MAKALAH MATEMATIKA
“ STATISTIKA”
Disusun Oleh :
1. Agus Chandra
2. Agus Rahmat Wijaya 3. Aloysius 4. Derry 5. Fatimah 6. Indry 7. Joni . E 8. Luvie 9. Magerito 10. M. Firdaus 11. M. Irawan 12. Mukhlis 13. Novio 14. Putriani 15. Riko 16. Rifqi . N 17. Romi .S 18. Sulaiman 19. Yayang 20. Yudi Kelas : 3 N
SMK PELAYARAN MAKARYA
PALEMBANG
2012-2013
KATA PENGANTAR
Bismillaahirrahmaanirrahiim
Dengan rahmat Tuhan yang Maha Esa, penulisan makalah statistik ini telah diselesaikan. Makalah tentang statistik ini merupakan makalah yang sederhana, hanya membahas secara singkat materi-materi statistik. Makalah ini ditujukan untuk memenuhi salah satu tugas mata pelajaran statistik yang disampaikan oleh guru .
Penulis menyadari bahwa makalah ini terwujud berkat adanya dorongan dan bantuan banyak pihak. Oleh karena itu, penulis menghaturkan terima kasih dan penghargaan yang setinggi tingginya
Akhirnya, kepada Allah SWT jualah semuanya kembali. Semoga semua bantuan yang penyusun terima menjadi catatan baik dan mulia di dalam buku catatanNya dan mendapat imbalan yang berlipat ganda serta menjadi wasilah pengampunan di hari akhir, Amin.
Palembang, Desember 2012
BAB I PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Statistik merupakan suatu ilmu tentang pengumpulan, penyusunan, penganalisaan dan penafsiran data dalam bentuk angka. Banyak masalah yang disinggung dan harus diselesaikan dengan cara yang mudah dan sederhana namun dalam waktu yang singkat, oleh karena itu metode yang terdapat di bagian statistik dapat mempermudah jalannya proses pemecahan masalah.
Dalam salah satu contoh penerapannya dalam menyelesaikan masalah metode statistik menggunakan peluang sebagai pendekatan pada hasil sebuah masalah, hal ini dapat diaplikasikan pada kehidupan sehari-hari sebagai satu pendekatan menyelesaikan suatu masalah dalam pilihan.
Pastinya metode ini bukan hanya tercakup pada satu subjek dan selengkapnya akan dibahas pada bab selanjutnya dengan lebih terperinci lagi. Statistik adalah kumpulan data dalam bentuk angka maupun bukan angka yang disusun dalam bentuk tabel (daftar) dan atau diagram yang menggambarkan atau berkaitan dengan suatu masalah tertentu.
Contoh :
Statistik penduduk adalah kumpulan angka-angka yang berkaitan dengan masalah penduduk.
Statistik ekonomi adalah kumpulan angka-angka yang berkaitan dengan masalah ekonomi.
Statistika adalah pengetahuan yang berkaitan dengan metode, teknik atau cara
mengumpulkan, mengolah, menganalisis dan menginterprestasikan data untuk disajikan secara lengkap dalam bentuk yang mudah dipahami penggunan
A. PENGERTIAN DATA
Dalam statistika dikenal beberapa jenis data. Data dapat berupa angka dapat pula bukan berupa angka. Data berupa angka disebut data kuantitatif dan data yang bukan angka disebut data kualitatif.
Berdasarkan nilainya dikenal dua jenis data kuantitatif yaitu data diskrit yang diperoleh dari hasil perhitungan dan data kontinue yang diperoleh dari hasil pengukuran.
Menurut sumbernya data dibedakan menjadi dua jenis yaitu data interen adalah data yang bersumber dari dalam suatu instansi atau lembaga pemilik data dan data eksteren yaitu data yang diperoleh dari luar.
Data eksteren dibagi menjadi dua jenis yaitu data primer dan data
sekunder. Data primer adalah data yang langsung dikumpulkan oleh orang
yang berkepentingan dengan data tersebut dan data sekunder adalah data yang tidak secara langsung dikumpulkan oleh orang yang berkepentingan dengan data tersebut.
1) Jenis-jenis Statistika
Statistika dibedakan berdasarkan jenisnya menjadi dua yaitu Statistika
Deskriptif dan Statistika Inferensia.
Statistika deskriptif adalah statistika yang berkaitan dengan metode atau
cara medeskripsikan, menggambarkan, menjabarkan atau menguraikan data. Statistika deskripsi mengacu pada bagaimana menata, menyajikan dan menganalisis data, yang dapat dilakukan misalnya dengan menentukan nilai rata-rata hitung, median, modus, standar deviasi atau menggunakan cara lain yaitu dengan membuat tabel distribusi frekuensi dan diagram atau grafik.
Statistika inferensia adalah statistika yang berkaitan dengan cara
penarikan kesimpulan berdasarkan data yang diperoleh dari sampel untuk menggambarkan karakteristik dari suatu populasi. Dengan demikian dalam statistika inferensia data yang diperoleh dilakukan generalisasi
dari hal yang bersifat kecil (khusus) menjadi hal yang bersifat luas (umum).
2) Populasi dan Sampel
Populasi adalah keseluruhan pengamatan atau obyek yang menjadi
perhatian sedangkan Sample adalah bagian dari populasi yang menjadi perhatian.
Populasi dan sample masing-masing mempunyai karakteristik yang dapat diukur atau dihitung. Karakteristik untuk populasi disebut parameter dan untuk sample disebut statistik.
Contoh parameter adalah mean (µ), standar deviasi ( ), proporsi (P) dan koefisien korelasi ( ), sedangkan statistik adalah nilai rata-rata ( ), standar deviasi (s), proporsi (p) dan koefisien korelasi (r).
Populasi dibedakan menjadi dua jenis yaitu :
Populasi orang atau individu adalah keseluruhan orang atau individu (dapat
pula berupa benda-benda) yang menjadi obyek perhatian.
Populasi data adalah populasi yang terdiri atas keseluruhan karakteristik yang
menjadi obyek perhatian.
Sampel juga dibedakan menjadi dua jenis yaitu :
Sampel orang atau individu adalah sampel yang terdiri atas orang-orang
(dapat pula berupa benda-benda) yang merupakan bagian dari populasinya yang menjadi obyek perhatian.
Sampel data adalah sebagaian karakteristik dari suatu populasi yang menjadi
obyek perhatian.
Meskipun populasi merupakan gambaran yang ideal, tetapi sangat jarang penelitian dilakukan memakai populasi. Pada umumnya yang dipakai adalah sample. Ada beberapa alasan mengapa penelitian dilakukan menggunakan sample :
1. Waktu yang diperlukan untuk mengumpulkan data lebih singkat. 2. Biaya lebih murah.
3. Data yang diperoleh justru lebih akurat.
4. Dengan statistika inferensia dapat dilakukan generalisasi.
B. CARA MENGUMPULKAN DATA
Untuk memperoleh data yang benar dan dapat dipertanggung jawabkan keabsahannya, data harus dikumpulkan dengan cara dan proses yang benar. Terdapat beberapa cara atau teknik untuk mengumpulkan data yaitu :
1) Wawancara (interview)
Yaitu cara untuk mengumpulkan data dengan mengadakan tatap muka secara langsung. Wawancara harus dilakukan dengan memakai suatu pedoman wawancara yang berisi daftar pertanyaan sesuai tujuan yang ingin dicapai.
Ada dua jenis wawancara yaitu wawancara berstruktur (structured
interview) dan wawancara takberstruktur (unstructured interview).
Wawancara berstruktur adalah wawancara yang jenis dan urutan dari sejumlah pertanyaannya sudah disusun sebelumnya, sedangkan wawancara takberstruktur adalah wawancara yang tidak secara ketat ditentukan sebelumnya. Wawancara takberstruktur lebih fleksibel karena pertanyaannya dapat dikembangkan meskipun harus tetap pada pencapaian sasaran yang telah ditentukan.
Ciri-ciri pertanyaan yang baik adalah :
a. Sesuai dengan masalah atau tujuan penelitian. b. Jelas dan tidak meragukan.
c. Tidak menggiring pada jawaban tertentu.
d. Sesuai dengan pengetahuan dan pengalaman orang yang diwawancarai.
e. Pertanyaan tidak boleh yang bersifat pribadi.
Kelebihan dari wawancara adalah data yang diperlukan langsung diperoleh sehingga lebih akurat dan dapat dipertanggung jawabkan.
Kekurangannya adalah tidak dapat dilakukan dalam skala besar dan sulit memperoleh keterangan yang sifatnya pribadi.
2) Kuesioner (angket)
Adalah cara mengumpulkan data dengan mengirim atau menggunakan kuesioner yang berisi sejumlah pertanyaan.
Kelebihannya adalah dapat dilakukan dalam skala besar, biayanya lebih murah dan dapat memperoleh jawaban yang sifatnya pribadi.
Kelemahannya adalah jawaban bisa tidak akurat, bisa jadi tidak semua pertanyaan terjawab bahkan tidak semua lembar jawaban dikembalikan.
