1560_Kumpulan Rumus Teknik

KUMruLAN

(

(

(

UNDANG.UNDANG NOMOR 7 TAHUN 1987

Tentang Hak Cipta

pasal 44

Barangsiapa dengan sengaja

dan tanpa

hak

mengumumkan atau memperbanyak suatu ciptaan

atau

memberi

izin

untuk itu,; dipidana dengan pidana penjara paling lama 7 (tujuh) tahun dan/atau denda paling banyak Rp. 100.000.000,00 (seratus juta rupiah).

Barangsiapa dengan sengaja menyiarkan,

mema-merkan,

mengedarkan,

atau

menjual

kepada

umum suatu ciptaan atau barang hasil pelanggaran Hak Cipta sebagai mana dimaksud dalam ayat (1), dipidana dengan

pidana

penjara

paling

lama

5

(lima) tahun dan/atau denda paling banyak Rp. 50.000 000,00 (lima puluh juta rupiah)

(

(1) (2) I I

I

RUMUS

TEKNIK

oleh K. Gieck

Cstrho

keenam

PT

PRAI}TEA

BRA}ITTA

JAKANTA

Perpustakaan Nasional : katalog dalam terbitan (KDT) GIECK, K

Kumpulan rumus tekniVoleh K. Gieck; terjemahan Inggris oleh J. Walters; penerjemah. R. Slamet Brotodirejo, Heryanto Slamet, Cet.6 Jakana: Pradnya Paramita, 2005

xiv, 353 hlm.; 14 cm

Edisi Inggris ke-6 tahun 1985.

ISBN 979-408-229-5.

I. Teknik, Ilmu-Rumus. I. Judul. II. Walters, J.

III. Brotodirejo, R. Slamet. IV. Slamet, Heryanto

620.002 l2

$rr

/*'/

tfurlrf

(zcvi7

-Kata pengantar

Makrud dari kumpulan rumus-rumus teknik ini adalah untuk

menye-

_I

diakan sebuah podoman yang ringkas. ielas dan mudah digunakan untuk msnelaah rumus-rumus taknik dan matematik

;":::_

(

Setiap pokok persoalan yang berbeda telah digobur

scbuah hurul besar. Rumus-rumus y8ng berbeda-beda telah

di

ke-lompokan di bawah huruf-huruf kecil yang sesuai serta diberi

nomor

/

yang berurutan. Metode

inl

memungkinkan untuk memberi

tanda

_I

kepada rumus.rumu! yang digunakan dalam setiap perhitungan khu-9Jl.

Kata pengEntar Edisi Revisi Keenam

Untuk edisi kc6 telah diperluas dan disempurnakan.

Sgbuah Bab baru mengenai STATISTIK telah dimasukkan, mengi-ngst pontingnya perkembangan dalam hubungannya dengan distri-buri kamungkinan pengswassn kualitas dan keandalan.

Transformasi-transformasi Fourier dan l-aplace telah ditambehkan dalam Bab yang disebut

ARITMATIKA

bersama dengan sebuah Bab mengenai pecahanf ecahan sebagian.

K. Gieck

KUMPULAN RUMUS TEKNIK

Oleh

:

K. Gieck

Terjemahan Inggris oleh : J. Walters B. Sc (eng). C Eng., M.l. Mach. E.

Judul asli : A. Collection of Technical Formulae

Edisi Pengetahuan 1985 dari edisi ke-66 Diindonesiakan oleh : R. Slarret Brotodirejo

Heryanto Slamet

o Cieck Verlag, HeilbronrliN. West Gcrmany

o

Hak Cipta edisi bahasa Indonesia pada :

PT Pradnya Paramita

JalanBunga8-8A

Jakarta 13140

Cctakankeenam:

2005

Dicetak

oleh

:

PT. Perca

I

DAFTAR

ISI

Satuan

Luas

llmu ukur

ruang

Aritmatika

Fungsi Iingkaran

llmu ukur

analisa

Statistik

Hitungan diferensial

Hitungan

integral

Persamaan

diferensial

Statika

Kinematika

Dinamika

Hidrolika

Panas

Kekuatan

Bagian

dari

mesin

Teknik

produksi

Teknik

listrik

Fisika

radiasi

llmu kimia

Tabel

s

(

(

(

( I

t

t

BS

DIN

VDI

Referensi bagi DS,

DIN

dan VDE

British Standards lnstitution

(Alamat: 2 Park St., LONDON W 1 A 2 BS)

Deutsches lnstitut fur Normung

(Alamat: D-l000 B ER LIN 30, Postfach 1 1 07)

Verein Deutscher lngenieure

(Alamat: D4000 OUESSELOORF 1 . Postfach 11391

{

(

(

(

Metode Penyajian dan Penggunaan Satuan-satuan Sebagian besar persamaan?ersamaan dengan ielas mengemuka-kan hubungan-hubungan fisik yang mereka terangkan dan tetap berlaku tanpa mengindahkan sistom satuan{atuan yang diguna-kan, asal saja mereka itu dalam keadaan tetap,

Beberapa persamaan berasal dari pengalaman dan pengamatan, dan satuan6atuan yang diambx'l harus digunakan dalam rumus untuk memperoleh hasil yang besar; hal ini sebagian besar dapat dijumpai dalam Bab O dan Bab R.

Untuk selanlutnya ditetapkan penggunaan cara penulisan Stroud pada lvaktu menghitung dengan rumus-rumus, yaitu kuantitas dan satuan keduaduanya ditulis sebagai pengganti suatu rimbol yang ditentukan dan perhitungan selanjutnya mdibatkan cara

pengaturan penempatan angkaangka dan satuan€atuan bersama.

sama

-Sebagai contoh, ambillah persamaan

_123:

(

Jika s

(jarak)

₌

2.8 meter

v

(kecepatan)

₌

Smeter/detik

_

2.8 meter x detik

I

meter

=

0.35 detik (waktu)

tanpa satuan meter

Di sini jelas tiahwa

f

akan mempunyai satuan waktu, bilamana tidak demikian, maka meniadi nyata, bahwa suatu kesalahan

telah dibuat, dan pekerjaan penyelesaian soal itu perlu diteliti.

s

maka

t

sehingga

t

I

Sebasai alat bantu dalam banyak kejadlan, dlambll

trturnrltu!n

yang telah diketahui sebelumnya, dengon manggunakan tanda singkatan "EU"

(-

Example-Unitl yang borarti: tatuan contoh. Bilamana nilai-nilai berbentuk angka (numerikl dan retuantstu. an termasuk di dalam perhitungenparhitungan,

mlkr

lkuivalsn-ekuivalen atau dsfinisideflnisinya rsbolknya dltullr redernlklan rupa. rehlngga meraka ltu tldak momlltkl ukur.n (t!np. dlmonrl) dan bernllal 1.0. Dalam bontuk rap.rtl lnl mcrokr krdbng-kadrng dlrebut rebagal "lkatan kcutuen" (Unlty Brrckrbl d.n pcnggu.

nunny!

daprt dlkorJrkrn drngrn

tl$ c.r!l

dongln ratuan

trtlp,

parramaan a 6 1

km

.

10lm persamaan a 62

12in

.

1

lt

persamaan a 90 778.6

ft

lbf -

1 Btu I r xm'l

dldaprt!-

_{Lr. l}

didspar,-

[#]

didspst

t

-

[r+*,,-]

[o.roz

xotl

didapat 1

. L-trfj

I rm

'l didapat'l

-

L

3r8, r,

l

I o.sso rcat tu

I

didapatl"L

tkSBr,

_I

rgf I

s ar N

_I

_[ro'

".,1

fr

uN

I

il[Ltke,JLrm,Jlro'HJ

F

misalnya, untuk mengub$ 14.7

lbf/ln'

ke

lbf/ft'

,0,lfl

=

,4.7

_i:{

_[#]'-

rz'roo

_S

dalam konversi di sntara berbegsi rirtem satuan,

= 2'r7i$

persamaan a 36

1N -

0.102ksf perramaan a 65

1m -

3.281

ft

perramaan a 1 10 1

Btulb

-

0:556 kcaUkg

Misalnya, untuk mengubah 1000 kgf/cm2 ke satuan S.1.,

looo

.4

₌

rooo

cm.

=

98'l

tLlam pcnggg66an _{dcf lnirldcllnlrl :}

I

lbf cdalah botrr

gry!

di mana rebuah mara tebesar

_I

lb dibcri p€rcopamn teberar 32.t 74

ft/r,

.

I

lbl

_-

I

lb

_'

_32'l;;

,_F

L

meniedi

_"__..

,

-

[sz'rz'l ru

rtl

I

rs,rur

_I

Dongan cara ysng rema, Satuan Newton ditotapkan oleh

pe6a-moon

rN-1ke.+p

yansmenladr

,-[H]

in

r

ksr

-

I ke

,0.8t

*

_dtdapot

,

-[ffi

]

Scbogrl contoh, untuk mcndapltksn gaya dalam ukuran ratuan S.l. dlmanc rebuah marra reberar3 lb diberl psrcapatsn _roborrr 2.51t1.1 kerjakanlah rebegal berlkut :

F n

ma, peroamaanml.

F

_-

3rb,

2.5

!

[g1r*!s-l[__,._l

L_Ud

82

_{L lrb}

_{JL3.28trrJIicC}

-

3 r 2'5 r

0.4538

11 -

t.036 N

3.28r

yang manr merupakan satuan gsya.

