0

iii. ||aX|| | ||| a X||,aR

iv. |XY|| || X||||Y||

Definisi Ruang Bagian

Himpunan bagian Wdari V disebut ruang bagian dari V jika W ruang vektor dengan operasi jumlah dan kali sama seperti V

Definisi Kombinasi Linear

MisalkanXi , 1 i m vektor-vektor di V maka

X

disebut kombinasi linear dari vektor-vektor i X jika 1 m i i i X a X  



Definisi Bebas Linear

VektorX_i, 1 i m anggota-anggota V disebut tak bebas linear jika dan hanya jika terhadap bilangan-bilangan riil tak semuanya nol sedemikian hingga

1 0 m i i i a X  



. Apabila pembuat nol hanya

a

i



0

, maka vektor-vektor tersebut dikatakan bebas linear.

Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pembelajarannya. Jurusan Matematika, FMIPA UM. 13 Agustus 2016

Definisi Basis Ortonormal.

Basis ortonormal di 2didefinisikan sebagai l₁

 

1, 0 Tdan l₂ 

 

0,1T, sedangkan untuk n basis ortonormal didefinisikan sebagail₁



1, 0, , 0



T,l₂ 



0,1, , 0



T, ,l_n 



0, 0, ,1



T

Definisi Hubungan Dua Vektor

Diberikan dua buah vektor X Y, dengan X { ,x x_{1 2},...,x_n}dan

Y



{ ,

y y

_{1 2}

,...,

y

_n

}

. Pernyataan berikut dapat dibuktikan benar

i.

X



Y

jika dan hanya jika x_i  y_i

 

i i

,

1, 2,...,

n

ii.

X



Y

jika dan hanya jika x_i y_i

 

i i

,

1, 2,...,

n

iii.

X



Y

jika dan hanya jika x_i  y_i

 

i i

,

1, 2,...,

n

Definisi Bola Terbuka

Diberikan x₀ n serta





0

. Himpunan

B x



₀

,









x



n

x

₀

 

x





merupakan persekitaran



dari

x

₀atau disebut bola terbuka dengan pusat

x

₀dan radius



.

Definisi Titik Dalam

Titik 0

n

x  X disebut titik dalam (interior point) dari himpunan

X

jika

 



0

sehingga



0

,



B x





X

Definisi Titik Batas

Titik

x

₀

 

X

ndisebut titik batas (boundary point) dari himpunan

X

jika setiap sekitar



dari

x

₀ memuat beberapa titik yang berada di

X

dan beberapa titik yang tidak berada di

X

Definisi Komplemen Suatu Himpunan

Jika

X



n,maka himpunan n



X

yang memuat semua titik-titik yang ada di nnamun tidak dari

X

disebut komplemen dari

X

.

Definisi Himpunan Terbuka

Himpunan

X

disebut himpunan terbuka jika setiap titik dari

X

merupakan titik dalam dari

X

. Lebih lanjut himpunan

Y

merupakan himpunan tertutup jika merupakan komplemen dari himpunan terbuka.

Definisi Himpunan Tertutup

Himpunan

X

disebut hinmpunan tertutup jika himpunan tersebut memuat semua titik batasnya.

Teorema Himpunan Tertutup

Sebarang irisan dari himpunan tertutup adalah tertutup.

Definisi Himpunan Terbatas

Himpunan Sdikatakan terbatas jika terdapat M 0sehingga  x S, berlaku

x



M

Definisi Himpunan Terbatas Ke atas

Himpunan S dikatakan terbatas ke bawah jika

y



n dengan semua komponennya berhingga sedemikian hingga  x S y, x, sebaliknya Sdikatakan terbatas ke atas

Definisi Bentuk Kuadratik

2 2 2

11 1 2 2 12 1 2 1,3 1 3 23 2 3

( )

2

...

_{nn n}

...

...

