PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang Masalah
Apabila ditinjau dari struktur aljabar, semiring S merupakan generalisasi da-ri da-ring. Sifat idempoten terhadap operasi penjumlahan yang dibeda-rikan pada semida-ring membentuk struktur yang baru,yaitu semiring idempoten. Adanya sifat idempoten terhadap operasi penjumlahan mengakibatkan semiring idempoten dapat dilengkapi oleh relasi urutan yang didefinisikan dengan a b ⇔ a ⊕ b = b. Jika semiring tidak memiliki sifat idempoten maka sifat refleksif dalam relasi biner yang dileng-kapkan semiring S tidak terpenuhi. Akibatnya, relasi biner bukan merupakan relasi urutan. Dalam teori lattice, semiring idempoten (S, ) merupakan sup - se-milattice dengan a ⊕ b batas atas dari a dan b. Semiring idempoten yang tertutup terhadap jumlahan tak hingga dan pergandaannya distributif terhadap penjumlahan tak hingga disebut semiring idempoten lengkap. Lebih lanjut, semiring idempoten lengkap mempunyai struktur yang sama dengan lattice lengkap.
Aljabar max plus merupakan salah satu contoh semiring idempoten. Dalam aljabar max plus, operasi penjumlahan didefinisikan operasi maksimum dan operasi pergandaan didefinisikan operasi penjumlahan biasa, yang dinotasikan (Rmax, max, +)
dengan Rmax = R∪{+∞∪−∞}. Apabila diberikan aljabar max plus (Rmax, max, +)
maka untuk menyelesaikan persamaan A ⊗ X = B dengan A ∈ Rm×nmax, X ∈ R n×1 max
dan B ∈ Rm×1max adalah sebagai berikut :
A ⊗ X = B ⇔ A11 A12 . . . A1n A21 A22 . . . (A22 .. . . .. ... Am1 Am2 . . . Amn ⊗ x1 x2 .. . xn = b1 b2 .. . bm 1
⇔ (A11⊗ x1) ⊕ (A12⊗ x2) ⊕ . . . ⊕ (A1n⊗ xn) = b1 (A21⊗ x1) ⊕ (A22⊗ x2) ⊕ . . . ⊕ (A2n⊗ xn= b2 .. . (Am1⊗ x1) ⊕ (Am2⊗ x2) ⊕ . . . ⊕ (Amn⊗ xn) = bm
Karena persamaan A ⊗ X = B atas Rmax, maka berdasarkan definisi operasi
pen-jumlahan dan pergandaan dalam Rmaxdidapat
max{(A11+ x1), (A12+ x2), . . . , (A1n+ xn)} = b1
max{(A21+ x1), (A22+ x2), . . . , (A2n+ xn)} = b2
.. . max{(Am1+ x1), (Am2+ x2), . . . , (Amn+ xn)} = bm
Karena tidak adanya jaminan untuk setiap persamaan A ⊗ X = B mempunyai solusi, maka perlu diperlemah dalam mencari subsolusi A ⊗ X = B, yaitu X0yang memenuhi A⊗X B dengan X0merupakan subsolusi terbesar. Dengan demikian, subsolusi A ⊗ X = B memenuhi Aij + xj ≤ bi untuk setiap i = {1, 2, . . . m} dan
j = {1, 2, . . . n}. Dalam memperoleh subsolusi persamaan max plus tersebut, dicari dengan meninjau setiap entri X. Misalkan untuk x1.
Ai1+ x1 ≤ bi, ∀i = {1, 2, . . . m} (1.1)
Karena operasi pergandaan pada Rmaxmempunyai invers maka x1 ≤ bi−Ai1untuk setiap i
Dengan demikian, x1 ≤ b1− A11 x1 ≤ b2− A21 .. . x1 ≤ bm− Am1
Sehingga sistem pertidaksamaan tersebut terpenuhi ketika x1 ≤ min{(b1−A11), (b2−
ma-ka didapat x1 x2 .. . xn = min{(b1− A11), (b2− A21), . . . , (bm− Am1) min{(b1− A12), (b2− A22), . . . , (bm− Am2) .. . min{(b1− A1n), (b2− A2n), . . . , (bm− Amn) (1.2)
Dalam aljabar max plus, persamaan 1.2 merupakan calon solusi dari persamaan A ⊗ X = B.
