TUGAS KULIAH PSBW ATOM HIDROGEN. Oleh : Komang Suardika JURUSAN PENDIDIKAN FISIKA FMIPA

TUGAS KULIAH

PSBW ATOM HIDROGEN

Oleh :

Komang Suardika

0913021034

JURUSAN PENDIDIKAN FISIKA FMIPA

UNIVERSITAS PENDIDIKAN GANESHA

S I N G A R A J A

Inti atom hidrogen

Elektron

PENERAPAN PSBW PADA ATOM HIDROGEN

I. FORMULASI UMUM

Sebuah atom hidrogen terdiri dari sebuah proton, partikel yang bermuatan listrik +e, dan sebuah elektron, partikel yang bermuatan –e. Massa proton mp jauh lebih besar dari massa elektron me, mp= 1836 me. Sehingga dilakukan suatu penyederhanaan dengan mengasumsikan bahwa proton diam di pusat koordinat dan elektron bergerak mengelilinginya di bawah pengaruh medan dan gaya coulumb. Dalam keadaan ini kita pandang kedua partikel proton dan elektron berotasi di sekitar pusat massa bersama yang berada di dekat pusat proton. Namun, sebenarnya yang terjadi inti dan elektron berputar di sekeliling pusat massanya yang terletak sangat dekat dengan inti karena massa inti jauh lebih besar dari elektron.

Sistem seperti ini ekuivalen dengan partikel tunggal bermassa m’ yang berputar disekeliling partikel yang lebih berat. Dalam teori Bohr koreksi gerak proton yang dilakukan dengan mengganti massa m dengan massa reduksinya m’ yang dinyatakan seperti persamaan berikut:

M m Mm m   ' _{………...……(1)}

Dengan m menyatakan massa elektron, M massa inti, dan m’ menyatakan massa tereduksi dari elektron karena harganya lebih kecil dari m.

Untuk memperhitungkan gerak inti dalam atom hidrogen, dapat dibayangkan bahwa elektron diganti oleh partikel yang bermassa m’ dan bermuatan –e. tingkat energi atomnya menjadi:

Gambar 1. Elektron dan inti sebuah atom hidrogen berputar pada pusat massa sistem

Sumbu

                     ₂1 2 2 2 4 ' 1 8 ' n E m m n h e m E o n _ ……….(2)

Gerak inti semua tingkat energi hidrogen berubah dengan fraksi:

99945 , 0 1837 1836 '     m M M m m

Karena proton dianggap diam, maka kontribusi energi sisten hanya diberikan oleh elektron yaitu energi kinetik sebesar:

m P m v m mv K 2 2 2 1 2 2 2 2    ………(3)

Energi potensial yang dimiliki elektron dalam atom hidrogen adalah energi potensial listrik sebesar: ) 4 ...( ... ... ... ... ... ... ... 4 0 2 2 r e V r ke V     

Maka energi total sistem adalah:

) 5 ..( ... ... ... ... ... ... ... 4 2 0 2 2 r e m P E V K E     

Apabila kedua ruas pada persamaan (5) sama-sama dikalikan dengan fungsi gelombang () akan menghasilkan persamaan:

     r e m p E 0 2 2 4 2  ………(6) Karena: ₂ 2 2 2 x p     

  , maka persamaan (6) menjadi:

) 7 ...( ... ... ... ... ... 4 2 4 2 0 2 2 2 2 0 2 2 2 2                 r e x m E r e x m E    

Dalam tiga dimensi Persamaan Schrodinger menjadi:

                      r e z y x m E 0 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2   ………(8) Dimana            z k y j x i

. _.2                              z k y j x i z k y j x i ₂ 2 2 2 2 2 2           z y x ……….………(9)

Dengan mensubstitusikan persamaan (9) ke persamaan (8) maka diperoleh:

       r e m E 0 2 2 2 4 2   ……….(10)

Sehingga Persamaan Schrodinger untuk atom hidrogen (pada tiga dimensi) adalah: ) ( 4 ) ( 2 ) ( 0 2 2 2 r r e r m r E          

II. PENERAPAN UNTUK POTENSIAL BERSIMETRI BOLA

Persamaan Schrodinger Bebas Waktu (PSBW) untuk elektron dalam atom hidrogen merupakan PSBW dalam tiga dimensi yang dirumuskan sebagai berikut:

) ( ) ( ) ( ) ( 2 2 2 r E r r V r m             ……….(11)

Kedua ruas pada persamaan (11) sama-sama dikalikan 2₂

 m  ,sehingga diperoleh:



( )



( ) 0...(12) 2 ) ( 0 ) ( 2 ) ( ) ( 2 ) ( ) ( 2 ) ( ) ( 2 ) ( 2 2 2 2 2 2 2 2                     r r V E m r r E m r r V m r r E m r r V m r                

Substitusikan persamaan (9) ke persamaan (12) maka:



( )



( ) 0...(13) 2 2 2 2 2 2 2 2                r r V E m z y x   

Karena V merupakan fungsi dari r dengan komponen r adalah x,y,z sehingga persamaan (11) dapat dinyatakan dalam koordinat polar berbentuk bola yaitu r,, yang didefinisikan seperti pada gambar berikut.

Vektor posisi partikel dinyatakan dengan komponen vektornya yaitu: r xx yy zz       .

r merupakan panjang vektor jari-jari dari titik asal O ke titik P yang besarnya

2 2 2 z y x r    dengan:      cos sin sin cos sin r z r y r x   

Persamaan Schrodinger untuk elektron dalam tiga dimensi yang harus dipakai untuk persoalan atom hidrogen adalan persamaan (13), sehingga dalam simetri bola menjadi:











( )



( ) 0...(14) 2 ) (cos ) cos sin ( ) cos (sin 0 ) ( ) ( 2 ) cos ( ) cos sin ( ) cos sin ( 0 ) ( ) ( 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2                                              r r V E m r r r r r V E m r r r r r V E m z y x                    Substitusikan besar r e V 0 2 4 

 ke persamaan (14) sehingga diperoleh:

Gambar 2. Vektor posisi titik partikel P dalam koordinat polar berbentuk bola y  y θ r z x y x

0 ) ( 4 2 ) (cos ) cos sin ( ) cos (sin ₀ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2                      r r e E m r r r        

III. TRANSFORMASI PERSAMAAN SCHRODINGER KE DALAM KOORDINAT BOLA

Gambar berikut menunjukkan koordinat polar yang berbentuk bola di r,, suatu titik P

y x z x y    ˆ ˆ rˆ ˆ z r P

Karena sistem atom hidrogen mempunyai simetri bola, analisis menjadi lebih sederhana jika operator 2 dinyatakan dalam koordinat bola r,,.

Berdasarkan gambar 3 di atas diperoleh bahwa:

) 15 ....( ... ... ... ... ... ... ... cos sin sin cos sin cos         r x r x r x      ) 16 ...( ... ... ... ... ... ... ... sin sin sin sin sin sin         r y r y r y      ) 17 ...( ... ... ... ... ... ... ... ... cos cos   r z r z  

dengan r  x2  y2 z2

Gerak dalam koordinat bola adalah:

                                  sin cos sin cos cos sin cos sin cos sin cos ) 90 ( cos ) 90 ( sin cos sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin sin cos                                       _                  _      z y x z y x z z z y x r z y x r z r y x 

tegak lurus dengan perputaran , sehingga:

                  sin cos sin sin ) cos sin sin sin cos ( sin cos ) 90 sin( ) 90 cos(                                 y x r z y x d d r y x y x ) 18 ( ... ... ... ... ... ... ... ... ... sin sin cos sin                     _{ }    r y x r ) 19 ..( ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... cos cos sin cos cos ) cos cos sin sin cos (                                       r z y x r z y x d d r

) 20 ...( ... ... ... ... ... ... cos ) cos sin ( cos cos cos sin ) cos cos sin cos cos (                                              y x y x z y x ) 21 ...( ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... cos cos sin sin cos cos cos sin sin cos ) cos cos sin cos cos (                         _{ }                 r z y x z y x z y x                         ) 22 ...( ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ) sin cos ( sin cos ) sin cos (                                                y x y x y x ) 23 ....( ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 0 ) sin cos (                      y x ) 24 ...( ... ... ... ... ... ... ) , , (       d d dr r d r                            r rd dr r r d r r d r d r r r ) (

) 25 ( ... ... ... ... ... ... ... ...              _r r r r dr r r d

Dengan mensubstitusi persamaan (18) dan (19) pada persamaan (25), sehingga didapatkan: ) 26 .( ... ... ... ... ... ... sin                       r r d r d r dr r r d     