Kuantitar

Dasar dan Satuan Dasar pada Ukuran Sistem

(

(

darar Kuantltas

nama

rlmbol (huruf ltellc)

penjang

I

m83SA

m

unktu

t

arur

listrik

I

whu

absolut

T jumlah

_zat

_n intantitar

cahoys Iv

d8S8r sOtusn

nama

simbol ( huruf tegak I

moter

m

kilogram

kg

detik

s

8mp€ro

A

kelvin

K

mol

mol

candela

cd lnternasional

Ruang dan

waktu

o.

_F,

_f

sudut

o

sudut masif D,Sleber d,Ddiameter (diagonal _I A.IItinggl I L panlang

P

iaftk

r.fl jaii-iari

s

jangkauan, perlmster

,

ketabalan u,U keliling

,4

lua5, perumpang-llntang Aa pormukasn yang'ditim. bulkan

ao

luas permukean

y

lsi

t

waktu

u

kecepatan linear

ar

kecepatan sudut

a

percepatan linear

a

percepatan sudut

t

percepstan gravitasi Fenomena

periodik

dan

kaitannya

f

periode

/

frekuensi

,,

kecepatan putar ro frekuensi sudut

I

panjang galombang

c

kecepatan cahaya Mekanika

,a

maSsa

I

lerapatan

F

9.y., gay. bngsung

Daftar

rlmbol

I

tl

g

togangan utama (dircct rtress)

,

tegpngpn geser {rhear rtress)

takan6n normol memanlang, regengsn

modulur ols3tlr lmodulur young)

modulus kskakuan (mo-dulur g6ser)

momon ohanan lbeng-kok!

mornon torrl, momen puntlr

modulur rekrl gays goser, beban

grer

r'eakri vertikal

berat atau beban, usaha

beban terbagl rata mornen inmla, momen

kedua pa& luar momen lnersla polar konstanta torsi modulus raksi koefisien friksi sellp koefislen lriksi statis koeflslen friksi dsya

du-kung (bentalanl' radial koefisien

friki

daya

du-kung lbantalanl longi. tudinal '

koof isien frlkri gelinding kakentalan (vlskorltas) dinamis kakentalan lviskorltar) klnematls P

t

E

z

a

v

w U

T

Ie

t

z

p Fo Irq

P

t.mg!/d.y!

?

efirlenrl Panal

T

tuhu abrolut

(

tuhu

o

koeflrlen

llner

darl per muaian/ekspansi

7

kooflrlon kubik darl pe. muaian/ekspansi

O

arur panat atau aliran

g

kerapatan aliran panar

g

beraran pana3 por ratusn

m€sta

O

kuantlt$ panat

cp prnas tpBlrlk poda teka-nan kaprtan

cv

plnat 3p6ifik pada _volu.

me totlp

y

porbandlng€n cp t€rhadap

Cy

R

konstanta ga!

I

konduktivltss panas

a

koefitlen pemindahan

pa-na3

/<

koefisienpancaran/trans-mbl panar

C

konstsntr radia3i

u

volume spetlfik

Lirtrik

dan magnet

/

arul

.l

kerapoton rrur Y, tegEngEo Uq tegEngan rumber

R

prhrf,n

_n

(rclltbntll

C

kofldqkbnrl

Q

kuanttur

llrtrlk

(lrl)

C

kaparltanrl

D

perplndshsn dldektrlka

E

kekustsn medan

lbtrlk

O

flukr in.gnot

a

lndukrl nrcgnet

I

lnduktantl

I/

kekuatan med6n magnet

e

tirkulasl medan magnet

,/

tsgEngFn magnet

R,

rerlrtanrl magnat

d

konduktansl magnet

d

panlang celah udara

o

kooflslen ruhu reclstansl

r

konduktlvlta

0

rerlnlvlta:

6

pcrmitivita!

to

permltlvitarabrolut

€r

pormltiviutsrelatif

/V

fumlah lilitan

I

Permeabilita!

,/o

pormeabilltas ab6olut

&

permeabilitasrelatip

P

iumlah pasangan kutub

z

jumlah peng8ntar

A

kualltas,angkaongka baik-buruk

d

sudut rugi

Z

impedansi

X

reaktansi

Pr

daya temu (samar)

Pq

daya reaktif

Cu

konstanta momen

c

(

(

(

al

a2

a3

al a5 a6 a7 a8 a9 a 10 .ll i 12 a 13 I 14 a l5 a 16 a 17 a 18 I 10'r 10'c l0' r 10-e t0-r0 Radlarl rlnar dan

elektro.

magnet yang berkaltan

/c

intensitar paocar

(ra-diant)

4

lntenritar cahaya @. daya psncar, flukr pencar

O,

flukr cahaye

0.

onorgl psncar

0v

kuantltar rlnar

E1

lredlcnrl

Ev

llumlnorl

lll

perrcaheyaan pancar (ra. dlant exporurel

fl"

pencahayaan rlnar (light exposure)

L"

radiansi

L,

luminasi

c

kecepatan rlnar

n

indeks refraktif (pem.

biaran t

/

panjang titlk apl

p

daya refraktlf (pembiassnl

Kelipatan _{desimal dan pecahan pada satuan}

= deca =

l0r

=

heclo

₌

.|02

= kilo ='t0,

-

m80a

₌

10.

- et98 -

tOe

- tera n

l0r,

. pot! E

10r!

. ox! '

10tl

SATUAN

Satuan panjang

lrmlmm

10! 10-r 1 10 t02 106 rjan nm

ld

I to-r l0-. t0-6 l0- 7

Ar

d = d€cl

='10-l

c = conti

='10-,

m - milll =10-,

mlcro .

10-t

n-nEnO-to-t

P'Plco'10-r,

t - lemto ilO'!!

!Illto.10-ll

q

(

I

(

l

(

I

l

(

1 0-t 1 0-e I 0-6 10-.

l0-.

1 da h k M G T P E lm 1pm lmm 1cm 1dm lkm lmm

lpm

,I nm [r A] 'I m? --1pm2 = lmm? ₌ Icm? -'| _{dm? =} 1 km2

m2

_I

p-,

1 'to - 1: 10-6 '10. to-2 .t 06 cm2 dm: '| 10-5 l0 -3 10- 2 10- r 103 102 't0-r 10-i 1 10 l0t 106 1 103 10. 105 t0o 10 I 0-5 10 -? 10'l t 10r gan pm

lll

"

[m A1 't l0ro 101 10. 10r 10 1 l0'? 1 105 10. 10r0 1018 106 t 0-5 1 r0: 10. 't0', 10" l0' r 't0-? I 102 10'0 102 t0-'c l0- _' 10' 2 1 108 t0 5 l0-,i ,10-'? l0 "o l0:r 1

Satuan

panjang

(sambungan)

l0e 106 l0r 10? I t0'' l0' 10r 10 .1 10-2 1 0-l lom

hmll

-

\-xtv

"

I

= Angsrrci- Ur

mi

= r XE =

I

X-satuan

Az

1

ml-

1mm:-

1cm!-1

dm'-I

kml-Satuan gaya (juga gaya gravitasi) [rst] 0.1 02 0 102, 0.r02,106 ! 19 r20 .21 .22 a23 .24 r25 a26 a27 a28 a29 a30 e3t s32 a33 a 3,1 a35 .39 r40 !{l ,a? r tl3 a rt4 .45 a4E t17 r48 s49 a50 s5! a32 853 a 5.1

SATUAN

Satuan

tekrnan

Pa Nlmmt

I

bar

Pr-1N/m'.

10-. I

1o-t 1 lVmmt I 0'l

I

bar [txgtrtmr-164. 9.81rt0-,

_I

0.981 1 torrltt I 33rt0-r h.3ilr Satuan uraha

kwh

l[retm]

Ircal] 10-. 0,102

t

I 367'td

2.72.10-'I

1 1.16'10-t

I

128.9

0.736 lo.zz.td

Satuan tenaga

kw

l[16 mrr]l [rzaun]

to-,

lo.rozl0.860

1

102

I

860 9.Ot

lg.B1,t6-rl

1 8'43

r.ro l1.r6,ro-tl

0.119

I

I

7361

0.736

I 75 I

632

Satuan rirassa

untuk

b'atu permata

adalah suhu Celcius. Fahrenheit

t) 1 lorr

-

1/760 atm

-

1.33322mbar

-

I

mm Hg pads t

-

0-C

[torrl 0.0075 7'5

r'td

750 736 '| [trp tt] t0-0 1.36 l'58'10-t t lt pl 1'36,10-t 1.36 13'3,'10-t '1.58,10-r 1

(

(

i(

SATUAN

Satuan volume ml

m-J I

cm3 Satuan massa l(g mg 106 1 103 10, 10e Satuan waktu ns

10

I

108 |

rO,

tO-3

|

rO-.

(

(

(

'02r t ( 10.2 1,02 t '36,

ll

Ag

103 't0-l I 10r l0ll a36 a37 e 3{l 10

rd

10r ! t 0-6 1 0-r 1 10r 1 0-t I 0-r 'I 10r, l0e 1 103 10. 10rt I 10-r '10-. 1 0'3 10c 1 0't 10- rt 10- t5 10- 1? t I 0-r 1 0-e t0-6 10- | 1 1

rd

10r 98 100 r3it J 1 6:t2 I 1000 s l0r 1 0-. 1 103 106 I I 0-6 I 0-l 102 10r

kg-m9=

dt=

t=1Mg=

r55 i50

s=

ns=

ms= min = d= a57 a56 a59 a60 10--? 1 0-t 1 0-t I

Ja

kwh 1 kgl ml 1 kcall

I

hp h'l Wl, kw

I

kgl m/sl

I

kcal/hl

t

hpl 1 10-e t o-6 I O': 60 3600 86'4' 1 03 10e 1 .i 03 106 60, 1 0e 3.6, 10'2 'I _6.65''10-3 'r _6.66,10- r2 r 6.66.10-l 1 6.66. I 0-6 'I 60 1 440 lavnl 1 karat

-

200 mg

-

0.2x l0-rkg

_-

t/5000 kO

Satuan keindahan

untuk

loqam-looam mulia 24 karat A ro@.Oo

%

|

ia farat-a 75o.oo % 14 karat

a

5m.gr

%

I

ekarat A 3at.3at %

Satuan suhu 60,106 I 60,103 3.6,tOe | 3.6,106 4' 10!2 86.4,10ri 86.4,106 N2)

,

-ZG+

- ,r)o..({-

rzr'':)".

