game theori dlm ketidak pastian

Aplikasi Game Theory : Pengambilan Keputusan Pada Situasi Ketidakpastian

Oleh : A. Mashudi dan Siswanto Imam Santoso

Abstraksi.

Strategy pengambilan keputusan oleh individu untuk mengoptimalkan pencapaian obyektif dari individu yang bersangkutan. Secara garis besar dalam aplikasinya, individu membedakan opponentnya menjadi lawan yang bersifat netral dan lawan yang akan melakukan kontra strategy terhadap keputusan yang diambil individu tersebut. Lawan yang bersifat netral dalam arti dia tidak memiliki kepentingan sehingga tidak terpengaruh oleh apapun keputusan yang diambil oleh individu tersebut, misalnya kondisi alam (state of nature). Keputusan individu dalam menghadapi kondisi alam ini lebih dipengaruhi oleh informasi data yang dimiliki atas kemungkinan kejadian alam dimasa datang yang mempengaruhi pencapaian obyektifnya, disamping sikapnya dalam menghadapi resiko apakah dia risk averter atau risk seeker.

Sebaliknya, dalam menghadapi lawan yang melakukan kontra strategy, game theory menggunakan pendekatan Cournot game untuk mendekati pencapaian obyektif secara optimal. Disini dipilah-pilah lawan yang bersikap follower atau leader, permainan yang bersifat kerjasama (cooperative) atau persaingan, lawan yang berjumlah besar atau sedikit dan lain sebagainya. Jadi, game theory sangat bermanfaat digunakan untuk menganalisa tingkah laku rasional setiap pemain dalam menghadapi situasi yang berbeda untuk memaksimalkan obyektif yang ditetapkan.

Key word : strategy, tingkah laku ekonomi, ketidak pastian

A. Pendahuluan

Game theory berkaitan dengan situasi dimana individu atau organisasi memiliki perbedaan kepentingan dalam mencapai tujuannya dan cenderung bersifat antagonis (conflicting obyectives). Tehnik ini dapat digunakan untuk menganalisa berbagai aktifitas mencakup mempertemukan berbagai strategi, negosiasi politik/perdagangan dan tingkah laku ekonomi.

Karakteristik penting dalam konsep game theory adalah:

a. Adanya informasi yang perfect atau imperfect

b. Strategi untuk setiap pemain i

c. Setiap pemain menyadari peraturan permainan dan fungsi payoff (outcomes) masing masing pemain karena adanya kesempatan bergerak (chance move) sehingga tidak seorangpun tahu kecuali peluang kejadian dari tiap-tiap chance move sebagai actual payoff (outcomes). Oleh karena itu tiap pemain memilih strateginya untuk memaksimumkan harapan payoff function atau expected utility dari outcomesnya

Thus, dari payoff yang diberikan dalam game bentuk ekstensif, didefinisikan

payoff function mencakup n variable berbeda, yang ke-i menunjukkan strategi yang tersedia bagi pemain i = 1, 2, …, n. Misalnya, tidak ada chance move dalam extensive game, maka suatu seleksi khusus strategi (S₁,S₂,...,Sn),

satu dipilih oleh tiap pemain yang ditunjukkan dengan



.

Kemudian didefinisikan payoff pemain ke-i dari strategi mix Ui(s₁,s₂...,sn)Ui(



).

Jika ada kesempatan bergerak, maka tiap pilihan dari strategi mix akan terjadi dengan suatu probabilitas p(



). Expected value dari permainan keseluruhan adalah (misalnya

ada K permainan)





 K i

n

i s s s p U

U

1 2

1, ,... ) ( ) ( )

(







:

B. State of Nature

Tiga kasus dalam state of nature:

 State of certainty, bila dalam kondisi perfect information sehingga kejadian dapat diketahui dengan pasti sebelumnya.

 State of risk, bila probability berbagai kejadian dapat diestimasi berdasarkan data tersedia sebelumnya.

 State of uncertainty, bila probability kejadian yang akan datang tidak diketahui.