3) Observasi (pengamatan)
Adalah cara mengumpulkan data dengan mengamati obyek penelitian atau kejadian baik berupa manusia, benda mati maupun gejala alam. Data yang diperoleh adalah untuk mengetahui sikap dan perilaku manusia, benda mati atau gejala alam.
Kebaikan dari observasi adalah data yang dieroleh lebih dapat dipercaya.Kelemahannya adalah bisa terjadi kesalahan interpretasi terhadap kejadian yang diamati.
4) Tes dan Skala Obyektif
adalah cara mengumpulkan data dengan memberikan tes kepada obyek yang diteliti. Cara ini banyak dilakukan pada tes psikologi untuk mengukur karakteristik kepribadian seseorang. Beberapa contoh tes skala obyektif yaitu :
a. Tes kecerdasan dan bakat. b. Tes kepribadian.
c. Tes sikap.
d. Tes tentang nilai.
e. Tes prestasi belajar, dsb.
Adalah cara mengumpulkan data dengan mengamati atau menganalisis suatu obyek melalui ekspresi luar dari obyek tersebut dalam bentuk karya lukisan atau tulisan. Metode ini dipakai dalam psikologi untuk mengetahui sikap, emosi dan kepribadian seseorang. Kelemahan dari metode ini adalah obyek yang sama dapat disimpulkan berbeda oleh pengamat yang berbeda.
Skala Pengukuran
Salah satu aspek penting dalam memahami data untuk keperluan analisis terutama statistika inferensia adalah Skala Pengukuran. Secara umum terdapat 4 tingkat/jenis skala pengukuran yaitu :
1. Skala nominal
Adalah skala yang hanya mempunyai ciri untuk membedakan skala ukur yang satu dengan yang lain. Contoh skala nominal seperti tabel dibawah ini :
Jenis dan jumlah buah-buahan yang diproduksi suatu daerah pada tahun 1998
Jenis Buah-buahan Jumlah
Pepaya 2 ton
Mangga 1,5 ton
Apel 1 ton
Dukuh 1,4 ton
Manggis 1,3 ton
Sumber : Data Buatan
2. Skala Ordinal
Adalah skala yang selain mempunyai ciri untuk membedakan juga mempunyai ciri untuk mengurutkan pada rentang tertentu. Contoh skala ordinal seperti tabel dibawah ini :
Penilaian Anggota Kelompok Belajar “ BINA PINTAR “
Kategori Nilai Banyaknya
Baik 18 orang
Rata-rata 15 orang
Kurang 7 orang
Kurang Sekali 0 orang
Sumber : Data Buatan
3. Skala Interval
Adalah skala yang mempunyai ciri untuk membedakan, mengurutkan dan mempunyai ciri jarak yang sama. Contoh, suhu tertinggi pada bulan Desember dikota A, B dan C berturut-turut adalah 28, 31 dan 20 derajat Fahrenheit. Kita dapat membedakan dan mengurutkan besarnya suhu, sebab satu derajat Fahrenheit merupakan suatu besaran yang tetap, namun pada saat suhu menunjukkan nol derajat Fahrenheit tidak berarti tidak adanya panas pada kondisi tersebut. Hal ini dapat dijelaskan, misalnya kota A bersuhu 30 derajat Fahrenheit dan kota B bersuhu 60 derajat Fahrenheit, tidak dapat dikatakan bahwa suhu dikota B dua kali lebih panas dari pada suhu dikota A, karena suhu tidak mempunyai titik nol murni (tulen).
4. Skala Ratio
Adalah skala yang mempunyai 4 ciri yaitu membedakan, mengurutkan, jarak yang sama dan mempunyai titik nol yang tulen (berarti). Contoh : Pak Asmuni mempunyai uang nol rupiah, artinya pak Asmuni tidak mempunyai uang.
C. PENYAJIAN DATA
Secara garis besar ada dua cara penyajian data yaitu dengan tabel dan grafik. Dua cara penyajian data ini saling berkaitan karena pada dasarnya sebelum dibuat grafik data tersebut berupa tabel. Penyajian data berupa grafik lebih komunikatif.
Dilihat dari waktu pengumpulannya, dikenal dua jenis data yaitu : Cross
section data adalah data yang dikumpulkan pada suatu waktu tertentu. Data berkala adalah data yang dikumpulkan dari waktu ke waktu. Dengan data
berkala dapat dibuat garis kecenderungan atau trend.
1) Penyajian data dengan table
Tabel atau daftar merupakan kumpulan angka yang disusun menurut kategori atau karakteristik data sehingga memudahkan untuk analisis data.
Ada tiga jenis tabel yaitu :
a. Tabel satu arah atau satu komponen adalah tabel yang hanya terdiri atas satu kategori atau karakteristik data. Tabel berikut ini adalah contoh tabel satu arah.
Penilaian Anggota Kelompok Belajar “ BINA PINTAR “
Golongan Banyaknya (orang)
I 703.827 orang
II 1.917.920 orang
III 309.337 orang
IV 17.574 orang
Jumlah 2.948.658 orang
Sumber : BAKN, dalam Statistik Indonesia 1986
b. Tabel dua arah atau dua komponen adalah tabel yang menunjukkan dua kategori atau dua karakteristik. Tabel berikut ini adalah contoh tabel dua arah.
Jumlah Mahasiswa UPH menurut Fakultas dan Kewarganegaraan 1995
Fakultas WNI WNA Jumlah
Fak. Ekonomi 1.850 40 1.890
Fak. Teknologi Industri 1.320 10 1.330
Fak. Seni Rupa & Design 530 5 535
Fak. Pasca Sarjana 250 10 260
Jumlah 3.950 65 4.015
Sumber : Data Buatan
c. Tabel tiga arah atau tiga komponen adalah tabel yang menunjukkan tiga kategori atau tiga karakteristik. Contoh tabel berikut ini.
Jumlah Pegawai Menurut Golongan, Umur dan Pendidikan Pada Departemen A Tahun 2000
Golongan Umur (Tahun) Pendidikan
25 – 35 > 35 Non Sarjana Sarjana
I 400 500 900 0
II 450 520 970 0
III 1.200 2.750 1.850 2.100
IV 0 250 0 250
Jumlah 2.050 4.020 3.720 2.350
Sumber : Data Buatan
2) Penyajian data dengan grafik/diagram
Penyajian data dengan grafik dianggap lebih komunikatif karena dalam waktu singkat dapat diketahui karakteristik dari data yang disajikan. Terdapat beberapa jenis grafik yaitu :
a. Grafik garis (line chart)
Grafik garis atau diagram garis dipakai untuk menggambarkan data berkala. Grafik garis dapat berupa grafik garis tunggal maupun grafik garis berganda.
b. Grafik batang / balok (bar chart)
Grafik batang pada dasarnya sama fugsinya dengan grafik garis yaitu untuk menggambarkan data berkala. Grafik batang juga terdiri dari grafik batang tunggal dan grafik batang ganda.
c. Grafik lingkaran (pie chart)
Grafik lingkaran lebih cocok untuk menyajikan data cross section, dimana data tersebut dapat dijadikan bentuk prosentase.
d. Grafik Gambar (pictogram)
Grafik ini berupa gambar atau lambang untuk menunjukkan jumlah benda yang dilambangkan.
e. Grafik Berupa Peta (Cartogram).
Cartogram adalah grafik yang banyak digunakan oleh BMG untuk menunjukkan peramalan cuaca dibeberapa daerah.
B. Rumusan Masalah
Dari latar belakang di atas perlu adanya rumusan makalah. Rumusan makalah di bawah sebagai batasan yang penulis ajukan:
1. Pengetahuan mengenai pengertian statistik. 2. Metode pendekatan pada perhitungan statistik.
C. Tujuan Makalah
Berdasarkan rumusan masalah di atas, maka tujuan makalah adalah sebagai berikut:
1. Memenuhi salah satu tugas mata pelajaran matematika.
BAB II PEMBAHASAN A. STATISTIK
1. Pengertian Statistik
Meson memberikan definisi tentang statistik sebagai berikut:
statistik merupakan suatu ilmu tentang pengumpulan, penyusunan, penganalisaan dan penafsiran data dalam bentuk angka untuk tujuan pembuatan suatu keputusan yang lebih baik di dalam menghadapi ketidakpastian (Masson, 1974:1).
Statistik adalah kumpulan angka-anggka baik disajikan dalam bentuk tabel maupun grafik yang menggambarkan suatu masalah tertentu. Statistik merupakan ukuran yang dihitung dari data sampel.
2. Statistik Deskriptif dan statistik Induktif (dalam buku)
Statistik deskriptif merupakan suatu cabang penting dari statistik dan ia terus-menerus dipergunakan secara luas baik di dalam business maupun daerah kegiatan yang lain.
Sebagai suatu metode, statistik deskriptif merupakan sekumpulan prosedur dasar yang terdiri dari:
(1) Pengumpulan data; (2) Pengorganisasian data (3) Penyajian data
(4) Analisa data (5) Interpretasi data.