'-

(;,+ '

,z)oF -

(rh

-

45s.67)oF .

T,

ra,

t

dan

lr

bsol' nol

1 0-3 '| 103 N= kN= MN=

,

.

(+,

_{ztt.t))x.3,#;*}

t;ili:j.",t

_),,Jl',L

,r'(+

{

a5e'67)Rant

't,f

n"^* 760 tott ,,,rl o . l16: m.3,

,lldmt=1r=lliter

_{l r,,}

ru ₌ 1 kgm/s2 = 1 Newton

_alJ-Nm-1Wc

Ar

SATUAN

Pcrubehrn Setuan

lnggrbAmcrlke

kc dalam

ratuln

metrik

(

(

(

yd ln t 12 3C lanlutan dari A 4 Satuan kerja rr tb kgl m

SATUAN

0.1 383 I 0.102 1.356

As

&tun

Prnlrng _kwh kcal 8tu Srtuan

lul

rq ln !q tt

qyt!

cm' dm' m' 39.37 39370 I laa r200 0.r55 15.5 1550 cu in I 1728 40556 102 6r.02 61023 002778 0.31lll3 t l@4r10-' 1.094 1094 sq yd .772,1O-' o.il11 I 1'197r10-' 0.01196 1.196 cu yd 0.037 I 'l'3t' lO-r 0.00131 1.307 0.003906 0.0625 't 0'002205 2.205 2205 I I 3.r 5.r 0-r 340-r,10' 1341 5 614 i 4l5 0.7 457 807,1 0 -lo-r 1 4187 1 055 0 9484 3 968 1

tln

lrr

lyd

lmm

tm

lkm

o.@3i}3 'l 3 328'r r 3.28r 328r 25.1 304.8 91a.4 1 1000 10. cm2 6.452 9e, 8361 I r00 10000 cmt 16.39 28316 I r000 1d

I

1.772 20.35 453.0 1 l0@ 1d 0'0254 0.30.18 0.914. 0'@r 'l 1fi)O dm' 9'29 83.61 o01 1 100 dmJ 0.01639 2A-32 76r.55 0.oor I 1000 k9 I 0-. 0.@1 't m2 64.t 10-5 o0929 0.8361 0.000r 0.00r 1 m! 1.64.10-, 0.0283 0.7646 10 -. o.oor 1 Mg

.tl

rt2

rt3

.C4 rc6 etO !67 .C8 e69 t7O

r?t

.72 ,73 .71 r75 .76 t77 .78 .79 .00

.Cl

.oil

e83 e 0rl a85 005 r87 a88 a09 a90 a 9l a92 a93 a94 a95 a96 a97 a98 a99 a100 al01 z1 02 a 103 al0.l a1 05 a 106 at 07 a 108 al09 .1 l0 altl al l2 al l3 all{ al l5 al t6

lrrtb

lkglm

1J.lWs

l

kwh

I

kcal

I

BIU 'I hP I k9l I 7.233 0.7376 ? 555.1 06 3.087' 778 6 426 9 107 5 lrl 76 04 I 0 r02 102 426.9 107 6 324,1 0 - 6 2.344.r 0-239,r 0-6 860 1 0.232 k caUs 0.1 782 344,1 0 -239,1 0 -5 0.239 1 o.25? Satuan tenaga 9 807 12.725.10

r

1277 8,tq-1.285.1 0-l 1.1 0- I 948.4.1 0-6 34 t3 3.968 1 0.7073 9.296,1 0-! 4.1 O -6

(

hO x9t mrs

_llrs-wl

Elu/s sq ln 3q r! rl t 9 'l _J/s . _lW I kcalrs = 1 Sluis = Satuan lainnya l mri _{= l0'lrn} 1 sq mrl = 10'6sq rn lyard=3ll 'I Mrl inggns - 1 760 vds 'l _{mil (nautical) laLrr}

I mil geograf ik

t torr panlang . 2240 lt)

1 ton pendek (US) = 20OO lb

1 ton pantanq = 2240 lb

1 ton Pendek (US) = 2000 lb

1 imperial gallon 1 US gallon I _{BTU,f,' = 9} 547 kcaliml 1 BTU/Ib = 0.556 kcal/kg 1 lbl/fl? ₌ 4.882 kgl m2 I lbt/in2 (p.s r) = 0 0703 kgl,cml 1 _{chain =} 2? yds 1 Hundredweroht (GB) (cwt) = 112 I Ouarter (GB) ₌ 28 lbt 1 Stone (GB) ₌ 1a 151

=

0 0254 mm

=

645.2 pm?

=

0 914 m

=

1609 m

-

1852 m

=

7420 m

=

l016Md

=

0.9072 M9

=

996MN

=

9.00 MN

=

4 546 dml

=

3 785 dm!

=

39 964 kJ/ms

=

2:327 kJtkg

=

47.8924 N/mz

=

0 6896 N/cm2

=

20.11m

=

498 kN

=

124.5 kN

=

62'3 kN 7 45.7

I

807 I I 000 4187 1 055

culn

cull

-cutd:

cmJ dm3 o.r076 10.76 cu lt 1 27 3a32, rO'. 0'03532 35.32 oz 0.0625 'I t6 0.ut527 35.27 35270

l0-

1 44r

mt-Eeturn

mar

dram 1 dram 1oz

llb

19

lko

0'0O177 I 1'77'10-' 0,02832 I 28.3"1 0_. 0..53r 14.53^tO_. (}001

_I

1o-.

1 I

O00l r000 Satuan

ld

bersambung ke A 5

lMg

-Br

A.ar

,Vt

d."{V

r . $1

.

Ii^

raD

r'T

.lffiDiGi

bujur ungkar

iaiaran genlang

(

(

(

(

_l regitiga

Segitiga rama

riri

LUAS

A.

t

-

_{] ali.iF}

"

-

+,lto-6

e

-

i,tf-:ff

konstru ksi : 76

_-

0.r,. 6c

_-

86. cD

_-

cE

^

-

lsY;

d , ?a

-

_{fr" '}

r'155s

" - $o -

o.B65d

{r,

*vr

b15 b14 b19 b20 b21 b22 b23 b 2.r b25 b26 b27 b28 b29 Segi

lima

(pentagon)

br0

bt7

b18

Segi delapan (oktagon) ,, a I

Segi enam (hekragonl

Segi banyak (poligon)

@

2as - 0.8)s? z s

Vll?

s lan22'50-

O'115 s

d

cos 22 50- O.92,1 d

.*r-lZE" = l o8]s

A1+Az+At a hi+b fu +b A, 2

LUAS

b30 b3t b32

(

(

(

b33 b34 0.7a5 d2

?xr =

xd

f

{o'

-

a')

r (a + b)b D-d ? b35 b36 b37 b38 b39 b40 b 4l b42 b43 b44 b45 !' 46 b47

A

- ,fot'

_ b,

2

u

=

ffi'"

-x a = le6do d1

7'

Sektor ling

(d = adi dalam lingkara^)i_],il = ?r sln*

- *(5n:,+s')

/r s? 2 th - a.

= r(1-cosz)

lihat rumus b 39

.(;.+.?4.+)'^''

Lingkaran sur linqkaran

ILMU UKUR

RUANG

Cr

Kubus

c

6 a2

liTc

(

(

(

(

Paralelepipedu m 11

l

Cz

Silinder Silinder Kosong Kerucut konus a2 Kerucut terpancung

{-m

,

_\,1,,"

a

-'l \ l, 12

t3

ILMU

UKUR RUANG

v - !a'n

Am _' 2 t r h Ao -- 2rr(r+hl

v . !r'n

Am _' ' I h Ao = rr(r+ml_r+

^ =

lfn2.r'

A2t \ = ?th2

ILMU UKUR

RUANG

*n (:

_"'

+

1.!'

+ h')

?r rh

r(zrh.

aa.

b') 4 hr)

l^sn

t'(o

n Sektor

Bo Ia dengan luEing-sil

inE,il

r..=-I

Cs

c

lt

c12

ct3

c26 c27 c28 c29 c30 c3l c32 c33 c34 c35 's2 . ,t') - ht

_t'

f^ti

r A2 (r ?^rh It z

T("'

s) v Ao V Ao

(

(

(

(

v = $a(D'+Dd+d2)

t^.

_+n(D+dl

.2rph

ct5

c16

cll

ctt

:"

cm

c2l

c2.

4nt

_b 2th(R +

r)

Bola dengan lubang

kerucut

*,

,'

1'r89

r'

*,

o'

t t72

a

a

D

c c c36 c37

ln"n

,^r(n,

Ao = 12-:! 1'

.

a'

Cc

ILMU UKUR

RUANG

lo'

dt

d2

d3

d4

d5

d6

.i7

d6

d9

Angula

B

v . l,'a

Aa' 2rh c /al c12 c43 Gentong (barrel) d'ro drr d\2 dl3 d14 dr5

i,

ntz

p'

,

d')

v . i

(1,

r

rr

r

4,r)

rumus

ini

dapat digunakan untu

k

perhitungan-perhitun

yang menyangkur benda.be masif dalam gambar C1... C3 dan juga bola serta bagian-bagiannya.