Berdasarkan uraian dalam memperoleh solusi persamaan A ⊗ X = B atas Rmax diperlukan adanya invers terhadap operasi pergandaannya. Ketika operasi
pergandaan yang didefinisikan operasi penjumlahan biasa dalam aljabar max plus misalnya diubah operasi minimum, maka operasi pergandaan yang didefinisikan operasi minimum tidak memiliki invers. Jadi, secara umum semiring idempoten ti-dak memiliki invers terhadap operasi pergandaan. Dengan demikian, metode men-cari subsolusi seperti dalam Rmaxtidak dapat diterapkan dalam semiring idempoten
secara umum. Untuk mencari subsolusi persamaan atas semiring idempoten dapat menggunakan konsep residuasi.
Selain dalam skalar, konsep residuasi juga dapat diterapkan untuk persama-an semiring idempoten matriks. Salah satu persamapersama-an ypersama-ang dibahas adalah perti-daksamaan A ⊗ X B dengan A, X, B matriks dengan entri - entrinya elemen dari semiring idempoten lengkap S. Solusi terbesar pertidaksamaan A ⊗ X B dapat diperoleh dengan menggunakan teori residuasi. Awalnya, Baccelli (1992) meneliti bagaimana solusi terbesar dari pertidaksamaan A ⊗ X B jika A ∈ Sn×n dan
X ∈ Sn×1. Kemudian, penelitian dilanjutkan mengenai solusi terbesar dari perti-daksamaan A ⊗ X B dengan A ∈ Sn×n dan X ∈ Sn×n. Selanjutnya, diteliti
bagaimana solusi terbesar dari pertidaksamaan A ⊗ X B, apabila ukuran semi-ring idempoten matriks diubah menjadi A ∈ Sn×p dan X ∈ Sp×m.
Seperti yang telah diketahui, semiring idempoten lengkap memiliki sifat operasi pergandaan ⊗ distributif terhadap penjumlahan ⊕. Secara umum, dalam semiring idempoten lengkap, sifat operasi ⊗ distributif terhadap ∧ tidak terpenuhi,
karena hanya berlaku bahwa a ⊗ (b ∧ c) (a ⊗ b) ∧ (a ⊗ c). Sifat distributif ⊗ terha-dap ∧ dalam semiring idempoten lengkap terha-dapat terpenuhi apabila diberikan syarat cukup, yaitu elemen a mempunyai invers, maka a ⊗ (b ∧ c) = (a ⊗ b) ∧ (a ⊗ c). Dengan adanya kondisi tersebut, maka dapat didefinisikan suatu operasi baru yang memiliki sifat operasi pergandaanya distributif terhadap ∧. Hardouin memperke-nalkan duality dari operasi pergandaan ⊗ yaitu dual produk yang memiliki sifat operasi distributif terhadap ∧. Selain dual produk pada semiring idempoten, di-berikan juga dual produk pada semiring idempoten matriks yang dinotasikan A X, didefinisikan operasi (A X)ij =
V
k=1,...,n(aik xkj) dengan ∧ merupakan
ba-tas bawah terbesar. Apabila sebelumnya diteliti mengenai solusi pertidaksamaan A ⊗ X B, penelitian dilanjutkan tentang bagaimana solusi terkecil dari pertidak-samaan A X B.
