BAB 5 : FUNGSI TRIGONOMETRI (Jangka waktu : 9 sesi) Sesi 1. Sudut Positif dan Sudut Negatif. Contoh

BAB 5 : FUNGSI TRIGONOMETRI (Jangka waktu : 9 sesi)

Sesi 1

Sudut Positif dan Sudut Negatif Contoh

Lukiskan setiap sudut berikut dengan menggunakan rajah serta tentukan sukuan mana sudut itu berada. (a) 30˚ (c) 590˚ (b) (d) Penyelesaian (a) (b) y x 30° y x 3 4𝜋

(c)

(d)

Sinus, Kosinus, dan Tangen y x 7 3𝜋 c b a 𝜃 sin 𝜃 =𝑏 𝑐 kos 𝜃 =𝑎 𝑐 t n 𝜃 = sin 𝜃 kos 𝜃= 𝑏 𝑎

Contoh

Jika t n = , dengan 80° 360°, tanpa menggunakan kalkulator, cari nilai sin dan kos .

Penyelesaian

sin = kos =

Sesi 2

Sekan, Kosekan, dan Kotangen -5 -12 ₁₃ 𝜃 c b a 𝜃 sek 𝜃 = kos 𝜃 = 𝑐 𝑎 kosek 𝜃 = sin 𝜃= 𝑐 𝑏 kot 𝜃 = t n 𝜃= 𝑎 𝑏

Contoh

Diberi ialah sudut refleks dengan sek = . Tanpa menggunakan jadual atau kalkulator, nilaikan (a) kot (b) kosek (c) sin kos Penyelesaian sek =5 4 sek = kos = 5 4 kos =4 5 (a) kot = = = (b) kosek = = = (c) sin kos = = 4 5 -3 𝜃

SUDUT PELENGKAP sin = kos(90 ) kos = sin(90 ) t n = kot(90 ) sek = kosek(90 ) kosek = sek(90 ) kot = t n(90 ) SUDUT NEGATIF sin( ) = sin kos( ) = kos t n( ) = t n SUKUAN SETARA [Sukuan II] sin = sin( 80° ) kos = kos( 80° ) t n = t n( 80° ) [Sukuan III] sin = sin( 80°) kos = kos( 80°) t n = t n( 80°) [Sukuan IV] sin = sin(360° ) kos = kos(360° ) t n = t n(360° )

Sesi 3

Sudut-Sudut Khas ° ° °

Contoh

Tanpa menggunakan buku sifir atau kalkulator, cari nilai bagi (a) sin 5° (b) sek 660° (c) sin 50° kot( 50°) Penyelesaian 2 1 3 30° 60° 45° 1 1 sin 30° = sin 60° = 3 kos 30° = 3 kos 30° = t n 30° = 3 t n 60° = 3 sin 45° = kos 45° = t n 45° =

(a) sin 5° = sin 45° = (b) sek 660° = kos 660° = = = (c) sin 50° kot( 50°) = sin 50° t n( 50°) = sin 50° _{( t n 50°)} = sin 50° t n 50° = sin 30° ( t n 30°) = sin 30° t n 30° = = = 5° 660° 50°

Sesi 4

Menyelesaikan persamaan trigonometri Contoh 1

Selesaikan setiap persamaan trigonometri berikut bagi 0° 360°. (a) kos = 0 9063 (b) sin = 0 669 (c) sin = (d) kosek = (e) 2 t n ( 60°) 3 = Penyelesaian (a) kos = 0 9063 0° 360° = 55° 05° (b) sin = 0 669 0° 360° 0° 7 0° = 4 ° 38° 40 ° 498° = ° 69° 0 ° 49° (c) sin = sin = 0° 360° = 45° 35° 5° 45°

(d) kosek = = sin = 0° 360° 0° 80° = 60° 0° = 0° 40° (e) t n ( 60°) 3 = Contoh 2

Selesaikan setiap persamaan trigonometri berikut bagi 0° 360°. (a) 3 sin kos = sin

(b) kot = t n( ) (c) 4 t n kot 3 = 0 Penyelesaian

(a) 3 sin kos = sin 3 sin kos sin = 0 sin (3 kos ) = 0 sin = 0 3 kos = 0 = 0° 80° 360° kos = 3 0° 360° = 70 53° 89 47° = 0° 70 63° 80° 89 47° 360° 60°