Dalam asumsi tidak tersedia data distribusi probabilitas, sejumlah kriteria dalam pengambilan keputusan pada kondisi uncertainty dapat dipresentasikan dengan menggunakan dasar analisa game theory sebagai berikut: 1). Laplace criterion, 2). Minimax criterion, 3). Savage criterion, 4). Hurwicz criterion, 5). Mixed strategy criterion

Perbedaan pokok diantara kriteria diatas adalah merefleksikan seberapa jauh konservatifnya pembuat keputusan berkaitan dengan kondisi uncertainty yang dihadapinya. Misalnya, Laplace criterion menunjukkan situasi yang berdasarkan kondisi yang lebih optimistik dari pada Minimax criterion. Selanjutnya, Hurwicz criterion dapat digunakan dalam situasi yang perlu penyesuaian dari kondisi paling optimistik sampai dengan paling pesimistik. Dalam hal ini, dari keempat teknik diatas meskipun mereka sifatnya kuantitatif, namun merefleksikan penafsirannya secara subyektif dari lingkungan dimana keputusan dibuat. Sayangnya, tidak ada petunjuk umum yang dapat dipedomani untuk memilih tehnik mana yang diaplikasikan mengingat adanya perubahan perasaan pengambil keputusan yang dipengaruhi oleh ketidakpastian situasi yang menjadi faktor penting dalam keputusan pemilihan teknik kriteria yang paling cocok.

Pada kriteria diatas, diasumsikan bahwa pengambil keputusan tidak menghadapi lawan yang dapat melakukan strategi tandingan terhadap strategi yang dipilih pengambil keputusan, karena ia bersifat pasif tidak merasa dirugikan terhadap keputusan apapun yang diambil pengambil keputusan. Dalam hal ini, “alam” dapat dipandang sebagai lawan pengambil keputusan, sehingga kejadian alam,

misalnya hujan, panas, perubahan cuaca, yang akan diantisipasi oleh pengambil keputusan.

Informasi yang digunakan dalam pengambilan keputusan pada situasi ketidak pastian dapat diringkas dalam bentuk matrix dengan “baris” menunjukkan pilihan tindakan yang dapat diambil, dan “lajur” menunjukkan kemungkinan kejadian alam yang mungkin terjadi.

Berkaitan dengan pengambilan keputusan dan kejadian alam yang terjadi, maka kombinasi dari tiap tindakan dan tiap kejadian alam akan dievaluasi sebagai keuntungan atau kerugian.

Thus, jika

a

i adalah tindakan ke-i

(i1,2,....,m) dan



jadalah kejadian ke-j

)

,...,

2

,

1

(

j



n

maka v(a_i,



_j)adalah fungsi kontinyu dari

a

idan



j. Pada kondisi diskret, informasi ini dapat ditunjukkan dalam matrix dibawah ini. Matrix ini akan menjadi basis untuk mengembangkan kriteria pengambilan keputusan pada situasi ketidak pastian

) , ( )

, ( ) , (

) , ( )

, ( ) , (

) , ( )

, ( ) , (

2 2 1

1 2

2 1 2 2

1 2

1 1 1 1

2 1

n m m

m

n n n

a v a

v a

v a

a v a

v a

v a

a v a

v a

v a

 



 



 



 





 

 

  

Sebagai ilustrasi sederhana misalkan dalam Passive type of Two Person Zero Sum Game (TPG), seorang petani harus memilih memupuk tanaman

(

a

₁

)

atau tidak memupuknya

(

a

₂

)

mengantisipasi situasi kemungkinan akan terjadi hujan

(



₁

)

atau tidak ada hujan

(



₂

)

dimana sangat berpengaruh terhadap hasil produksi tanamannya (pay off) sebagaimana matrix A = (aij) berikut ini

Actions State of nature

)

(



₁

(



₂

)

)

(

a

₁ 60 20 80

)

