Prof.Dr. Budi Murtiyasa Muhammadiyah University of Surakarta

(1)

SIMILARITAS

••SimilaritasSimilaritas

••PendiagonalanPendiagonalan MatriksMatriks

••SimilaritasSimilaritas daridari MatriksMatriks SimetriSimetri

Prof.Dr. Budi Murtiyasa

(2)

P

t

P

t

Pengantar

C i k d kt k kt i tik d i C i k d kt k kt i tik d i

••

Cari akar dan vektor karakteristik dari Cari akar dan vektor karakteristik dari

⎟ ⎞ ⎜ ⎛5 14 13 AA ⎟⎟ ⎞ ⎜ ⎜ ⎛ 1 3 1 1 2 2 B = B = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝0 0 1 0 1 0 A = A = ⎟ ⎟ ⎠ ⎜ ⎜ ⎝1 2 2 1 3 1 ⎟ ⎠ ⎜ ⎝0 0 1

(3)

Si il it

Similaritas

•

Dua matriks transformasi A dan B dikatakan similar jika terdapat matriks nonsingular R

similar jika terdapat matriks nonsingular R sehingga B = R-1_AR

C h

•

Contoh :

⎞

⎛2 2 1 _⎜⎛5 14 13_⎟⎞

A = dan B = adalah similar

⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 2 2 1 1 3 1 1 2 2 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 1 0 0 0 1 0 13 14 5

sebab terdapat matriks P = ,

h 1 ⎠ ⎝1 2 2 ⎝ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎛ 4 3 1 3 4 1 3 3 1 sehingga B = P-1_AP. ⎜_⎝1 3 4⎟_⎠

(4)

Sifat :

1) dua matriks yang similar mempunyai akar karakteristik yang sama

akar karakteristik yang sama

22 )) jika Y adalah vektor karakteristik dari B yang berhubungan dengan dari B yang berhubungan dengan akar karakteristik λ_i_i, maka X = PY, adalah vektor invarian A yang

berhubungan dengan akar

(5)

Persoalannya sekarang adalah :

Jika diketahui dua matriks

A dan B, bagaimana mendapatkan

t ik P

hi

b l k

matriks P sehingga berlaku

P

-1

_{AP = B ?}

(6)

••

Cari akar dan vektor karakteristik dariCari akar dan vektor karakteristik dari ⎟ ⎞ ⎜ ⎛5 0 0 D = D = ⎟ ⎟ ⎟ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎛ 0 4 0 0 0 5 ⎟ ⎠ ⎜ ⎝0 0 −3

(7)

M t ik Di

l

M t ik Di

l

Matriks Diagonal

⎟ ⎞ ⎜ ⎛−3 0 0 D = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 0 0 9 0 7

0 _{. Akar dan vektor karakteristik dari matriks D} ⎠

⎝ 0 0 9

adalah λ₁ = -3 λ₂ = 7 dan λ₃ = 9 Dengan vektor adalah λ₁ 3, λ₂ 7, dan λ₃ 9. Dengan vektor

⎟ ⎞ ⎜ ⎛1 ⎟ ⎞ ⎜ ⎛0 ⎟ ⎞ ⎜ ⎛0

karakteristiknya bertutut-turut adalah

⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 0 0 , ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 0 1 , dan ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 1 0 . ⎟ ⎠ ⎜ ⎝0 ⎜_⎝0⎟_⎠ ⎜_⎝1⎟_⎠

(8)

Setiap matriks diagonal

berdimensi

nnxxnn

pasti

berdimensi

berdimensi nnxxnn

pasti

mempunyai

nn

vektor

mempunyai

mempunyai nn

vektor

yang bebas linear

yang bebas linear.

(9)

Similar dengan Matriks Diagonal :

Pendiagonalan Matriks

••

Teorema :

Setiap matrik A bedimensi

nn

xx

nn

yg

ii

k

b b

mempunyai

nn

vektor yang bebas

linear similar dengan matriks

diagonal.

(10)

B kti

Bukti:

Andaikan X11, X, 22, X, 33, …, X, , nn adalah vektor invarian ygyg

berhubungan dng akar karakteristik λ1, λ2, λ3, .., λn

sehingga AX_i = λ_i X_i (i = 1, 2, 3, …, n).

Andaikan P = [X1 X2 X3 X ] maka

Andaikan P [X1 X2 X3 … Xn], maka

AP = A[X1 X2 X3 … Xn] = [AX1 AX2 AX3 … AXn]

(11)

Bukti…

⎟ ⎟ ⎟ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎛ λ λ 0 ... 0 0 0 ... 0 0 2 1 AP = [X1 X2 X3 … Xn] ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ _λ ... ... ... ... ... 0 .. 0 0 ₃ ⎟ ⎠ ⎜ ⎝ 0 0 0 ... λn AP = [X1 X2 X3 X ] diag(λ1 λ2 λ3 λ ) AP [X1 X2 X3 … Xn] diag(λ1, λ2, λ3, .., λn) AP = P D P-1AP = P-1P D P-1AP D P-1AP = D

Jadi matriks A similar dengan matriks diagonal D, sebabg g , ada matriks non singular P sehingga P-1AP = D.