(b) kot = t n ( ) kot = t n ( t n ) = t n = t n t n = t n = 4 4 0° 360° = 54 73° 5 7° 34 73° 305 7° (c) 4 t n kot 3 = 0

Sesi 5

Melakar graf fungsi trigonometri = sin

 = sin ialah satu fungsi berkala dengan kala 360° atau radian.  Nilai maksimum bagi sin ialah 1 apabila = 70° 90° 450°  Nilai minimum bagi sin ialah -1 apabila = 450° 90° 70°  Amplitud =

= kos

 = kos ialah satu fungsi berkala dengan kala 360° atau radian.  Nilai maksimum bagi kos ialah 1 apabila = 369° 0° 360°  Nilai minimum bagi sin ialah -1 apabila = 80° 80° 540°  Amplitud = Amplitud Kala = sin -2 -1 0 1 2 -450 -360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360 450 Kala Amplitud = kos

= t n

 = t n ialah satu fungsi berkala dengan kala 80° atau i n

 = t n adalah tak tertakrif apabila = 70° 90° 90° 70° Maka, = t n tidak mempunyai nilai maksimum atau nilai minimum.

 Graf bagi = t n menghampiri garis-garis menegak = 70° = 90° = 90° = 70° dan sebagainya. Garis-garis menegak iu dikenali sebagai asimptot.

Contoh 1

Lakarkan graf bagi setiap fungsi trigonometri berikut bagi 0 . (a) = 3 sin (b) = 3 kos (c) = |kos | Penyelesaian (a) = 3 sin = = Asimptot Kala 𝑦 = t n 𝑥 360° 80° 0 80° 360° y x

(b) = 3 kos = = -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 = 3 sin = sin -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 = 3 kos = 3kos

(c) = |kos | = =

Contoh 2

Lakarkan graf bagi = t n bagi 0° 360°. Penyelesaian -1 0 1 y x 𝑦 = t n 𝑥 𝑦 = t n 𝑥

Contoh 3

Lakarkan graf bagi = |sin | bagi 0° . Penyelesaian

= ₃ = 3

Sesi 6

Bilangan penyelesaian persamaan trigonometri dengan menggunakan lakaran graf Contoh (SPM 2011)

(a) Lakarkan graf bagi = 3 sin untuk 0 [4 markah]

(b) Seterusnya< dengan menggunakan paksi yang sama, lakar satu graf yang sesuai untuk mencari bilangan penyelesaian bagi 3 sin = 0 untuk 0 . Nyatakan bilangan penyelesaian itu. [3 markah]

Penyelesaian

(a) = 3 sin = ₃ = 4

3

Identiti Asas Pembuktian = ( ) ( ) ( ) = kos sin = sin kos sin sin sin =sin kot = kosek kos t n = sek Contoh Buktikan (a) = sek

(b) sin kos t n = kos (c) t n kot = sek kosek Penyelesaian (a) = sin = kos

= sek (te ukti)

b c a 𝜃 sin 𝐴 kos A = kot A = kosek 𝐴 t n 𝐴 = sek 𝐴 1 1 1

(b) sin kos t n = sin kos ( ) = sin

= kos (te ukti)

(c)

Sesi 7

Menyelesaikan persamaan trigonometri menggunakan identiti asas Contoh 1

Selesaikan setiap persamaan berikut untuk semua sudut antara 0° dan 360° . (a) t n sek = 3 t n (b) kosek = kot 3 (c) 3 sin 5kos 5 = 0 Penyelesaian (a) t n sek = 3 t n t n t n = 3 t n t n 3 t n = 0 ( t n )(t n ) = 0 t n = 0 t n = 0 t n = t n = = 6 57° 06 57° = 45° 5° = 6 57° 45° 06 57° 5°

(b) kosek = kot 3 ( kot ) = kot 3 kot kot 3 = 0 kot kot = 00 ( kot )(kot ) = 0 kot = 0 kot = 0 kot = kot = _{t n} = _{t n} = t n = t n = = 6 57° 96 57° = 45° 5° = 45° 6 57° 5° 96 57° (c) Contoh 2

