Mesin Carnot Kuantum Berbasis Partikel Dua Tingkat di
dalam Kotak Potensial Satu Dimensi
Yohanes Dwi Saputra ∗ dan Agus Purwanto† Laboratorium Fisika Teori dan Filsafat Alam (LaFTiFA), Jurusan Fisika, FMIPA, Institut Teknologi Sepuluh Nopember,
Kampus ITS Sukolilo, Surabaya 60111
Intisari
Telah dihitung efisiensi mesin Carnot kuantum berbasis partikel dua tingkat di dalam kotak potensial takhingga satu dimensi. Hasilnya hanya bergantung pada rasio volume selama proses adiabatik.
KATA KUNCI: mesin Carnot kuantum, kotak potensial dan efisiensi
I. PENDAHULUAN
Mesin panas termodinamika klasik mengkonversi energi panas menjadi kerja mekanik dengan sistem mekanika klasik yang mana gas berekspansi dan menekan piston di dalam silinder. Mesin panas ini memperoleh energinya dari tandon panas temperatur tinggi, beberapa bagian energi yang diam-bil dikonversi menjadi energi mekanik. Mesin panas tidak efisien secara sempurna yaitu beberapa bagian energi yang di-ambil dari tandon panas tidak dikonversi ke energi mekanik melainkan ditransfer ke tandon temperatur rendah.
Mesin panas klasik yang bekerja antara tandon temperatur tinggi dan tandon temperatur rendah mencapai efisiensi mak-simum jika mesin terbalikkan (reversibel). Sementara tidak mungkin membuat mesin panas yang terbalikkan secara sem-purna, tahun 1824 Carnot mengajukan model matematis dari mesin panas ideal yang tidak hanya terbalikkan melainkan juga membentuk siklus. Mesin Carnot terdiri dari silinder berisi gas ideal yang ditempatkan dalam keadaan kontak ter-mal bergantian dengan tandon temperatur tinggiTHdan
tem-peratur rendahTC[1].
Efisiensi dari mesin panas didefinisikan sebagai berikut: Jika sejumlah energi QH yang diambil dari tandon temperatur
tinggi dan sejumlah kerja mekanik W dihasilkan, maka efisiensiηdari mesin panas didefinisikan sebagai
η= W
QH
(1) Masalah utama dari mesin panas adalah rendahnya efisiensi. Untuk meningkatkan efisiensi digunakan bahan kuantum sebagai bahan aktif. Efek kuantum diharapkan mampu meningkatkan perbedaan termodinamika antara bahan aktif klasik dan kuantum dari mesin panas.
Konsep mesin panas kuantum pertama kali diperkenalkan oleh Scovil and Schultz-Dubois [2] dan dikembangkan secara lebih intensif empat dasawarsa kemudian. Mesin panas
∗E-mail:yds@physics.its..ac.id †E-mail:purwanto@physics.its.ac.id
kuantum memanfaatkan efek-efek kuantum seperti tingkat energi diskrit, koherensi kuantum atau kurungan kuantum (quantum confinement) di dalam proses menghasilkan kerja yang berasal dari selisih temperatur.
Di dalam artikel ini, kajian mesin panas difokuskan pada mesin panas menggunakan analogi kuantum dari mesin Carnot klasik. Sistem silinder dan gas digantikan oleh kotak potensial takhingga satu dimensi dan satu partikel di dalam kotak [3], sistem yang telah dikenal baik oleh mahasiswa fisika yang baru mempelajari fisika kuantum.
Di dalam analisa terdahulu [3] diperoleh bahwa efisiensi bergantunga pada rasio antara volume awal sebelum proses berlangsung dan volume akhir terbesar ekspansi menjelang proses termampatkan kembali. Di dalam artikel ini, kajian ulang lebih seksama memberikan bahwa efisisensi bergantung pada rasio volume awal dan akhir proses adiabatik, tidak bergantung pada perbedaan volume proses isotermal.
Artikel ini ditata sebagai berikut. Di Bagian II ditampilkan kembali konsep dasar di dalam termodinamika klasik dan konsep kotak potensial kuantum satu dimensi. Dijelaskan juga analogi gaya dalam proses ekspansi antara konsep klasik dan kuantum. Bagian III menguraikan karakteristik proses isotermal dan adiabatik serta penerapannya dalam siklus Carnot kuantum. Kesimpulan diberikan di Bagian IV.