Statistik induktif merupakan sekelompok prosedur yang dipergunakan untuk melakukan pendugaan dan generalisasi yang di dasarkan pada sebuah cuplikan kasus-kasus yang terbatas dari sebuah populasi. Statistik induktif sangat mengandalkan pada teori kemungkinan.
Pengertian Statistika
Statistika adalah ilmu yang mempelajari cara pengumpulan, penyajian, pengolahan dan anlisis data serta cara pengambilan kesimpulan secara umum berdasarkan hasil penelitian yang tidak menyeluruh.
Pengukuran statistika
Menaksir (Estimations) Menguji (Hypothesis)
Mengambil keputusan (Decision)
Statistika di pandang dari fungsinya ada dua, yaitu: (menurut data dari dosen)
1. Statistika Deskriptif (Deduktif)
Statistika yang hanya menggambarkan dan menganalisis data yang diperoleh (data sampel) tanpa melakukan penarikan kesimpulan mengenai kelompok data yang lebih besar (populasi)
2. Statistika Inferensial (Induktif)
Statistika yang berusaha mengambil kesimpulan yang valid mengenai kelompok data yang lebih besar (populasi) dari data yang lebih sedikit (sampel).
Skala Pengukuran : 1. Nominal
Bilangan yang diberikan pada suatu objek hanya sebagai lambang untuk membedakan objek satu dengan yang lain.
Contoh :
Jenis Kelamin : Pria (1) Wanita (0) Hukum Aritmatik : “=“
2. Ordinal
Bilangan yang diberikan pada suatu objek selain sebagai lambang namun juga memiliki makna peringkat
Contoh :
Tingkat pendidikan : SD (1) SMP (2) SMA (3) Sarjana (4) Hukum Aritmatik : “=“, “<“, “>”
3. Interval
Bilangan yang diberikan pada suatu objek selain sebagai lambang, memiliki makna peringkat juga memiliki makna jarak interval yang tetap. Contoh :
Suhu badan
Hukum Aritmatik : “=“, “<“, “>”,”+”,”-” 4. Rasio
Bilangan yang diberikan pada suatu objek selain sebagai lambang, memiliki makna peringkat, memiliki makna jarak interval yang tetap juga memiliki nilai nol mutlak.
Contoh :
Penghasilan Keluarga
Hukum Aritmatik : “=“, “<“, “>”,”+”,”-”,”x”,”/”
B. PROBABILITAS
1. Pengertian Peluang
Peluang adalah suatu ukuran tentang kemungkinan bahwa suatu peristiwa (event) di masa mendatang akan terjadi, peluang hanya memiliki nilai antara 0 sampai dengan .
2. Permutasi Dan Kombinasi
Permutasi adalah suatu penyususnan atau pengaturan beberapa objek ke dalam suatu urutan tertentu. Dasar perhitungan pada permutasi adalah bilangan factorial ( yang diberi lambang tanda seru )
a. Rumus-rumus permutasi:
a) Permutasi dari n objek seluruhnya tanpa pengembalian dirumuskan:
Contoh soal :
Tentukan nilai dari 4P4!
Penyelesaian :
4P4 = 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24
Contoh lain:
Pada suatu tempat terdapat 4 buku matematika yang berbeda, 3 buku statistik yang berbeda, dan 2 buku akuntansi. Semua buku akan di susun di sebuah rak buku. Berapa cara susunan yang mungkin terjadi berikut ini?
* Buku-buku matematika dapat di susun? * Buku-buku statistik dapat di susun? * Buku-buku akuntansi dapat di susun? * Ketiga kelompok buku itu dapat di susun?
*Masing-masing kelompok buku (subjek) disusun bersama (dijadikan satu)?
Penyelesaian:
* Buku-buku matematika dapat disusun dalam: 4P4 = 4! = 4 x 3 x 2 x 1 =24 cara * Buku-buku statistik dapat disusun dalam:
3P3 = 3! = 3 x 2 x 1 = 6 cara * Buku-buku akuntansi dapat disusun dalam:
2P2 = 2! = 2 x 1 = 2 cara
*Ketiga kelompok buku dapat disusun dalam: 3P3 = 3! = 3 x 2 x 1 = 6 cara
b) Permutasi sebanyak r dari n objek
Permutasi sebanyak r dari objek tanpa pengambilan dirumuskan:
(n ≥ r)
Contoh soal:
Tentukan nilai dari 6P4!
Penyelesaian: 6P4 = 6! ( 6 – 4 )! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 2 x 1 = 360 Contoh lain:
Dari empat calon pimpinan sebuah perusahaan, misalakan A, B, C, dan D hendak dipilih seorang ketua, seorang sekertaris dan seorang bendahara.
(a) Berapa cara keempat calon tersebut dipilih? (b) Tuliskan kemungkinan susunannya!
Penyelesaian: n = 4 dan r = 3 (a) 4P3 = 4! (4 – 3)! = 4 x 3 x 2 x 1 1 = 24
Kemungkinan susunannya adalah: ABC, ABD, ACB, ADB, ADC, ACD
r)! (n n! = Pr n
BAC, BAD, BCA, BCD, BDA, BDC CAB, CAD, CBA, CBD, CDA, CDB DAB, DAC, DBA, DBC, DCA, DCB
c) Permutasi melingkar
Sejumlah objek yang berbeda dapat disusun secara teratur dalam suatu lingkaran dalam (n – 1)! Cara.
Contoh soal:
Sebuah kelompok orang yang terdiri dari 4 orang mengelilingi sebuah meja bundar. Dalam berapa cara keempat orang itu dapat di atur sekeliling meja tersebut?
Penyelesaian: n = 4 P = (n – 1)! = (4 – 1)! = 3! = 6 cara
2) Permutasi dari n objek dengan pengambilan
Permutasi dari n objek dengan pengembalian dirumuskan:
r ≤ n dan bilangan bulat positif
contoh soal:
tentukan permutasi dari ABC sebanyak 2 unsur dengan pengembalian unsur yang dipilih!
Penyelesaian: n = 3 dan r = 2 3P2 = 32 = 9
Yaitu AA, AB, AC, BB, BA, BC, CC, CA, CB
3) Permutasi dari n objek yang sama Dirumuskan:
Dengan n1 + n2 + n3 + ... = n
Contoh soal:
(1) Tentukan permutasi dari kata “TAMAT”! Penyelesaian: n = 5, n1 = 2, n2 = 2, n3 = 1 5P2, 2, 1 = 5! 2! x 2! x 1! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 2 x 1 x 2 x 1 x 1 = 30 Contoh lain:
4 bola putih, 5 bolsa kuning, dan 2 bola hitamdisusun dalam satu baris. Juka semua bola yang berwarna sama tidak dibedakan satu sama lain, berapa carakah penyusunan yang mungkin? Penyelesaian: n = 11, n1 = 4, n2 = 5, n3 = 2 11P4, 5, 2 = 11! 4! x 5! x 2! = 6.930 nPn, n2, n3, ... = n! n1! . n2! . n3 . ...
Pengertian Kombinasi
Kombinasi adalah suatu penyusunan beberapa objek tanpa memperhatikan urutan objek tersebut.
a. Rumus-rumus kombinasi:
1) Kombinasi r dari n objek yang berbeda
Dirumuskan:
n ≥ r
contoh soal:
Tentukan nilai dari 6C4 ! Penyelesaian:
6C4 = 6! 4! (6 – 4)! = 15
Contoh lain;
Dari 5 pemain bulu tangkis, yaitu A, B, C, D, dan E hendak dipilih dua orang untuk pemain ganda. Berapa banyak pemain ganda yang mungkin terbentuk? Penyelesaian: n = 5 dan r = 2 5C2 = 5! 2! (5 – 2)! = 10 Contoh :
Bagian pengecatan diberi tugas untuk mendesain kode warna untuk 42 komponen mobil yang berbeda. Tiga warna digunakan untuk setiap komponen, tetapi sebuah kombinasi dari tiga warna yang digunakan pada tiap komponen tidak boleh disusun kembali dan digunakan untuk mengidentifikasi komponen yang lainnya. Apakah tiga
r)! (n r! n! = Cr n
susunan warna dari tujuh warna tersedia akan mencukupi untuk memberi kode warna 42 komponen tersebut?
Tiga susunan warna yang diambil dari tujuh warna tidak akan mencukupi untuk memberi kode warna 42 komponen berbeda karena pilihan tersebut hanya mencukupi untuk 35 kombinasi.
3. Peluang dan frekuensi Harapan
1. Peluang Suatu Kejadian
Definisi : Peluang suatu kejadian A adalah perbandingan banyak kejadian dengan banyak nya seluruh kejadian ( ruang sample ).
,0P
A 1 S n A n A P Dimana: n ( A ) = banyaknya kejadian An ( S ) = banyaknya seluruh kejadian / ruang sample.
2. Frekuensi Harapan Suatu Kejadian
Frekuensi harapan suatu kejadan adalah A hasil kali peluang kejadian A dengan banyaknya percobaan / perlakuan.