ABITMATIKA

I

t

Pangkat dan

akar

_I

U

'

umum

I

contoh dengan angla

p a'!

g

o".

1p

Lq)o"

)o' a a

+ _{'lo 7o}

aD _{on '} oh'n _{ol, ot = otl}

fr, _^ h-D

o f o" a o ot/a'Eol-2.03

, r.n , n,m m

(a , r to , . a (ot )' = (ot )r - or'! . 06

dn . 1/ao

d'

'r

/o'

(*)"

o ^"

(+)'

! o br

,WroF

=

tprilW

oF.rE

=

,,|/r

V",

=

\tr.ltr

l/t a-- o,

ar

--

\/t o a-

,l/ar

a-[+

E:

Yo

(*l

#=vi=z

nt.--Vo^'

-

Yt

V""

6_

=

J-V"' ta-l'

W

(l/"1=

."

G

-.

,W','--f,

o

=

(i6'l=

_"*

Vr

--ff

'-

'

-,tidak dapat dioakai unruk) _misalnya

V(_?)r

=Vi

=

,r,

perhitungan

_khusus

_J

lV+-ll,

='-Z

Eksponen dari pangkai dan akar harus merupakan besaran ya tida k berdimensi!

Persamaan

kuadrat

(persamaan pangkat dua)

Bentuknormal

y'+px+q

= O

-r.-_

Penyetesaian

rr.r

i x. =

_+t

lf{ -

o

Aturan Vieta

Perhitungan berulang'ulang

(iteratif)

untuk

akar ke'

Jika, -h,

maka,

=

_*

_[,^-t1,.

-

_;#-],

15 lrisan silinder

(

(

r-ARITMATIKA

Pangkat, Akar

_-

Teorema Binominal

lanjutan dari Dl

Di mana ro adalah nilai perkiraan pendahuluan dari x. Dengan memasukan nilai

x

yang didapat sebagai nilai baru

dari

16 secara berulang-ulang, _{maka ketelitian dari harga x}

berangsu r-angsur men ingkat.

eerlu

(oIu)':

_{= ottzob+b'}

(a

_{t a;! . att,a2D+ JoD'!}

D,

(o

_{. D)" =}

on +

i o'-'o . +*

o,-2 b. +

*

n(a:l )(3-2)

o.- r _oi d17

dr0

d19 d20 d?1 d22 d23 d24 d25 d26 d27 d26 d29 (o + b + c)2 (o - b + 6)'? o'-b' o)+b) or-bl a"-bn (o *

' -1;i4-

q o'+ '"

D"

=

o'

*

?ob

+

2ag+

D,+

Zbc

+

c2

o2-2ab+2a.+0,-l!..",

= (o+b)(o-b) - (o+O)(o'- a-b+bz) = (a - b)(a'+ ab+ bz)

= (o - b)(on-' + o^-2 b + o.-J b2 +

... + Obn-:+ D"-l) Teori Binomial

(;),'.0,"'

o.(;)""-,

0,.(!)."-,

(o *

o)o

(o r

b)r

(o +

o1 I

(o

_{+ b)l}

(o

+

o){

(o.+

o)5

(o

+ D)3

I

Eerlanjut dengan _{setiap baris dimulai dan diakhiri}

dengan

angka 1. Angka kedua _{dari awal dan kedua dari akhir,}

harus

mc:':pakan nilai eksponen, dan angka-angka lainnya adalah

jumlah dari angka-angka sebelah kiri dan kanan yang berada

langsung di atasnya. 1 ll 121 1 _{.lt )} I '| 5

t

.

f6--l--Tl

r'.-i-i-o

---T-_-15 ?o

1, /a\ _ a(n-t)(n-2) ... (n-rrr)') \^/ l,2r)... A (a + b){ = q( _{+ 46) 6 + 6ol b, + ,lo.O! +} D1

Penyelesaian dengan diagram koelisien

_-

segitiga pascal

,6 ₁₇

Dz

bn

ARITMATIKA

Perluasan pecahan bagian dari fungsi-fungsi

Dg

d30

d31

Eksponon: Penjumlahan dari e!'ponen

a

dan

b

untuk sotiap

faktor yang berbeda adalah se.'na dengan eksponen

z

bino-mial. Apabila pangkat dari a b'trkurang maka pangkat dari D

akan bertambah.

Taodt:

(a+b) adalah selalu posil,p.

(a-b)

adalah qositin oar a awalnya dan berubah dari faktor ke faktor.

(o + D)i - qs+ _{!o'D + lQotbl+ lQolDl+ 5oD(+} D:

(o - 0)3 = +os- 5oa6 + lgotb'- l6orb'+ 5ob(- DS

Pecahan yang tepat

untuk

fungsi rasional

P(r) !o+rirt +

eyr'+.,.+a-r-ylrr=!_(?T-ffi

Koefisien ay,

6r

dapat berupa nyata atau kompleks. Apabila

nl

adalah nol-nol denominator Q{x), maka bentuk dengan

laktor dari ylx) adalah:

yt,)-ffi-ffi

dimana nol nyata atau nol komplek dari

_Qft)

dapat teriadi

kt,kz... kq kali;qadalah faktor konstan. Perluasan pecahan parsial

Untuk mempermudah penggunaan _.r'1/x,/, misalnya untuk in. tegrasi, perluasan

_1,ft)

meniadi pecahan-bagian _seringkali le-bih cocok.

(

(

(

vG)

=€{+i.

_+h.

_#.;"

A,, ATT .4a ' x-ar' (t-n)z

T;;Fi

+

#-t

ii

*"''

F-Ari-1 I 51 5.1

'4*

b;;tt

nol-nol kompleks terjadi dalam pasangan-pasangan

(penafsir-an bilangan kompleks) bila

Qft)

mempunyai nilai koefisien yang nyata. Untuk perluasannya, pasanganfasangan ini men-iadi pecahan bagian yang nyata. Apabila dalam d 33, iumlah

l.nruon

d.rl

Oo

angka yaog nol n2

-

a-1 (n2adalah penal:iran komplekr pada

zrl

dan _{apabila, karena terjadinya pasanganfasangan itu}

fut12-1,

maka pecahan bagian dari d 34 dengan konstanta

Att

.

.

. Ato

&pat digabungkan dalam pecahan parsial

berl-liut ini:

t#.

(it##i'....*flffiy

Untuk mendapatkan konstanta-kon3tanta

Arr

ko

Aqrq

3a-perti _luga

8rr,

Crr

ke Strq

Crr

koefisien-koefisien pangkat yang sama dalam

x

pada persamaan di sebelah kiri, dapat di-bandingkan dengan koefisien-koefi3ien

di

rebelah kanan,

se-telah diubah di dalam penyebut (deminator) _{bersama Q(x).} Contoh:

v

(,

)'

F:,,:af*#fl;rF

.

€#.

ffi

.

L,

_u.

&,

2:-l

8,rx ( r+ i),rGr ( r+l)r +Iqr( rr t) ( _{rr+2r+! )} +

t.l

l+2 r +51

Of,-I'

21-1. (ta+ 61,)rl + ().lqr + I.2+ 28rr + C11)r, +

*

17 Ar, + 2,11 + Bt + ZCr,

_):

+ jAlt + _JAl + Ct

Perbandingan koefisien-koefisien antara ruas kiri dan ruas

ka-nan.

atr

. -1/2;

Ctt

- l/1' l.t - 1/?;

A"2

- -)/1.

Apabila terdapat angka-angka nol tunggal n, maka konstanta A11, A21

...

Aq1

dari persamaan d 34 daprt dihasilkan

de-n9an:

1,,

-

p(n,)/Q'(ar)

_i

_.irr-

_{p(^)/e'(^rl;... lr-}

p(aol/e,(a"l

d d d d d41 d42 d43 d41 d45 d46 loq'o fogro = 19 loge = ln log: = Ib ststem se hi ngga berdasarkan log o l0 ? 2

log dengan dasaro

log biasa

log biasa (natural) log dengan dasar 2

Simbol di chlam log _o

:

= b dapat disebut

o

dasar

x. lawan logaritma

o

logaritma (log)

(

(

Rumus

untuk

perhitungan logaritma

logo (r._v) = logo r + logo y

I .:.oo_{'o y} loo xn roeo

_fi

logor - logoy 4 , 1oo -floo,_{a -o} Persamaan eksponensial br - _{d = .rtaD}

.

rosod

_{I o - yi}

logo b I Konversi logaritma 19 e , ln t = O.434294x 19

r

19. c 19 r In r _2.302585 x ln 19 lg d50 d51 d52 d53 d54

Idx = 1.442695,rnx =

3.321928x

Dasar logaritma biasa e = 2.71'Zs1g?g4sfl. . .

Kunci logaritma umum dari ribuan angka

tq 0'0,l = -2.

atau O. ...-tO

Ig 0'l

= -1.

atau 9. ...-tO

lS I

=

0' 19

1O =

l.

l9 l0O =

?. dst

Cetatan: Lawan logaritma _{selalu harus merupakan sebuah} ku-antitas tanpa dimensl.