Dengan mensubstitusikan persamaan (24) dan (25) ke persamaan (26), sehingga didapatkan: ) 25 ...( ... ... ... sin sin .         _{ }                         _{ }                                     d r d r dr r d d dr r d r d r dr r d d dr r

Persamaan (25) harus dipisahkan dengan sparasi variabel akan menjadi:

) 26 ...( ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ) ( r r r dikali ruas kedua r r r dr r dr r                 ) 27 .( ... ... ... ... ... ... ... ... ... 1 ) (                          r dikali ruas kedua r d d r ) 28 ...( ... ... ... ... ... ... ... ... sin 1 ) ( sin sin                             r dikali ruas kedua r d d r

Sehingga, operator del untuk koordinat bola dapat dirumuskan dengan persamaan sebagai berikut:                  . . sin 1 1 2      r r r r                                                                       sin 1 sin 1 1 1 sin 1 1 sin 1 1 2 2 r r r r r r r r r r r r r r r ) 29 ( ... ... ... sin 1 sin sin 1 1 sin 1 sin sin 1 1 sin 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2                                                                                       r r r r r r r r r r r r r

Dalam koordinat bola, PSBW (6) dapat ditulis sebagai berikut:

) 30 ...( 0 4 2 sin 1 sin sin 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2                                     r e E m r r r r r r    o    

Dengan mengalikan kedua ruas pada persamaan (25) dengan r2sin2, maka diperoleh:

















0 4 2 sin sin 1 sin sin sin 1 sin 1 sin 0 4 2 sin 1 sin sin 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2                                                                           r e E m r r r r r r r r r r r e E m r r r r r r o o                     atau ) 31 ...( 0 4 sin 2 sin sin sin 2 2 2 2 2 2 2 2                                     r e E mr r r r _o        

Persamaan ini merupakan transformasi persamaan Schrodinger bebas waktu dalam sebuah atom hidrogen koordinat bola.

IV. SPARASI VARIABEL

Persamaan transformasi persamaan Schrodinger bebas waktu dalam sebuah atom hidrogen koordinat bola:

0 4 sin 2 sin sin sin 2 2 2 2 2 2 2 2                                     r e E mr r r r _o        

Merupakan persamaan differensial untuk fungsi gelombang dari elektron dalam atom hidrogen. Jika fungsi dinyatakan dengan:



 





     

   r, , Rr Maka: ) 32 ...( ... ... ... ... ... ... ... 2 2 2 2 2 2       d d R R d d R R dr dR r R r                               

dengan mensubstitusikan persamaan (32) ke persamaan (31), maka akan diperoleh persamaan sebagai berikut:

) 33 ...( ... ... ... ... ... ... 0 4 sin 2 sin sin sin 2 2 2 2 2 2 2 2                                        R r e E mr R R r R r r o         

Jika persamaan (33) dibagi dengan R, diperoleh:

) 34 ...( 0 4 sin 2 1 sin sin sin 2 2 2 2 2 2 2 2                              r e E mr d d d d d d r R r dr d R _o         Persamaan ₂ 2 1  d d 

 dibawa ke ruas kanan, karena hanya persamaan ini yang terdiri dari

satu variabel. ) 35 ...( 1 4 sin 2 sin sin sin 2 2 2 2 2 2 2 2         d d r e E mr d d d d r R r dr d R o                              

Ruas kanan dan ruas kiri pada persamaan (35) merupakan fungsi yang berbeda. Persamaan tersebut akan bernilai benar jika dan hanya jika kedua ruas merupakan sebuah tetapan yang sama, misalkan tetapan tersebut m12 yang besarnya adalah:

1 _{2 1}2...(36) 2 m d d  _   

Dengan mensubstitusikan persamaan (36) ke persamaan (35), dan memindahkan yang satu variabel ke ruas kanan maka diperoleh:

) 37 .( ... sin sin 4 sin 2 sin 2 1 2 2 2 2 2 2                                   d d d d m r e E mr r R R dr d R  _o

Jika kedua ruas pada persamaan (37) dibagi dengan 2

sin , maka diperoleh:

) 38 ...( ... ... sin sin sin 4 2 1 2 2 1 2 2 2 2                                 d d d d m r e E mr r R r dr d R  _o

Ruas kanan dan kiri pada persamaan (38) merupakan fungsi yang berbeda. Persamaan tersebut akan benar jika dan hanya jika kedua ruas merupakan sebuah tetapan yang sama, misalkan tetapan tersebut adalah l(l1), sehingga diperoleh dua persamaan berikut.

