Solusi-Relasi-Rekurensi.pdf

¾

¾SeSebubuahah rerelalassii rerekkurureensnsii lilinnieier r hohomomogegenn berderajat 

berderajat r r dedengnganan kokoefefisisieienn kkononststanan a

addaallaahh rreellaassii rreekkuurreennssii bbeerrbbeennttuukk ::

a

a

_nn

=

=

cc

₁₁

a

a

_n-1n-1

cc

₂₂

a

a

_n-2n-2

…

…

cc

_r r 

a

a

_n-r n-r 

•

•

• SSolusolusi umi umum um ununttuk uk perperssamamaan daan diatiatasas

akan melibatkan penjumlahan dari solusi akan melibatkan penjumlahan dari solusi individual berbentuk

individual berbentuk aa_nn ==α α  nn..

•

• UUntntuk uk mmenenenenttuukankan α α , subsitusikan, subsitusikan

n n n n sehingga diperoleh sehingga diperoleh α  α  nn

=

=

cc

α α  n-1n-1

+

+

cc

α α  n-2n-2

+

+ …

… +

+

cc

α α  n-r n-r 

•

• SSehehiningggga da dipipererololeheh:: α  α  r r 

=

=

cc

1 1 α α  r-1r-1

+

+

cc

22 α α  r-2r-2

+

+ …

… +

+

cc

r r  • • aauu α  α  r r -- cc α α  r-1r-1 -- cc α α  r-2r-2 -- … … -- cc = 0= 0 P

• Bagi persamaan tersebut dengan α  n-r  • Sehingga diperoleh: α  r 

=

c

1 α  r-1

+

c

2 α  r-2

+ … +

c

r  • au α  r - c α  r-1 - c α  r-2 - … - c = 0

• sa an α 

1, α 2, α 3, ..., α r  a a a r  ua

akar dari persamaan karakteristik diatas • Maka a_n =α 

i n dengan 0 ≤ i ≤ n adalah

solusi dari relasi rekurensi ersamaan awal.

•

ada juga merupakan solusi dari relasi ,

a_n = A₁ α 

n-1, n-2, n-3, n-r 

awal a₀, a₁, a₂, a_r-1 .

• Misalkan a₀, a₁, a₂, a_r-1 adalah nilai awal yang diketahui, maka A_i dapat diperoleh dengan menyelesaikan sistem

persamaan linier dari A₁ α 

1 k + A2 α 2 k + … + Ar α r k =ak ’ 

• Teorema 1:

1 2 .

Misalkan bahwa α  2 - c

1α  - c2 = 0 memiliki  1 2 .

barisan { a_n } adalah solusi dari relasi 

= +

n n-

n-hanya jika a_n = A₁α 

1n + A2α 2n untuk n = 0,

¾Selesaikan relasi rekurensi berbentuk 

• Ambil a =α  n , maka diperoleh

persamaan karakteristik

n ₌ n-1 ₊ n-2

α 2 = 2 α  + 3 α  - α  - =

Sehingga diperoleh akar-akar 

karakteristik α 

• a_n =3n _{, dan a}

n = (-1)n • Solusi umumnya berbentuk

n 1 2

-• Diketahui a₀ =a₁ = 1 maka,

 A₁ + A₂ = 1

=

• Dengan menyelesaikan SPL diatas akan diperoleh:

1 2

• Sehingga solusi dari relasi rekurensi adalah:

-.

akan bertambah menjadi dua kali lipat. Dia mulai den an 6 ekor kelinci. Bera a

banyak kelinci yang dia miliki setelah n

• J ika a banyak kelinci, maka a akan

memenuhi relasi rekurensi a_n =2a_n-1,

0 ,

• Subsitusi a =α  n ,

a_n = A (2)n

• Diketahui a₀ = 6 maka,

=

Maka solusi untuk n tahun

• Contoh 3: (Fibonacci )