FH (A) = P(A)
4. Distribusi Peluang Diskrit
Bidang statistika berurusan dengan penarikan kesimpulan tentang populasi dan sifat populasi. Percobaan yang dilakukan memberi hasil yang berkemungkinan. Titik-titik contoh di dalam Ruang Sampel (S) dapat disajikan dalam bentuk numerik/bilangan. Bilangan ini, tentunya, besaran
35
)!
3
7
(
!
3
!
7
)!
(
!
!
r
n
r
n
C
r nacak yang ditentukan oleh hasil percobaan. Bilangan ini dapat dipandang sebagai nilai yang dicapai oleh peubah aca, X.
Distribusi peluang diskrit Adalah sebuah tabel atau rumus yang mencantumkan semua kemungkinan nilai variabel acak diskrit dan nilai peluangnya. • X • P(x) • 0 • 1 • 2 • ¼ • 2/4 • ¼
Peubah acak adalah fungsi yang mendefinisikan titik-titik contoh dalam
ruang contoh sehingga memiliki nilai berupa bilangan nyata 0, 1, 2, atau 3. Peubah acak dinyatakan dengan huruf besar, misalnya X, sedangkan nilainya dinyatakan dengan huruf kecil padanannya, misalnya x.
VARIABEL ACAK :
Suatu fungsi yang nilainya berupa bilangan nyata yang ditentukan oleh setiap unsur dalam ruang sampel.
Variabel acak ada 2, yaitu : 1. Variabel Random Diskrit/ Cacah
digunakan untuk data cacahan 2. Variabel Random Kontinu
digunakan untuk data ukur
Contoh 1 :
Pelemparan sekeping Mata Uang setimbang sebanyak 3 Kali. S : {GGG, GGA, GAG, AGG, GAA, AGA, AAG, AAA} dimana G = GAMBAR dan A = ANGKA
X: setiap satu sisi GAMBAR bernilai satu (G = 1)
3 2 2 2 1 1 1 0
Perhatikan bahwa X={0,1,2,3} Nilai x1= 0, x2= 1, x3= 2, x4= 3
Peubah acak yang nilainya berupa bilangan cacah, dapat dihiting dan tidak terhingga disebut Peubah Acak Diskrit. Table atau rumus yang mencantumkan semua kemungkinan nilai peubah acak berikut peluangnya disebut Distribusi Peluang Teoritis. Distribusi peluang yang berhubungan dengan peubah acak diskrit disebut Distribusi Peluang Diskrit. Pada distribusi peluang diskrit dikenal distribusi peluang Binomial.
Variabel Acak dan Distribusi Peluang
Untuk mudahnya ambil contoh peristiwa tentang seorang ibu yang melahirkan. Kita tahu hanya ada dua kemungkinan jenis kelamin dari peristiwa ini yakni Laki-laki (L) atau Perempuan (P). Jika peluangnya masing-masing untuk melahirkan L dan P adalah ½ , maka kita dapat menyusun ruang sample dari peristiwa ini sebagai berikut :
S = {L, P}
Untuk dua orang anak :
S = {LL, LP, PL, PP}
Untuk tiga orang anak :
S = {LLL, LLP, LPL,PLL, LPP, PLP, PPL, PPP}
Untuk empat orang anak, bisa dibuat tabel sebagai berikut :
TABEL 1. Jumlah L Susunan Titik Sampel Peluang L 0 1 2 PPPP LPPP, PLPP, PPLP, PPPL LLPP,LPLP,LPPL, PLLP, 1 4 6 1/16 = 0,0625 4/16 = 0,25 6/16 = 0,375
3 4 PLPL, PPLL LLLP, LLPL, LPLL, PLLL LLLL 4 1 4/16 = 0,25 1/16 = 0,0625 Jumlah 16 1,00
Misalkan jumlah anak laki-laki yang lahir kita sebut sebagai variabel X. Dari Tabel 1. di atas dapat dilihat bahwa setiap nilai X (=0, 1, 2, 3, 4) mempunyai hubungan dengan sebuah nilai peluang. Maka variabel X yang demikian disebut sebagai variabel acak. Variabel acak biasanya dinotasikan dengan huruf kapital, sedangkan nilai-nilainya dituliskan dengan huruf kecil. Sebagai contoh, pengukuran tinggi badan buruh merupakan variabel acak X. Maka tinggi hasil pengukuran dinyatakan sebagai x1, x1, …, xn. dimana indeks 1, 2, …, n menyatakan orang ke-i yang diukur tingginya.
Jika tabel di atas disusun kembali dalam notasi variabel acak, maka akan diperoleh tabel yang memperlihatkan distribusi peluang variabel X seperti berikut : X P(X) 0 1 2 3 4 0,0625 0,25 0,375 0,25 0,0625 1,000
Sebuah distribusi peluang dikatakan sudah terbentuk, jika semua peluang dari setiap variabel acak berjumlah satu. Dengan terbentuknya distribusi peluang seperti tabel di atas, maka notasi baru untuk penulisan peluang kini dapat dituliskan menjadi P(X=0) = 0,0625 ; P(X=1) = 0,25 dan seterusnya.
Variabel acak dapat diklasifikasikan ke dalam variabel acak diskrit dan variabel acak kontinu. Variabel acak diskrit berhubungan dengan
hasil sebuah peristiwa yang ruang sampelnya terhingga dan terhitung. Sedangkan distribusi peluangnya disebut distribusi peluang variabel acak
diskrit. Umumnya variabel diskrit berhubungan dengan pencacahan
terhadap suatu objek atau indvidu. Contoh lihat tabel 1 di atas. Kita tidak mungkin mengatakan jumlah laki-laki = ½. atau ¼ .
Beberapa contoh variabel diskrit : 1. Jumlah kesalahan pengetikan
2. Jumlah kendaraan yang melewati persimpangan jalan 3. Jumlah kecelakaan per minggu
Variabel acak kontinu didefinisikan sebagai suatu variabel yang nilai-nilainya berada dalam ruang sample takterhingga. Variabel ini bisa mempunyai sebuah harga dimana harga-harga x dibatasi oleh - < X < . Variabel acak kontinu dapat diilustrasikan sebagai titik-titik dalam sebuah garis.
Pengukuran fisik seperti waktu atau panjang merupakan contoh yang paling mudah dipahami untuk variabel acak kontinu ini. Misalkan para buruh di sebuah wilayah akan diukur tinggi badannya. Jika kita menggunakan meteran dengan ketelitian sentimeter, maka tinggi setiap orang bisa kita anggap sebagai titik dalam meteran tersebut. Dengan demikian setiap ukuran X akan berhubungan titik-titik yang jumlahnya sangat banyak atau takterhingga.
Contoh distribusi peluang yang dibahas di atas adalah distribusi peluang yang diturunkan melalaui pendekatan teoritis atau logis. Akan tetapi distribusi peluang juga dapat diturunkan dari pengalaman empiris di lapangan. Secara praktis, distribusi peluang semacam ini bisa diambil dari frekuensi relatif (lihat bab tentang distribusi frekuensi) seperti contoh berikut.
Permintaan (unit) P (permintaan) 100.000 200.000 300.000 400.000 500.000 0,10 0,25 0,40 0,15 0,10 1,00 Sumber : hipotetis
Dari tabel di atas paling tidak seorang manajer produksi pabrik kendaraan dapat menentukan perkiraan awal mengenai penjualan mobil model baru katakanlah “ada peluang sebesar 40% untuk menjual 300.000 unit mobil model baru”. Meski ini merupakan peluang subjektif, paling tidak si manajer mempunyai gambaran berapa besar kemungkinan terjualnya mobil model baru tersebut. Pertanyaannya adalah bagaimana sisa persentase yang 60% lagi. Dengan mempertimbangkan faktor-faktor ekonomi, pesaing, rencana dan survei pasar maka peluang tingkat penjualan lainnya dapat ditaksir untuk melengkapi distribusi peluang permintaan seperti yang ditunjukkan pada Tabel 2 di atas. Distribusi ini memberikan gambaran yang lebih lengkap mengenai permintaan dibandingkan dengan hanya mengetahui satu nilai peluang saja.