(

a

₂ 40 30 70

1. Bayes or Laplace criterion : principle of insufficient reason

Kriteria ini berdasarkan apa yang dikenal dengan prinsip insufficient reason. Oleh karena probabilitas berkaitan dengan kejadian

n







₁

,

₂

,



,

tidak diketahui, maka tidak cukup tersedia informasi yang menyimpulkan peluang masing-masing kejadian berbeda. Bila kasus ini terjadi, maka dapat memperkirakan probabilitasnya sehingga hal ini bukan lagi pengambilan keputusan dalam kondisi ketidak pastian. Thus, karena insufficient reason untuk dipercaya peluang kejadian pay off, kemungkinan potensi terjadi



1

,



2

,



,



n adalah seimbang.. Jika konklusi ini dibangun, problem ini bergeser menjadi pengambilan keputusan pada kondisi beresiko, dimana pengambil keputusan memilih tindakan

a

i yang menghasilkan harapan keuntungan yang paling besar. Yaitu, tindakan ai* yang memenuhi ketentuan















 n

j

j i n

ai ₁

v

a

1

₍

_,

₎

max



Dimana 1/n adalah probabilitas dari kemungkinan kejadian



_j

(

j



1

,

2

,



,

n

)

Singkatnya, Laplace criterion adalah strategy yang memilih expected payoff tertinggi.

Contoh: Dari matrix A, expected payoff Action 1

(

a

₁

)

adalah 0.5 (80) = 40

Action 2

(

a

₂

)

adalah 0.5 (70) = 35

Maka Action 1

(

a

₁

)

direkomendasikan untuk dipilih.

Ciri khas penting dari Bayes criterion:

 Probabilitas diinterpretasikan secara subyektif.

 Berkaitan dengan von Neumann-Morgenstern theory dari maximisasi the expected utility dari the payoff

) ( _ij

i a

u adalah utilitas dari payoff aij untuk fixed i dan berbagai kejadian j, maka expected utility (untuk tindakan i dimana i = 1,2,…,m) adalah







n

j

i j ij

i

a

y

U

u

1

)

(

dimana yj adalah prior probability dari kejadian j =

1,2,…,n. Strategy chosen i = k dimana

i

U adalah maximum untuk semua i = 1,2,….m, atau optimal strategy

i

k U

x max untuk 1im

2. Minimax (maximin) criterion : Wald criterion

Wald criterion adalah kriteria yang paling konservatif karena kriteria ini berdasarkan pilihan terbaik dari alternatif kemungkinan kejadian dari kondisi yang terjelek. Dengan

kata lain, bila outcome v(ai,



j) adalah

kerugian bagi pengambil keputusan, maka, untuk pilihan tindakan

a

i, kerugian terbesar

dari kemungkinan kejadian



j adalah

)}.

,

(

{

max

v

a

_{i j}

j



 Kemudian Minimax

criterion memilih tindakan

a

i yang

memenuhi kriteria

min

_a

max

{

v

(

a

_i

,

_j

)}.

j

i 



Dengan pola yang sama, bila

v

(

a

_i

,



_j

)

adalah keuntungan yang akan diperoleh, Wald criterion memilih tindakan

a

i yang memenuhi

kriteria

max

_a

min

{

v

(

a

_i

,

_j

)}.

j

i 



Untuk

yang terakhir ini disebut Maximin criterion. Singkatnya Wald criterion adalah strategy yang merekomendasikan pilihan terbaik dari kemungkinan outcome yang terjelek. Sebagai ilustrasi, dari matrix A diatas, jika petani melakukan pemupukan

(

a

₁

)

outcome (pay off) terjelek yang diterima adalah 20 sedangkan jika ia tidak melakukan pemupukan

)

(

a

₂ outcome terjeleknya adalah 30, maka Wald criterion merekomendasikan sebaiknya petani tidak melakukan pemupukan

(

a

₂

)

sehingga minimal dia mendapatkan hasil sebesar 30.

