Nasir Al-Din Al-Tusi, lebih dikenal dengan al-Tusi adalah matematikawan yang dilahirkan pada tanggal 18 Februari 1201 di Tus, Khorasan (Sekarang Iran).
Al-Tusi adalah salah satu ilmuwan, matematikawan, astronomer, teolog, filsafat, dan ahli fisik ayang terkenal dan terbesar pada masanya. Ia adalah penulis yang produktif, dengan karya tentang aljabar, aritmetika, trigonometri, geometri, logika, metafisika, pengobatan, seni,d an agama. Dalam matematika, kontribusi terbesar yang mungkin terdapat pada bidang trigonometri adalah Aturan Sinus
C c B b A a sin sin sin = = yang
diperkenalkannya pada tahun 1247 dan dituangkannya dalam bukunya yang berjudul Tahrir al-Majisti.
Matematika 3 Dimensi
A. Persamaan Trigonometri Dasar
Persamaan yang mengandung satu atau lebih fungsi trigonometri dasar yaitu y=sinx, y=cosx, y=tanx,
x
y=csc , y=secx, dan y=cotx dikenal sebagai persamaan
trigonometri. Jika ruas kiri merupakan suatu fungsi trigonometri dan ruas kanan merupakan perbandingan trigonometri dari sudut tertentu misalnya
3 sin
sinx= , maka persamaan tersebut dinamakan persamaan trigonometri dasar.
Jika ruas kiri merupakan suatu fungsi trigonometri dan ruas kanan merupakan sebuah bilangan, misalnya bentuk 2
2 1
cos =x maka persamaan tersebut dinamakan sebagai persamaan trigonometri sederhana.
Persamaan trigonometri dasar dapat diselesaikan sebagai berikut.
Jika sudutnya dinyatakan dalam ukuran radian, maka penyelesaian persamaan trigonometri dasar tersebut adalah sebagai berikut.
PERSAMAAN
TRIGONOMETRI
2
Pojok Info
sin
sinx = x=+k360 atau x=(180−)+k360 cos
cosx = x= +k360 atau x=−+k360 tan
tanx = x=+k180 dengan x Rdan k B. A x sin sin = x= A+k2 atau x=( −A)+k2 A x cos cos = x= A+k2 atau x=−A+k2 A x tan tan = x=A+k dengan x Rdan k B.SUTARMAN
Contoh 1:
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri berikut. a. sinx=sin50, 0 x360 b. 2 cos 2 cos x= , 0 x2 c. 4 3 tan 3 tan x= , 0 x
Jawab:
a. sinx=sin50 dalam interval 0 x360 360 50+ = k x atau x=(180−50)+k360 k = 0 → x=50+0360=50 x=130+k360 k = 1 → x=50+1360=410(t.m.) k = 0 → x=130+0360=130 k = 1 → x=130+1360=490(t.m.) Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {50, 130}.
b.
2 cos 2
cos x= dalam interval 0 x2 2 2 2x= +k atau 2 2 2x=− +k x= +k 4 k x=− + 4 k = 0 → 4 0 4 + = = x k = 0 → 4 0 4 + =− − = x (t.m.) k = 1 → 4 5 1 4 + = = x k = 1 → 4 3 1 4 + = − = x k = 2 → 4 9 2 4 + = = x (t.m.) k = 2 → 4 7 2 4 + = − = x k = 3 → 4 11 3 4 + = − = x (t.m.)
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { 4 , 4 3 , 4 5 , 4 7 }. c. 4 3 tan 3 tan x= , 0 x 3 4 4 3 3 k x k x + = + = k = 0 → 4 3 0 4 + = = x k = 1 → 12 7 3 1 4 + = = x k = 2 → 12 11 3 2 4 + = = x k = 3 → 4 5 12 15 3 3 4 + = = = x (t.m.)
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { 4 , 12 7 , 12 11 }.
B. Persamaan Trigonometri Sederhana
Persamaan trigonometri sederhana dapat diselesaikan dengan mengubah persamaan tersebut ke dalam bentuk persamaan trigonometri dasar. Konstanta yang terdapat pada persamaan trigonometri sederhana diubah ke dalam bentuk perbandingan trigonometri sudut .