RINGKASAN STATISTIKA
A. DATA TUNGGAL
UKURAN PEMUSATAN KUMPULAN DATA
1. MEAN (RATAAN) n n x ... 2 x 1 x x ... 2 f 1 f ... 2 .f 2 x 1 .f 1 x gabungan x 2. MODUS
Modus dari data x1, x2, x3, ....,xn didefinisikan sbg nilai datum yang paling sering muncul ( nilai datum yang memiliki frekuensi terbesar
3. MEDIAN (NILAI TENGAH)
Syarat Data harus diurutkan dari terkecil hingga terbesar a. Jika n GANJIL (n1) 2 1 X Me b. JIka n GENAP : 1) 2 n ( X 2 n X 2 1 Me
UKURAN LETAK KUMPULAN DATA 1. Kuartil Data Tunggal
a. Untuk Q1 : a. Jika n GANJIL : 1) (n 4 1 X b. Jika n GENAP : 2) (n 4 1 X
b. Untuk Q2 : Menggunakan rumus yang sama dengan Mencari Median (baik untuk data berjumlah GANJIL ataupun GENAP):
c. Untuk Q3 :
a. Jika n GANJIL, gunakan :
1) (n 4 3 X b. Jika n GENAP : 2) (3n 4 1 X
2. Statistik Lima Serangkai
Xmin Xmax
Q1
Q2
3. Desil
Urutan / letak Desil ke- i = 10i (n1)
4. Rataan Kuartil (RK) =
Q1 Q3
21 k
R
5. Rataan Tiga Kuartil =
Q1 2Q2 Q3
41 t
R
UKURAN PENYEBARAN KUMPULAN DATA (berlaku pula untuk Data Kelompok)
1. Jangkauan (J) atau Rentang / Range (R) R = Xmax Xmin
2. Jangkauan Antar Kuartil (JAK) H = Q3 – Q1
3. Simpangan Kuartil / Jangkauan Semi Antar Kuartil (JSAK)
) 1 Q 3 (Q 2 1 d Q 4. Langkah L 23(Q 3 Q1)
5. Pagar Dalam dan Pagar Luar
a. Pagar Dalam = Pd Q1L b. Pagar Luar = Pl Q3L
a. Jika Pd xi Pl maka datanya dinamakan data normal
b. Jika xi Pd atau xi Pl, maka datanya data tidak normal atau disebut
pencilan.
6. RAGAM
Ada 3 rumus : (no a biasa kita pakai)
a. n 1 i 2 ) x i (x n 1 2 S b. n n 1 1 2 ) x n( 2 ) i (x 2 S c. 2 n n 1 i 2 ) i (x n n 1 i 2 ) i (x 2 S 7. SIMPANGAN BAKU (S)
Mengubah data berkelompok menjadi distribusi frekuensi :
a. Cari Range (R = data max – data min)
b. Hitung banyak kelas (K) dengan rumus K = 1 + 3,3 log N (N banyak data, log N dilihat di tabel )
c. Cari Interval Kelas dengan rumus I = R/K. (biasanya i = bilangan ganjil) d. Pilih batas bawah kelas pertama (biasanya data min)
e. Cari frekuensi dengan menggunakan turus.
ISTILAH : 1. Kelas 2. Batas Kelas
Yaitu nilai-nilai ujung yang terdapat pada suatu kelas (ada Batas bawah, ada Batas atas)
3. Tepi Kelas
Tepi bawah = batas bawah – 0,5 Tepi atas = batas atas + 0,5
4. Panjang Kelas / Interval Kelas= tepi atas – tepi bawah 5. Titik Tengah Kelas / Nilai Tengah Kelas atau Rataan Kelas.
batasbawah batas batasatas
2 1 Tengah
B. DATA KELOMPOK
UKURAN PEMUSATAN KUMPULAN DATA
1. MEAN (RATAAN) Ada 3 cara : a. Nilai Tengah : n 1 i fi n 1 i fi.xi
x b. Metoda Rataan Sementara :
fi fi.di s x x
dengan dixixsdi mana xs diambil dari nilai tengah kelas yang frekuensinya terbesar c. Metoda Coding :
.p if i .c if s x x dimana p = interval kelas dan cixi pxs
2. MODUS DATA KELOMPOK
.p 2 d 1 d 1 d L M o dimana :3. KUARTIL DATA KELOMPOK A. Kuartil Pertama / Kuartil Bawah :
p 1 f 1 fk n 4 1 1 L 1 Q
Mencari kelas Q1 dengan
4 n X 1 Q X
B. Kuartil Kedua / Kuartil Tengah / MEDIAN
L = tepi bawah kelas modus (memeiliki frekuensi tertinggi)
P = interval kelas
D1 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas
sebelumnya
D2 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas
sesudahnya
Q1 = Kuartil Bawah
L1 = tepi bawah kelas yang memuat kuartil bawah
Q1
P = interval kelas
fk1 = jumlah frekuensi sebelum kelas Q1
f1 = frekuensi kelas Q1
n = ukuran data ( f)
Q2 = Kuartil Tengah
L2 = tepi bawah kelas yang memuat kuartil bawah
Q2
p 2 f 2 fk n 2 1 2 L 2 Q
Mencari kelas Q1 dengan
2 n X 2 Q X
C. Kuartil Letiga / Kuartil Atas
p 3 f 3 fk n 4 3 3 L 3 Q
Mencari kelas Q3 dengan
n 4 3 X Q X 3
Ukuran Penyebaran Kumpulan Data Berkelompok
1. Jangkauan (J) atau Rentang / Range (R) R = Xmax Xmin
2. Jangkauan Antar Kuartil (JAK) H = Q3 – Q1
3. Simpangan Kuartil / Jangkauan Semi Antar Kuartil (JSAK)
) 1 Q 3 (Q 2 1 d Q H21 4. Langkah (Q 3 Q1) 2 3 H 2 3 L
5. Pagar Dalam dan Pagar Luar
a. Pagar Dalam = Pd Q1L
b. Pagar Luar = P Q3L
l
6. Ragam(S2) dan Simnpangan Baku (S)
A. danS S2 n 2 ) x f.(x 2 S
B. Dengan Rataan Sementara :
2 danS S2 nfd n 2 fd 2 S Q3 = Kuartil BawahL3 = tepi bawah kelas yang memuat kuartil bawah
Q3
P = interval kelas
fk3 = jumlah frekuensi sebelum kelas Q3
f3 = frekuensi kelas Q3
C. Dengan Metoda Coding :
danS S2 2 2 nfc n 2 fc 2 S Tabel Distribusi Frekuensi Relatif, Tabel Distribusi Frekuensi Kumulatif, dan Tabel Frekuensi Distribusi Frekuensi Relatif Kumulatif
1. Frekuensi relatif : x100% f fi f(%) dengan
2. Frekuensi kumulatif Kurang Dari (fk ) menyatakan jumlah frekuensi semua data yang kurang dari atau sama dengan nilai TEPI ATAS tiap kelas 3. Frekuensi kumulatif Lebih Dari (fk ) menyatakan jumlah frekuensi semua
nilai data yang lebih dari atau sama dengan nilai tepi bawah pada setiap kelas . 4. Frekuensi Kumulatif relative (frk atau fk(%) menyatakan jumlah frekuensi
semua data yang kurang dari atau sama dengan yang dinyatakn dalam persen.
10 0% x f fk (%) k f dengan f(%) = frekuensi relatif. fi = frekuensi kelas ke – i f = jumlah data
fk(%) = frekuensi relatif kumulatif fk = frekuensi kumulatif suatu
kelas
soal dan Pembahasan
1. Seorang sekretaris ingin menyusun 6 buah bukulaporan semesteran dan 3 buah buku laporan tahunan dalam satu rak berjajar. Setiap jenis buku laporan harus berdekatan. Berapa banyak cara sekretaris tersebut menyusun buku ?
2. Sebanyak 6 orang akan membeli tiket tanda masuksebuah pertunjukkan secara bersa-maan. Jika hanyatersedia sebuah loket pembelian tiket, maka
berapakonfigurasi antrian yang mungkin dapat terjadi.
3. Ada berapa cara untuk memilih seorang pemenang pertama, seorang pemenang kedua dan seorang pemenang ketiga dari sebuah kontes yang diikuti oleh 100 kontestan?
4. Empat tim bulu tangkis ganda disusun darisejumlah 8 pemain. Tentukan banyaknya konfigurasi yang mungkin, jika setiap pemain hanya bermain pada satu tim?
5. Sebanyak 50 orang turis manca negara ingin mengunjungi sebuah pulau dengan menggunakan jalur udara. Jika hanya tersedia sebuah pesawat dengan kapasitas 10 penumpang yang menuju pulau tersebut, ada berapa formasi penerbangan para turis tersebut?
6. Ruang sampel menyatakan populasi orang dewasa yang tamat SMU di suatu kota tertentu
dikelompokkan menurut jenis kelamin dan status bekerja pada tabel: Gender Bekerja Menanggur Jumlah
Laki – laki 670 130 800 Perempuan 130 270 400 Total 800 400 1200
Ada 36 orang dengan status bekerja dan 12 orang menganggur merupakan anggota koperasi.
- Berapa probabilitas orang yang terpilih ternyata anggota koperasi? - Berapa probabilitas anggota yang bekerja?
- Berapa probabilitas anggota koperasi yang menanggur?