II. KOTAK KUANTUM DAN TERMODINAMIKA A. Kotak Potensial Takhingga Satu Dimensi
Sistem kuantum paling sederhana adalah partikel bermassa m berada di dalam kotak potensial takhingga satu dimensi berukuranL, lihat referensi [4]. Persamaan Schrodinger di dalam kotak −~ 2 2m d2ϕ dx2 =Eϕ (2)
Syarat batas di kedua ujung kotak yang disebabkan oleh ke-takbrhinggaan potensial di kedua ujung kotak adalahϕ(0) =
0 =ϕ(L)dan normalisasi memberikan fungsi eigen ϕn(x) = r 2 Lsin nπ L x (3) dan nilai eigen
En =
π2~2
2mL2n
2 (4)
dengannadalah bilangan kuantumn= 1,2,3,· · ·.
Solusi umum persamaan Schrodinger (2) yang menyatakan partikel di dalam kotak dengan energi sembarang E adalah fungsi sembarang ϕ(x) → ψ(x) yang memenuhi kondisi ψ(0) = 0 = ψ(L)selalu dapat dinyatakan sebagai kombi-nasi linier dari fungsi eigen (3)
ψ(x) = ∞
X
n=1
anϕn(x) (5)
dengan koefisienanmemenuhi hubungan
|a1| 2 +|a2| 2 +|a3| 2 +· · ·= ∞ X n=1 |an| 2 = 1 (6)
EnergiEmerupakan energi rata-rata E=hEi= Z L 0 ψ∗Hψdx= ∞ X n=1 |an| 2 En (7)
B. Termodinamika Sistem Kuantum
Termodinamika membahas dinamika energi khususnya en-ergi panas dengan parameter-parameter temperatur, tekanan, volume dan massa gas atau bahan dari sistem. Bila temper-atur sistem berubah maka secara umum tekanan dan volume sistem juga akan ikut berubah. Keterkatitan antara parameter-parameter sistem termodinamika dinyatakan dalam hukum pertama
dQ=dU+dW (8)
Hukum termodinamika ini menyatakan bahwa panas yang di-terima sistem dQ akan digunakan untuk menaikkan energi dalam dU dan melakukan kerja dW. Perubahan masing-masing akan ditentukan oleh setiap proses terkait, apakah proses adiabatik, isotermal, isobar atau isovolume.
Analogi proses termodinamika untuk partikel di dalam kotak potensial dapat dilakukan seperti berikut. Energi rata-rata par-tikel terkait dengan temperatur klasik di dalam sistem termod-inamika yang mana temperatur sebanding dengan rata-rata en-ergi kinetik partikel.
Di dalam termodinamika klasik, gas sebagai bahan aktif men-dorong piston dengan tekananP. Di dalam kotak potensial, li-hat FIG.1, dinding kotakLdianggap dapat bergerak dan gerak partikel akan mendorong dinding dengan gayaFyang menye-babkan penurunan energi partikel
F =−dE
dL (9)
Untuk partikel dengan energi (10) maka gaya partikel pada dinding diberikan oleh
F = ∞ X n=1 n2|an|2 π2~2 mL3 (10)
Secara umum koefisienanbergantung padaL.
Jika partikel mendorong dinding kotak dariL1dan bergeser sampaiL2maka partikel melakukan kerja
W =
Z L2
L1
F dL (11)
yang secara umum dapat diperoleh dari panas yang masuk dari luar dan perubahan energi dalam.
Gambar 1: Analogi Piston dan Kotak Potensial
III. MESIN CARNOT KUANTUM A. Proses Adiabatik
Di dalam proses adiabatik sistem diisolasi secara termal dengan dinding adiabatik sehingga panas tidak dapat masuk atau keluar sistem,dQ= 0. Di dalam proses ini piston berg-erak tetapi sistem tetap dalam keadaan setimbang setiap saat. Ketika piston bergerak, gas di dalam silinder melakukan kerja. Dengan demikian, beberapa energi gas dikonversi ke dalam energi mekanik. Kerja terjadi karena penurunan energi dalam gas.
