DASAR-DASAR MEKANIKA STATISTIK. Bahan: Statistical mechanics Alfred Huan Statistical Physics - Tony Guénault (Bab 1, 2) Modern Physics Krane (Bab 10)

DASAR-DASAR

MEKANIKA STATISTIK

Bahan:

Statistical mechanics – Alfred Huan

Statistical Physics - Tony Guénault (Bab 1, 2) Modern Physics – Krane (Bab 10)

Mengapa perlu fisika/mekanika statistik?

Ada 2 cara untuk meninjau suatu sistem kompeks

◦ Tinjauan mikroskopis

Dengan mempelajari sifat-sifat mikroskopis, misal:

posisi dan kecepatan setiap atom

◦ Tinjauan makroskopis

memprediksi kelakuan sistem yang terdiri dari banyak partikel dalam hal sifat makroskopisnya seperti temperatur dan tekanan suatu gas

◦ Analisa statistik diperlukan untuk

menghubungkan sifat-sifat mikroskopis dengan sifat-sifat makroskopis sistem

◦ Teori kinetik gas menghubungkan sifat

mikroskopis (kecepatan partikel) dengan sifat makroskopis (temperatur dan tekanan)

Thermodinamika, mekanika

klasik/kuantum, dan mekanika statistik

Tinjau konsep panas.

◦ Thermodinamika adalah Ilmu yang mempelajari panas (heat) dan aliran panas

◦ Deskripsi satu partikel materi diberikan oleh mekanika klasik/kuantum (mis: energi dan gerak partikel)

◦ Mekanika statistik memberikan cara pandang

mikroskopik tentang panas dengan jumlah partikel yang banyak.

◦ Dari tinjauan mikroskopik mekanika statistik dapat

diperoleh sifat materi dalam parameter makroskopik seperti temperatur, kapasitas panas dan lain-lain

Microstate Macrostate

◦ Microstate adalah keadaan sistem di mana

parameter masing-masing partikel dispesifikasi.

◦ Mekanika klasik dan mekanika kuantum adalah dua macam pendekatan untuk mendeskripsikan microstate dari partikel.

Dalam mekanika klasik, posisi (x,y,z) dan

momentum (p

_x

, p

_y

, p

_z

) memberikan 6 derajat kebebasan dan direpresentasikan dalam

ruangfasa

Dalam mekanika kuantum, tingkat energi dan keadaan partikel yang dinyatakan dalam

bilangan2 kuantum digunakan untuk menspesifikasi

parameter microstates

Microstate & Macrostate

◦ Macrostate adalah keadaan sistem di mana distribusi partikel dalam masing-masing tingkat energi dispesifikasi.

◦ Dalam keadaan setimbang termodinamik

sistem yang terdiri dari sangat banyak partikel hanya dapat dinyatakan dalam kombinasi 3 variabel makroskopis, yaitu (P,V,T) atau (P,V,N) atau (E,V,N)

◦ Multiplicity: jumlah microstates yang berkaitan

dengan suatu macrostate

◦ Contoh:

Distribusikan 2 satuan energi kepada 4 partikel yang identik tapi dapat dibedakan. Setiap partikel hanya boleh menerima kelipatan bulat dari energi.

Lihat video di https://youtu.be/8iFO9poJzyk Jumlah macrostates: 2

Jumlah microstates untuk makrostate A = 4 

multiplicity A = W_A = 4

Jumlah microstates untuk macrostate B = 6 

multiplicity B = W_B = 6

Jumlah microstates total = 10

◦ Semua microstate dalam sebuah sistem sama probable  bobot relatif macrostate lebih besar untuk macrostate dengan multiplicity yang lebih besar

◦ Salah satu aplikasi dari prinsip statistik adalah untuk menentukan arah evolusi natural dari sebuah

sistem.

◦ Mekanika statistik mengatakan bahwa

kesetimbangan cenderung mengarah pada

macrostate yang paling stabil, yaitu yang memiliki multiplicity/jumlah microstates yang dominan (lebih besar dari yang lain). Jadi,sistem yang terisolasi

cenderung berevolusi sedemikian rupa ke arah multiplicity yang meningkat (atau entropi yang

meningkat, menurut hukum thermodinamika ke-2).