JAWAB
1.) Diket : Menyusun 6 buah buku lap. semester dan 3 buah buku lap. tahunan dan letaknya harus berjajar. Ditanya : Banyak cara menyusun buku ? Jawab : 2 ( 6! 3! ) = 2 ( 720 x 6 ) = 2 (4320) = 8640 Cara
2.) Diket : Sebanyak 6 orang membeli tiket secara bersamaan dalam 1 loket Ditanya : Konfigurasi antrian? Jawab : 6! = ( 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 ) = 720 konfigurasi antrian
3.) Diket : Memilih pemenang pertama, kedua, dan ketiga dalam sebuah kontes Ditanya : Cara memilih ketiga pemenang di mana peserta berjumlah 100 orang Jawab : 3p100 = 100 x 99 x 98 = 970200 Cara
4.) Diket : Sejumlah 4 tim bulutangkis ganda disusun dari sejumlah 8 pemain Ditanya : Konfigurasi jika pemain hanya bermain pada 1 tim ? Jawab : 8! / 2! 2! 2! 2! = 40320 / 8 = 5040 Konfigurasi
5.) Diket : 50 turis ingin mengunjungi pulau lewat jalur udara. Tetapi hanya ada 1 buah pesawat dan hanya bisa menampung 10 orang. Ditanya : Berapa formasi penerbangan para turis ? Jawab : 5! = ( 5 x 4 x 3 x 2 x 1) = 120 formasi
6.) Diket : Jenis Kelamin
Bekerja Menganggur Jumlah
Laki – laki Perempuan Total 670 130 800 130 270 400 800 400 1200 1 SOAL STATISTIKA
1. Tebel dibawah ini menunjukkan nilai-nilai yang diperoleh siswa kelas XI IPA 1 dalam suatu ulangan. Banyak siswa yang nilainya 61 atau lebih adalah ….
Nilai Frekuensi
41 – 50 8
51 – 60 9
71 – 80 7
81 – 90 6
91 – 100 4
Jawaban : 10 + 7 + 6 + 4 = 27 siswa
2. Dari 120 siswa terdapat 39 siswa mempunyai ukuran 38, sebanyak 61 siswa mempunyai ukuran sepatu 39, dan sisanya mempunyai ukuran sepatu 40. Apabila data tersebut dibuat diagram lingkaran, maka juring lingkaran untuk siswa yang mempunyai ukuran sepatu 40 sebesar ….
Jawaban : Jumlah siswa 120 Ukuran 38 ada 39 siswa Ukuran 39 ada 61 siswa Ukuran 40 ada 20 siswa Ukuran 40 = 3600 600 120 20 x 3.
Data pada tabel berikut menunjukkan tinggi badan peserta seleksi pramugari. Peserta yang lulus seleksi adalah mereka yang memiliki tinggi badan lebih dari 156 cm. Banyak peserta yang lulus seleksi adalah ….
Jabawan : N = L + f fx X 156 = 154,5 + .5 10 6 X 1,5 = 5 10 6 X X – 6 = 3
Tinggi Badan Frekuensi 150 – 154 155 – 159 160 – 164 165 – 169 170 – 174 6 10 18 22 4
X = 9
Banyak peserta yang lulus seleksi adalah 60 – 9 = 51 orang 4. Modus dari data 6, 6, 4, 6, 2, 5, 5, 6, 7, 6, 8 adalah ….
Jawaban : Mo = 6, karena 6 paling sering muncul 5.
Data diatas adalah hasil tes calon pegawai suatu instansi. Peserta dinyatakan lulus dan diterima bila mempunyai nilai 71 atau lebih. Banyak calon yang tidak diterima adalah ….
Jawaban : 24 + 26 + 17 + 30 + 19 + 18 = 134
6. Median dari data 4, 3, 5, 4, 6, 3, 6, 7, 8, 7, 8, 8 adalah …. Jawaban : Me = 3,3,4,4,5,6,6,7,7,8,8,8 2 1 1 2 2 n n x x =
6 7
2 1 x x = 2 1 (6 + 6) = 67. Nilai rata-rata matematika dari 39 siswa adalah 45. Jika nilai Ahmad digabungkan, maka nilai rata-ratanya menjadi 46. Nilai ulangan Ahmad adalah …. Jawaban : x1 = 45 n1 = 39 x2 = 46 n2 = 90 Nilai Frekuensi 41 – 45 18 46 – 50 19 51 – 55 30 56 – 60 17 61 – 65 26 66 – 70 24 71 – 75 28 76 – 80 35 81 – 85 20
x1 = n x
1
x = n . x1 1 = 39(45) = 1.755 x2 = n x
2
2 x = n . x2 = 40(46) = 1.840 Nilai Ahmad = 1.840 – 1.755 = 85 8.Data diatas adalah nilai ujian mata pelajaran. Jika nilai siswa yang lebih rendah dari rata-rata dinyatakan tidak lulus, maka banyaknya siswa yang lulus adalah ….
Jawaban :
Nilai Frekuensi f x nilai
5 3 15 6 5 30 7 4 28 8 6 48 9 1 9 10 1 10 Jumlah 20 140 Nilai rata-rata = 7 20 140
f nilai x fKarena siswa yang lebih rendah dari rata-rata dinyatakan tidak lulus, maka : a. Siswa yang tidak lulus yang mendapat nilai dibawah 7 = 3 + 5 = 8 orang b. Jumlah siswa yang lulus = 20 – 8 = 12 orang
9. Suatu keluarga mempunyai 8 anak. Anak A berumur x + 1 tahun dan anak B berumur 2x + 1 tahun. Enam anak yang lain berturut-turut berumur x + 2, x + 3, x + 4, …, x + 7 (dalam tahun). Apabila rata-rata umur kedelapan anak tersebut 7 tahun, umur anak A adalah ….
Jawaban : Nilai Frekuensi 5 6 7 8 9 10 3 5 4 6 1 1
x = 7 8 ) 7 ( ) 6 ( ) 5 ( ) 4 ( ) 3 ( ) 2 ( ) 1 2 ( ) 1 (x x x x x x x x 7 8 29 9x 9x + 29 = 56 9x = 27 x = 3 Umur A = (x + 1) tahun = 3 + 1 = 4 tahun
10. Tiga buah data rataannya 13, jangkauannya 6, statistik maksimumnya 18, maka median dari data tersebut adalah ….
Jawaban : 15 3 3 2 1 x x x x3 – x1 = 6 x1 = 18 – 6 = 12 15 3 3 2 1 x x x x1 + x2 + x3 = 15(3) x2 = 45 – 18 – 12 x2 = 15 Jadi, median = 15
11. Dari angka-angka 1, 2, 4, 6 akan disusun bilangan ribuan ganjil, maka banyak bilangan yang dapat disusun bila angka boleh diulang adalah ….
Jawaban : 4 4 4 1
Banyak bilangan ribuan ganjil yang bisa dibentuk ada 4 x 4 x 4 x 1 = 64 bilangan
12. Banyak bilangan asli ratusan ganjil yang dapat dibuat dari angka-angka 1, 2, 3, 4, dan 5 (angka tidak boleh diulang) adalah ….
Jawaban : 4 4 4 1
4(3)(3) = 36 bilangan
13. Dalam babak penyisihan suatu turnamen, 25 pecatur satu sama lain bertanding satu kali. Banyaknya pertandingan yang terjadi adalah ….
Jawaban : Banyak pertandinganb yang terjadi :
25 2 C = 300 2 600 ! 2 ! 23 ! 23 24 25 ! 2 ! 23 ! 25 x x
14. Banyaknya susunan huruf berbeda yang dapat dibentuk dari huruf-huruf “MALAKA” adalah …. Jawaban : 120 ! 3 ! 3 4 5 6 ! 3 ! 6 x x x
15. Dari angka-angka 2, 3, 5, 6, 7, dan 9 dibuat bilangan yang terdiri dari tiga angka yang berlainan. Banyaknya bilangan yang dapat dibuat yang lebih kecil dari 400 adalah ….
Jawaban :
Angka-angka 2, 3, 5, 6, 7, dan 9 akan dibuat bilangan yang terdiri atas 3 angka yang berlainan yang nilainya lebih kecil dari 400.
Ratusan Puluhan Satuan
2 5 4
Banyak angka yang mungkin = 2 x 5 x 4 = 40
16. Di kelas XI akan diadakan pemilihan pengurus kelas yang terdiri atas ketua, wakil ketua, sekretaris, dan bendahara kelas. Jika hanya ada 7 siswa yang kompeten, banyak cara pemilihan tersebut adalah ….
Jawaban : 7 840
3
P
17. Dari huruf a, b, c, d, dan e akan disusun menjadi kelompok yang terdiri atas 3 huruf. Banyak kelompok yang terbentuk ada ….
! 2 ! 2 . 3 . 4 . 5 ! ) 3 5 ( ! 5 5 3 P = 60 kelompok
18. Nilai n yang memenuhi 42 ! ) 2 ( ! n n adalah …. Jawaban : 42 ! ) 2 ( ! n n 42 ! ) 2 ( ! ) 2 )( 1 ( n n n n n2 – n – 42 = 0 (n - 7)(n + 6) = 0 n = 0
19. Banyak bilangan kurang dari 200 yang dapat dibentuk dari angka-angka 1, 2, 3, 4 adalah …. (angka boleh berulang)
Jawaban : 4 4 1
Banyak bilangan kurang dari 200 yang dapat dibentuk ada 1 x 4 x 4 = 16 bilangan
20. Banyak cara penyusunan kata dari data “PENDIDIK” adalah …. Jawaban : 080 . 10 2 . 2 1 . 2 . 3 . 4 . 5 . 6 . 7 . 8 ! 2 ! 2 ! 8
SOAL STATISTIKA
1. Dari data berikut ini rata-ratanya adalah …. Nilai Frekuensi 41 – 45 46 – 50 51 – 55 56 – 60 61 – 65 8 5 6 7 4 Jawaban : x1 f1 f1x1 43 48 53 58 63 8 5 6 7 4 343 240 318 406 252 Jumlah 30 1560 x = 52 30 560 . 1
2. Nilai rata-rata tes matematika dari kelompok siswa dan kelompok siswi di suatu kelas berturut-turut adalah 5 dan 7. jika nilai rata-rata di kelas tersebut adalah 6,2 : maka perbandingan banyak siswa dan siswi adalah ….
