MESIN PANAS KUANTUM BERBASIS SUMUR POTENSIAL SATU
DIMENSI
Yohanes Dwi Saputra*) dan Agus Purwanto Laboratorium Fisika Teori dan Filsafat Alam (LaFTiFA)
Jurusan Fisika FMIPA-ITS
Kampus ITS Keputih-Sukolilo, Surabaya 60111 *)e-mail: yohanesngawi@yahoo.co.id
Abstrak
Mesin panas kuantum sebagai aplikasi termodinamika kuantum telah dimodelkan dengan basis partikel tunggal dalam sumur potensial satu dimensi. Secara spesifik dibahas mesin Carnot dan mesin Diesel kuantum, dihitung efisiensinya berdasar hukum termodinamika.
Kata kunci: sumur potensial, mesin Carnot kuantum, mesin Diesel kuantum, efisiensi
Abstract
Quantum heat engine as a application of quantum thermodynamic has been modeled, based on a single quantum–mechanical particle confined to a potential well. Specifically explained quantum Carnot engine and quantum Diesel engine, also their efficiency calculation based on thermodynamic law.
Keywords: potensial well, quantum Carnot engine, quantum Diesel engine, efficiency 1. Pendahuluan
Keinginan masyarakat teknologis seperti sekarang ini adalah memanfaatkan sumber-sumber energi yang tersedia di alam lebih daripada kekuatan otot. Adapun hampir seluruh energi yang dihasilkan dari pengolahan bahan bakar fosil dan reaksi nuklir berupa energi panas sedangkan masyarakat sangat memerlukan energi mekanik untuk menjalankan mesin atau kendaraan. Akhirnya dibuatlah mesin panas, yaitu suatu perangkat yang mampu mengubah energi panas tersebut menjadi usaha mekanik pada suatu sistem mekanik, misalnya gas di dalam silinder berpiston. Maka lahirlah mesin Carnot, Diesel dan mesin-mesin yang lain.
Pada prinsipnya, mesin panas ini mengubah energi panas yang diambil dari tandon panas semaksimal mungkin menjadi energi mekanik dan sisanya dialirkan ke
tandon dingin. Pada prakteknya, pasti akan dijumpai sisa energi panas yang tidak diubah menjadi energi mekanik karena adanya proses yang kurang reversibel sehingga mengurangi efisiensi mesin. Kenyataan ini merupakan bukti hukum kedua termodinamika yang telah diungkapkan oleh Kelvin Plank:
“Tidak ada proses termodinamika yang mungkin dimana semua panas yang diserap dari tandon panas akan diubah seluruhnya menjadi usaha.” (Young, 2002)
Mesin panas yang ada sekarang ini masih memiliki efisiensi yang rendah, termasuk mesin Carnot yang dikenal paling efisien di antara semua mesin panas. Maka untuk meningkatkan efisiensi mesin-mesin panas tersebut diperlukan tinjauan secara kuantum. Pada jurnal ini akan ditinjau mesin Carnot dan Diesel kuantum.
2. Partikel Tunggal di dalam Sumur Potensial Satu Dimensi
Sebuah partikel bermassa m berada pada sumur potensial satu dimensi sesuai Gambar 1.
Gambar 1. Partikel tunggal di dalam sumur potensial satu dimensi.
Secara matematis, fungsi gelombangnya yaitu
0 untuk
0 dan
x
x
x
L
. Persamaan Schrodinger tak bergantung waktu untuk sistem ini yaitu
2 2 2
, untuk 0
2
d
E
x
L
m dx
yang mempunyai solusi fungsi eigen dan energi eigen berturut-turut
2
sin
nn x
x
L
L
2 2 2 22
nn
E
mL
dengan n = 1, 2, 3, ….Semua solusi eigen yang mungkin dari sistem ini merupakan vektor basis-vektor basis yang saling tegak lurus dari ruang vektor (fungsi gelombang) sistem, sehingga bisa dinyatakan sebagai
1
n n n
x
a
x
dimana koefisien an memenuhi kondisi ternormalisasi 2 1
1.
n na
Energi rata-rata yang dimiliki sistem sebesar 2 1
.
n n nE L
a
E
Salah satu dinding sumur potensial ini (x = L) dapat bergerak searah sumbu-x layaknya piston yang bergerak maju mundur di dalam silinder. Gaya mekanik yang menggerakkan dinding ini yaitu
2 2 2 2 3 1
.
n ndE L
n
F L
a
dL
mL
Gambar 2. Sistem kuantum yang dianalogikan dari sistem klasik.
Dari ketiga besaran lebar sumur, energi rata-rata, dan gaya mekanik dinding sumur potensial ini, proses-proses termodinamika seperti adiabatik, isotermal, isovolume, dan isobar untuk sistem ini dapat diterangkan.
