POTENSIAL BARRIER (TANGGUL POTENSIAL) POTENSIAL BARRIER (TANGGUL POTENSIAL)
Oleh :
Oleh : Devi Taufiq Nurrohman (372519)Devi Taufiq Nurrohman (372519) A.
A. Studi Kasus dimanaStudi Kasus dimana < <
Partikel dengan massa
Partikel dengan massa yang bergerak dari kiri yang bergerak dari kiri ke kanan menuju potensial barrier dengan tinggike kanan menuju potensial barrier dengan tinggi dan lebar
dan lebar()() yang didefinisikan dengan : yang didefinisikan dengan :
(()) = = , untuk, untuk0 ≤ ≤ 0 ≤ ≤
= = 00, untuk, untuk < 0< 0 dan dan > > ..
(a)
(a) (b)(b)
Gambar 1.
Gambar 1.(a)Potensial Barrier dan arah penyebaran dari gelombang yang datang, direflesikan dan(a)Potensial Barrier dan arah penyebaran dari gelombang yang datang, direflesikan dan ditransmisikan, (b) Rapat probabilitas
ditransmisikan, (b) Rapat probabilitas||()()|| ketika ketika < < ..
Tanggul potensial membagi ruang menjadi tiga daerah dinamakan dengan daerah 1, daerah 2 dan Tanggul potensial membagi ruang menjadi tiga daerah dinamakan dengan daerah 1, daerah 2 dan daerah 3. Adapun persamaan schrodinger untuk masing-masing daerah adalah :
daerah 3. Adapun persamaan schrodinger untuk masing-masing daerah adalah :
Daerah 1 : Daerah 1 : −−ħħ22 ++(()) = = ++22ħħ ( ( −−)) = = 00 Pada daerah 1,
Pada daerah 1, = = 00 sehingga sehingga :: ++22ħħ = = 00 Karena Karena
==
ħħ22 ,, maka :maka : ++ = = 00Solusi dari persamaan diatas Solusi dari persamaan diatas adalah adalah (()) = = + + Daerah 2 : Daerah 2 : −−ħħ22 ++(()) = = −−22ħħ (( − −)) = = 00 Karena Karena
==
(()) ħħ22 ,, maka : maka : −− = = 00Solusi dari persamaan diatas Solusi dari persamaan diatas adalah adalah (()) = = + + Daerah 3 : Daerah 3 : −−ħħ22 ++(()) = = ++22ħħ ( ( −−)) = = 00 Pada daerah 3,
Pada daerah 3, = = 00 sehingga sehingga :: ++22ħħ = = 00 Karena Karena
==
ħħ22 ,, maka :maka : ++ = = 00Solusi dari persamaan diatas Solusi dari persamaan diatas adalah adalah (()) = = + +
Dalam daerah 3 partikel tidak direflesikan kembali sehingga nilai = 0. Sehingga fungsi gelombang untuk daerah 3 adalah :
() =
Untuk mendapatkan koefisien dari fungsi gelombang masing-masing daerah, maka kondisi batas dari fungsi gelombang yang harus dipenuhi.