Jawaban : x1 = 5, x2 = 7, x = 6,2 1 1 2 2 1 x x x x n n 3 2 2 , 1 8 , 0 5 2 , 6 2 , 6 7 2 1 n n
3. Diketahui data sebagai berikut : 7,0; 7,2; 6,9; 6,7; 5,4; 6,0; 4,9; 7,5; 5,9; 6,3 Nilai D5 dari data berikut adalah ….
Jawaban : Nilai D5 Data diurutkan : 4,9 5,4 5,9 6,0 6,3 6,7 6,9 7,0 7,2 7,5 50% dari 10 adalah 10 5 100 50 x
D5 merupakan ukuran ke- 5 dan ke- 6 D5 = (6,3 6,7) 6,5 2 1
4. Berat badan rata-rata 8 orang adalah 40 kg, berat badan rata-rata 6 orang adalah 45 kg, dan berat rata-rata 4 orang 50 kg. jika 18 orang tersebut digabungkan, maka berat rata-ratanya menjadi ….
Jawaban : x1 = 40, n = 8 → x1 = 1 1 n x
= 8 . 40 = 320 x2 = 45, n = 6 → x2 = 2 2 n x
= 6 . 45 = 270 x3 = 3 3 n x
x3 = 50, n3 = 4
x = 4(50) = 200 2 xt = 18 790 4 6 8 200 270 320
t t n x xtot = 43,895. Nilai rata-rata 40 siswa adalah 50. Jika 5 orang siswa yang nilainya sama tidak diikutkan maka nilai rata-ratanya menjadi 55. nilai 5 orang tersebut masing-masing adalah …. Jawaban : x = n n
50 = 40 1
x →
x1 2.000 55 = 35 2 1
x x1925 = 2000 – x2 xL = 2000 – 1925 = 75
Jadi, nilai lima siswa tersebut adalah 75
6. Diketahui data 51, 35, 29, 57, 21, 40, 25, 47, 25, 53, 48, 43, 27, 34, 37. Desil ke- 3 data tersebut adalah ….
Jawaban : 21, 25, 25, 27, 29, 34, 35, 37, 40, 43, 47, 48, 51, 53, 57 n = 15 D3 = 10 ) 1 ( 3 n x = 10 ) 16 ( 3 x = x4,8 = x4 + ( ) 10 8 4 5 x x = 27 + (29 27) 10 8 = 27 + (2) 10 8 = 27 + 1,6 = 28,6
7. Jangkauan dari data 20, 21, 19, 17, 20, 21, 23, 24, 25 adalah …. Jawaban :
J = Xmaks – Xmin = 25 – 17 = 8
8. Simpangan kuartil dari data 20, 23, 23, 19, 21, 20, 20, 25, 26, 27, 26 adalah …. Jawaban : 19, 20, 20, 21, 22, 23, 25, 26, 26, 27 Q1 = 3 20 4 12 4 1 x x xn
Q3 = x4 26 4 1 9 x n Simpangan kuartil = 2 1 (Q3 – Q1) = (26 20) 3 2 1
9. Ragam dan simpangan baku dari data 130, 131, 131, 132, 132, 132, 133 adalah …. Jawaban : x = 132 8 056 . 1 S2 = 8 ) 132 135 ( ) 132 133 ( ) 132 132 ( ) 132 132 ( ) 132 132 ( ) 132 131 ( ) 132 131 ( ) 132 130 ( 2 2 2 2 2 2 2 2 = 8 9 1 0 0 0 1 1 4 = 2 8 16 Sd = S = S = 2 2
10. Pendapatan ratarata karyawan suatu perusahaan Rp. 300.000,00 per bulan. Jika pendapatan rata-rata karyawan pria Rp. 320.000,00 dan karyawan wanita Rp. 285.000,00 maka perbandingan jumlah karywan pria dan wanita adalah …. Jawaban : 300 = n m n m 285 320 300m + 300n = 320m + 285n 15n = 20m m : n = 15 : 20 = 3 : 4
11. Seorang murid diminta mengerjakan 9 dari 10 soal ulangan, tetapi soal nomor 1 sampai 5 harus dikerjakan. Banyaknya pilihan yang dapat diambil murid tersebut adalah …. Jawaban : 5 2 5 ! 4 ! 1 ! 4 . 5 ! 4 )! 4 5 ( ! 5 5 4 C
12. Dari 12 pemain bulutangkis pria akan disusun pemain ganda. Banyak susunan pemain ganda yang dapat dibentuk adalah ….
66 ! 10 . 1 . 2 ! 10 . 11 . 12 ! 12 ! 10 ! 12 12 2 C cara
13. Seorang siswa ingin membeli 2 buku IPA dan 3 buku IPS dari seorang temannya yang mempunyai 4 buku IPA dan 5 buku IPS. Banyak cara yang dapat dipilih oleh siswa tersebut adalah ….
Jawaban : 60 10 . 6 2 4 . 5 . ! 2 ! 2 ! 2 . 3 . 4 ! 3 ! 2 ! 5 . ! 2 ! 2 ! 4 . 35 4 2 C C
14. Dalam sebuah pertemuan terdapat sejumlah orang yang saling bersalaman. Jika terjadi 190 kali salaman, maka jumlah orang tersebut adalah ….
Jawaban : 190 10 2 C 190 ! 2 )! 2 ( ! n n 380 )! 2 ( )! 2 )( 1 ( n n n n n2 – n – 380 = 0 (n + 19)(n – 20) = 0 n = 20
15. Ada 6 orang pria dan 3 wanita. Mereka akan membentuk sebuah panitia yang terdiri atas 5 orang. Banyak cara panitia dapat dibentuk bila harus terdiri 3 pria dan 2 wanita adalah ….
Jawaban : 60 ! 2 ! 3 . 1 . 2 . 3 ! 2 . 3 ! 3 . 4 . 5 . 6 ! 1 ! 2 ! 3 . ! 3 ! 3 ! 6 . 23 6 3 C C cara
16. Dalam sebuah pertemuan ada 15 orang laki-laki dan 10 orang perempuan saling bersalaman (laki-laki tidak bersalaman dengan perempuan). Banyak salaman ada …. Jawaban : 150 45 105 ! 8 . 1 . 2 ! 8 . 9 . 10 ! 13 . 1 . 2 ! 13 . 14 . 15 ! 8 ! 2 ! 10 ! 3 ! 2 ! 15 10 2 15 2 C C salaman
17. Diketahui ada 7 orang yang akan duduk melingkar mengharap sebuah meja. Banyak cara duduk ada ….
Jawaban :
(7 - 1)! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 720 cara
18. Sebuah dadu dilempar 108 kali, maka frekuensi harapan muncul angka yang kurang dari 3 adalah ….
Jawaban :
A = kejadian muncul angka kurang dari 3 = {1,2} n(A) = 2 n(s) = 6 n = 108 kali Fh = .108 36 6 2 kali
19. Dua buah mata uang logam dan dua dadu dilempar bersama, maka banyak ruang sampelnya adalah ….
Jawaban : 22 . 62 = 4 . 6
= 144
20. Dua buah dadu dilempar bersama sebanyak 360 kali, maka frekuensi harapan muncul angka yang berjumlah lebih dari 4 adalah ….
Jawaban :
P (jumlah kurang dari = 4) = 36
6
P (jumlah lebih dari 4) = 1 –
6 5 36 30 36 6 Fh = (360) 300 6 5
SOAL STATISTIK 1. 70 60 50 40 30 20 10
Jan Feb Mar Apr Mei
Diagram garis diatas menunjukkan hasil penjualan gula di Toko Sejahtera pada periode Januari – Mei 2008. Berdasarkan diagram di samping, jumlah penjualan gula pada bulan April adalah ….
Jawaban :
Dari diagram garis dapat diketahui jumlah penjualan beras pada bulan April adalah 50 ton.
2. Median dari data dibawah ini adalah ….
Nilai 6 7 8 9 10 Frekuensi 6 8 9 5 4 Jawaban : Median = 1 2 2 2 1 n n x x n = 6 + 8 + 9 + 5 + 4 = 32 Mo = 1 2 32 2 32 x x = { } 2 1 17 13 x x = {8 8} 2 1 = 8 3. Juml ah (ton) Bulan
Nilai Frekuensi Kumulatif
3 atau lebih 25
4 atau lebih 20
5 atau lebih 19
Modus dari data diatas adalah …. Jawaban : Nilai f 3 4 5 6 7 8 9 5 1 7 6 3 3 0 Modus = 5
4. Rataan hitung dari data yang disajikan pada tabel dibawah ini adalah 35, maka nilai x adalah …. Nilai Frekuensi 20 25 30 35 40 2 4 8 10 x Jawaban : 35 = x x 24 40 350 240 100 40 840 + 35x = 730 40x 110 = 5x x = 22 5.