Contoh 2:
Tentukan himpunan penyelesaian dari setiap persamaaan trigonometri berikut. a. 2 1 sinx= b. 3 2 1 2 cos x= , 0 x2 c. tan2x= 3, 0 x
Jawab:
a. 2 1sinx= diselesaikan dalam bentuk umum.
2 1
sinx= sinx=sin30 atau x=(180−30)+k.360 x=30 k+ .360 =150 k+ .360
Jadi, penyelesaiannya adalah x=30+k.360 atau x=150 k+ .360.
b. 3
2 1 2
cos x= dalam interval 0 x2 3 2 1 2 cos x= 6 cos 2 cos x= 2 6 2x= +k atau 2 6 2x=− +k x= +k 12 k x=− + 12 k = 0 → 12 0 12 + = = x k = 0 → 12 0 12 + =− − = x (t.m.) k = 1 → 12 13 1 12 + = = x k = 1 → 12 11 1 12 + = − = x k = 2 → 12 25 2 12 + = = x (t.m.) k = 2 → 12 23 2 12 + = − = x k = 3 → 12 35 3 12 + = − = x (t.m.)
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { 12 , 12 11 , 12 13 , 12 23 }.
c. tan2x= 3 dalam interval 0 x 3 2 tan x= 3 tan 2 tan x= 2 6 3 2 k x k x + = + = k = 0 → 6 2 0 6 + = = x k = 1 → 3 2 12 8 2 1 6 + = = = x k = 2 → 6 7 12 14 2 2 6 + = = = x (t.m.)
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { 6 , 3 2 }.
Contoh 3:
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan
2 1 ) 45 3
sin( x− =− dalam interval 360 0 x .
Jawab:
2 1 ) 45 3 sin( x− =− sin210 ) 45 3 sin( x− = 360 210 45 3x− = +katau
3x−45=(180−210)+k3603x=(210+45)+k360
3x=(−30+45)+k360
3x=255+k360
3x=15+k360
x=85+k120
x=5+k120
k = 0
→ x=85+0120=85k = 0
→ x=5+0120=5k = 1
→ x=85+1120=205k = 1
→ x=5+1120=125k = 2
→ x=85+2120=325k = 2
→ x=5+2120=245k = 3
→ x=85+3120=445(t.m.)
k = 3
→ x=5+3120=365(t.m.)
1. Tentukan himpunan penyelesaian dari setiap persamaan trigonometri berikut, dalam interval yang ditentukan.
a. sinx =sin43, 0 x360 d. sin(5x+10) =sin60, 0 x360 b. ) cos15
2 1
cos( x = , −180x180 e. cos(180−x)= cos53, 0 x360 c. ) tan35
3
tan(x = , 0 x360 f. tan(3x+35)= tan95, 0 x180
2. Tentukan himpunan penyelesaian dari setiap persamaan trigonometri berikut, dalam interval yang ditentukan.
a. 9 sin 3 sinx= , 0 x2 d. 4 cos ) 4 3 2 cos(x− = , 0 x b. 9 2 cos 2 cos x= , 0 x2 e. 2 sin ) 3 3 sin(x + = , 0 x2 c.
tan
tan
2
6
x
=
, 0 x f. 3 tan ) 6 2 tan( x− = , 0 x3. Tentukan secara umum himpunan penyelesaian persamaan trigonometri berikut. a. 5 cos ) 3 2 cos( x+ = b. ) 5 sin( ) 3 3 sin( + x = − c. tan3x=tan30