3. Savage Minimax Regret Criterion Minimax criterion butir dua diatas dinilai sangat conservative dalam pengertian kadang-kadang akan mengarah kepada penarikan kesimpulan yang tidak logis. Savage criterion mengkonstruksi suatu matrix kerugian yang baru dimana v(ai,



j) diganti dengan

)

,

(

a

_{i j}

)

bila v adalah keuntungan

bila v adalah kerugian

Ini berarti bahwa r(a_i,



_j)adalah selisih

antara pilihan terbaik pada column



j dan nilai dari v(a_i,



_j)pada column yang sama.

Dalam pengertian, r(a_i,



_j)adalah representasi dari penyesalan (regret) dari pembuat keputusan sebagi dampak kehilangan pilihan terbaik berkaitan dengan kejadian given future state



j. Fungsi r(ai,



j) adalah sebagai regret matrix.

Sebagai ilustrasi, dari matrix A untuk tindakan pemupukan

(

a

₁

)

akan memberikan regret matrix sebesar 40, sedangkan jika petani tidak melakukan pemupukan

(

a

₂

)

maka regret matrixnya adalah 10. Oleh karena itu, Savage minimax regret criterion merekomendasikan tindakan tanpa pemupukan yang harus dipilih. Secara lengkapnya, berikut disajikan pilihan regret matrix

Regret matrix dari matrix A

60-60=0 60-20=40 40-40=0 40-30=10

4. Hurwicz (Optimism-Pessimism) Criterion

Kriteria ini menunjukkan a range dari tingkah laku atau sikap dari kondisi yang paling optimistik sampai dengan kondisi yang paling pesimistik. Dalam kondisi paling optimistik, seseorang akan memilih tindakan

yang menghasilkan dalam kondisi yang paling pesimistik, tindakan yang dipilih berkaitan dengan

)}

membandingkan outcome antara kondisi yang paling pesimistik dengan yang paling optimistik dengan melakukan pembobotan terhadap kedua kondisi diatas secara

respective yaitu



dan(1



), dimana

1

0



 . Dengan kata lain, bila v(ai,



j)

merupakan keuntungan, tindakan yang dipilih akan menghasilkan

)} kerugian, Hurwicz criterion memilih tindakan yang menghasilkan

)} dapat diseleksi tergantung pada apakah pembuat keputusan cenderung mengarah kepada pesimistik atau optimistik. Dalam hal yang bersangkutan tidak optimistik dan tidak pesimistik, nilai



 ₂1 _{kiranya sebagai pilihan} yang reasonable.

Kembali kepada matrix A, bila “index of optimism”



0,4 maka jika petani melakukan pemupukan

(

a

₁

)

harapan rata-rata outcome yang didapatkan adalah 0.4 (60) + (1 - 0,4) 20 = 36

Sebaliknya, ia tidak melakukan pemupukan

)

(

a

₂ maka harapan rata-rata outcome yang didapatkan adalah 0.4 (40) + (1 – 0.4) 30 = 34 Oleh karena itu, Hurwicz merekomendasikan sebaiknya petani tetap melakukan pemupukan

)

(

a

₁

5. Mixed strategy criterion

memaksimumkan payoff safety level. Solusi optimal mixed strategy

x

*



(

x

₁*

,

x

*₂

)

diperoleh dengan Linear Programing problem:

x

Max

.

v subject to

,

1

v a x _ij m

i

i 









 m

i i x 1

,

1

x

i



0

i=1,2,…,m J=1,2,…,n

Atau

.

y

Min

u s. t.





 n

j j ijy u a

1

,



  n

j j y 1

1,

,

0



j

y

j=1,2,….,n

Misalkan

(

x

*

,

v

*

)

dan (y*,u*)

optimal pair solution, maka u* = v* yaitu minimax loss of player 2 (nature) = maximin gain of player 1.

Penjelasan lebih jauh dapat disampaikan berikut ini:

a. Linear Programming adalah prosedur mathematika untuk menentukan aloksi optimal dari sumberdaya yang langka sehingga nilai fungsi tujuan (objective) yang linear menjadi optimum yaitu maksimum atau minimum (Schrage, 1986). Untuk problem linear programming ada dua obyek penting yang pertama adalah sumberdaya yang terbatas, dan kedua adalah adanya aktifitas. Setiap aktifitas memerlukan sumberdaya terbatas sehingga diperlukan berapa kombinasi masing-masing aktifitas untuk mengoptimalkan pemanfaatan sumberdaya langka yang tersedia.

b. Lima asumsi dasar dalam menyusun model linear programming (Debertin, 1986) yaitu:

 Fungsi obyektif (tujuan) dan kendala (constraint) adalah linear (Linearity).