Selanjutnya, mengenai persamaan fixed point dalam lattice lengkap juga da-pat diterapkan dalam semiring idempoten lengkap. Apabila diberikan semiring idempoten lengkap S dan pemetaan isoton f : S 7→ S maka dapat dihimpun himpunan tak kosong {x ∈ S|f (x) = x}. Karena adanya relasi urutan pada S, maka dapat pula dihimpun himpunan tak kosong {x ∈ S|f (x) x} dan x dimana {x ∈ S|f (x) x}. Dalam kasus matriks, juga dapat dihimpun him-punan tak kosong {X ∈ Sn×m|f (X) = X}, {X ∈ Sn×m|f (X) X} dan
{X ∈ Sn×m|f (X) X} dengan f pemetaan isoton.
Apabila sebelumnya diteliti mengenai solusi pertidaksamaan A ⊗ X B dengan mendefinisikan pemetaan isoton LA: X 7→ A⊗X maka dengan sifat isoton
pada pemetaan LA, dapat dihimpun himpunan tak kosong {X ∈ Sn×m|LA(X) =
X} dan himpunan tak kosong {X ∈ Sn×m|L
A(X) X}.
Selanjutnya, ditinjau kembali dalam buku yang ditulis Baccelli dkk (1992) telah dijelaskan mengenai didefinisikan Kleene Star, pemetaan LA = A ⊗ X
meru-pakan pemetaan residuasi, dan karakteristik X A ⊗ X ⇔ X A\X ⇔ X = A∗ ⊗ X ⇔ X = A∗\X. Setelah itu, dari operasi pergandaan biasa ⊗ memotivasi
didefinisi-kannya dual Kleene Star, dan dibuktikan bahwa pemetaan ΛB = B X merupakan
dual pemetaan residuasi maka berdasarkan itu semua, dapat diberikan karakteristik X B X ⇔ B • X X ⇔ B∗• X = X ⇔ B∗ X = X.
Sebelumnya, penulis meneliti tentang bagaimana solusi terkecil dari perti-daksamaan A X B dengan mendefinisikan pemetaan isoton ΛA: X 7→ A X
maka dengan sifat isoton pemetaan ΛA, dapat dihimpun himpunan tak kosong {X ∈
Sn×m|Λ
A(X) = X} dan himpunan tak kosong {X ∈ Sn×m|ΛA(X) X}. Dengan
terjaminnya adanya X yang memenuhi pertidaksamaan LA(X) X dan ΛA(X)
X serta adanya karakteristik X A\X ⇔ X A ⊗ X ⇔ X = A∗⊗ X ⇔ X = A∗\X dan X B X ⇔ B • X X ⇔ B∗ • X = X ⇔ B∗ X = X,
ma-ka dapat diteliti bagaimana ma-karakteristik solusi X yang memenuhi pertidaksamaan A ⊗ X X B X.
1.2. Tujuan dan Manfaat Penelitian
Tujuan utama penelitian ini adalah mempelajari operasi dual produk pada semiring beserta sifat-sifatnya, serta meneliti solusi dari pertidaksamaan A X B, meneliti solusi terbesar dari pertidaksamaan A ⊗ X X B X dan X G. Untuk lebih jelasnya, berikut tujuan-tujuan dari penelitian yang akan dilakukan:
1. Mempelajari teori residuasi, pemetaan closure dan pemetaan dual closure dan sifat - sifatnya, definisi dan sifat - sifat operator Kleene Star.
2. Meneliti solusi terbesar dari pertidaksamaan A ⊗ X B.
3. Mempelajari dual produk dan dual produk pada matriks beserta sifat-sifatnya yang digunakan untuk memperoleh solusi pertidaksamaan A X B dan A ⊗ X X B X.
