Termodinamika Statistik

(1)

VIII. Termodinamika Statistik

8.1. Pendahuluan 8.1. Pendahuluan

Mereka yang mengembangkan termodinamika statistik: Mereka yang mengembangkan termodinamika statistik:

- Boltzmann - Boltzmann - Gibbs

- Gibbs

dan setelah kemajuan teori kuantum: dan setelah kemajuan teori kuantum:

- Satyendra Bose - Satyendra Bose - Albert Einstein - Albert Einstein - Enrico Fermi - Enrico Fermi - Paul Dirac - Paul Dirac

Pada termodinamika statistik (menurut Boltzmann) dibedakan Pada termodinamika statistik (menurut Boltzmann) dibedakan “macrostate” dan “microstate” suatu sistem.

“macrostate” dan “microstate” suatu sistem.

“microstate” dari sebuah sistem dapat dijelaskan “microstate” dari sebuah sistem dapat dijelaskan

Æ

Æ bila posisi dan kecepatan setiap setiap partikel diberikanbila posisi dan kecepatan setiap setiap partikel diberikan “macrostate” dari sebuah sistem dapat

“macrostate” dari sebuah sistem dapat dijelaskandijelaskan

Æ

Æ bila sifat-sifat makroskopik sistem (seperti tekanan, temperatur,bila sifat-sifat makroskopik sistem (seperti tekanan, temperatur, volume, jumlah mole etc.) diketahui

(2)

Pada kenyataannya yang dapat kita ketahui, tentu saja, “macrostate”. Sangat sulit untuk mengetahui kecepatan dan posisi partikel pada suatu waktu tertentu Æ jumlah molekul terlalu banyak.

Namun dapat kita pahami bahwa cukup banyak “microstate” yang berbeda dapat berkorespondensi dengan “macrostate” yang sama.

Contoh pada pelemparan empat koin Rp 100.- (koin kecil). Satu sisi koin berupa gambar garuda, yang lain sapi.

“Macrostate” Kemungkinan “microstate” (G = garuda, S= sapi) Jumlah “microstate” 4 garuda GGGG 1 3 garuda, 1 sapi GGGS, GGSG, GSGG, SGGG 4 2 garuda, 2 sapi GGSS, GSGS, SGGS, SGSG, GSSG, SSGG 6 “Microstate” v₁ v v2 r1 r₂ “Macrostate” P V T

(3)

Prinsip dasar pada pendekatan statistik Æ setiap “microstate” memiliki kemungkinan kejadian yang sama.

Jumlah total “microstate”: 1+ 4 + 6 + 4 + 1 =16

Peluang mendapatkan “macrostate” terbesar pada kondisi 2 garuda dan 2 sapi, yakni: 6/16 = 37,5%

Untuk 100 koin: “Macrostate” Garuda Sapi Jumlah “Microstate” 100 99 90 80 60 55 50 45 40 20 10 1 0 0 1 10 20 40 45 50 55 60 80 90 99 100 1 1,0

×

102 1,7

×

1013 5,4

×

1020 1,4

×

1028 6,1

×

1028 1,0

×

1029 1,4

×

1028 5,4

×

1020 1,7

×

1013 1,0

×

102 1

(4)

Kalau kita teruskan ke distribusi kecepatan: Lihat arah: laju, v Jumlah molekul kecepatan v Jumlah molekul

(5)

8.2. Probabilitas Termodinamik

Dalam sistem tertutup dan terisolasi, energi E dan jumlah partikel N adalah keduanya konstan.

Æ “microstate” yang mungkin adalah yang memenuhi kedua kondisi ini.

Ketika waktu berjalan karena ada interaksi antar partikel, bisa saja sekelompok partikel berubah energinya yang mengakibatkan perubahan keadaan energi setiap partikel.

Æ “microstate” akan berubah

Æ namun setiap kemungkinan “microstate” harus memenuhi kondisi E dan N yang konstan.

Jumlah “microstate” yang mungkin yang berkorespondensi dengan suatu “macrostate” k disebut probabilitas termodinamika, W k .

Jumlah “microstate” secara keseluruhan (assembly)

Ω

menjadi:

Ω = ∑

k k

W

Sifat-sifat makroskopis benda tergantung pada nilai ‘rata-rata dalam waktu’ sifat-sifat mikroskopisnya.

Contoh tekanan gas tergantung pada harga rata-rata laju momentum dalam suatu area tertentu.

W 1

(6)

Jadi dibutuhkan suatu cara untuk menentukan jumlah partikel rata-rata N pada level energi j dalam assembly._j

j

N disebut jumlah penempatan (occupation number ) rata-rata pada level j.

Ambil N jk sebagai jumlah penempatan pada level j di “macrostate” k .