 Constant return to scale (additivity). Jumlah sumberdaya yang digunakan oleh aktifitas yang berbeda harus sama dengan total kuantitas sumberdaya yang digunakan oleh setiap aktifitas untuk semua sumberdaya secara individual dan kolektif.

 Divisibility atau kebutuhan input bersifat kontinyu dengan proporsi yang tetap untuk memproduksi satuan output. Untuk input yang bersifat integer (diskrit) digunakan integer programming

 Jumlah input yang digunakan tidak negatif quantity atau penggunaan input ke-i lebih besar atau sama dengan nol.

 Koefisien linear programming seperti kebutuhan input (pasokan sumberdaya), koefisien input-output, harga sumberdaya dan aktifitas dan lain sebagainya diketahui dengan pasti (single valued expectations)

c. Dalam bentuk umum persoalan linear programming dapat dirumuskan sebagai berikut:

Maksimisasi



  n j

j jx c Z

1

dengan

pembatasan (subject to)







n

j

i j ij

x

b

a

1

,

0

 j

x dimana

i



1

,

2

,



m

dan

n

j



1

,

2

,



,

.

j

x adalah macam output yang

diproduksi; cj adalah harga per satuan

output ke-j;

b

i adalah ketersediaan input

ke-

i

;

a

_ij adalah banyaknya input ke-

i

yang dipergunakan untuk memproduksi satu satuan output ke-j.

d. Setiap penyelesaian linear programming selalu terdapat problem primal dan dual-nya dalam satu paket. Jika primal-dual-nya adalah problem maksimisasi maka dual-nya akan selalu problem minimisasi atau sebaliknya. Nilai optimal dari variabel dual dikenal sebagai shadow price atau disebut juga sebagai harga efisiensi dan nilai Marginal Physical Product (MPP).

C. Cournot Market game

digeneralisasi kedalam beberapa cara yang bermanfaat :

 Cooperative dan non cooperative game

 Peluang saling mengancam antara pihak yang bersaing

 Dapat dikembangkan kepada n-player game

 Stochastic payoff sehubungan dengan respon pasar yang tidak sepenuhnya diketahui

Market demand:

p



1



(

x

₁



x

₂

)

,

x

iadalah output dari produsen i=1,2

Keuntungan masing-masing produsen ke-i: z_i  x_i(1x₁ x₂) for i=1,2.

Cournot equilibrium atau Cournot-Nash (CN) equilibrium

(

x

₁*

,

x

₂*

),

satisfies:

 Tiap xi* memaximumkan payoff/profit

i

z

dari player/produsen ke-i given fixed value dari strategy player lainnya or output

x

*_j (Rationality postulate)

 Total output x₁* x₂* menyeimbangkan pasar yang menghasilkan positive equilibrium price

p



1



(

x

₁*



x

₂*

)

(Market clearing)

 Tiap player merubah outputnya

x

i sampai kedua kondisi diatas tercapai (reciprocity condition of passive reaction).

1. Cournot Solution:

Player i memaximumkan profitnya:

)), (

1

( x₁ x₂

x

z_i  _i   i=1,2

Setting z_i x_i 0, dua optimal kurva reaksi:

2

/

)

1

(

₂

1







x

,

x

₂



(

1





₁

)

/

2

(1st

order condition are sufficient for the maximum),



₁ dan



₂adalah guess made player 1 dan 2 terhadap rival’s strategy.

)

(

₂ 1 1

x



x



dan

x

₂



x

₂

(



₁

)

optimal untuk given guess value



2

,



1.