F X



c x



c

x

 

c x



c x x



c x x

 

c x x



dengan

c

ij



R

,

1i j, n, disebut fungsi bentuk kuadratik dengan

n

variabel bebas x x₁, ₂,...,x_n

Definisi Fungsi Definit

Bentuk kuadratik T

X AX

disebut positif (negatif) definit jika X AXT  ( )0 untuk semua 0

X  dan terdapat sekurangnya satu vektor tak nol sedemikian hingga T 0

X AX  . Apabila tidak memenuhi keduanya, maka bentuk kuadratik tersebut dikatakan indefinite

Teorema Fungsi Definit

Suatu matriks

A

dikatakan

i. Positif definit jika dan hanya jika



_i



0

ii. Negatif definit jika dan hanya jika



_i



0

iii. Positif semi definit jika dan hanya jika



_i



0

iv. Negatif semi definit jika dan hanya jika



_i



0

dengan



_i merupakan nilai-nilai eigen dari matriks A dan ketidaksamaan dicapai untuk sekurang-kurangnya satu

j

. Lebih lanjut apabila



_itidak memenuhi butir i,ii,iii, dan iv maka matriks

A

disebut indefinite

Definisi Minimum Global

Fungsi F x( )dikatakan memiliki minimum global di

x

₀ dalam Sjika f x( ) f x( )₀

Definisi Minimum Lokal Relatif

Fungsi F x( )dikatakan memiliki minimum lokal di

x

0 dalam Sjika terdapat sekitar



dari

x

0 sedemikian hingga f x( ) f x( )₀ untuk setiap

x

di dalam persekitaran tersebut.

Definisi Deret Taylor

Deret Taylor untuk fungsi F X( ) dengan X { ,x x1 2,...,xn}didefinisikan sebagai

'

( )

3 2

(

)

( )

( )

X

( )(

)

F X

  

x

F X

 

F X

 

X



H X

 

x



dengan



₃ merupakan suku berderajat besar, dan

H X

( )

merupakan metrik Hessian yang didefinisikan sebagai

2 2 2 2 1 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2

..

.

.

.

n n n n n

F

F

F

x

x x

x x

F

F

F

H

x x

x

x x

F

F

F

x x

x x

x







_







_

_

_









_

_

_









 

_





_



_

_{  }





















_

_

_







Syarat perlu agar

X

merupakan titik ekstrim dari fungsi F X( )adalah F X( )0 dengan

1 2

( )

,

,...,

n

F

F

F

F X

x

x

x













_{ }

_











Algoritma Stepest Descent

Diberikan Z F X( )F x x( ,_{2 2},.,x_n) dan akan ditentukan nilai X { ,x x_{1 2},.,x_n}yang meminimalkan fungsi F X( ) tersebut

i. Ambil 1

{ ,

1 2

,.,

}

n n

X



x x

x



R

yang merupakan sembarang titik awal dan



0 yang merupakan suatu konstanta positif yang menyatakan besarnya kesalahan eror yang ditoleransi.

ii. Dibentuk fungsi gradient

 

1 2

,

,

,

n

Z

Z

Z

Z X

x

x

x













_{ }

_











dan tentukan



Z X

 

1 serta

lakukan untuk



Z X

 

_k

Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pembelajarannya. Jurusan Matematika, FMIPA UM. 13 Agustus 2016

iv. Tentukan



_k dengan cara mencari titik ekstrim

Z X



_k





_k

d

_k



yakni dengan cara menderivatifkan fungsi

Z X



_k





_k

d

_k



dan menyamadengankan nol dengan arah pencarian

d

_k

 

Z X

 

_k

v. Nilai

X

_k ditentukan dengan

X

_k



X

_k1





_k1

d

_k1

Berdasarkan algoritma Stepest Descent dngan arah pencarian gradien

d

_k

 

Z X

 

_k , akan dikembangkan suatu metode Stepest Descent dengan arah pencarian rerata aritmatika.