4. Meneliti solusi terkecil dari pertidaksamaan A X B
5. Meneliti solusi terbesar dari pertidaksamaan A ⊗ X X B X dan X G.
1.3. Tinjauan Pustaka
Dalam penelitian ini diperlukan beberapa paper/jurnal ilmiah dan beberapa buku sebagai referensi. Pemahaman mengenai definisi semiring idempoten lengkap dan lattice lengkap sangat diperlukan, sehingga penulis menggunakan referensi ber-upa disertasi yang ditulis Thomas Brunsch(2014), Thomas Brunsch, L. Hardouin, dan J. Raisch (2011) dan T.W. Judson (2010)(terutama lattice). Ada banyak buku yang dapat digunakan dalam mempelajari teori residuasi, namun penulis menggu-nakan buku karangan Baccelli (1992) dan Thomas Brunsch(2014) sebagai referensi utama dalam pembahasan teori residuasi. Sebagai referensi pendukung, penulis menggunakan jurnal Lhommeau, Hardouin, dan Cottenceau(2009), Brunsch, Ha-rdouin, Boutin, Cottenceau, dan Raisch (2013)(terutama untuk sifat - sifat pemetaan residuasi), Lhommeau, Hardouin, Cottenceau, dan Maia (2010), Houssin, Lahaye, dan Boimond (2008). Selain teori residuasi, penulis juga perlu untuk mempelajari tentang pemetaan closure yang juga menggunakan buku karangan Baccelli (1992).
Dalam jurnal yang membahas mengenai solusi terbesar dari pertidaksamaan A ⊗ X B, penulis menggunakan jurnal yang ditulis oleh S. Gaubert(1997), G Cohen, S. Gaubert dan J.P Quadrat (1998), Baccelli (1992) serta M.H. Andersen (2002). Karena Hardouin (2012) bersama dengan Brunsch, Maia, Raisch memper-kenalkan pengertian mengenai dual produk pada semiring maka penulis memilih mempelajari jurnal yang ditulis Hardouin (2012) bersama dengan Brunsch, Maia, Raisch ini digunakan penulis sebagai referensi utama dan jurnal yang ditulis Ouer-ghi dan L.Hardouin (2006) sebagai referensi pendukung. Selain definisi mengenai dual produk, Hardouin (2012) bersama dengan Brunsch, Maia, Raisch juga melan-jutkan penelitiannya mengenai sifat sifat yang mengaitkan dual produk dan teori residuasi.
Hardouin (2012) bersama dengan Brunsch, Maia, Raisch melanjutkan pene-litian mengenai sifat yang berkaitan dengan solusi pertidaksamaan A ⊗ X X B X. Untuk membahas hal ini, pertama penulis mempelajari tentang fixed point suatu fungsi dan sifatnya dengan menggunakan jurnal yang ditulis Tarski(1955) dan
disertasi Thomas Brunch(2014). Penulis juga mempelajari melalui jurnal Hardouin dan Ouerghi (2006), Thomas Brunch(2014), dan jurnal yang ditulis Hardouin, B. Cottenceau, E le Corronc (2010).
1.4. Metode Penelitian
Dalam penulisan tesis ini, penulis melalui beberapa langkah. Pertama, di-pelajari mengenai teori semiring terutama pada pengertian dan sifat dari semiring idempoten lengkap S. Kemudian diteliti apakah ada hubungan antara semiring idempoten lengkap dan lattice lengkap. Setelah diketahui ternyata kesamaan struk-tur antara semiring idempoten lengkap dan lattice lengkap, dipahami teori residu-asi yang berlaku dalam lattice lengkap, khususnya definisi pemetaan lower semi-continuous dan pemetaan upper-semisemi-continuous, definisi dan sifat pemetaan residu-asi dan dual pemetaan residuresidu-asi. Karena adanya kesamaan struktur antara semiring idempoten lengkap dan lattice lengkap, maka berdasarkan definisi pemetaan lower semi-continuous dan pemetaan upper-semicontinuous yang berlaku dalam lattice lengkap, juga dapat didefinisikan dalam semiring idempoten lengkap. Begitupula dengan sifat - sifat pemetaan residuasi dan dual pemetaan residuasi berlaku dalam semiring idempoten lengkap. Dengan demikian, teori residuasi dapat digunakan un-tuk memperoleh solusi terbesar dari pertidaksamaan A ⊗ X B dan solusi terkecil dari pertidaksamaan A X B dengan matriks A, B, X atas semiring idempoten lengkap.