The guess equilibrium at

x

1

 

2



x

1* dan *

2 1

2 x

x    maka 3 *2 1 *

1 x

x  

Himpunan strategy untuk player 1 dan player

}

1

0

:

{

_{1 1}

1



x



x



X

,

}

1

0

:

{

_{2 2}

2



x



x



X

dan CN equilibrium

)

,

(

x

₁*

x

₂* satisfies optimal condition profit

z

₁ ),

, ( ) ,

( ₁* ₂* _{1 1 2}*

1 x x z x x

z  all

x

₁



X

₁

), , ( ) ,

( ₁* ₂* _{2 1}* ₂

2 x x z x x

z  all

x

₂



X

₂

dimana ( , *) ₂1 ₂( ₁*, *₂)

2 * 1

1 x x z x x

z  

untuk sebarang



₂dalam

X

₂, optimal profit player 1 adalah z₁(x₁,₂)(1₂)2 /4 demikian pula untuk sebarang



₁ dalam

X

₁

, optimal profit player 2 adalah

4 / ) 1 ( ) ,

( _{2 1 1} 2

2 x    z

Jadi, the worst and the best player 1 adalah 0 dan ¼ untuk



₂



1

dan 0

Player 2 adalah 0 dan ¼ untuk



₁



1

dan 0

CN equilibrium solution ( , ) ( ,₉1)

9 1 * 2 * 1 x  x

Misalkan,

x

₂ fixed pada

x

*₂ dan diumumkan oleh player 2, maka player 1 memaksimumkan keuntungannya dengan menseleksi tingkat outputnya dalam himpunan strateginya :

* 2 1 2 1 1 * 2 1

1(x ,x ) x x x x

z   

Hal ini menghasilkan *

1 *

2

1

(

1

x

)

/

2

x

x







Demikian juga, jika player 1 mengumumkan strateginya pada x₁ x₁*, player 2 akan mencapai profit maximumnya pada

* 2 *

1

2 (1 x )/2 x

x   

2nd _{derivative ( ,} *₎

2 1 1 x x

z untuk given

x

₂* dan

) ,

( ₁* ₂

2 x x

z untuk given

x

₁* adalah negative, maka

x

i konvergen terhadap

* i

x

, ini bisa diperiksa terhadap two linear reaction curves:

1

2

x

₁



x

₂



,

x

₁



2

x

₂



1

, berpotongan pada titik: * ₃1

2

1 x  xi 

x , i=1,2

Jadi, implikasi Cournet model adalah mudah untuk didinamisasi dan diaplikasikan

),

Tiap player memaximumkan intertemporal profit function dengan fixed initial dan

Aplikasikan Euler-Lagrange equation untuk mencapai titik maximum pada i=1,2 diperoleh sepasang linear differential equation:

1

boundry conditions for

x

i

Jika



2



2





3



0

maka

and opposite sign (saddle point equil.) Particular solution dengan vektor x*

Kasus n player

Fungsi demand

p



a

₁



bS

,

Marginal cost identik

Maximizing profit zi  pxi C(xi)

Optimal reaction

line

x

_i



(

a

/

b

)



S

,

untuk tiap cenderung competitive (atau quasi

competitive) dimana

)

semua n>0 dan price equal marginal cost (p = c)

2. Stackelberg solution

Asumsi: 1 atau 2 player is the leader dan lainnya follower

Player 2 (follower) punya reaction curve curve nya, namun mengantisipasi rivalnya (as follower) kedalam fungsi profitnya:

)

dan memaksimumkan profitnya terhadap outputnya (x1) dengan



z

₁

(

x

₁

,

x

₂

)

/



x

₁



0

3. Pareto Solution (cooperative solution) Total output:

x



x

₁



x

₂ Total profit:

Necessary condition of maximum:

0 i=1,2,….,n dengan MC equal every player

Profit maximizing

4. Solusi Quasi-Competitive (bila n kecil)

Demand

p



a

₁



bS

,



lebih rendah

# Dari sisi masyarakat, quasi competitive dipandang sebagai Pareto equilibrium) solution yang memiliki dua ciri penting: 1) cooperative, setiap produsen memiliki peran yang sangat kecil dan bertindak sebagai price taker. 2) efficient, tidak ada realokasi antar produsen yang dapat meningkatkan agregat output atau menurunkan tingkat harga lebih lanjut dari competitive level.