1. sin

 

1 sin 1 sin2 2           l l d d d d m l       ...(39) 2.

 

1 4 2 1 0 2 2 2 2                 l l E r e mr dr dR r dr d R   ...(40)

Persamaan (39) juga dapat diubah menjadi:

) 41 .( ... ... ... ... ... ... ... ... 0 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2             l l l m d d m d d m d d   

Persamaan (41) merupakan persamaan untuk

Persamaan (39) yaitu: sin

 

1

sin 1 sin2 2           l l d d d d m l     

 dapat diubah menjadi:

 

 

 

0...(42) sin 1 sin sin 1 sin 1 sin sin 1 sin 1 sin sin 1 2 2 2 2 2 2                                                                l l l m l l d d d d m l l d d d d m l l d d d d

Persamaan (42) merupakan persamaan untuk 

Persamaan (40) yaitu:

 

1 4 2 1 0 2 2 2 2                 l l E r e mr dr dR r dr d R  

Dapat diubah dengan mengalikan persamaan di atas dengan 2 r

 

0 1 4 2 1 2 0 2 2 2 2        _                R r l l E r e m dr dR r dr d r   ...(43)

Persamaan (43) menunjukkan aspek radial dari gerak elektron yaitu gerak yang mendekati atau menjauhi inti. Energi total elektron pada persamaan tersebut mencakup energi kinetik gerak orbital yang tidak berhubungan langsung dengan gerak radial. Oleh karena itu, energi kinetik elektron tersebut harus terdiri dari dua bagian yaitu:

a. K_radial yang ditimbulkan oleh gerak elektron mendekati atau menjauhi inti dan b. K_orbital yang ditimbulkan oleh gerak elektron mengelilingi inti.

Sedangkan energi potensial elektron adalah energi listrik seperti persamaan (4). Jadi energi total elektron adalah:

) 44 ...( ... ... ... ... ... ... 4 ₀ 2 r e K K E V K K E orbital radial orbital radial       

Dengan mensubstitusikan persamaan (44) ke persamaan (43), maka diperoleh persamaan: 0 ) 1 ( 4 4 2 1 2 0 2 0 2 2 2 2        _                  R r l l r e K K r e m dr dR r dr d r   radial orbital 





0 2 ) 1 ( 2 1 2 2 2 2 2        _{ }         R mr l l K K m dr dR r dr d r radial orbital   ………..(45)

Persamaan (45) tersebut benar, jika dan hanya jika harga :

 

0 2 1 2 2    mr l l Korbital  , sehingga persamaan





0 2 ) 1 ( 2 1 2 2 2 2 2        _{ }         R mr l l K K m dr dR r dr d r radial orbital 

 hanya sebagai fungsi

R(r) saja.

 

0 2 1 2 2    mr l l K_orbital  ……….(46)

 

2 2 2 1 mr l l K_orbital    ………..(47)

Energi kinetik orbit elektron dirumuskan dengan persamaan: orbital orbital mv K 2 2 1  ………(48)

r m  v  r r r  p  r r elektron  L ) 49 ...( ... ... ... ... ... ... ... 2 ) ( 2 1 2 2 2 2 2 2 mr r mv K r r m v m K orbital orbital orbital orbital   Di mana: mvr rmv v m x r p x r L         0 90 sin ) ( Arah 

v searah dengan arah



p

Gambar 4.

Sehingga persamaan (49) dapat diubah ke dalam bentuk momentum sudut yaitu:

₂

2

2mr

L

K_orbital  ………(50)

Dengan mensubstitusikan persamaan (47) ke persamaan (50) diperoleh persamaan:

 

 

 

1 ...(51) 1 2 2 1 2 2 2 2       l l L l l L mr L mr l l   

Jadi momentum sudut elektron terkuantisasi dalam bilangan kuantum orbital dan kekal. Dengan demikian, persamaan Schrödinger dapat menyempurnakan teori atom Bohr. Ada kejanggalan pada kuantisasi momentum sudut yang diperoleh Bohr. Bohr menyatakan kuantisasi tersebut dalam bilangan kauntum utama (n). Bilangan kuantum utama yang seharusnya digunakan untuk menyatakan tingkat tenaga digunakan untuk

X _

menyatakan momentum sudut. Schrödinger dapat memperbaiki kejanggalan tersebut karena mampu menyatakan kuantisasi momentum sudut dalam bilangan kuantum orbital.