I

ARITMATIKA

Logaritma Umum

Dc

19

ARITMATIKA

Kombinasi, permutasi

Ds

Permutasi

Suatu seleksi atau susunan yang diatua r, dari iumlah

ll

hal di-katakan sebagai "permutasi" dari

rl

hal dengan mengambil r pada suatu saat,

Jumlah d?ri permutasi ini dapat ditunjukkan oleh:

pn . n(a-r)(a-2)...(n-r+l), _^ > r

hal dengan yang lainnya (yaitu

3

pada satu saat) dengan 6

langkah berikut ini:

abc bac

cah

ocb bu cln

di sini r = rt = 3

Pt-

1,2,)=6

Kcadaan khusus: iumlah permutasi dari n hal yang keseluruhan merupakan penggabungan

nt

bentuk pertama, nf bentuk lain dan, nr dari sebuah bentuk ke'r, adalah:

o _{= ^l}

tA..

n,! , nr! , ... n.!

Contoh: n = 3 hal a,a,bdapat dipermutasikan dengan 3 langkah

beri kut ini :

aah aha

haa O= ' 1,2

seleksi r dari fl hal lanpa memperdulikan susunannya dika "kombinasi" dari n hal dengan mengambil r pada satu saat

kombinasi ini dapat dituniukkan oleh -n - nt - /n\"'

c.

=;(^-:lr

-

_\r/

n! diucapkan "n faktorial"

Simbol biasa untuk koef isien binomial (lihat d 27)

di sinirr=3,nl =2,n2=1 _ 1.2')-1 2! . l! 1,2' 1 Kombinasi 20 ₂₁ lanjutan dari D5 Contoh: Untuk

n

-

3 hal

di

mana c,

t,

c digabungkan, hanya memberikan satu kombinasi aDc. Di sini n = 3. r

-

3.

sehingsa

":

.

(i) -l;fi),

-

t.

Tabel di halaman D6 membandingkan kombinasi-kombinasi dan

permutasi-permutasi (dengan atau tanpa pengulangan hal).

(

(

(

I

I

N, Jumlah kombinasi

tanpa

I

dengan pengu langan, tairpa memPedu likan Jumlah permutasi

tanpa

I dengan pengulangan dengan memperha. tikan keadaan hal IIIO

li

>

rli

=

?11.u

=

=-cEl5i

i$13

I

=!13.

e3l

o)

I

<.n!l

-o I -l

g

o)

Rumus

*c^,-

(".

:

-

t)

''

= a(a+l )"'(a+r-1 ) rl

e:'n*r

-

(r';'

- n(n-l )..'(n-r+l )

'ei

=

n'

Penjelasan simbol Cr Jumlah ksrnunqkinan kombinasi n. Jumlah hal vanq ditentukan I p, Nomor pernyataan permutasi r: Jurnlalr hal yang clipilih darihal-hal yang ditentukan

r

c

o n t o h Pemberi n = 3 hal r, D.

c

l,=znatdipilihdari3halyangditentukan

Kcmung- kinan ob oc .bc oa oO oc 'bbbc cc -oDac _{bo.bc co} cb lo ob o( 50 bb b( :o cb c( Perh

i-tungan Jrada Juntlah kemung- kinan

! Lt

-/l\

l.

2

\21

1'2

*"t

-

(

)

,z

-

t1

-r

\

2

I

=(;)

0.1

rT--=

o

e1-

(f)z,

. ,! - ,!

(r-2)!

t!

.'.?.r.,

":-

)'

.9

Catatan sebagai contoh ob dan bd merupakan kombinasi sama sebagaa contoh ob dan 6a permu tasi yang berbeda rY : dengan pengulangan ') perhitungan menurut ke d 27 oo oo oq q

{

o E

o

o (D 3

d> rtr

[{ :=

TD

o -.:

dr

=

o A,

o

f:

3 xx 3 ++ :' o oo = !i o <s : o fln ro o. '!t c 3 o c

r r

o

r

9- o 3 o oo @ 9. E o J o@o

,

OD iN G o I Jo J o

a

o

r

o @ o o c o o c b ooa - xhx o o o .a + ct,2 .' ooo tNn o o o <ES t. L6 l++ ooo o o o but b. B .a NNN o' o o [r i alt ooo tla

o3

_o l6 tct 't I )o 'fl o o

oA-I.

1....r

i

t,..':, Oo'oC

.a.

,

.c

l

+ --+---i-l- c r F I \ \f I .x. - A

+

.r

'.

4

+ I o o oJ ...LIar a+

l+ _{9PP ooa E!! ooo tta ltt ooo oo0 :!D ooo}

t+ \oa o\o

I

aoo

_rta

ll+ ooo too

D o.!\ o6

-.

-.

E'

{

b I oo I.. C oo

_li

i _{I o !} t o I P o, rO -a r- oc k-r

oai

fl

<o

ol-o

$

:

Jo Nf

9-o

9-

_o

6 s o j =@YO I JJ

"Lp-

S o _@ o o

6Q3 >o :nD -O

oo-

,blbo oPo

o nf

6E

o Nf

(')

?'

-

s

o 3

Determinan yang lebih besar dari orde ke-2:

(Aturan Sarrus, lihat 07, dapat digunakan untuk determinan-de-terminan dari orde yang lebih besar daripada orde ke-3). Dari

penjumlahan atau pengurangan perkalian-perkalian yang sesuai

dari dua baris atau kolom, dapat diusahakan untuk mendapat-kan nilai-nilai nol. Kembangkanlah determinan dengan memulai dari baris atau kolom yang memiliki jumlah nol terbesar. Bolak-baliklah tanda-tanda faktor dengan mulai dari Ql

_I

sebagai +.

Contoh:

Pengembangan pada kolom ke-4:

! + _- +l

I

or,---" orr-""'crr

I

or.l o:,

orr

orll

I

o.r

drr

o., I

Pengembangan lebih luas sebagai:

D

_{= o,,(",,1::l :::}

I

-",,1::i

l::l

.",,1::;

:::l)

-.,.(

₎

Untuk membentuk determinan Dr,.D2 . . . (lihat D7), masukkan kolom r untuk yang pertama, kedua, . . . dari D, dan buatlah

eva-luasi dengan cara yang sama seperti untuk D.

Untuk determinan pada order ke a, dapatkan tr1

mus:

ARITMATIKA

Determinan dan persamaan linear

",

=!

""

-

9oz 0

Da

+t - -- otr I

:::

I ol otr d!t "" dtt otr arl

!tr

"' 9i.

6'

dari ru.

..".=ff

Untuk determinan dari orde ke.rr teruskanlah hingga

mendapatkan determinan pada orde ke-3.

24 25 t73 171 d75 d76 Deret

hitung

Urutan 1,

4,7,

10 dan setorusnya disebut deret hitung. (S.lblh antara dua bilangan terdekat adalah konstanl.

Rumus:

oa - o, + (a - t)d

,^'

_+(o1r

6') .

o,

r,

*

3!,!-E

Angka rengah deret hitung (arithmatic moan):

Setiap bilangan dari deret hitung adalah angka tengah dsrct

hl-tung a6 dari

bilangran-bilangan terdekat

o--r

dan

a..e

Maka, bilangan ke-rn adalah

o-..]*

(misalnya, dalam deret di atas) Deret

ukur

Urutan 1

,2,4,8

dan seterusnya disebut sebuah der6t ukur (Haril

dari dua bilangan terdekat adalah konstanl. Rumus:

Qa ' o, gn-t

! - . gn-l . grqn-oi -^-tg-lq-l

Angka tengah deret ukur lgeometric meanl:

Setiap bilangan dari deret ukur adalah angka tengah darat ukur

a^

dari bilangan-bilangan terdekat

a.-r

dan a6-r' Maka bilangan ke-m adalah

ARITMATIKA

Deret

Dg

untuk

t<r<a

o,-!#.?)

untuk

l<r<a

or

.

_/e,G.

. rl

{r-*; l9|< 1) berlskupc. I

'". l3;".

orTli

(

(

(

(

o^-

_{w; "*}

(misalnya dalam deret di atasl Untuk deret ukur tidak terhingga rumusan berikut ini:

(ta'Ila6r-O; ^+@ Der.t ukur-d..lnal

Pinerapan untuk menghhung perkalian de,ot-angk! ttrndrr

dlti

dua bilangan yang berdekatan disobt t "porblndingln progrcdf {progressiie ratiol O"

e

=

tlo:

integer b menentukan jumlah bilangan, atau jumlah dari angka standar sebuah deret di dalam satu dekade. Nilai-nilai bilangan yang harus dibulatkan, dihitung menurut d 77:

bilangan awal

bilangan akhir selisih antara dua bilangan terdekat

Contoh-contoh b

jumlah bilangan

jumlah sampai n bilangan hasil bagi dari dua bilangan terdekat

n = 1...b

=

100 atau.. cat.atan mtern, dere( deret DlN. lihar R I

6, 12,24,... I ee.

En.

e24,...

5. 10, 20, ... I R5. R 10. R20. ... 26 laniutan di D 11 d80 d 8,1 d85 o86 da2 d83 d87 d88 d89 d90 Deret binomial

f(x)

.

(r

r

r)o

.

"(?),

. (;)u

r

(;),,,

..

a dapat bernilai positif ataupun negatif, dapat berupa angka

bulat atau pecahan.

Perluasan dari koefisien binomial :

1a\

_ o(a - t)(a - ?)(a - ))...

(a - n + t)

\a/

-Contoh: I

TT;

ln-m

'|

)'i:?

rtlrr-*t'

I ++r

r;/

Oeret

taylor

11x)

-

t(a). ';1"'

,.