Hukum2 distribusi

Hukum distribusi bergantung pada bagaimana kita mendefinisikan sebuah sistem. Ada 3 cara dalam mendefinisikan sebuah sistem (cara pendekatan ensemble):

◦ Microcanonical ensemble : sistem terisolasi dengan energi (E) dan jumlah partikel (N) yang tetap

◦ Canonical ensemble : sistem dalam keadaan temperatur (T) dan jumlah partikel (N) yang tetap, tapi bisa terjadi

transfer energi

◦ Grand canonical ensemble : sistem tanpa nilai parameter yang tetap

Nilai ketidakteraturan Ω adalah banyaknya microstate

yang mungkin dimiliki oleh suatu macrostate (tidak lain dari multiplicity)

Statistika klasik vs statistika kuantum

◦ Statistika klasik: partikel dapat dibedakan (distinguishable)

Contoh ^(Lihat https://youtu.be/ZQ31_3AsNWY):

Tinjau 6 unit energi yang didistribusikan pada 5 partikel identik yang dapat dibedakan, masing2 partikel dapat menerima kelipatan bulat dari unit energi.

Statistika klasik vs statistika kuantum

Multiplicity setiap makrostate:

di mana N adalah jumlah partikel total, N_E adalah jumlah partikel dengan energi E.

Jumlah total microstates:

di mana Q adalah jumlah unit energi

Probabilitas untuk mengukur partikel dengan energi tertentu:

𝑁_𝑖 : jumlah partikel dengan energi E pada masing-masing

makrostate. Penjumlahan dilakukan pada seluruh macrostate.

 konstanta fitting 𝑝 ∝ 𝑒^−𝛽𝐸

Statistika klasik vs statistika kuantum

◦ Statistika kuantum:

1. partikel tidak dapat dibedakan (indistinguishable) Untuk partikel identik yang tidak dapat dibedakan, multiplicity untuk setiap macrostate adalah 1 (setiap microstate adalah macrostate)

2. mekanika kuantum dapat membatasi jumlah partikel yang boleh menempati suatu keadaan tertentu

Yang memenuhi syarat 1 saja adalah partikel boson (memiliki spin bulat): tidak dapat dibedakan dan tiap keadaan boleh ditempati lebih dari 1 partikel. Contoh: foton

Yang memenuhi sarat 1 dan 2 partikel fermion (spin kelipatan ganjil dari ½): tidak dapat dibedakan, tapi tiap keadaan

hanya boleh ditempati oleh 1 partikel.

Contoh: elektron, spin ½ (spin up dan spin down dianggap 2 keadaan yang berbeda)

Statistika klasik vs statistika kuantum

Bahas kasus 6 unit energi didistribusikan kepada 5

partikel seperti contoh sebelumnya, untuk kasus foton dan elektron.

Foton  1 keadaan energi boleh ditempati berapapun banyaknya partikel

Elektron  tiap keadaan energi boleh ditempati

maksimal 2 elektron, tapi dengan spin yang berbeda (+½ dan -½)

Statistika klasik vs statistika kuantum

Telah dibahas sebelumnya, bahwa sistem cenderung berevolusi ke arah keadaan/macrostate dengan

multiplicity (disorder number) yang dominan (besar), yaitu yang macrostate yang paling mungkin

(probabilitasnya paling besar).

Dalam keadaan equilibrium (kesetimbangan), nilai multiplicity (disorder number) dari macrosate yang paling mungkin menjadi sangat besar. Macrostate yang paling mungkin ini disebut dengan equilibrium macrostate.

Perhitungan distribusi partikel dalam equilibrium macrostate

◦ Artinya kita harus mencari distribusi dari macrostate yang paling probable.

◦ Andaikan ada N partikel yang akan kita bagi dalam berbagai tingkat energi.

Untuk tingkat energi pertama, banyaknya cara untuk menempatkan n

₁

buah partikel disana :

)!

(

!

!

1

1

N n

n

N



o

Banyaknya cara untuk menempatkan n

₂

partikel di tingkat energi kedua

dst…sehingga

o

Banyaknya cara mendistribusikan partikel : )!

(

!

)!

(

2 1

2

1

n n

N n

n N













 

 !( )!

)!

( )!

(

!

!

2 1

2

1 1

1 n N n n

n N

n N

n

N

!

!

!

!

2

1

n n

j

n

N

 





j nj

N

!

!

◦ Jika tingkat energi j mempunyai degenerasi g

_j

dan ada n

_j

partikel di dalam tingkat energi j, maka n

_j

partikel tersebut dapat masuk dalam sembarang level g

_j

.