Selanjutnya, didefinisikan pemetaan closure dan sifatnya digunakan untuk memperoleh solusi terkecil pertidaksamaan A X B. Penelitian kemudian dilanjutkan mencari solusi terbesar dari pertidaksamaan A ⊗ X B dengan meng-gunakan sifat sifat dari pemetaan residuasi. Pertama diteliti terlebih dahulu terbesar dari pertidaksamaan A ⊗ X B dimana matriks A ∈ Sn×n dan X ∈ n × 1. Se-lanjutnya, diteliti solusi terbesar dari pertidaksamaan A ⊗ X B dimana matriks A ∈ Sn×n dan X ∈ n × n dan solusi terbesar dari pertidaksamaan A ⊗ X B
Kemudian ditinjau mengenai operasi pergandaan yang dilengkapkan dalam semiring idempoten. Karena sifat distributif operasi pergandaan terhadap operasi ∧, maka didefinisikan operasi baru yang dinamakan dual produk pada suatu semiring dan dual produk pada matriks atas semiring. Penelitian dilanjutkan mengenai solusi terkecil pertidaksamaan A X B dengan membentuk dual pemetaan residuasi X 7→ A X. Setelah itu, dibuktikan mengenai karakteristik solusi dari pertidak-samaan A ⊗ X X B X. Dalam membahas mengenai karakteristik solusi dari pertidaksamaan A ⊗ X X B X, diperlukan pemahaman mengenai persamaan dan pertidaksamaan fixed point, maka ditinjau terlebih dahulu definisi dan sifat dari persamaan dan pertidaksamaan fixed point.
Dalam jurnal yang dibahas Hardouin dan Ouerghi membahas mengenai so-lusi terbesar dari pertidaksamaan A ⊗ X X B X dan X G namun disyaratkan matriks B entri - entrinya dalam grup reticulated. Hal ini dikarenakan adanya sifat distributif operasi pergandaan ⊗ terhadap operasi ∧ yang terjamin da-lam grup reticulated. Namun, dada-lam tesis ini telah didefinisikan operasi dual produk yang memiliki sifat distributif terhadap operasi ∧, maka syarat matrik B yang entri enentrinya dalam grup reticulated dapat diperlemah menjadi maentrik yang enentri -entrinya semiring idempoten lengkap.
1.5. Sistematika Penulisan
Untuk memperoleh deskripsi secara menyeluruh tentang tesis ini, berikut di-berikan sistematika penulisannya :
BAB I berisi latar belakang masalah, tujuan, dan manfaat penelitian, tinjauan pus-taka, metode penelitian, dan sistematika penulisan yang akan dilakuan dalam penu-lisan tesis.
BAB II berisi landasan teori yang dipergunakan sebagai alat untuk membahas BAB III. Landasan teori yang diberikan meliputi pengertian semiring idempoten leng-kap dan lattice lengleng-kap, pemetaan residuasi dan dual pemetaan residuasi dan sifat - sifatnya, pengertian pemetaan closure, serta matriks residuasi atas semiring idem-poten. Pembahasan pada landasan teori ini akan digunakan dalam pemahaman sifat
dual residuasi dari dual produk, solusi terkecil dari pertidaksamaan A X B dan solusi terbesar dari pertidaksamaan A ⊗ X X B X.
BAB III berisi bahasan dari penelitian yang dilakukan yaitu, solusi pertidaksamaan A ⊗ X B dengan A ∈ Sn×p dan X ∈ Sp×m, dual produk atas semiring dan
dual produk matriks atas semiring, syarat cukup agar pertidaksamaan A X B mempunyai solusi terkecil.
BAB IV berisi definisi fixed point suatu fungsi dan sifat persamaan dan pertidaksa-maan fixed point, pendefinisian operator Kleene Star dan sifat - sifatnya, karakte-ristik solusi pertidaksamaan A ⊗ X X B X mempunnyai solusi terbesar. BAB V berisi kesimpulan dari hasil penelitian ini dan saran untuk mengembangkan penelitian selanjutnya.