Fibonacci adalah a_n = a_n-1+ a_n-2,

persamaan karakteristik

n ₌ n-1 ₊ n-2

α 2 = α  + 1 α  - α  - =

Sehingga diperoleh akar-akar  karakteristik 

1 5 + 1 5−

• Solusi individual yang diperoleh adalah

1

5

n

a

=

⎛

+

⎞

2

⎝

⎠

Dan

1

5

n

a

=

⎛

−

⎞

1 5 n 1 5 n ⎛ ₊ ⎞ ⎛ ₋ ⎞ 1 2 2 2 n ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 0 1 • Diperoleh: dan

⎟

⎟

⎜

⎜ +

=

2 5 1 5 1 1  A

=

−

_⎜

⎜ −

_⎟

⎟

2 5 1 1 2  A

• Sehingga solusinya menjadi: 1 1 + + _n n

2

5

2

5

⎟

⎟

⎜

⎜ −

−

⎟

⎟

⎜

⎜

=

n

a

1 2

dengan c ₂ ≠ _{0. Misalkan bahwa} α 2 - c

1α  -=

2 0 .

barisan { a_n } adalah solusi dari relasi 

= +

n n-

n-hanya jika a_n = A₁α 

0n + A2 nα 0n untuk n =

• Contoh 4:

¾Selesaikan relasi rekurensi berbentuk 

persamaan karakteristik

n+2 ₌ n+1 _- n

α 2 = 4 α  - 4

α  - α  =

Sehingga diperoleh akar-akar  karakteristik α 

• Solusi umumnya berbentuk

a_n = A₁ (2)n + A₂ n(2)n

• Diketahui a₀ = 1 dan a₁ = 3 maka,

=

adalah:

n

• atau

• Misalkan diketahui relasi rekurensi sebagai berikut:

n n-1

• Dengan f(n) sembarang fungsi dari n

• Relasi rekurensi seperti diatas dikatakan .

rekurensi ini perlu dicari solusi dari

bentuk homogen (a =ca _-  )

• dan solusi partikulir berbentuk

* *

n n-1

* * n n n n

a Ac a

=

+

1 1 * n n

c Ac

a

n

− − −

=

=

+

+

1

( )

n

ca

−

f n

=

+

a =a _- + n • Sehingga: a₁ = a₀ + ¾a₂ = a₁ + f(2) = a₀ + f(1) + f(2) a₃ = a₂ + f(3) = a₀ + f(1) + f(2) + f(3) ¾... ¾a = a + f(n) = a + f(1) + f(2) + f(3)+...+f(n)

 f(n) Solusi Partikulir 

C, konstanta  A, Konstanta

n A₁n + A₀ n2  _A 2n2 + A1 n + A0 nt  _{, t ∈  Z} +  _A t nt + At-1nt-1 + …+ A1n + A0 r n _{, r ∈  R Ar} n

 sin α n A sin α n + B cos α n

cos α n A sin α n + B cos α n

nt _r n _r n_( A

¾Tentukan solusi rekurensi dari 

=

n

n-dengan kondisi awal a₁ = 2 

dengan garis untuk mendapatkan jumlah .

• J awab::

¾kondisi awal a₁ = 2 dapat diganti dengan kondisi awal a = 1 aitu kondisi dimana tidak ada garis yang membagi bidang, berarti terdapat satu daerah.

¾Karena c=1 maka solusi dari 

= +

n

¾Diketahui bentuk relasi rekurensi dari  ersoalan Tower of Hanoi adalah

a_n= 2a_n-1 + 1

engan on s awa a_n= 1.

• J awab: (Tower of Hanoi )

¾Bentuk homogen dari relasi rekurensi 

a_n= 2a_n-1 + 1

¾maka berdasarkan contoh yang lalu

solusi homogennya adalah

berdasarkan tabel untuk f(n) = 1

(konstanta), maka solusi partikulirnya adalah a*_n= A , sehingga

= _n= _n-1 =

 A = -1

¾Berati solusi partikulirnya adalah

• Solusi umum nonhomogen adalah • a_n= A2n-1 ,

• Dengan kondisi awal a₁= 1 maka

-• a_n= p a_n-1 + q b_n-1 b_n= r b_n-1 + s a_n-1

• Dengan p, q, r dan s konstanta sembarang

• berikut: • a_n+ 2 a_n-1 – 4 b_n-1 = 0  –  = n n- n-• Dengan a₁ = 4, b₁=1