Algoritma Stepest Descent Dengan Arah Pencaraian Rerata Aritmatika

Diberikan fungsi Z F X( )F x x( ,_{2 2},.,x_n) dan akan ditentukan X { ,x x_{1 2},.,x_n}yang meminimalkan fungsi F X( ) tersebut

i. Ambil X₁ { ,x x_{1 2},.,x_n}Rn titik sembarang titik awal dan



0suatu konstanta positif yang menyatakan besarnya kesalahan eror yang ditolerasnsi.

ii. Dibentuk

 

1 2

,

,

,

n

Z

Z

Z

Z X

x

x

x













_{ }

_











kemudian tentukan untuk



Z X

 

k

,

1, 2, ,

k  n

iii. Apabila Z X

 

_k 



, maka iterasi berhenti, sebaliknya iterasi dilanjutkan

iv. Cari



_k dengan cara mencari titik ekstrim

Z X



_k





_k

d

_k



yakni dengan cara menderivatifkan

Z X



_k





_k

d

_k



dan menyamadengankan nol dengan atrah pencarian

 

1 n k k k

Z X

d

k



 





dan

 

1

 

2 k n k k k

Z X

Z X

d

n

 











Contoh Numerik 1

Tentukan nilai X { ,x x_{1 2}} yang meminimalkan

Z x x

( ,

_{1 2}

)



2

x

₁2



x

₂2



3

x

₁



x

₂dengan menggunakan metode Stepest Descent dengan toleransi kesalahan



0.03

Solusi Stepest Descent dengan Arah Pencarian Gradien

Ambil sebarang titk awal 1 2 1

{ 1, }

2

X

 



R

. Berdasarkan masalah optimisasi di atas dapat ditentukan



Z X

  

1

 

7, 0



. Karena norm Z X

 

1  7



maka iterasi dilanjutkan dengan arah pencarian

d

₁

 

Z X

   

₁



7, 0

dan berdasarkan hal tersebut dapat diperoleh ₁ 1

4



 . Apabila dicari lebih lanjut, akan diperoleh nilai ₂

3 1

,

4 2

X

 











dengan nilai gradien

   

2

0, 0

Z X





dan norm Z X

 

₂  0



. Berdasarkan hal tersebut iterasi berhenti sehingga nilai

X

2





x x

1

,

2



yang meminimalkan masalah optimisasi di atas adalah

2 3 1 , 4 2 X   _  .

Karena Z X

 

₂  0



hal ini mengindikasikan bahwa solusi numerik ini sama dengan solusi analitiknya. Pada penyelesaian masalah optimisisasi tanpa kendala di atas, terlihat bahwa untuk nilai awal 1 2

1 { 1, }2

X   R dan arah pencarian

d

k

 

Z X

 

k , solusi numerik yang dihasilkan sama dengan solusi analitik yakni 3 1,

4 2

X   _

 dan langkah pengerjaannya hanya

menbutuhkan dua iterasi.

Solusi Stepest Descent dengan Arah Pencarian Rerata Aritmatika

Tetap diambil sebarang titk awal 1 2 1 { 1, }2

X   R . Berdasarkan masalah optimisasi di atas dapat

ditentukan



Z X

  

₁

 

7, 0



. Karena norm Z X

 

₁  7



maka iterasi dilanjutkan dengan

arah pencarian

d

₁

 

Z X

   

₁



7, 0

dan berdasarkan hal tersebut dapat diperoleh ₁ 1

4



 . Apabila dicari lebih lanjut, akan diperoleh nilai ₂ 3 1,

4 2

X   _

  dengan



Z X

   

2



0, 0

dan dengan arah pencarian rerata sebagai berikut

 

_{ }

_{ }

 

2 1 2 1 7 2 2

, 0

2

k k

Z X

Z X

Z X

d

k



 

_

_{ }







 

_

_









. Karena



Z X

 

₂

 

0



, iterasi tetap harus berhenti dan solusi numeric steepest descent dengan arah pencarian rerata aritmatika ini sama dengan solusi dari metode steepest descent dengan arah pencarian gradien biasa yakni

3 1 , 4 2 X      Contoh Numerik 2

Pandang kembali contoh numerick1. Apabila diambilX₁  { 1,1}R2, penyelesaian akan coba dilakukan dengan metode Steepest Descent dengan kedua jenis arah pencarian.