Maka rata-rata grup yang menempati level j:

g j N =

∑

k k k jk k W W N =

Ω

1

∑

k jk k W N

Secara rata-rata waktu juga akan didapat hasil serupa. Dapat ditulis:

j N =

Ω

1

∑

k jk k W N

8.3. Berbagai Macam Termodinamika Statistik Statistika partikel biasanya dapat dibedakan sbb:

¾ Statistik Bose-Einstein

¾ Statistik Fermi-Dirac

¾ Statistik Maxwell-Boltzmann

Untuk membedakan hal ini digunakan konsep partikel identik sbb: Suatu sistem (misal gas) terdiri dari N partikel dalam volume V :

(7)

Sebut:

Qi koordinat gabungan (posisi dan spin) partikel ke-i

si keadaan kuantum partikel ke-i

Keadaan seluruh gas: { s1, s2, s3,....}

dengan fungsi gelombang pada keadaan ini:

Ψ

=

Ψ

_[ _, _, _,..] 3 2 1 s s s (Q1,Q2,...Q N ) Beberapa kasus:

A. Kasus “Klassik” (Statistik Maxwell Boltzmann) Dalam kasus ini (Statistik MB)

¾ partikel dapat dibedakan (distinguishable)

¾ berapa pun jumlah partikel dapat menempati keadaan tunggal s yang sama

¾ tidak ada simetri yang dibutuhkan ketika dua partikel ditukar B. Deskripsi Mekanika Kuantum

•

Simetri jelas dibutuhkan ketika terjadi pertukaran partikel

•

Partikel secara intrinsik tidak dapat dibedakan (indistinguishible)

•

Dapat terjadi pembatasan untuk menempati keadaan tertentu Karena keadaan simetri ini, keadaan kuantum erat hubungannya dengan spin partikel:

(a) Spin bulat (integral spin)

(b) Spin setengah (half integral spin)

Dengan demikian statistika mekanika kuantum terbagi dua: (a) Partikel dengan Spin bulat (Statistik Bose-Einstein)

¾ Setiap partikel memiliki momentum angular spin total (diukur dalam unit h_{) bilangan bulat: 0, 1, 2, 3, 4,...}

(8)

¾ Fungsi gelombang total bersifat simetri, yakni

Ψ

(. . . Q j. . . Qi. . . ) =

Ψ

(. . . Qi. . .Q j. . .)

¾ Tidak dapat dibedakan

→

setiap pertukaran partikel tidak menghasilkan keadaan baru

(b) Partikel dengan Spin kelipatan ½ (Statistik Fermi-Dirac)

¾ Setiap partikel memiliki momentum angular spin total (diukur dalam unit h_{) kelipatan ½ yakni}

2 1 _,

2 3 _,....

¾ Fungsi gelombang total bersifat antisimetri, yakni

Ψ

(. . . Q j. . . Qi. . .) =

− Ψ

(. . . Qi. . .Q j. . . )

¾ Tidak dapat dibedakan

→

Karena sifat antisimetri dan partikel indistinguishable maka dua atau lebih partikel tidak mungkin pada keadaan yang sama.

→

Prinsip eksklusi Pauli Resumé:

Klassik Kuantum

Maxwell-Boltzmann Bose-Einstein Fermi-Dirac Distinguishable indistinguishable,

spin: 0,1,2,3,4,...

indistinguishable spin: 1₂, 3₂ ,.... Tak ada simetri simetri Antisimetri

Tak ada batasan jumlah menempati

Prinsip eksklusi Pauli

(9)

Supaya jelas tinjau kasus 2 partikel dengan keadaan kuantum yang mungkin ada tiga s = 1, 2, 3.

Maxwell-Boltzman: 1 2 3 AB . . . . . . A B A B . . . . . . . . . AB . . . B A . . . . . . A B . . . . . . AB . . . . . . B A B A Bose-Einstein: 1 2 3 AA . . . . . . . . . AA . . . . . . . . . AA A A . . . A . . . A . . . A A Fermi Dirac: 1 2 3 A A . . . A . . . A . . . A A

(10)

Pada statistik Maxwell-Boltzmann partikel-partikel dapat dibedakan dan jumlah partikel yang menempati energi yang sama tidak dibatasi.

Ada sejumlah N partikel (assembly) dan suatu “macrostate” dengan jumlah penempatan N 1, N 2,… N j,…..etc. dan level degenerasi g 1,

g 2,… g j,…..etc.