−dU=dW (12)
Karena sistem dalam keadaan setimbang dan tanpa panas masuk atau keluar maka keadaan sistem
ψ(x) =X
n
anϕn(x) (13)
tetap. Tepatnya, selama proses adiabatik koefisienantetap.
B. Proses Isotermal
Di dalam proses isotermal sistem mengalami kontak termal dengan tandon panas dan panas dapat masuk sistem. Akibat-nya, selama proses ini partikel di dalam tandon dapat men-galami transisi keadaan sehingga secara umum koefisienan
dari kedaan (13) mengalami perubahan,
Meskipun keadaan mengalami transisi, selama proses ini berlangsung kesetimbangan tetap dipertahankan dan temper-atur tidak mengalami perubahan. Untuk gas ideal yang hanya bergantung pada temperatur maka energi dalam gas, den-gan demikian juga tidak mengalami perubahan, dU = 0. Ini berarti bahwa panas yang diserap gas digunakan untuk melakukam usaha
dQ=dW (14)
C. Siklus Carnot Kuantum
Sekarang kita tinjau kasus spesifik yaitu siklus carnot untuk partikel di dalam kotak potensial. Siklus Carnot terdiri dari empat proses yang masing-masing terbalikkan. Pertama, partikel di dalam kotak mengalami ekspansi isotermal pada temperaturTH sambil kontak dengan tandon panas. Kedua,
partikel mendorong dinding secara adiabatik yakni dalam keadaan terisolasi termal sampai temperatur jatuh menjadi TC. Ketiga, partikel di dalam kotak ditekan secara isotermal
dalam keadaan kontak dengan tandon temperatur rendah. Keempat, partikel ditekan kembali tetapi secara adiabatik sampai mencapai temperaturTHseperti diberikan oleh FIG.2.
Di dalam artikel ini, kita membatasi pada sistem partikel
Gambar 2: Siklus Mesin Carnot
hanya dengan dua keadaan yaitu keadaan dasar ϕ1 dengan energi eigenE1 dan keadaan tereksitasi pertamaϕ2 dengan energi eigenE2.
Kita berangkat dari kondisi awal kotak potensial selebarL1 dan partikel dalam keadaan dasar dengan energiE1
E1= π 2 ~2 2mL2 1 (15) 1. Proses Isotermal 12
Partikel mendorong dinding secara isotermal yang berarti bahwa partikel mendorong dinding sambil kotak beriteraksi
dengan tandon. Partikel mengalami transisi atau tereksitasi sehingga keadaan aktual selama proses ini adalah
ψ(x) =a1(L) r 2 Lsin πx L +a2(L) r 2 Lsin 2πx L (16)
dengan koefisiena1dana2memenuhi
|a1|2+|a2|2= 1 (17)
Energi partikel selama nebdorong dinding sumur E(L) = |a1|2E1+|a2|2E2
= 4−3|a1|2 π
2
~2
2mL2 (18) Energi ini sama dengan energiE1(15) yaitu energi ketika sis-tem dalam kondisi awal. Kaitan kedua energi ini memberi hubungan
L2 = 4−3|a1| 2
L21 (19)
Gaya yang dilakukan partikel untuk mendorong dinding kotak L, F12(L) = π 2 ~2 mL2 1L (20) Partikel terus melakukan usaha dengan mendorong dinding, jarak terjauh yang dapat dicapai dinding adalah
L=L2= 2L1 (21)
Ketika dinding kotak mencapai jarak maksimum2L1ini, dari pers.(19) tampak bahwaa1= 0yang berarti keadaan menjadi murni tereksitasiψ=ϕ2 ψ(x) = r 2 L2 sin2πx L2 (22) dengan energiE=E1=E2, E2=4π 2 ~2 2mL2 2 (23) 2. Proses Adiabatik 23
Setelah mencapai keadaan dua, L2, keadaan akhir dari proses isotermal, sistem melanjutkan proses ekspansi dalam situasi terisolasi yaitu proses adiabatik. Selama proses ini tidak terdapat panas masuk kotak, partikel tetap dalam keadaanϕ2yaitua2tetap dan kerja mendorong dinding diper-oleh dari penurunan energi dalam