Kuartil bawah dari data diatas adalah …. Nilai Frekuensi 20 – 22 23 – 25 26 – 28 29 – 31 32 – 34 35 – 37 8 7 11 9 2 3
Jawaban : 10 4 40 4 n letak Q1 = interval (23 – 25) Q1 = 22,5 + 3 7 8 10 = 22,5 + 7 6 = 23,4
6. Modus dari data pada tabel dibawah ini adalah …. Nilai Frekuensi 40 – 44 45 – 49 50 – 54 55 – 59 60 – 64 2 6 16 30 32 Jawaban : Mo = 54,5 + 5 12 4 4 = 54,5 + 5 16 4 = 54,5 + 1,25 = 55,75 7.
Ragam (variansi) dari data pada tabel diatas adalah …. Jawaban : x1 f (x1 - x) f1 (x1 - x)2 31 34 37 40 3 4 7 10 36 9 0 9 108 36 0 90 234 Nilai Frekuensi 30 – 32 33 – 35 36 – 38 39 – 41 42 – 44 2 7 13 3 5
x = 37 Ragam =
24 234
8.
Perhatikan tabel diatas !
Dari data tersebut, tentukan rata-ratanya ! Jawaban : x1 f1 f1x1 3 8 13 18 23 4 15 7 5 5 12 120 91 90 115 x = 11,88 36 428 1 1
f x f9. Nilai rata-rata suatu bilangan adalah 5,9. empat anak dari kelas lain mempunyai nilai rata-rata 7. jika nilai rata-rata mereka setelah digabung menjadi 6, maka tentukan banyaknya anak sebelum digabung dengan empat anak tersebut. Jawaban :
x
1 = 5,9x
= 6x
2 = 7 n2 = 4x
= 1 1 2 2 1 1. . n n x n x n 6 = 4 7 , 4 9 , 5 . 1 1 n n 6n1 = 5,9 . n1 + 28 0,1.n1 = 4 Nilai Frekuensi 1 – 5 6 – 10 11 – 15 16 – 20 21 – 25 4 15 7 5 5n1 = 40
Jadi, banyaknya anak sebelum digabung dengan empat anak dari klas lain adalah 40 orang
10. Dari 50 orang siswa diambil sampel secara acak 15 orang untuk diukur tinggi badannya, diperoleh data sebagai berikut :
157 172 165 148 173 166 165 160 155 172 157 162 164 165 170 Hitunglah :
a. Rataaan hitung, b. Imapangan baku, dan c. Variansinya Jawaban : Tinggi badan f X . f (x1 – x)2 f (x1 – x)2 148 155 157 160 162 164 165 166 170 172 173 1 1 2 1 1 1 3 1 1 2 1 148 155 157 160 162 164 165 166 170 172 173 237,16 70,56 40,96 11,56 1,96 0,36 2,56 6,76 43,56 73,96 92,16 237,16 70,56 81,56 11,56 1,96 0,36 2,56 6,76 43,56 73,96 92,16 Jumlah 15 4.451 701,6 a. x = 163,4 15 2451 b. S = S = 2 n x x fi( 1 )2 = 6,84 15 6 , 701 c. S2 = 15 6 , 701 ) ( 1 2
n x x fi = 46,77 11. Jika 4 1 2 2 2 n n CJawaban : 1 4 2 2 2 n n C C ! 4 ! ) 4 1 ( ! ) 1 ( 2 ! 5 ! ) 5 2 ( ! ) 2 ( n n n n ! 4 ! ) 3 ( ! ) 1 ( 2 ! 5 ! ) 3 ( ! ) 2 ( n n n n 10(n + 1)! = (n + 2)! 10(n + 1)! = (n + 2)(n + 1)! 10 = n + 2 n = 8
12. Suku ke- 4 dari (x – y)7 adalah …. Jawaban : U4 = C37x7 3 ( y )3 = 4( 1)3( )3 ! 4 ! 3 ! 7 y x = - 4 3 ! 4 . 1 . 2 . 3 ! 4 . 5 . 6 . 7 y x = -35 x4y3
13. Sebuah kontak berisi 5 bola putih dan 4 bola biru. Jika diambil 3 bola sekaligus secara acak dari kota itu, maka peluang terampil 3 bola putih adalah …. Jawaban : n(S) = 84 6 7 8 9 ! 3 ! 6 ! 6 7 8 9 ! 3 ! 6 ! 9 9 3 x x x x x C n(A) = 10 2 20 ! 0 ! 4 ! 4 ! 3 ! 2 ! 5 04 5 3 xC x C P(A) = 42 5 84 10 ) ( ) ( S n A n
14. Sebuah dadu dan sebuah mata uang dilempar bersama, peluang muncul angka ganjil pada dadu dan gambar pada uang adalah ….
Dadu
Uang 1 2 3 4 5 6
A (A, 1) (A, 2) (A, 3) (A, 4) (A, 5) (A, 6) G (G, 1) (G, 2) (G, 3) (G, 4) (G, 5) (G, 6) A = {kejadian muncul ganjil, pada dadu, dan gambar pada uang} = {(G,1), (G,3), (G,6)} n(A) = 3 n(5) = 8 P(A) = 8 3 ) ( ) ( s n A n
15. Tiga mata uang dilempar bersama. Peluang muncul 2 angka dan 1 gambar adalah ….
Jawaban : n(5) = 23 = 8
n(5) = {AAA, AAG, AGA, AGG, GAA, GAG, GGA, GGG}
A = kejadian 2 angka 1 gambar = {AAG, AGA, GAA} n(A) = 3
P(2 angka, 1 gambar) = 8 3
16. Dua buah dadu dilempar bersama, maka peluang kejadian jumlah mata dadu yang muncul 4 atau 8 adalah ….
Jawaban : A A A G G A G A A A G G A G
A = kejadian muncul mata dadu yang berjumlah 4 = {(3,1), (2,2), (1,3)}
n(A) = 3 → P(A) = 36
3
B = kejadian muncul mata dadu yang berjumlah 8 = {(6,2), (5,3), (4,4), (3,5), (2,6)} n(B) = 5 → P(B) = 36 5 P(AB) = P(A) + P(B) = 9 2 36 8 36 5 36 3
17. Dua buah dadu dilempar bersama, maka peluang muncul angka 2 pada dadu pertama atau angka 6 pada dadu kedua adalah ….
Jawaban :
A = kejadian muncul 2 pada dadu I = {(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6)} n(A) = 6
B = kejadian muncul 6 pada dadu II = {(1,6), (2,6), (3,6), (4,6), (5,6), (6,6)} n(B) = 6
AB = {2,6} → n(AB) = 1 P(AB) = P(A) + P(B) – P(AB) = 36 11 36 11 36 6 36 6
18. Dalam sebuah kota terdapat 6 bola merah, 4 bola putih, dan 2 bola hijau. Jika diambil 3 bola sekaligus, maka peluang terampil bola 2 merah dan 1 hijau adalah …. Jawaban : 6 bola merah 4 bola putih 2 bola hijau 12 bola
diambil 3 bola sekaligus P(2 merah, 1 hijau) = 12 3 2 1 6 2. C C C = 22 3 10 . 1 1 . 2 2 . 15
19. Sebuah kartu diambil secara acak dari seperangkat kartu bridge, maka peluang terampil kartu Queen atau kartu berwarna hitam adalah ….
Jawaban : P(Queen) = 52 4 ) ( ) ( S n Queen n P(Hitam) = 52 26 ) ( ) ( S n Hitam n P(Queen Hitam) = 52 2 ) ( ) ( S n Hitam Queen n
P(Queen atau Hitam) = P(Queen) + P(Hitam) – P(Queen Hitam) = 52 28 52 2 52 26 52 4
20. Sebuah kotak berisi 10 kelereng, 4 diantaranya berwarna biru dan 6 diantaranya berwarna merah. Dua kelereng diambil dari dalam kotak itu sekaligus. Peluang terambil 1 kelereng biru dan 1 kelereng merah adalah …. Jawaban : n(s) = 45 ! 2 ! 8 ! 10 10 2 C n(A) = ! 1 ! 5 ! 6 ! 1 ! 3 ! 4 6 1 4 1 xC x C = 4 x 6 = 24 P(A) = 15 8 45 24 ) ( ) ( s n A n
Peluang terampil 1 kelereng biru dan 1 kelereng merah adalah 15
4DAFTAR PUSTAKA
Hasan, Iqbal. 2003. Pokok-pokok Materi Statistik 2 (Statistik Inferensif). Jakarta: PT Bumi Aksara
Mangkuatmodjo, Soegyarto. 1997. Pengantar Statistik. Jakarta: PT Rineka Cipta.
Referensi Internet:
http://education.poztmo.com/2011/11/statistik-dan-peluang.html http://www.scribd.com/pembelajaran-mudah-kombinasi-dasar/