Berdasarkan asas kesepadanan yang menyatakan bahwa akan terjadi kesepadanan antara fisika klasik dan fisika kuantum untuk limit bilangan kuantum yang besar maka kuantisasi momentum sudut Bohr akan sama dengan kuantisasi momentum sudut yang diperoleh Scrödinger untuk bilangan kuantum orbital yang maksimum yaitu harga l =n-1,

maka persamaan (51) akan menjadi





  n n L n n L     2 1

Karena nilai l maksimum, maka otomatis nilai n sangat besar sehingga:

 

) 52 ...( ... ... ... ... ... ... ... ... ... 2 2 2   n L n L n n n    

Dengan demikian, terbukti bahwa untuk limit bilangan kuantum yang besar, teori kuantum mendekati teori klasik. Sehingga untuk n>1 akan memberikan hasil Lnyang mendekati nilai momentum sudut menurut model atom Bohr . Inilah yang disebut dengan asas perpadanan Bohr, yang menyatakan bahwa untuk bilangan kuantum utama yang besar, teori kuantum mendekati teori klasik.

V. BILANGAN KUANTUM

PersamaanLnmenunjukkan kelemahan model atom Bohr yang mempostulatkan bahwa momentum sudut elektron terkuantisasi dalam bilangan kuantum utama. Akan tetapi bila harga l 



n1



, maka persamaan (52) akan menjadi:





  n n L n n L     2 1

Sehingga untuk n>>, n2 nn2 maka akan memberikan hasil L n2n. yang mendekati nilai momentum sudut menurut model atom Bohr, yang menyatakan bahwa untuk bilangan kuantum utama yang besar, teori kuantum mendekati teori klasik. Penyelesaiaan dari persamaan m l

d d 2 2 2     adalah: 

 

 eim...(53)

Karena 



r,,



harus bernilai tunggal maka 

 

 juga harus bernilai tunggal. Oleh sebab itu 

 

 haruslah memenuhi syarat 



 0







2



, sebab keduanya nilai  menyatakan titik yang sama. Berdasarkan syarat ini maka nilai m1 haruslah merupakan

bilangan bulat (positif atau negatif) atau nol. Jadi m10,1,2,...

Selanjutnya persamaan

 

0 sin 1 sin sin 1 2 2                  _      l m l l d d d d

dapat diubah menjadi:

 

) 54 ...( ... ... ... ... ... ... 0 sin tan 1 0 sin 1 tan 1 2 2 2 2 2 2 2 2                                     l l m d d d d m l l d d d d dimana: l

 

l1

Untuk mendapatkan penyelesaian persamaan ini maka persamaan diferensial tersebut diubah dengan mengubah variabel  menjadi  berdasarkan definisi:

  cos Sehingga:

 

 

1 2 ...(55)      d d d d dan F    

Dengan menggunakan variabel pada persamaan (55) maka persamaan:

0 sin tan 1 2 2 2 2                   l m d d d d

Dapat diubah menjadi:





0 1 1 ₂ 2 1 2           _ F F m d dF d d _     ...(56)

Kita mulai dengan menggunakan m1=0, kemudian kita selesaikan untuk m1 0.

Untuk m1 0, akan diperoleh:



1 2



_ 0      _ F d dF d d _    ………(57)

Penyelesaian persamaan ini dinyatakan dengan deret pangkat

 



  0 k k k a F   , dengan

koefisien a memenuhi hubungan rekursi: k k

_



_



_

ak k k k k a 2 1 1 2        ………(58)

Deret pangkat

 



  0 k k k a

F   merupakan deret divergen untuk  1 . Karena  1 merupakan nilai yang mungkin dimiliki  , mengingat  cos , maka deret ini harus dipaksa berhenti sampai titik tertentu, misalnya sampai suku berpangkat l. Jadi deret pangkat

 



  0 k k k a

F   harus dibatasi menjadi polinom

 



  l k k k a F 0   , dengan ,... 3 , 2 , 1 , 0 

l Penghentian tersebut dapat dilakukan dengan menetapkan nilai

 sedemikian rupa sehingga pembilang persamaan _k

_



_



_

a_k k k k k a 2 1 1 2 _{ }      bernilai nol. Berdasarkan hubungan rekursi tersebut, untuk menghentikan deret sampai suku berpangkat l, nilai harus memenuhi hubungan  l

 

l1 dan a0 = 0 untuk l ganjil dan a1=0 untuk l

genap untuk menjamin deret tidak divergen.