4. Tentukan himpunan penyelesaian setiap persamaan berikut untuk 0 x360.
a. 2 2 1 2 sin x= d. 2 1 ) 45 cos(x− =− b. cos2x−1=0 e. 2sin3x+ 3=0 c. 3tan3x+ 3=0 f. 3 3 1 ) 60 tan(x+ =−
5. Tentukan semua solusi yang mungkin dari masing-masing persamaan di bawah ini dalam interval 0 x2 . a. 2 2 1 ) 4 2 sin( x− = b. 3 0 2 1 2 cos − = c. 5tan4x+5=0
Latihan 3.1 A
1. Tentukan himpunan penyelesaian persamaan trigonometri berikut dalam interval 2 0 x . a. ) 6 tan( ) 4 2 tan( x− = x− c. ) 6 2 cos( 3 ) 6 2 cos( x− + =− x− b. ) 2 1 3 cos( ) 4 2 3
sin( x− = − x d. 3cosx+sinx=0
2. Tentukan himpunan penyelesaian persamaan sin2x−2sin2xcos2x=0 dalam interval
2 0 x .
3. Tentukan himpunan penyelesaian persamaan trigonometri 3)(tan2 1) 0 2
1 3
(cos x− x+ =
dalam interval 0 x2.
4. Untuk 0 x2, tentukan himpunan penyelesaian dari setiap sistem persamaan berikut. a. = − = − 0 1 cos 2 0 3 2 1 sin x x b. = − = − 0 cos 3 sin 0 3 sin sin x x x x
5. Tentukan himpunan penyelesaian pasangan (x, y) dalam interval 0 x2 dan
2
0 y , pada sistem persamaan trigonometri berikut.
= + = − 4 3 2 3 2 1 ) 3 2 sin( y x y x
C. Persamaan Kuadrat dalam Sinus, Kosinus, dan Tangen
Persamaan trigonometri kadang-kadang berbentuk persamaan kuadrat misalnya 0
3 sin 4
sin2x− x+ = , 4cos2x−3cosx−1=0, tan2x+3tanx−4=0 atau 5 sin 1 sin 6 + = x x .
Untuk dapat menyelesaikan persamaan kuadrat dari fungsi trigonometri, terlebih dahulu dapat dilakukan pemisalan terhadap fungsi trigonometri tersebut untuk menyederhanakan bentuk sehingga diperoleh ay2+by+c=0.
Persamaan ini dapat diselesaikan jika memenuhi syarat-syarat berikut. 1) Syarat Perlu
Nilai y pada persamaan kuadrat harus merupakan bilangan real yang memenuhi 0 4 2− =b ac D . 2) Syarat Cukup
Latihan 3.1 B
Karena y merupakan pemisalan sementara untuk fungsi trigonometri y=sinx atau x
y=cos maka harus dipenuhi syarat −1sinx1 atau −1sinx1. Sehingga syarat cukupnya adalah −1 y1.
Jika salah satu dari kedua syarat itu tidak dipenuhi, maka dikatakan persamaan tidak mempunyai penyelesaian atau himpunan penyelesaiannya adalah .
Contoh 4:
Tentukan himpunan penyelesaian persamaan trigonometri 2sin2x+3sinx−2=0 dalam interval 0 x360.
Jawab:
Misalkan sinx = y maka persamaan 2sin2x+3sinx−2=0 dapat dituliskan menjadi 2y2+ y3 −2=0. Dengan faktorisasi, diperoleh (2y−1)(y+2)=0→
2 1 = y atau y=−2(t.m.). Untuk 2 1 = y maka 2 1
sinx= →sin =x sin30diperoleh penyelesaian x=30+k360 atau x=(180−30)+k360 k = 0 → x=30 x=150+k360 k = 1 → x=390 (t.m.) k = 0 → x=150
k = 1 → x=510 (t.m.) Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {30,
150
}.Contoh 5:
Tentukan himpunan penyelesaian persamaan 2cos2x−5cosx+2=0untuk
2 0 x .
Jawab:
Pada contoh ini, persamaan diselesaikan tanpa menggunakan pemisalan terlebih dahulu. 0 ) 2 )(cos 1 cos 2 ( 0 2 cos 5 cos 2 2 = − −− x + = x x x 0 1 cos 2 x− =
atau
cosx−2=0Dari 2cosx−1=0→ 2 1 cos =x → 3 cos cosx= diperoleh 2 3 + = k x atau 2 3 + − = k x k = 0 → 3 = x k = 0 → 3 − = x (t.m.) k = 1 → 3 7 = x (t.m.) k = 1 → 3 5 = x k = 2 → 3 11 = x (t.m.)