Pada jurnal ini, sistem yang ditinjau berupa partikel tunggal di dalam sumur potensial tak berhingga satu dimensi dimana dikhususkan untuk kasus dua keadaan eigen n = r dan n = s dari sumur potensial yang berkontribusi pada fungsi gelombang di dalam sumur. Adapun kasus yang paling sederhana yaitu eksitasi partikel dari keadaan dasar (r = 1) ke keadaan eksitasi pertama (s =
2) (Bender, 2000). Fungsi gelombang yang sesuai untuk kasus dua keadaan eigen n = r dan n = s yaitu 2 2 sin sin . r s r x s x x a a L L L L
Energi rata-rata sistem yaitu
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
2
r sr
s
E L
a
a
mL
mL
dan gaya mekanik dinding sumur sebesar
2 2 2 2 2 2 2 2 3 3
.
r sr
s
F L
a
a
mL
mL
3. Mesin Carnot Kuantum
Grafik gaya mekanik sebagai fungsi lebar sumur untuk mesin Carnot kuantum terlihat pada Gambar 3.
Gambar 3. Siklus Carnot kuantum.
Siklus Carnot kuantum melewati lintasan BCDAB. Penentuan efisiensinya adalah sebagai berikut.
Keadaan awal (titik B):
Partikel berada pada keadaan eigen n = r dengan besar energi rata-rata
2 2 2 2
2
B Br
E
mL
. Langkah BC:Terjadi proses isotermal kuantum dimana partikel tereksitasi dari keadaan eigen awal (n = r) ke keadaan eigen akhir (n = s)
untuk menjaga energi rata-rata selalu konstan. Besar energi rata-ratanya yaitu
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
.
2
2
BC r sr
s
E
L
a
a
mL
mL
Dari keadaan ternormalisasi diperoleh
2 2
1
s ra
a
maka 2 2 2 2 2 2 2.
2
BC rE
L
s
a
r
s
mL
Karena pada proses isotermal kuantum energi rata-ratanya konstan maka berlaku
2 2 2 2 2 2 2
0
,
1
.
B BC r B r B r BE
E
L
r L
s
a
r
s
L
s
a
L
L s
r
r
a
L
L
Jadi nilai maksimum yang mungkin untuk L adalah LC = sLB/r dan ini terjadi ketika ar = 0. Gaya luar yang bekerja yaitu
2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2
.
BC r Br
F
L
s
a
r
s
mL
mL L
Terlihat bahwa nilai LFBC selalu konstan. Hal ini sesuai dengan analogi klasiknya. Secara umum, pada sistem sumur potensial satu dimensi yang mengalami proses isoterm kuantum, berlaku
C
L
LF
dengan C adalah konstanta. Langkah CD:
Sistem mengalami ekspansi adiabatik kuantum dari L = LC sampai L = LD. Partikel tetap berada pada keadaan eigen akhir n = s dengan energi rata – rata
2 2 2 2 2
.
2
CD ss
E
L
a
mL
Pada keadaan adiabatik, koefisien an bernilai konstan sehingga keadaan ternormalisasi yang sesuai yaitu
1
2 1 2 s n na
a
sehingga energi rata–ratanya menjadi
.
2
2 2 2 2mL
s
E
CD
2 2 2 3
.
CDs
F
L
mL
Dari persamaan di atas, dapat diketahui bahwa pada proses adiabatik kuantum berlaku
C L F L3
dengan C suatu konstanta. Keadaan D:
Partikel berada pada keadaan eigen akhir n = s dengan energi rata – rata sebesar
2 2 2 2
.
2
D Ds
E
mL
Langkah DA:Terjadi kompresi isotermal kuantum dari L = LD menuju L = LA. Energi rata– ratanya sebesar 2 2 2 2 2 2 2
.
2
BC rE
L
s
a
r
s
mL
Pada proses isotermal kuantum berlaku2 2 2 2 2 2 2
0
1
,
.
D DA r D r D r DE
E
L
s L
s
a
r
s
L
a
L
L
r
a
L
L s
r
s
Jadi nilai minimum yang mungkin untuk L pada proses ini sebesar LA = rLD/s. Selama proses ekspansi isotermal kuantum, gaya luar yang bekerja yaitu
2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2
.
DA r Ds
F
L
s
a
r
s
mL
mL L
Langkah AB:Langkah terakhir adalah proses kompresi adiabatik kuantum dari L = LA menuju L = LB. Selama proses kompresi ini, partikel tetap berada pada keadaan eigen awal n = r. Energi rata – ratanya yaitu
2 2 2 2
.
2
ABr
E
L
mL
Gaya luar yang bekerja sebesar2 2 2 3
.
ABr
F
L
mL
dengan nilai L3FAB selalu konstan.Untuk mendapatkan nilai efisiensi mesin Carnot, dipakai persamaan
t in
W
Q
.Untuk mendapatkan Wt, ditinjau kurva F(L) pada Gambar 3. Luas daerah yang dilingkupi lintasan ABCDA merupakan besar usaha total Wt yang dilakukan sistem, yaitu
2 2 2 2 2 2
ln
.