Pada = 0, (0) = (0) = Pada = , () = () =
Dari kondisi batas tersebut diperoleh :
+ = + ...(1)
( −) = ( −) ...(2)
+ = ...(3)
( +) = ...(4) Dari persamaan (3) dan (4) diperoleh nilai dan yaitu :
+ =
+ = 1 + + = =
= 21 +()
= 21 −()
Substitusikan nilai dan ke persamaan (1) dan (2), + = + + = 21 +() +21 −() + = 2() +() +() −() + = 2 1 ++1 − + = 2 1+− −1 + = 1+2−2 −1
Dari identitas trigonometri diketahui bahwa ,
sinh() =
=
=
dancosh() =
=
=
maka : + = 1+2−2 −1
Setiap suku dibagi dengan sehingga diperoleh,
1 + =
ℎ()− ℎ()
...(5)Dengan cara yang sama, Dari persamaan (2) substitusikan nilai dan . − = − − = 21+()−21 −() − = 21+() −1−() − = 2 1 −+1 + − = 2 1 −+1 + − = 1−2+1+2 − = 2 −1 +1+2 − = cosh() +sinh ()
Dibagi dengan sehingga menjadi,
1− = cosh() +sinh () ...(6) Persamaan (5) dan (6) dijumlahkan untuk mengeliminasi nilai/ untuk mendapatkan nilai/, 1+ = ℎ() −ℎ()
1− = cosh() +sinh ()
=
2
2cosh(
)
+
2 − 2
sinh ()
...(7) Sebaliknya dari persamaan (5) dan (6) kita eliminasi nilai/ untuk mendapatkan nilai/,1+ = ℎ() −ℎ() 1− = cosh() +sinh () 1+ 1− ℎ() −ℎ() cosh() +sinh () = = 1+ cosh() +sinh () = 1− ℎ() −ℎ() 2cosh() + −sinh () = − − sinh () = −(2cosh() + + sinh () − sinh () ...(8)
Koefisien transmisi didefinisikan sebagai rasio perbandingan dari rapat berkas yang di transmisikan terhadap berkas yang datang. Sebaliknya Koefisien refleksi didefinisikan sebagai perbandingan antara rapat berkas yang direflesikan terhadap berkas yang datang. Kedua koefisien tersebut dapat
didefinisikan dari persamaan :
= =(ℎ(ℎ⁄)⁄ | |)|| = ||| | = ∗ ...(9) = =(ℎ(ℎ⁄)⁄ | |)|| = ||| | = ∗ ...(10) Sehingga dengan mensubstitusikan persamaan (7) dan (8) kedalam persamaan (9) dan (10),
= ∗ = 2cosh() +
2
− − sinh () 2cosh() −2
− sinh () = 4cosh()+4 − sinh () ...(11) Karenaℎ() = 1+ℎ() maka,
= 1+14 + 1 sinh ()
= ∗ = −(2cosh() + + sinh () − sinh () (2cosh() − + sinh () − sinh ()
=⎣⎢⎢⎢⎡ (4cosh() + + −sinh ()sinh ()⎦⎥⎥⎥⎤
...(13)
Kita dapat menulis dalam bentuk yaitu,
= 14 + sinh ()
Substitusikan nilai = 2/ħ dan = 2( −)/ħ maka nilai dari, + = (
− = ( −)
Maka dan dapat ditulis,
= 14 ( −)sinh ħ 2( −
= 1+14 1
( −)sinh ħ 2( −
Jika = 2/ħ dan = / maka,
= 4(1−)sinh√ 1 − ...(14)
B. Studi Kasus dimana >
Persamaan gelombang untuk masing-masing region pada kondisi dimana > adalah () = + , ≤ 0,
() = + ,0 < < 0,
() = , ≥ 0,
Dimana = ℏ dan = (ℏ ).
Konstanta,, dan dapat diperoleh dalam bentuk dari kondisi batas :() dan yang mana harus kontinyu pada = 0 dan = sehingga,
(0) = (0) = (0) (0) () = () = () () Sehingga diperoleh + = + (1) ( −) = ( −) (2) + = (3) − = (4)
Dari persamaan 3 dan 4 untuk menentukan nilai dan yaitu : + =
− = + − = =
2 = ( +)
= 2 +() 2 = 2 − = ( −)()
Dari persamaan 1 dan 2 eliminasi nilai dari ,
+ = +( −) = ( −) + = + − = −
2 = ( +) +( −) (5)
Substitusikan nilai dan kedalam persamaan 5,
2 = ( +)2 +()+( −)2 −()
4 = ( +)() −( −)()
= 4( +)() −( −)()
= 4( +) −( −)
Diketahui dari identitas trigonometri bahwa = + dan = −, jika disubstitusikan kedalam nilai maka,
= ( +)() −( +) () −( −)4 () −( −)()
= ( +2 + − +2 −)() +(−4 −2 − − +2 −)()