5. Solusi Market-Shares

Two players menghindari conflict dan perilaku noncooperative dengan mempertahankan market share yang diinginkan.

Market share player 1 dan player 2 adalah

)

6. Solusi Strategy Discrete

Fungsi demand

p



a

₁



b

(

x

₁



x

₂

)

dan total costs C(xi)cxi, i=1,2

Masing-2 player memiliki dua strategy yaitu

b

7. Solusi Nash Bargaining

Player 1 adalah pengusaha kecil sedang Agreement yang dilakukan semua produk player 1 dibeli oleh player 2.

Player 2 as monopolist: Maximum kedua pemain bila persetujuan telah

disepakati.

Kasus nonagreement, individual profit

i

Player 1 (small) memaximumkan

)]

(

)

(

[

z

₁

x

₁



z

₂

x

₂ sedangkan Player 2 (big) meminimumkan persamaan ini., tetapi

=z₁*(x₁*)z₂*(x₂*)

Solusi Nash equilibrium berisi dua hal bagi masing-2 player.

# Disagreement payoff (threat point atau status quo)

# Division of excess profits, yaitu selisih maximum profit hasil dari kerjasama yang berhu-bungan dengan disagreement pada awalnya,

Division rule for profits: Player 1 (kecil): agreement bekerja sama dan menjual firm nya, sedangkan player 2 (besar) memperoleh

equilibrium.

Generalisasi solusi Nash-bargaining terhadap many strategies dan many player:

Misal tm,tn adalah threat dipilih player 1 dan 2 dari himpunan mereka M dan N.

Sharing profit:

2

Untuk meningkatkan payoff nya, player 1 akan memaksimumkan

(

t

_n



t

_m

)

demikian juga player 2 memaksimumkan

(

t

_m



t

_n

)

sehingga dengan menjumlahkan kedua payoff tersebut diperoleh zero-sum game.

Untuk kasus n-person bargaining game G diasumsikan payoff player i diukur dengan transferable utility

u

i (i=1,2….,n) dan

diasumsikan utility adalah kardinal dan

memungkinkan membandingkan

interpersonal.

dimana N adalah himpunan n player dan A, B adalah positive constanta dimana B > A. Threat point atau status quo

) ,..., ,

(t₁ t₂ tn

t 

Nash solution adalah payoff vector

) division of utility (or profit):





Solusi Nash bargaining memaksimumkan product

semua pemain menerima net payoff yang

sama



D. Kesimpulan

1. Pengambilan keputusan yang rasional oleh individu untuk memaksimalkan pencapaian obyektifnya, ditentukan oleh kondisi lingkungan yang mempengaruhi pencapaian hasil baik yang bersifat alami maupun benturan pencapaian obyektif dengan opponen individu yang bersangkutan.

2. Game theory membantu pengambilan keputusan yang secara rasional dapat dipertanggung jawabkan oleh individu yang terlibat untuk mencapai hasil yang optimal.

3. Varian pengambilan keputusan dengan tehnik game theory dipengaruhi oleh sikap individu menghadapi resiko dan kondisi obyektif opponen yang dihadapi apakah opponen yang netral tidak terpengaruh keputusan individu atau opponen yang cerdas membuat kontra strategi untuk keuntungan dirinya.

Referensi:

2. Petersen, H.C. and Lewis, W.C. 1999. Managerial Economics, 4th _Edition.

Prentice Hall International Inc. New Jersey.

3. Schrage, L. 1986. LINDO: Linear, Integer and Quadratic Programming, Third Edition, The Scientific Press. Palo Alto, California.

4. Sengupta, J.K. 1987. Applied Mathematics for Economics. D. Reidel Publishing Company. Boston.

5. Taha, H.A. 1976. Operations Research an Introduction, 2nd _{Edition. MacMillan}