(12)

••

Matriks AA

Matriks

Matriks AA

_nn_nn_xx_xx_nn_nn

yg

yg mempunyai

yg

yg mempunyai

mempunyai

nn

vektor

vektor invarian

invarian yg

yg bebas

bebas linear

linear

dinamakan

diagonalisabel

((dapat

dapat

didi

lk

didi

lk

/ i il

/ i il dd

didiagonalkan

didiagonalkan / similar

/ similar dengan

dengan

matriks

matriks diagonal)

diagonal)

matriks

(13)

Algoritma utk mendiagonalkan matriks Anxn :

(1) cari akar-akar karakteristik dari matriks A, yaitu λ_i_i (i = 1,2, 3, …, n)

(2) cari vektor-vektor karakteristik dari A yg berhubungan dengan akar-akar karakteritik λ_i.

(3) Jika banyaknya vektor invarian < n, maka A tidak

di li b l S l i

diagonalisabel. Selesai.

(4) Jika banyaknya vektor invarian = n, maka A diagonalisabel Selanjutnya :

diagonalisabel. Selanjutnya :

(4.1). Ambil P = [X1 X2 X3 … Xn], dengan X adalah vektor invarian dari A

adalah vektor invarian dari A. (4.2). Cari P-1

(4.3). P-1_{AP = D = diag(}_λ

1, λ2, λ3, .., λn), dengan

(4.3). P AP D diag(λ₁, λ₂, λ₃, .., λ_n), dengan

λ_i adalah akar-akar karakteristik dari A. (4.4). selesai.

(14)

t h

contoh

⎞ ⎛ Apakah matriks A = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 3 2 1 2

diagonalisabel ?. Jika ya, cari

⎠ ⎝

matriks P sehingga P-1AP = D (diagonal). matriks P sehingga P AP D (diagonal).

(15)

t h

contoh

⎞ ⎛

Apakah matriks A =

⎟⎟ ⎞ ⎜ ⎜ ⎛ 2 2 0 2 1 1

diagonalisabel ? Jika ya cari

Apakah matriks A

⎟ ⎟ ⎠ ⎜ ⎜ ⎝−1 1 3 2 2

0

diagonalisabel ?. Jika ya, cari

(16)

t h

contoh

⎞ ⎛

••

Apakah matriks A = Apakah matriks A = di li b l ? di li b l ? ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − 6 2 2 3 diagonalisabel ? diagonalisabel ?

Jika ya, cari matriks P sehingga P

Jika ya, cari matriks P sehingga P--11_{AP = D}_{AP = D}

⎠ ⎝ J a ya, ca at s se gga J a ya, ca at s se gga (Didagonal). (Didagonal).

(17)

t h

contoh

⎟ ⎞ ⎜ ⎛ 2 −4 2

••

Apakah matriks B = Apakah matriks B = di li b l ? di li b l ? _⎟⎟ ⎟ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎛ − −4 2 2 2 4 2 diagonalisabel ? diagonalisabel ? _⎟ ⎠ ⎜ ⎝ 2 −2 −1

Jika ya, cari matriks P sehingga P

Jika ya, cari matriks P sehingga P--11_{BP = D}_{BP = D}

(Diagonal) (Diagonal) (Diagonal). (Diagonal).

(18)

Similaritas dari matriks

Similaritas dari matriks--matriks

matriks

Similaritas dari matriks

Similaritas dari matriks matriks

matriks

Simetri

••

Jika A matriks simetri, yaitu AJika A matriks simetri, yaitu ATT _{= A,}_{= A,}

k d t dit k t ik k d t dit k t ik maka dapat ditemukan matriks maka dapat ditemukan matriks ortogonal R sehingga R ortogonal R sehingga R_g_g _gg_gg --11_{AR = D}_{AR = D} (diagonal). (diagonal).