,+

(r - o).

r

memasukkan (L _{= 0} akan menghasilkan deret MacLaurin

t(x).

/(o)

'#9,

,

1fL*

+

.

. o I o ,x'l!

'-ir'zr'JT*

"

rlno (rIno)t (rlno)'

.--T-.----TT_.-'T-..

=,F+.;(..,J".

_i(#J

_l

xl rJ x' x'

--T.A+J-.-5-+..

_

_211t

r . r

_

| . l

--.

(

(

(

'lf"

+

_*e"

.

(t

-t

J:)

I ! r)r . !

1x)'.

( untu k semua

/

ARTTMATIKA

Deret Deret

Trylor

(sambunganl

rr{rr

-5r'5T-7T+ "

irrz'

-T,,TT -JT+..

tan

r.,

*.tr'

,#r' ,iJir'

cotr.+-i,

-#,'-fi,'

I lt lrJ rt 1rl'J r'

Arcrln

r ' r

+

_Z3

,

_{T-1.r, Z4-,6a.}

AFccor

,

-+-Arcsin

r

.rltr?tr

Arct.n,-x-T.T-TrT-Arccot ,

-;

-

Arctan

r

rtlu'rt

slnh x,,

.JT . j_i .Jl_ *gl-.

tr'rtr'

coshrol+rT+IT.ZT.ET

tanhr'r-irt

r#r'-*,

cothr-+'+,

-#",#,

I rr 'lr) xr llr'5 x'

,

-

_Z

_{-, . Fi -j-}

_?.-1;6

_7..

. . arcosh

r

=

ln

?:

-+

*-n

ii-Hi*

#

ll x' x' xl

artanh, . x . a' +J- +.=i-.,i-.

lirl

arcoth r

=

_{r. ,I . ,T}

+ ixr

r

Penyederhanaan hitungan urtuk koefisien gelomban! simet.ris Fungsi

genap: f(x)

₌

_l(-t)

fungsi

ganjil:

_{t(xl - -l(-x)}

',

'*-l""coa

(,ir)d:

dengan indeks

*

= O,1,2 ,

ot -0 _,

r'

-

_l"[ra

cln

(Ar)dr

dengan indeks L = O, 1.

_2..

.

Fungsi harmonis genap

f(

r)

-

_l(-t)

t(!

+,1

-

-t(,

-

,)

, r/t

",

-

+).,,(,)

cos

(Ar)ar

intukr=1.3,5,...

Drr

untuk semua

,

Umum : Tiap fungsi periodik

_/(r)

denganperiode-rsrS

n yang dapat dibagi-bagi lagi ke

dalam jumlah _Interval terbatas sedemikian rupa _{sehingga /(x)} dapat diuraikan dengan kurva

kon-tnu

(continuous curve) dalam masing-masing interval ini, dapat diperluas dalam interval

ini,

ke

dalam deret-deret konvergen dari bentuk berikut ini

(r

= o/):

^n

-

1r

r

_#

_[..

cos(nr)

_'

o,

crn(ar)]

Berbagai koefisien dapat dihitung dengan:

Dp

o,

₌

_llrt'lsln

(^r)dr

.

2,..

..

ARITMATIKA

Deret Fourier

Deret Fourier d9r dc? d93 d grt d95 d96 d97 d98 d99 d1@ d l01 dr02 dl03 d104 d105 d106 2A Contoh:

t1n r . r

cor r -

I

errlnh r

lemua

,

lrl<?

o< kt

lrl<r

lrl

!l

lrl

.t

lrl

_=t

lrl=

t semua

,

semua T

lrl<i

o.l

rl

lrl

..

l:l<

t

lrl)

I

l:l(

| _{dl l3} dl 14 dll5

(

(

(

f(r). -l(

x)

'r{!,,i

_.

-tt}-,)

I

,al

'r

=

+)

/(x)

srn

(rr:)dr

ountukt=1,3,S,...

29 Fungsi harmonis ganiil

L

Drs

laniutan dari D 12

or

-

o

untuk

t=0,2,0,...

_{lo, . o}

untuk

k4'o,1'?,..-br

.

0

untuk k= 1,2,3,...

_{lb, .}

0

untuk

t=2.'4.6,...

Tabel perluasan Fourier I

y- o

untuk

Q<xcx

y=-o untuk t<x<2x

ARITMATIKA

Deret Fourier d1 dt17 dr 18 dl l9 dr 20 d12r d't22 dr 26 dl27 dl 28 dt29 d1 30 d131 dl32 y = o Untuk a <x<x-d y --a Untuk r+a <x <?t-a

I i"o" a

_rI

s1n r Oo _* ]"o" ,i t i |zn tl

sln

()r)

*

_f"o,

(5o) stn

_{tirl '}

...]

o untuk a < x <zt-q l(2r.' t)

?o I

"-a

;t2

- sln(r-o)

- I - cos r

a,"{I:9.l

cos

(2r)

-

s1n

Ir-a).o,

(fr) * ...]

v = a\/b untuk0!r!b

y-- c

untukO5rSa-b

v' o(r

-

r)/5untuk

r-b5

x

I

t

I

sln

(561

sin

(5r)

v-ffuntukO<x<Zx

y- y(2a+t)

*[.r^.*{5!.stfd.

6

t

lanjutan di D 15 31 d133 d1 34 d135 d 136 d1 37 dr 38 d1 39 dl 40 d 141 dl42 d143 d 144

ARITMATIKA

Deret Fourier

y-zox/r

untuk6{xlx/2

y =

?a(t-x)/x

untvk

t/2Uxtx

y .-l(a

+ x)

y. or/x

untuk05rlx

y

=

a(Zx-x)/t

untuk

r !xr-2x

,

= 1(Zn+x)

y

=

o

slnr

untuk0!r5r

y

=-o

s1n,

untuk

x*x{?x

,

=

1(t+

x)

(

(

(

(

d145 d 146 dr47 d 1{B d1 49 ol50 d1 5l o152 d153 d154 t/ = xt untuk-rtr!r y _{= f(-x) = l(/n+x)}

v

=

ax/x

untuk 0

(x (r

y

=

l(2x+ r)

Dr+

o

o

fstn

x

lln

laniutan dari D13

v

=

_T-

_;L--r--

.

-42n.

.,^r,r',

*

...1

,

=

_$oIrrn,

-

sln-(]r)

.'1^rl5')

-

..]

t

-

_#[o,+

. *+rr)

.

*#d

_'

untuk0!x{t/2

f

ARITMATIKA

Transformasi Fourier cor

()r)

),

rln

(2r)

2

Drs

Transformasi Fourier

ARITMATIKA

lanjutan darl

Dl5

r(s(r))

.

s(o)

r(s(ar

))

_{'f stfl}

a resr > o

F{"r(r) . sr(r)}'

5r(o) r Su(o)

Dengan menggunakan d 159, kerapatan spektra yang telah dihi-tung diberikan untuk beberapa fungsi waktu yang penting.

Pe-nyesualan antara fungsi waktu dan kerapatan spektra.

"(r),*is(.)

c''' d.;

Fungsi waktu s1r1 2 AT sln(uT)/(uf

Dro

!

s1,)

=Js(r)

o'''

dl Kerapatan spektra J(o,)

sla)

S(o) = r

(kerapatan spektra adalah

konstan untuk kelebihan <l)

- 7@l sln : -J2

Ar

-;;-2 lanjutan dari

Dl4

o

2o fcor

r

v'tr- 7[-1t-'

a frln r trLt cor

(5r)

,--r

-

sta

(Jr)

d !66 d t67 d lcE

Umum: Transformasi

Fourier

f {s((|l

yang berlandasan ln-tegral Fourier merubah fungsi

waktu s(l)

ke dalam spectrum berlanjut (kerapatan spectra)

s((u)

sedemlkian rupa tehingga frekuensi

(,

meniadi sesuai dengan kerapatan

spectra.

sll)

ha-rus mempunyal karakteristik sebagai berikut:

a) mudah dipisah-pisahkan dalam jumlah interval terbatas yang telah ditentukan.

b) mempunyai nilai tertentu pada _loncatan

t0+o)

dan

t(r-o),

sehingga nilai ini sama dengan nilal rata-ratanya.

s(t) = 112 _{[s(r-0) +} r(l+0/l

c)

Jlr(01 dr harus merupakan konvergen mutlak lnversi transformasi Fourier F-! (S(@))

fungsi waktu s/l) Def inisi

r(s(

r )) d 169 d't70

(

(

(

I

(

I

(

I

(

d 156 d 157 d 158 d 159 d 160 d 161 d 162 d 163 d 164 d 165 32

sr,l

-

_iir!)

c-i"'

r-'{s(@)}

= =

*1i'''

" Enersi

spektra

_Jls(

t)l'

ol Aturan hitung Peralihan

(translasi)

r(s1

t

- r))

pembelitan (konvolusi)s,( 1) * sz (t)

|'ft'ot1'

--

v--?

-rr

d 171 d 17? d r73 d 171 s(o ) s(u) = 417

cos(zrr)2!!9L

r{sr(t)rsr(t)).

,r(r

-t)

cr s(o )

Js'(r

-5 [

_"'('

-@ st(a,)

L

empat,aPr(l) Dirac,{

6(t)

R il2 ( t-?/2)-Rrr, ( I +T/2) 5r (o) d 175 33

ARITMATIKA

Transformasi Fourier

s(o) -

I R. (o)

Drz

(fungri segi empat)

ARITMATIKA

Transformasi Laplace

Drs

lanjutan dari D17

.

_^

r

.''('{)

ut3 -T-t7{-

x

\'-|_i

T2 u'

t-rr;r

d 176117?