Solusi Stepest Descent dengan Arah Pencarian Gradien

Berdasarkan hal tersebut diperoleh



Z X

 

₁

 



7,1



dengan norm Z X

 

₁  50



. Karena norm masih lebih besar dari



, maka iterasi dilanjutkan. Arah pencarian

  



1 1

7, 1

d

 

Z X





dan berdasarkan hal tersebut dapat diperoleh ₁ 50

198



 . Apabila dicari lebih lanjut, diperoleh ₂ 76 74,

99 99

X   _

  dengan



Z X

 

2





0.070, 0.494



dan nilai norm

 

2 0.498

Z X



   , berdasarkan hal tersebut iterasi dilanjutkan. Dengan cara yang sama, diperoleh

d

2

 

Z X

 

2

 



0.070, 0.494





sehingga berdasarkan hal tersebut dapat diperoleh



₂ 0.49. Lebih lanjut diperoleh nilai

X

3





0.732, 0.504



dengan nilai gradien

  

3

0.072, 0.008



Z X

Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pembelajarannya. Jurusan Matematika, FMIPA UM. 13 Agustus 2016

Proses dilanjutkan sehingga diperoleh arah pencarian

d

₃

 

Z X

  

₃



0.072, 0.008





dan 3 0.25



 .Berdasarkan hal tersebut diperoleh ₄ 3 1, 4 2

X   _

  dengan nilai gradien

   

4

0, 0

Z X





dan Z X

 

₄  0



sehingga iterasi berhenti dan solusi numeriknya juga merupakan solusi analitik.

Solusi Stepest Descent dengan Arah Pencarian Rerata Aritmatika

Diambil 2

1 { 1,1}

X   R sebarang nilai awal. Berdasarkan hal tersebut diperoleh nilai gradien

  

1

7,1



Z X



 

dengan norm Z X

 

₁  50 



. Karena norm masih lebih besar dari



,

maka iterasi dilanjutkan. Karena arah pencarian

d

₁

 

Z X

  

₁



7, 1





maka berdasarkan hal tersebut dapat diperoleh ₁ 50

198



 . Apabila dicari, maka akan diperoleh nilai ₂ 76 74, 99 99

X   

 

dengan nilai gradient



Z X

  

₂



0.070, 0.494



dan norm Z X

 

₂ 0.498



. Nilai arah

pencarian

 

_{ }

  



2 1 2 1 2

3.465, 0.747

2

2

k k

Z X

Z X

Z X

d



 

_

_

_{ }

_



 

_

_











.Berdasarkan hal tersebut diperoleh



₂ 0.0053 sehingga dapat ditemukan nilai

X

₃





0.786, 0.743



.

Lebih lanjut



Z X

  

₃



0.144, 0.486



dengan norm Z X

 

₃ 0.506



. Karena

norm masih lebih besar dari



, maka iterasi dilanjutkan. Dengan cara yang sama akan diperoleh





3

2.262, 0.66

d





dengan



₃  0.00023 sehingga dapat ditemukan

X

₄





0.785, 0.743



dengan



Z X

  

₄



0.14, 0.486



dan norm Z X

 

₄ 0.505



. Iterasi dilanjutkan sehingga diperoleh

d

₄





1.661, 0.616





dan



₄



0.0056

. Berdasarkan hal demikian diperoleh nilai

X

₅





0.794, 0.739



dengan nilai gradient



Z X

 

₅





0.176, 0.478



dan

 

5 0.504

Z X



   . Terlihat bahwa nilai 2 1

x  semakin menjauhi nilai aslinya yakni 1

0.75

x



namun untuk x₂ 2terlihat mendekati nilai aslinya yakni x₂ 0.5 2meski

membutuhkan iterasi yang panjang. Dengan demikian dengan cara ini, iterasi akan tetap berhenti saat Z X

 

_k 



, dengan nilai

x

₂yang semakin akurat dengan solusi asli namun tidak sama

halnya dengan

x

₁ yang justru menjauhi nilai aslinya.

Lebih lanjut apabila arah pencarian rerata aritmatika didefinisikan dengan

 

1

 

2 n k k k

Z X

Z X

d

n













, maka akan diperoleh nilai arah pencarian

 

 

_{ }

  



2 1 1 2 2 2

3.535, 0.253

2

2

k k

Z X

Z X

Z X

Z X

d









_

_

_{ }

_





_

_











. Berdasarkan hal tersebut diperoleh



₂  0.0024 sehingga dapat ditemukan nilai

X

₃





0.759, 0.748



. Lebih lanjut



Z X

  

₃



0.036, 0.496



dengan



Z X

 