••

Teorema :Teorema : Vektor

Vektor--vektor invarian dari matriks vektor invarian dari matriks

simetri yg berasal dari akar karakteristik simetri yg berasal dari akar karakteristik simetri yg berasal dari akar karakteristik simetri yg berasal dari akar karakteristik yg berbeda adalah saling ortogonal

(19)

bukti

Andaikan X1 dan X2 adalah vektor invarian yg berasal dari

λ d λ (d λ λ ) d i t ik i t i A k

λ1 dan λ2 (dengan λ1 ≠ λ2 ) dari matriks simetri A, maka : AX1 = λ1X1 AX1 λ1X1 T X₂ _AX₁₌ X₂T λ₁_X₁ ₍₁₎ ( X2T AX1)T = (λ1 T X₂ _X₁₎T T X₁ _AT_X₂₌λ₁ X₁T _X₂ T X₁ _A _X₂₌λ₁ X₁T _X₂ ₍₂₎

(20)

bukti…

Sementara itu juga : Sementara itu juga : AX2 = λ2X2 T X T _A λ X T ₍₃₎ X₁ _AX₂₌λ₂ X₁T _X₂ ₍₃₎ ( X1T AX2)T = (λ2 T X₁ _X₂₎T T X ₂ _AT_X₁₌λ₂ X ₂T _X₁ T X ₂₂ _{A X}_A _X₁₁₌ λλ₂₂ X ₂₂T _X_X₁₁ ₍₄₎₍₄₎ dari (2) dan (3) : λ T X _X λ X T _X λ1 X1 X2 = λ2 X1 X2 λ₁ T X₁ _X₂_-λ₂ X₁T _X₂_{= 0} (λ1- λ2) T X₁ _X₂_{= 0 atau} X₁T _X₂_{= 0}

(21)

Untuk matrik simetri A, algoritma untuk mendapatkan Untuk matrik simetri A, algoritma untuk mendapatkan

matriks ortogonal R sehingga R

matriks ortogonal R sehingga R--11_{AR = D (diagonal) adlh}_{AR = D (diagonal) adlh}

(1) cari akar karakteristik dari A (1) cari akar karakteristik dari A (1) cari akar karakteristik dari A (1) cari akar karakteristik dari A (2) cari vektor invarian dari A (2) cari vektor invarian dari A

(3) jika semua akar karakteristik berbeda, maka vektor invarian (3) jika semua akar karakteristik berbeda, maka vektor invarian

( ) j ,

X1, .., Xn adalah saling ortogonal. X1, .., Xn adalah saling ortogonal. (3.1) normalisir vektor

(3.1) normalisir vektor--vektor X1, …, Xn sehingga menjadi Y1, vektor X1, …, Xn sehingga menjadi Y1, Y2 Yn

Y2 Yn Y2,…, Yn. Y2,…, Yn.

(3.2) Matriks ortogonal R = [Y1 Y2 …

(3.2) Matriks ortogonal R = [Y1 Y2 … Yn].Yn]. (3.3) R

(3.3) R--11_{AR = D (diagonal). Selesai.}_{AR = D (diagonal). Selesai.}

( )

( ) (( gg )) (4)

(4) Jika ada akar karakteristik yg samaJika ada akar karakteristik yg sama, misalnya , misalnya λλ₁₁ = = λλ₂₂, ,

maka X1 dan X2 belum ortogonal; sedangkan X3, …, Xn sudah maka X1 dan X2 belum ortogonal; sedangkan X3, …, Xn sudah ortogonal

ortogonal ortogonal. ortogonal.

(4.1) lakukan proses Gram

(4.1) lakukan proses Gram--Schmidt thd X1 dan X2 sehingga Schmidt thd X1 dan X2 sehingga menjadi W1 dan W2 yang saling ortogonal.

menjadi W1 dan W2 yang saling ortogonal. (4.2) Ambil W3 = X3, …, Wn = Xn

(4.2) Ambil W3 = X3, …, Wn = Xn (4.3) Normalisir vektor

(4.3) Normalisir vektor--vektor W1, W2, W3, …, Wn sehingga vektor W1, W2, W3, …, Wn sehingga menjadi Y1 Y2 Y3 Yn

menjadi Y1 Y2 Y3 Yn menjadi Y1, Y2, Y3, .., Yn. menjadi Y1, Y2, Y3, .., Yn.

(4.4) Matriks ortogonal R = [Y1 Y2 …

(4.4) Matriks ortogonal R = [Y1 Y2 … Yn].Yn]. (4.5) R

(22)

t h

contoh

•• Cari matriks ortogonal R sehingga RCari matriks ortogonal R sehingga R--11_{AR = D}_{AR = D}

⎟⎟ ⎞ ⎜⎜

⎛1 4

(23)

t h

contoh

•• Cari matriks ortogonal R sehingga RCari matriks ortogonal R sehingga R--11_{BR = D}_{BR = D}

⎞

⎛

⎟

⎞

⎜

⎛ −

1

3

3 B =

⎟

⎜

−

5

6

0 B

⎟

⎠

⎜

⎝ −

0

3

4

(24)

t h

contoh

R--1 1 _{LR = D (diagonal), jika matriks}_{LR = D (diagonal), jika matriks}

transformasi transformasi transformasi transformasi ⎟ ⎞ ⎜ ⎛ 7 − 2 1 L = L = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ − − 7 2 1 2 10 2 ⎟ ⎠ ⎜ ⎝ 1 − 2 7