(r)=*,.:1+:+!.

o"nn"n

."

, ltrtt

uo-j

laniutan dari D16 Fungsi waktusfr) ngsi segitiga ,{ o, ( I Pulsa Cosi nus _tttt

d Pulsa cosinus ,t2 _.co s 2(oot ) with

dl kuadrat

Sarf _uo 2x

'-f

a c''1

s(.)

-

---I-)u + u

Umum: Transfornrai Laplace

t (/(0)

berdasarkan fungr si integral d 178 d 179 d 18.0 d 165

t +'I

Kerapatan 3pektra S(ar,

- stn f(o ' o") l+ . s1n f(- - o")

F(p)=[t(t)e

J dl

(

(

(

(

(

(

)

(

i

i ,( tl ,. co3(oo. )denganoo. ji

.,nrrttls(')

=

(,)

-mengubah fungsi

waktu

7iit.

yang mana harus bernilai

nol untuk ,<0 dan yang

seluruhnya harus diberikan

untuk t>0.

ke

dalam suatu fungsi gambar. Bagian

e

o'

di

dalam

d 190

digunakan sebagai sebuah

faktor

per-siapan

untuk

menentukan konvergensi

integral

untuk

sebanyak mungkin fungsi

waktu,

di sini

p = rr

r,ro

de-ngan

rr 2

0 ,

adalah variabel kerja

yang

kompleks. Oi daerah

gambar

ini

persamaan dif erensial

dapat

dipe-cahkan

dan

proses-proses dengan

ciri

khas yang tidak

periodik

(misalnya osilasi)

dapat

ditangani;

sifat

(wa-tak) waktu yang

diinginkan akhirnya

dapat

dicapai

dengan

cara

transformasi

inversi

di

dalam

daerah r

(lihat D 20). Def inisi

-rtrrr,I

-

r1o1="17at;"0rIe-'{rrnr _}=

^n

-*!i;;tu,",

uraian singkat:

,/(r)+f(p)

uraian singkat:

f(p).+r(.)

I 3a 36

Aturrn hitung (aturan operarll

Llnearitas

_I

L{lrlt)

r,r:(r)) .

7t(pl + r2(pl

. c

fr(p)

l{c ,( t )}

Lll(. -

cr)

'.

.

-tP r(p)

i(tl

,

_h(tl

-

[

^1.-t,

lekl

or

t

-

_{!tr(rl lzlt-tl}

at

1t(t)

t

!z(t)

e

4(p)

Fr(p)

t

_{

_t,l

ttl

.(J"(r))

t-( 1"1 t

t\

-

p

r(pl-t(e)

-

lr(pl-p t(o.l-l'ltl

ARITMATIKA

Transformasi Laplace

l.niutln

dsrl

Dl8

Penorapan transformasi

t

pada porr.m.an deferenriat

skema

l;;.;---1

daerah-t t

. Operasi

Operasi

I

daerah p

+-r!r-Drg

tt .t a dN d 209 Persamaan diferensial untuk ,tr) + kondisi start hasil penyelesaian dilerensial lihat

pada

- I

aturanatrr"n

_! untuk

penia-

I

baran

!

!

t---

I

1

I

lhasil

penyelesaian

l1 p".',nd.h*

llp.nr"t"r.illIl

I

I

lpersamaan diferensiat

|

_!

inversi

cetrn-

_!lr"m"an

normat

_I

_i

I

I

jukdi

_D2O

_rluntuk

.-.

_vrpr

_I

I

Kesukaran penyelesaian persamaan diferensial dialihkan ke

inversi. Hal

ini

dapat disederhanakan dengan

eks-dari

ygt

ke dalam fraksi-Iraksi bagian (lihat D3) atau ke

37

bniutln

dori

Dl9

dalam lungsi-fungsi bagian yang rcdemikisn rups untuk

m.n!

di

dalam

D20

konversi-konversi diberikan kemball

kc

dalam daerah waktu.

Contoh: 2y' +

y - l(t):

/(

t

)

!d8l8h fungsi start

I

y(

o')

- 2 a kondisi 3tart E

l:

Xlt

zp

r(pt-iv3')+r(pt

-

F(pl

€

l:

ffi'

y( r

)+

r1r1

.

r(P-)leY-(o')

.'Ti';i'

Sesuai dengan

_l()*

flp) terdapat

berbagi macam penye-lesaian untuk y@. aDi slni

I0

dianggap sebagoi fungsi langkah. Dalam hal ini menunjuk pada d 213 F(p)-1tpl.l

::::':T")

'l''

'il1bil

'

+#'r

-

#*"'lo;'

seterah D2o

ytrl

-

r

-rl;\

*z,zl;'4

-

t,

r')'

Panerapan aturan koovoluli (pcmbelitan) terhadap transformr:l

-L

pada jaringan-iaringon linear.

Fungsi asli adalah

h0

dirubah meniadi sebuah responsi .r,/r.l

setelah melalui sebuah jaringan. Jaringan ditetapkan deng8n

fungsi pemindahannya Fzb).

Fttil

pemindahan inversi

lz0.

daerah-t

daerah-p

v(tl - h(.1

*

_h(.)-r(p)

, ft(p)'

fr(p) Untuk iaringan yang ditentukan responsi .,/(r, tergantung dari

hO.

y(t) dapat

diperoleh

dari

d

205. Selelah memperoleh

y(p, _{perhitungan diteruskan pada baris d 206. Seluruh}

Transfor-masi inversi ke daerah-r adalah mungkin,iika Fzb) ditentukan sebagai

fungi

rasional Irakri yang vtaiar p dan bila

transforma-si*t

, yaitu

fr(pj

ditentukan dalam D 20.

(

(

(

(

(

(

d 2t1 d 212 d 213 d 214 d 215 d 216 d 217 d 218 d 219 d 220 d 221 d 222 d 223 d 224 d 225 d 226 d 227 d 228 d 229 d 230 d 231 d 232 d 233 d 234 d 235 d 236 d 237i238 38 t3 l4 15 t6 7 9 I 25 26 28 29 30 31 JZ 33 34

ARTTMATIKA

I

n

rr.nrtor,nrri

r-.pi*.

_I

Ll

ZO Tabel korelasi ? -or 6o'ia

F(il

_{=lAt) "-"}

dt;

t(t)

=

#

_[rro,

_"o'

o,

Oung.;, o Lu

- L?rf;,

=

d-''

aerah-p

daerah-t

ldaerah-p

;

daerah-t

ansformisi

fungsi

asli

I transformasi

I

fungsi asli

aplace.F(ptt

_[(t)

lLaolace

F(ot

_I

lltl

I

d(r).oirac

_I _r_-c I unrul< > ol

p{

0Urtult<0lf c

G{"y

-w

fi

rln(hr)

+ + * cos(^. ) cor(tr!)

--|r

,rn1lr)

't /p 1/p" | /p" _{o + ta} .6!r - "et

--5:-t-sln(/r.t ) I

Ta

1 /(p - a) ero(at) (p

-

ar(p 1 /(p - al

t

exp(at ) exp( at )

-

1

;G:;I

I

.r7

T-

F

1rT p

I

e,e(-t/r)

I

pW

,y+

slnh(al)

_v;

_-1/(?Y7

t'h)

,^4'6a

p ;r-;I cosh(al) pY r, 1n P+D P+a I I -.t -6

i-t"

- e A

ptth' s 1^( A t ) _{a. cla^( a/p} 1 /t s7n(at)

p

--r--:7

P

+x cos(Al )

lor a > O:

c'"li

_ztYil

a _^i7-ai

"

;l:

srn(lr

)--fir

r

coslrrt I

(p'*

r.')'

lor r>O: I -rlp--ep -& errc

_zlT

(lihat G 8) p

Gr.Ttr

f,

"t^1^,1 I

E;,=

","n,

r

{!'"ie"i

t-39

ARITMATIKA

Bilangan kompleks

Dzt

lanjutan di D 22 Bilangan 239 240 241 d d d d d d Umum z z t.i . o + 1D o . bagian nyata dari t D

.

bagian imajiner darl z

r .

nilai absolut z

=

atau modulusz

? =

argumen z

o dan b adalah nYata ii - +t 1r.-l 1r.-1 l' r +l

l. -;

.Za -za ,2, ft . -r. l.2--l fl ,+1 f..+l

Ti-=

dan b, - bt,maka zr- zz dst.

Catatan: Dalam

teknik listrik

huruf /

menggantikan huruf

i

untuk menghindari kekeliruan.

Oalam sistem koordinat Cartesians

z,o+lb

(a,+ o1) + 1(br+ ,L) (o,- or) + 1(Dr- Dr)

(o.o2- b.6t) + !,(o1\+ o1b,)

21 d d d d d d d

}t--I-rt

dimana o, = ar

(

I

_)

245 246 247 24A 249 250 251

*.

s+:++.r_$it}

a: +D' _' (a+10)(a-tb)

(

(

(

(

(

(

'-o

_*

_)6[i

ARITMATIKA

Bilangan kompleks

Bilangan

komplekt

(sambungon) Di dalam rirtom koordinat polar:

Dn

d 252 d 253 d 254 d 255 d 256 d 257 d 258 d ?s9 d 260 d 261 d 262 d 263 d 264 c 265

r .

l6t;T

I .

.rcten

3

slnp

.