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { 3 , 3 5 }.
Contoh 6:
Carilah semua solusi real dari persamaan 3tan2x−sec2x−5=0untuk 0 x.
Jawab:
Pada contoh ini, persamaan diselesaikan tanpa menggunakan pemisalan terlebih dahulu. 3 tan 3 tan 0 6 tan 2 0 5 tan 1 tan 3 0 5 ) tan 1 ( tan 3 0 5 sec tan 3 2 2 2 2 2 2 2 2 = = = − = − − − = − + − = − − x x x x x x x x x Daritan =x 3 → 3 tan tanx= diperoleh x= +k 3 untuk k = 0 → 3 = x untuk k = 1 → 3 4 = x (t.m.) Daritanx=− 3 → 3 2 tan tanx= diperoleh x= +k 3 2 untuk k = 0 → 3 2 = x untuk k = 1 → 3 5 = x (t.m.)
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { 3 , 3 2 }.
Contoh 7:
Selesaikan 2sin22x−5cos2x+1=0 untuk x R.
Pada contoh ini digunakan identitas
2 2 sec tan 1+ =Jawab:
0 ) 3 2 )(cos 1 2 cos 2 ( 0 3 2 cos 5 2 cos 2 0 3 2 cos 5 2 cos 2 0 1 2 cos 5 2 cos 2 2 0 1 2 cos 5 ) 2 cos 1 ( 2 0 1 2 cos 5 2 sin 2 2 2 2 2 2 = + −+ − = = + − − = + − − = + − − = + − x x x x x x x x x x x x 0 1 2 cos 2 x− = atau cos2x+3=0 Dari 2cos2x−1=0→ 2 1 2 cos x= → 3 cos 2 cos x= diperoleh k x k x= + → = + 6 2 3 2 .Dari cos2x+3=0→cos2x=−3 tidak diperoleh penyelesaian karena persyaratan 1
cos
1
− tidak dipenuhi.
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah } 6 |
{x x= +k atau dapat pula dituliskan
sebagai ) } 6 1 ( | {x x= +k .
1. Tentukan himpunan penyelesaian dari setiap persamaan trigonometri berikut, dalam interval 0 x360.
a. 4sin2x−3=0, d. cos2x+2cosx−3=0 b. 2sin2x−sinx−1=0 e. tan2x =1
c. 2 1 cos2x = f. 3tan 0 3 1 tan2x+ x=
2. Tentukan himpunan penyelesaian dari setiap persamaan trigonometri berikut dalam interval yang diberikan. a. ) 3 0 2 sin( 4 cos 4 2x− +x − = , −x b. 2sin2x−8sinx=2cos2x−5, 0 x2 c. 2tan2x+3tanx−2=0, x 2 d. 2 3 tan sinx x= , 0 x2
Pada contoh ini digunakan identitas 1 sin cos2
+ 2
= atau
2 2 1 cos sin = −Latihan 3.2 A
1. Tentukan himpunan penyelesaian persamaan trigonometri berikut dalam interval yang diberikan.
a. cos2x−3sin2x+3=0, 0 x360 b. 3sinx=cscx−2, 0 x360
c. 5sinxcosx−5sinx=2cosx−2, 0 x360
2. Tentukan himpunan penyelesaian persamaan trigonometri berikut dalam interval yang diberikan.
a. cos4x+2cos22x+14sin2x−9=0, 0 x2 b. 4cos2x+3sin2x=3, 0 x2 c. 2tan2x+3tanx−2=0, x 2 d. x x x 2 tan 1 tan 2 cos + = , 0 x2
3. Jika dan merupakan sudut lancip dari suatu segitiga siku-siku dan tan= 2sin, carilah sin2
.4. Jika adalah sudut lancip yang memenuhi 0 tan
4 2
tan + = , tentukan cos .