B D B B D B D D sL r L t L BC sL r CD rL s L DA AB L rL s B DW
F
dL
F
dL
F dL
F dL
r
s
s
m
L
L
r
Dari termodinamika diperoleh
.
in BC BC BC
Q Q U W
Karena pada langkah BC nilai UBC = 0 (energi rata-ratanya konstan) maka didapat
2 2 2 2
ln .
in BC Br
s
Q
W
mL
r
Penentuan efisiensi mesin Carnot kuantum baru bisa dilakukan dan hasilnya
2 2 2 2 1 B atau 1 D. D B L E s r L E
4. Mesin Diesel Kuantum
Mesin Diesel kuantum memiliki siklus seperti tampak pada Gambar 4 berikut
ini.
Gambar 4. Siklus Diesel kuantum. Mesin ini memiliki lintasan ABCDA. Efisiensinya ditentukan dengan cara yang
Keadaan A :
Energi rata-rata pada titik A yaitu 2 2 2 2
.
2
A Ar
E
mL
Langkah AB :Terjadi proses kompresi adiabatik kuantum tanpa mengubah keadaan eigen n = r. Lebar sumur menyempit dari L = LA ke L = LB dengan rasio kompresi
.
A k BL
r
L
Energi rata – ratanya sebesar2 2 2 2
.
2
ABr
E
L
mL
Gaya luar yang bekerja sebesar2 2 2 3
.
ABr
F
L
mL
Keadaan B :Besar energi rata – ratanya 2 2 2 2
2
B Br
E
mL
dan gaya luar yang bekerja pada sistem sebesar 2 2 2 3
.
B Br
F
mL
Langkah BC :Sistem mengalami ekspansi isobar kuantum dengan gaya mekanik dinding sumur konstan sebesar
2 2 2 2 2 2 3
.
BC rF
L
s
a
r
s
mL
Karena gaya mekanik konstan maka berlaku2 3 2 2 2 2 3 2/3
0
,
1
.
B BC r B r B C r BF
F
L
r L
s
a
r
s
L
s
a
L
L
L s
r
r
a
L
L
Jadi LC = (s/r)2/3LB dengan LC > LB. Gaya mekaniknya menjadi 2 2 2 3
.
BC Br
F
L
mL
Dari persamaan ini dapat dilihat bahwa
BC B C
F L F F C
dengan C suatu kostanta. Keadaan C :
Energi rata–ratanya sebesar 2 2 2 2
.
2
C Cs
E
mL
Langkah CD :Proses ekspansi adiabatik terjadi pada proses ini, sehingga energi rata – ratanya 2 2 2 2
2
CDs
E
L
mL
dan gaya luarnya sebesar2 2 2 3
.
CDs
F
L
mL
Keadaan D :Energi rata – rata pada titik D yaitu 2 2 2 2
2
D Ds
E
mL
, Langkah DA :Langkah ini mengembalikan keadaan eigen partikel dari n = s kembali ke n = r
pada kondisi lebar sumur yang tetap L = LD = LA, sehingga
0.
dL
Usaha total mesin Diesel kuantum yaitu
Kalor input dicari sesuai persamaan
2 3 2 3 2 4 2 2 3 3 3 2 . 2 in BC BC BC B C B C C B C Q Q U W s L L r L L r L m L L
Efisiensi mesin Diesel kuantum diperoleh sebesar 3 3 2 1 1 1 1 3 1 C B C A B B L L L L L L atau 3 3
1
1
.
3
C B A A C B A AL
L
L
L
L
L
L
L
5. KesimpulanEfisiensi mesin Carnot dan mesin Diesel kuantum pada sistem partikel tunggal di dalam sumur potensial ini memiliki bentuk yang sama dengan efisiensi mesin Carnot dan Diesel klasiknya. Apabila rasio-rasio yang ada dibuat sama untuk kedua sistem kuantum dan klasik, seperti rasio kompresinya maka terlihat bahwa mesin Diesel kuantum lebih efisien daripada mesin klasiknya. Tersirat juga dari persamaan efisiensi mesin Diesel kuantum bahwa besar konstanta Laplace untuk sistem ini sebesar 3, sementara telah diketahui bahwa untuk gas monoatomik sendiri sebesar 1,67.
Daftar Pustaka
1. Bender, C.M., D.C. Brody, B.K. Meister, Quantum-Mechanical Carnot Engine. 2000, arXiv:quant-ph/0007002v1.
2. Young, H.D., R.A. Freedman, Sears & Zemansky Fisika Universitas (Terjemahan).Jilid 1. 2002, Erlangga: Jakarta. 2 2 3 3 2 3 3 2 2 3 3 3 2 3 4 2 3 3 2 2 3 3 3 3 2 2 2 A B C A B C t A B C A C A B C A B C r s L L L r L L L W m L L L r L L s L L L m L L L