₊

_|

_"o"r

=

+

_{1,"", .}

*

zt, 22 = r, , .r[cor(q +91 ) r 1 rt n(q +7, )]

*

.

i

[cos(q-e.)+1sln(q-e")]

zn =

r'[cor(^e) +

I rln(.rp)j

(r>ointogrst)

V; . ip

t"o"

t+UL

+

1

31n

t+Ilf

W -

_"o"

_f.

1

"1n

3r!

(satuan akar ke-a) dalam rumus d 259 dan d 260 k = O, 1.2... n-1

,0 c . co3 9 + I s1n t .,? c t cos I - 1 s1n 9 z , r(coe9 r1slno) o + lD

F;r;;;t

"'7*"'i

₂

_|

r

rin'

_'----

?;i-r;i

In r

+

l(F

+

2rl)

(rr' 0,!1,!2. ...)

12 dan

9t

-

92+2

t h,

maka

zt

-

z, harus dapat dikur sepanjang arc. adalah sembarang bilangan genap

cos, + 1 31nt I

l"'o

l

-cos g

In:

di mana r, = Catatan:

_I

k

\-40 41

ARITMATIKA

Penerapan dari deret

ukur

Perhitungan bunga

Aa

(Compound _interest)

Perhitungan bunga tahunan

(Annuity

interest)

A^.

_^"{-,o$*

--r s - rrJq-l)

^ '

"F;::-Ero-tJ

rgc

di

mana

*

=

0

kita mendapatkan "rumus-rumus pembebasan"

Perhitungan deposito

(rumus bank simpanan)

r^= Aoqn..o$*

Dzg

majemuk - ltqn

-

r:t_

_19c

.W

d26€ d 269 d 270

(

(

(

(

a

I

I

I

I

!t

_

re

fffiii

_.

i*

- ---,

_c

-Huruf'huruf

Ao

:

modal

_awal

_{a :}

_{iumlah tahun}

hn:

modal

setelahtrtahun

q : 1+p

r :

pensiun

_tahunan

p :

suku bunga

ARiTMAT|KA

I

rr

Konstruksi geometri

dari

ungkapan aliabar

| lJ

24

pembanding ke-4 b2 o;b = b:r pembanding ke-3

v;-t

O:t=Xrb pembanding lengah d 278 o 219 d 280 d 28r AIAU

.r : hipotenusa dari sebuah

ang segitiga siku'siku

ketirrggiarr dari segitiga sama-sisi

Tlm"

i#l\v

i--_

,

__-r o : r = r : (o-r)

seksi lebih besar dari garis

yang berulang'ulang dibagi lagi (seksi terbaik)

o -i

Er

(

ia t5 i6

FUNGSI

LINGKARAN

lstilah

dasar

a

(

(

at

t2

c3

Ukurrn mclingkar

dan

ukurcn rudut

drti tudut

deter

Ukunn mdlngkar

Ukuran melingkar adalah pcr-bandingnn iarak d yang diukur sepanjang busur dengan jari-iarl r.

Satuan ukuran inl disebut

"ra-dian"

yang tidak mempunyai dimensl.

a . 4

(rad)

Ukurrn rudut

Ukuran sudut didapatkan dengan cara membagi sudut yang berrda

di

tengah-tetlgah lingkaran menjadi 360 bagian yang dikenal sebagai "deraiat"

A satu derajat dibagi dalam _{60 menit {satuan:}

'l

a satu menit dibagi dalam 60 detik (satuan:

"l

Hubungnn rnterr ukunn mclingkar dan ukuran sudut

Bilamana sebuah lingkaran diperhatikan, maka dapat dilihat, bahwa:

360

-

2rt radian atau 1 rad'- 5?.29580

c7

e8

.9

FUNGSI

LINGKARAN

lstilah umum Segitiga

riku*iku

tlnd t-t- risl

berhadapan

o hipotenusa sisi samping co3a ! hipotenusa srsi berhadapan

tana '

-

-

a sisi

samping

D

-ro,

bl \o

\

c

^

sisi samping COr o r: O SlSr berhadapan c

.D

c

,t

stn

(ta -

9)

I

cor

(rto -

p)

Fungri

rudut

yang lebih penting

sin a cos a lan d cot a Persamaan dasar fungsi sinus fungsi cosinus o.707 0,707 1,000 1,000 0.5@ 0.866 0.577 7,732 0 1 0 @ 0.866 0,500 r,732 0,577 0,966 0,259 3,732 0,268 '| 0 @ 0 0 I 0 @ -1 0

€

0

Hubungan antara fungsi sinus dan fungsi cosinus e13

e14

lengkung

sinus

I

dengan

_L

₌

lengkungsinus

_lamolitudelr

=

lengkung cosinus

I

l.r

-dant=t

5

dan

k.2

danA=t

atau fengkung sinus dengan fasa yang besar pada

_{o '}

-

_i

f\T,..;:

l-0 45 s1'n()50"-o) _{= -31nq} cos( " ) = + cos o sln( l8O- + c) = - stn q s1n(160"+o) - +s1nq cos( " ) = + cos e tan( " _{) = + tanc}

FUNGSI

LINGKARAN

Kuadran

Es

e

15

e

'15

c

17

c

18

e

19

c20

c 2l

c22

crn(

9Oo

_-

q)

cos(

"

) 51^( 90o cos( ten( cot( + q) ! _{+ cos q}

) = - sln

o

) ' - cot

o

) = -

tan

0 r cos C 1 s1n (l r cot O + tan e taa( " ) cot( _{" )}

;"(r80"

--

")

cos(

"

)

tan(

"

)

cot(

"

) cot(

;(r?oT=A

cos( " ) = - cos 0 ) = + tan q + !1n (r - col c -tano -cotq

c25

c24

c2)

e26

e21

e28

c29

eJO c )l c)2 e)J c )tr cor ( ten( cot( coc ( tan( cot( - col c -a1nc +cotq + tla Or s1n(270 cos( tan( cot( ' - cos Q + s1n & -cotd - tan Q

(

(

(

(

i

I

I

I

iI

\.'

r

o) ) ) ) tan( " ) - - tan.e cot( " ) - - cot e tln( _{- A ) . - stn q} " ) E + cos c " ) = -tanq " ) . -cotq +y

-v

cot( " ) . l cot o rln(ct n.)600) - . s1n c cos( " ) = + coc (t

tan(Ct n't8Oo) = + tan d

cot( " ) . i cot Q I

i

'tb.

'\9

.6,Y.-o/

si

I

\

\.

o.. .d.., I I

o

eo"lf

FUNGSI LINGKARAN

Konversi

ilmu ukur

segitiga

ldentitas dasar o35 c36 e37 e38 s39 e40 e4l o42 e43 e44 e45 o46 e47 o48 e49 e50 e51 e52 31n'c + cos'a - | t + ten2o = _{cos_ a}l, tan a cot o I + cotro + | stn(c * |"o"(o

-fco"(o

1 I

;;);

Jumlah dan selisih sudut-sudut sln(a!p) - slna cosp t

"o"o slnP cos(a1p1 B cosa cos, f slno slnp

tan(a

tp)

. l-!^-s-i-!-tpi

cot(o

tp)

=

i*?+:lg+

Jumlah dan selisih fungsi sudut-sudut s1na+316P - Zr1yL*2 ro"L{ slna-s1nF . Z.o.L|2

sLag-J--E-z

.r"

9f ,orff

cos

c -

cos

P

=

-2

516

1-l-!

"ot

ajj

co! o + cos ,

= _cos s1n(a _a t ll)_{cos I} cotatcotrr _- = _s1n iln(Pta)_{o sln}

P I

sln c cos _{F = Z-sln(o} + r)

cos c cos I

_f

cos(o

*

_f)

f,

cot(o

-

9)

tanattan!

31n c aln P

tan a _{tan I - tan a + tan , , - tan} q - tan P

' coto+cot! cota-cot,

coto cotB - = goto+cotP-_coto-cotP_{tann+tanF tana-tanp} cota trnf _- = gotd+tanr--cota-tan,_{tana+cotF tano-cotp} Jumlah 2 getaran harmonis dari frekuensi yang sama o

sln(ol

+

_{9r) +}

b

cos(or +

p:)

_{- V-;A}

sln(or

+ ₉₎

dengan6 - o.slnpr+ b cosg2 ; d = o_cospt - b s1n92

p =

arctanf

dan e

-

arcsrn

ffi

{

ffl;:.[::Sll

L-46 47 e53 . 5,1 e55 e56 e57 e58 e59 e60

FUNGSI

LINGKARAN

Konversi

ilmu ukur

segitiga yang sederhana. sl^ o ' cos(9oo- o)

rrr

-;;i';-zstn

_I

cos

_I

coJa- coa 2a

sntara setengah 3udut, dan

rudut

rangkap

ten a cot a s 1n(

!6o-

q1

fr -

.fi5-cos'!- srn'!

cot(9oo- o) 1 cot , sln q cos a

Es

tan(9oo- o) I

ta^;

cog a sln a

=,ll.L-g----

_{[l -}

cos'a

cot'i-

r

2

cor!

cot 2a cot?o - t 2cola lt Ecotd - Ztana d cot

₇

_ sln o 'l -cosa t + cos a-l1n a lftr-"=;;?-fl - cos a

rn=;;:7;-Yz

t :.-F y'l + cot'a

2

tan?

t.

tan?l

2

r.a"

_t

r

- tan'I

t, t"nt{ Zcoc'a - | '| - 2s1n'a sln 20 2 !lna cos

(

(

(

i

a

I

I

/

]J a co3

₇

la^ 2a eGl e tiz e63 e64 e65 e66

l/r

_v?

--"Il"-sli d t . co3 a ,| _{- cor a} s1n a I - cos a 'I I co3 a