Banyaknya cara yang mungkin untuk menempatkan partikel tersebut:

◦ Untuk semua tingkat energi, banyaknya cara:

nj

g

j



j n

j

g

j

Banyaknya kemungkinan untuk mendistribusikan N partikel kedalam tingkat-tingkat energi yang masing-masing tingkat energi terdegenerasi adalah :







j j

n j

n N g

j

! !

Dengan Ω adalah disorder number/

multiplicity (banyaknya microstate yang mungkin dalam satu macrostate)

Ω dapat diinterpretasikan sebagai derajat

ketidak teraturan atau derajat kebebasan

Contoh perhitungan dengan degenerasi

◦ Diberikan 6 buah partikel dengan 2 tingkat energi, dengan degenerasi 2 dan 5. Hitung banyaknya

macrostate dan banyaknya microstate dalam tiap macrostate ().

◦ Ada 7 macrostate: (6,0), (5,1), (4,2), (3,3),(2,4),(1,5) dan (0,6)

Contoh perhitungan dengan degenerasi

◦ Untuk macrostate (6,0):

◦ Untuk macrostate (5,1):

◦ Untuk macrostate (4,2):

◦ dst

Ω = 6!2⁶ 6!

5⁰

0! = 64 Ω = 6!2⁵

5!

5¹

1! = 960 Ω = 6! 2⁴

4!

5²

2! = 6000

Statistik Maxwell Boltzmann, Bose-Einstein, dan Fermi-Dirac

◦ Statistik Maxwell Boltzmann membahas kasus partikel- partikel yang dapat dibedakan satu sama lain.

◦ Statistik Bose Einstein adalah untuk kasus partikel yang tidak dapat dibedakan, jumlah partikel yang boleh

menempati tingkat energi yang sama tidak dibatasi.

◦ Statistik Fermi Dirac adalah untuk kasus partikel yang tidak dapat dibedakan, jumlah partikel yang boleh menempati tingkat energi yang sama dibatasi.

Statistik Maxwell Boltzmann

◦ Bentuk logaritmik dari Ω:

 ^ 







j j

j j

j

g n

n

N ! ln ln !

ln ln

o

Gunakan pendekatan Stirling untuk x yang besar:

x x

x

x !  ln  ln

o

Persamaan diatas menjadi;

 

 ^







j

j j

j

j

g n n

n N

N ln ln ln

ln







j j

n j

n N g

j

! !

◦ Ingat

Statistik Maxwell Boltzmann

Tujuan kita adalah memaksimumkan Ω dengan menjaga energi E dan jumlah partikel N tetap. Syarat atau kendala ini diperhitungkan melalui faktor pengali

Lagrange.

Ω akan mencapai maksimum jika :

atau 1 0

)

(ln  

 

 d

0 d





d

Statistik Maxwell Boltzmann



Dengan mengasumsikan N dan n

_j

besar :

0 ln

)

(ln   





 



 



 

j

j j

j

j

dn dn

n

d g

Syarat/kendala

◦ Jumlah partikel total N merupakan jumlah partikel dalam berbagai tingkat energi

N n

j

j





o

Hukum kekekalan energi harus dipenuhi, jumlah energi dari tiap tingkat energi harus sama dengan energi total :

E n

_j

j

j



 ^

 0

 



j

j j

j

dn

n

 d

Statistik Maxwell Boltzmann

◦ Dengan syarat tersebut persamaan di atas haruslah memenuhi:

0 ln   





 



 

j

j j

j

dn

n g

o

Kemudian masukkan syarat kekekalan energi di atas:

 0



j

dn

j

 0



j

j j

dn



 0



j

dn

j

 

 ^  ^{ 0}

j

j

j

dn





Statistik Maxwell Boltzmann

◦ Terapkan metode pengali Lagrange :

 _ ^{ }





 



  

j

j j

j

j

dn

n

g ) 0

ln(  

Sehingga :

0 ln     





 





j j

j

n

g  

Statistik Maxwell Boltzmann

◦ Maka distribusi partikel dalam equilibrium microstate adalah:

e

j

e g

n

_j



_j

^

^

^

Dapat dibuktikan bahwa β bergantung pada T dan harga yang cocok untuk β adalah :

kT

 1

 ^Dengan k adalah konstanta Boltzmann

T adalah temperatur

◦ Kerapatan keadaan (density of states)

 lihat slide Kerapatan Keadaan.pptx

◦ Menentukan harga 

 lihat slide Menentukan Konstanta

Beta.pptx

Distribusi Maxwell-Boltzmann

◦ Distribusi Maxwell – Boltzmann dikembangkan untuk kumpulan partikel identik yang jaraknya saling

berjauhan sehingga dapat dibedakan (jarak antar

partikel lebih besar daripada panjang gelombang de Broglie partikel).