E=4π 2
~2
2mL2 (24) Gaya yang dilakukan untuk mendorong dinding diLadalah
F23= 4π 2
~2
Ekspansi adiabatik dariL2berakhir diL3misalkan
L3=αL2 (26)
dengan faktor α > 1. Fungsi keadaan partikel di akhir ekspansi adiabatik adalah
ψ(x) =ϕ2(x) = r 2 L3 sin2πx L3 (27) dengan energi E3= 4π2 ~2 2mL2 3 =E2/α2 (28) 3. Proses Isotermal 34
Proses selanjutnya, sumur termampatkan sambil kontak termal sehingga partikel mengalami transisi dan mepunyai keadaan
ψ(x) =a1ϕ1(x) +a2ϕ2(x) (29) dengan temperatur dipertahankan. Energi dalam (18) selama proses pemampatan isotermal ini sama dengan energiE3(28). Hubungan antar lebar sumur dan koefisien transisia1 berben-tuk L2 = 4−3|a1| 2 4 L 2 3 (30)
Gaya partikel menahan dinding F34(L) = 4π 2 ~2 mL2 3L (31) Pers.(30) membatasi pemampatan maksimum yaitu ketika keadaan menjadi murni keadaan dasara2 = 0, a1 = 1yang terjadi ketika
L4= L3
2 (32) Pada saat sumur selebarL4fungsi eigen partikel
ψ(x) =ϕ1(x) = r 2 L4sin πx L4 (33)
dengan energi eigenE4=E3.
4. Proses Adiabatik 41
Selanjutnya, gas dengan keadaan dasar termampatkan se-cara adiabatik sampai sumur berukuran L1. Gaya partikel menahan dinding antaraL4danL1adalah
F41= π 2
~2
mL3 (34)
5. Kerja dan Efisiensi Mesin
Dari siklus proses kuantum di depan kita dapat menghitung usaha total yang dilakukan mesin. Usaha yang dilakukan
se-lama empat proses kuantum tersebut adalah
W = I F dL = Z L2 L1 F12dL+ Z L3 L2 F23dL + Z L4 L3 F34dL+ Z L1 L4 F41dL (35)
Lebar sumur akhir setiap proses (21), (26) dan (32) terkait dengan lebar sumur awal
L2= 2L1, L3= 2αL1, L4=αL1 (36) dengan α adalah faktor yang menghubungkan lebar sumur awal dan lebar akhir proses adiabatik (26). Selanjutnya, subti-tusi gaya-gaya (20), (25), (31) dan (34) serta lebar sumur (36) diperoleh W = π 2 ~2 mL2 1 ln 2 1− 1 α2 (37) Sedangkan panas yang diserap mesin adalah
QH = Z L2 L1 F12dL=π 2 ~2 mL2 1 ln 2 (38)
Dengan demikian, dari kerja (39) dan panas yang diserap (38) diperoleh efisiensi mesin
η= 1− 1
α2 (39)
yang hanya bergantung pada rasioα=L3/L2.
IV. KESIMPULAN
Kita telah evaluasi sistem termodinamika kuantum paling sederhana yakni kotak potensial takberhingga satu dimensi dengan satu partikel. Sistem mengembang dengan proses sik-lus Carnot dan efisiensi hanya bergantung pada rasio lebar sumur awal dan akhir proses adiabatik. Jika α = 2 yakni ketika ukuran kotak akhir kedua proses isotermal sama maka efisiensi mesih adalah 75 persen.
Meningat tingkat keadaan sistem kuantum umumnya tidak hanya dua maka menarik untuk mengkaji proses bagi sis-tem dengan keadaan berhingga lebih dari dua dan keadaan berhingga. Kajian hal terakhir ini sedang dalam progres.
Ucapan Terima Kasih
AP sampaikan terimakasih kepada Dr Darminto yang telah memberi kesempatan untuk mempresentasikan dan mendiskusikan masalah ini di dalam Forum Seminar Seninan Jurusan Fisika ITS yang telah berlangsung sejak 2003.
[1] F.W. Sears and G.L. Salinger, Thermodynamics, Kinetic The-ory, and Statistical Thermodynamics (Addison Wesley, Mas-sachusetts, 1975).
[2] H. Scovil and E. Schulz-Dubois, Phys. Rev. Lett. 2 262(1959).
[3] C.M. Bender, D. C. Brody, and B. K. Meister, J. Phys. A 33 4427(2000).