Contoh:

Kemungkinan susunan keberadaan dua partikel (a dan b) pada tiga level energi: Level Keadaan (1) (2) (3) 1 ab 2 ab 3 Ab 4 a b 5 b a 6 a B 7 b A 8 a B 9 b A

Kalau ada N j partikel, jumlah kemungkinan distribusi:

w j = j

N j

g

Pada semua level menjadi:

Π

j j w =

Π

j j N j g

(11)

Tetapi

Π

j

N j

g tidak sama dengan W k karena pertukaran partikel

menyebabkan keadaan yang berbeda, hal ini berkontribusi pada kemungkinan distribusi: !... ! ! 2 1 N N N = ! ! j N N j

Π

, jadi W k = ! ! j N N j

Π

j j N j g = N !

Π

j _j! N j N g j Resume N j jumlah partikel g j jumlah level Maxwell-Boltzmann: w j = j N j g Bose-Einstein: w j = ! )! 1 ( )! 1 ( j j j j N g N g

−

+

Fermi Dirac: w j = ! )! ( ! j j j j N N g g

−

8.4. Interpretasi Statistik tentang Entropi Pada suatu sistem PVT :

T

∆

S =

∆

U + P

∆

V

−

µ

∆

N

(12)

Dari sudut pandang statistik, perubahan energi adalah akibat perubahan jumlah “microstate” yang mungkin.

Æ ada hubungan antara model statistik dengan entropi.

Dalam hal ini entropi dapat dihubungkan dengan probabilitas termodinamik (jumlah “microstate” dalam assembly)

Karena entropi merupakan besaran ekstensif, maka entropi total S merupakan jumlah entropi-entropi S 1 dan S 2 dari individual sistem.

S = S 1 + S 2

Sementara itu

Ω

=

Ω

1

Ω

2

Jadi entropi tidak mungkin berbanding lurus dengan probabilitas termodinamika. Katakanlah S merupakan fungsi tertentu dari

Ω

seperti S = J (

Ω

), maka

J (

Ω

1) + J (

Ω

2) = J (

Ω

1

Ω

2)

Karena J (

Ω

1) hanya fungsi

Ω

1, maka

1 1) (

Ω

∂

Ω

∂

J = 1 1) (

Ω

d dJ sehingga: 1 1) (

Ω

d dJ =

Ω

2 J '(

Ω

1

Ω

2)

dengan cara yang sama:

2 2) (

Ω

d dJ =

Ω

1 J '(

Ω

1

Ω

2)

(13)

dan karena

Ω

1 dan

Ω

2 independen, maka persamaan tersebut hanya

benar bila sama dengan suatu konstanta, misal = a. Jadi untuk sebarang sistem:

Ω

d dJ ( ) = a dJ (

Ω)

= a

Ω

d sehingga J (

Ω)

= a ln

Ω

Supaya sesuai dengan termodinamika klassik, a = k (konstanta Boltzmann)

S = k ln

Ω

Persamaan terakhir ini menunjukkan pengertian entropi dari tinjauan fisika statistik.

Apakah masih sejalan dengan definisi umum bahwa “entropi merupakan ukuran ketidakteraturan”?

Tentu saja dapat dibenarkan. Kita tahu bahwa

Ω

merupakan jumlah “microstate”, penambahan jumlah ini mencerminkan

ketidakteraturan.

Kalau kita dapat memiliki

Ω

= 1 (hanya satu keadaan), maka S = k ln

Ω

= 0 Æ kondisi teoritis untuk T = 0.

Disini sistem “teratur sempurna”.

Dapat dibuktikan dalam banyak hal (Sears-Salinger, page 325) bahwa definisi entropi secara termodinamik dS =

T Q

d ' _sejalan dengan definisi statistik S = k ln

Ω

.

(14)

8.5. Fungsi Distribusi Maxwell-Boltzmann Dari W k = N !

Π

j _j! N j N g j

dapat dibuktikan (lihat Sears-Salinger page 335-336) fungsi distribusi Maxwell-Boltzmann: j j g N N = exp T k _B j ε µ

−

8.6. Fungsi Partisi dan Sifat-sifat Termodinamika Sistem Fungsi distribusi Maxwell-Boltzmann dapat ditulis:

j N = N (exp T k _B µ ) g j exp T k _B j ε

−

Karena

∑

j j N = N , maka:

∑

j j N = N = N (exp T k _B µ )

∑

j j g exp T k _B j ε

−

Jumlah suku terakhir ini disebut fungsi partisi: Z =

∑

j j g exp T k _B j ε

−

Dari hal tersebut: exp T k _B µ = Z 1

(15)

Seterusnya dapat dibuktikan dengan mudah (untuk distribusi Maxwell-Boltzmann, see page 340):

F =

−

NkT ln Z S = T U + Nk ln Z G =

−

NkT ln Z + fungsi (T ) U = NkT 2 V T Z













∂

ln P = NkT T V Z













∂

ln

Jelas tampak dari pendekatan statistik, besaran-besaran fisika dapat diturunkan jika fungsi partisi diketahui.