◦ Merupakan pendekatan yang cukup baik untuk gas dengan tekanan dan temperatur normal.

◦ Dalam keadaan setimbang thermal dengan

temperatur T, distribusi Maxwell-Boltzmann diberikan oleh:

kT E

MB

E Ae

f ( ) 

^{ /}

dengan E adalah energi, f adalah fungsi distribusi yang menyatakan bagaimana partikel pada energi E

terdistribusi ke dalam keadaan-keadaan yang tersedia, k adalah konstanta Boltzmann dan T adalah temperatur.

Konstanta normalisasi A bergantung pada jumlah partikel

TUGAS

◦ Turunkan distribusi energi Maxwell Boltzmann 𝑁 𝐸 = 2𝑁

𝜋(𝑘𝑇)

^3/2

𝐸

^1/2

𝑒

^{−𝐸/𝑘𝑇}

suku 𝑒

^{−𝐸/𝑘𝑇}

disebut faktor Boltzmann

𝑑𝑁 = 𝑁 𝐸 𝑑𝐸 = 𝑉𝑔 𝐸 𝑓 𝐸 𝑑𝐸

Dengan demikian banyaknya keadaan

yang dihuni dalam selang energi antara 𝐸

dan 𝐸 + 𝑑𝐸 adalah

Distribusi energi Maxwell-Botlzmann menunjukkan

energi yang paling mungkin (most probable energy) E_p=1/2 kT dan energi rata-rata (mean energy) E_m= 3/2 kT

Persamaan Boltzmann

◦ Distribusi Maxwell – Boltzmann diterapkan antara lain untuk menentukan populasi atom yang

elektronnya berada dalam keadaan eksitasi tertentu.

◦ Persamaan untuk penentuan populasi itu disebut persamaan Boltzmann

◦ Karena suatu tingkat energi bisa terdiri dari

beberapa sub tingkat energi, maka diperlukan pembobotan, dengan menggunakan besaran g yang disebut bobot statistik

◦ Persamaan ini biasanya dinyatakan dalam bentuk

perbandingan antar tingkat energi

Persamaan Boltzmann

Dengan :

• N

_n

adalah banyaknya atom yang elektronnya di tingkat energi n

• N

₁

adalah banyaknya atom yang elektronnya di tingkat dasar

• g

_n

adalah bobot statistik tingkat energi n

• g

₁

adalah bobot statistik tingkat dasar

• χ

_n

adalah energi eksitasi n dari tingkat dasar

• k adalah konstanta Boltzmann

• T adalah temperatur dalam satuan Kelvin

n kT

n _n

g e g N

N

_/

1 1







Atom Hidrogen :

Persamaan Boltzmann

◦ Dengan χ

_n

bersatuan eV

◦ Faktor 5040/T sering ditulis Θ

Dalam bentuk logaritma :

g T g

N

N

_{n n n}

5040

log log

log

log 

₁

 

₁

 











_{n n}

n

N g g

N log

₁

log log

₁



log

Persamaan Boltzmann

◦ Kita bisa juga menyatakan populasi satu tingkat eksitasi relatif terhdap tingkat eksitasi yang lain dengan persamaan Boltzmann, misalnya:

kT m

n m

n _{n m}

g e g N

N

_{(  )/}



Bobot statistik

◦ Untuk atom hidrogen, bobot statistik ditentukan oleh banyaknya kemungkinan keadaan elektron di tingkat energi yang ditinjau

◦ Menurut mekanika kuantum, banyaknya

kemungkinan keadaan elektron di tingkat energi n adalah 2n². Jadi g_n = 2n².

◦ Jika kita ingin mengetahui populasi atom H yang elektronnya di tingkat energi n=3 relatif terhadap n=1 pada temperatur T misalnya, maka kita harus

memasukkan harga g₁=2 dan g₃=18. pada persamaan Boltzmann

Soal latihan

◦ Untuk gas atom hidrogen netral pada

temperatur ruang, berapa perbandingan jumlah atom pada keadaan eksitasi pertama dibanding pada keadaan dasar?

◦ Pada temperatur berapa jumlah keduanya sama?