₃



0.497





. Karena norm masih

lebih besar dari



, maka iterasi dilanjutkan. Dengan cara yang sama diperoleh





3

2.368, 0.0033

d





dengan nilai



₃  0.0037 sehingga dapat ditemukan nilai





4

0.75, 0.748

X



dengan



Z X

  

₄



0, 0.496



dan

Z X

 

₄ 0.496



. Dari sini

terlihat bahwa nilai 2 1

x  telah sama dengan nilai aslinya yakni

x

1



0.75

, namun

2 2

x 

terlihat menjauhi nilai aslinya. Iterasi tetap akan berhenti di suatu keadaan karena nilai

 

k

Z X

 semakin kecil mendekati nilai epsilon.

KESIMPULAN DAN SARAN

Penelitian ini memberikan beberapa kesimpulan dan saran yang diuraikan dalam beberapa poin dibawah ini

Kesimpulan

Dari penelitian yang telah dilakukan, terdapat beberapa hal yang dapat disimpulkan:

i. Dalam suatu masalah optimisasi dua variabel tanpa kendala dengan nilai awal tertentu 1

X

, solusi numerik Stepest Descent dengan arah pencarian gradien biasa dan aritmatika akan menghasilkan solusi yang identik dengan solusi analitik pada masalah optimisasi yang dibahas dalam tulisan ini.

ii. Solusi masalah optimisasi dengan metode steepest descent dengan arah pencarian rerata aritmatika menghasilkan salah satu nilai dari x i_i, 1, 2 yang menjauhi niai aslinya.

Untuk metode steepest descent dengan arh pencarian

 

1 k k k k

Z X

d

k



 





menghasilkan nilai

x

₂yang semakin akurat dengan solusi asli namun tidak sama halnya dengan

x

₁yang justru menjauhi nilai aslinya. Sedangkan untuk Steepest Descent dengan arah pencarian

 

1

 

2 n k k k

Z X

Z X

d

n













akan terbentuk nilai x₁ 2 yang telah sama dengan nilai aslinya yakni

x

1



0.75

, namun

2 2

x  terlihat menjauhi nilai aslinya. Terlepas dari hal tersebut, suatu saat iterasi akan berhenti di suatu kondisi karena nilai Z X

 

_k

yang semakin kecil mendekati nilai epsilon.

Saran

Perlu dikonstrusi arah pencarian rerata aritmatika yang pas agar baik nilai

x

₁ maupun

x

₂ yang dihasilkan dapat menuju pada nilai yang seharusnya, yakni mendekati atau sama dengan solusi asalitiknya. Lebih lanjut perlu diselidiki untuk masalah optimisasi yang lain dengan nilai awal

1

X

tertentu agar ditemukan kesimpulan umum mengenai kecepatan iterasi menemukan solusi pada metode numerik Steepest Descent dengan arah pencarian gradient biasa dengan gradien rerata aritmatika

.

Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pembelajarannya. Jurusan Matematika, FMIPA UM. 13 Agustus 2016

DAFTAR RUJUKAN

Anton, Howard. 1991. Aljabar Linier Elementer: Penerjemah Pantur Silaban. Jakarta:

Erlangga

Bober, William. 2014. An Introduction to Numerical and Analytical Methods with Matlab

for Engineers and Scientist. London: Taylor and Francis Group

Bazaraa. S. Mochtar. 2006. Nonlinear Programming Theory and Algorithms. London:

John-Willey Inter Science

Epperson, James. 2013. An Introduction to Numerical Methods and Analysis. USA: John

Willey and Sons. Inc

K.P.Chong,, Edwin..2001. An Introduction to Optimization. USA: John Wiley & Sons,

Inc.

Munir, Rinaldi. 2008. Metode numerik. Bandung:Informatika

Otto, S.R. and Denier, J.P. 2005. An introduction to Programming and Numerical

Methods in Matlab. London: Springer-Verlag

Corless, Robert,M. and Fillion, Nicholas. 2013. A Graduate Introduction to Numerical

Methods. London: Springer-Verlag

Salmah.2011. Diktat Optimisasi. Yogyakarya: FMIPA UGM

Sawaragi, Yoshikazu. 1985. Theory of multiobjective optimization. London: Academic

Press Inc.