Tunjukkan bahawa sek =

Seterusnya, tanpa menggunakan jadual matematik atau kalkulator, selesaiakan persamaan trigonometri = 4 , untuk 0 Penyelesaian sin sin = sin sin sin = kos

sin sin = 4 sek = 4 sek = kos = kos = kos = √ = = 4 3 4 5 4 7 4 Rumus penambahan

sin( ) = sin kos sin kos sin( ) = sin kos sin kos kos( ) = kos kos sin sin kos( ) = kos kos sin sin t n( ) = t n t n

t n t n t n( ) = t n t n

t n t n

Contoh

Tanpa menggunakan sifir matematik atau kalkulator, tunjukkan

(a) sin 55° = ( ) (b) (b)t n 5° =

Penyelesaian

(a) sin 55° = sin 75°

= sin(45° 30°)

= sin 45° kos 30° sin 30° kos 45° = * ( 3 ) ( )+ = * 3 + = * 3 + = ( 3 )

4 (te tun uk) (b) t n 5° = t n(45° 30°) = t n 45° t n 30° t n 45° t n 30° = ( 3) ( 3) = ( 3 3 ) ( 3 3 ) = ( 3 3 ) ( 3 3 ) = 3

3 (te tun uk)

(c) sin( 60°) kos( 60°)

= (sin kos60° sin 60° kos ) (kos kos 60° sin sin 60°) = sin 3kos kos 3sin

= sin 3sin kos 3kos = ( 3) sin ( 3) kos

Sesi 8

Rumus Sudut Berganda sin = sin kos kos = kos sin = kos = sin t n = _{t n} t n

Rumus Sudut Separuh sin = sin kos kos = kos sin = kos = sin

t n = t n t n

Contoh 1

Diberi kos = dan ialah sudut cakah. Tanpa menggunakan sifir atau kalkulator,cari nilai (a) sin ( ) t n (e)kos

Penyelesaian

(a) sin = sin kos = (3 5) ( 4 5) = 4 5 (b) kos = kos = ( 4 5) = ( 6 5) =3 5 = 7 5 (c) t n = = 4 5 7 5 = 4 5 5 7 = 4 7 (d) kos 4 = kos ( ) = kos = (7 5) = (49 6 5) =_{6 5}98 = 5 7 6 5 3 5 -4 𝜃

(e)

Contoh 2

Diberi t n = dan x ialah sudut tirus. Cari kos 2x. Penyelesaian kos = kos = ( √ ) = = = = p 1 𝜃

Contoh 3 Tunjukkan bahawa = t n . Penyelesaian sin kos = sin kos ( kos A ) = sin kos kos

= t n (te tun uk)

Contoh 4

Buktikan = kot .

Penyelesaian

sin kos sin kos

= sin kos kos sin kos ( sin ) = sin kos kos

sin kos sin = kos (sin kos ) sin (kos sin ) = kot (te ukti)

Sesi 9

Menyelesaikan persamaan trigonometri Contoh 1

Selesaikan setiap yang berikut untuk semua sudut diantara 0° dan 360°, termasuk kedua-duanya (a) 5 sin kos = 0

(b) kos sin = 0 (c) t n = 3 t n Penyelesaian

(a) 5 sin kos = 0 5 sin kos = sin kos = 5 ( ) sin kos = 4 5 sin = 4₅ 0° 360° 0° 360° = 33 3° 306 87° 593 3° 666 87° = 6 57° 53 44° 96 57° 333 44° (b) kos sin = 0 sin sin = 0 sin sin = 0 ( sin )(sin ) = 0 sin = 0 sin = 0 sin = sin = = 30° 50° = 70° = 30° 50° 70 (c) t n = 3 t n t n t n = 3 t n t n = 3 t n 3 t n 3 t n t n = 0 t n (3 t n ) = 0

t n = 0 3 t n = 0 = 0° 80° 360° t n = 3 t n = 3 = 30° 50° 0° 330° = 0° 30° 50° 80° 0° 330° 360° Contoh 2

Diberi sin( ) = dan sin( ) = , tunjukkan bahawa sin kos = dan kos sin = . Seterusnya, buktikan bahawa 3 t n kot = 0.

Penyelesaian

sin( ) =

sin kos sin kos = sin( ) =

sin kos sin kos =

Daripada : sin kos = sin kos Gantikan ke dalam :

sin kos sin kos = 4 sin kos = 4 sin kos = 8 sin kos A = ( 8) = 3 8 1 2 1 3 3 2

3 t n kot =3 s n _kos ̇ kos _sin =3 sin kos kos sin = 3 ( 8)₃ 8 = ( 3 8) ( 8 3) = = 0 (te ukti)