 

_

  l k k k a F 0   , dengan l 0,1,2,3,... dan











k k a k k k k a 2 1 1 2 _{ }      merupakan polinom Legendre. Untuk mendapatkan polinom Legendre yang ternormalkan maka cara lainnya adalah dengan menggunakan rumus:

 

_{l l}





l d d l P 1 ! 2 1 2 1   _   ……….(59)

Beberapa contoh polinomnya adalah:

 

 

 





 





 



     3 5 2 1 1 3 2 1 1 3 3 2 2 1       P P P P_o

 





 





  



   15 70 63 8 1 3 30 35 8 1 3 5 5 2 4 4       P P Mengingat



1 2



_ 0       F d dF d d _  

 merupakan polinom Legendre berorde l, dengan l

memenuhi hubungan  l

 

l1 , maka



1 2



_ 0

      F d dF d d _  

 dapat diubah ke dalam



1 2



1( ) 

 

1 ₁( )0       _{ }     d l l P dP d d ………(60)

Untuk mendapatkan penyelesaian





0

1 1 ₂ 2 1 2            m F F d dF d d _     untuk

semua m1, kita perhatikan suatu polinom 1 1

 



m P berdasarkan rumus:

 





 







₂



2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 ! 2 1 1 2 1           _lm  m l m l l m m m m d P d l d P d P m ……….(61) 1 1  m

dengan dan merupakan penyelesaian dari:





0 1 1 ₂ 2 1 2            m F F d dF d d _     , Jika l

 

l1

Sehingga P₁m() merupakan penyelesaian dari persamaan





0 1 1 ₂ 2 1 2            m F F d dF d d _     .

Sebelumnya kita dapat l 0,1,2,3,... dan untuk harga yang sangat besar terpenuhi hubungan l 



n1



, selanjutnya m1 l, dan m10,1,2,...

Dari persamaan: 0 sin tan 1 2 2 2 2                   l m d d d d

Dengan memasukkan nilai m1 dengan –m1, ternyata persamaan tersebut tidak berubah,

sehingga dari sini berarti harga m1 boleh negatif dan m1 l berubah menjadi l m l atau l m₁    ₁  .

Berdasarkan paparan diatas kita peroleh selain bilangan kuantum utama n, ada l = 0, 1, 2, 3,….n-1 dan m1 yang nilainya lm1l . Bilangan kuantum l biasa disebut

dengan bilangan kuantum utama orbital dan m1 biasa disebut dengan bilangan kuantum

magnetik.

1. Bilangan Kuantum Magnetik

Solusi persamaan ₂ 2 0 2     l m d d  adalah:   ₍_{) Ae}iml ………(62)

dengan A adalah konstanta konstanta integrasi. Telah diketahui bahwa salah satu persyaratan fungsi gelombang – jadi juga  merupakan komponen dari fungsi gelombang

lengkap - yang harus dipenuhi ialah fungsi itu harus berharga tunggal pada setiap titik dalam ruang.

Darigambar jelas terlihat bahwa dan 2 mengidentifikasi bidang meridian. Jadi fungsi itu harus memenuhi:

) 2 ( ) (     ...(63) atau: ) 2 (   _ l l im m i Ae Ae ………..(64)

Persamaaan x berlaku bila ml ialah 0 atau bilangan bulat positif atau negatif (±1, ±2, ±3...).

Konstanta ml dikenal sebagai bilangan kuantum magnetik atom hidrogen.

2. Bilangan Kuantum Orbital Persamaan differensial: 0 sin ) 1 ( sin sin 1 2 2                          l m l l d d d d ...(65) Untuk = () dapat dipecahkan jika konstanta l merupakan bilangan bulat yang lebih besar dari m_l , harga mutlak dari ml. Persyaratan ini dapat dinyatakan sebagai syarat untuk

ml dalam bentuk:

ml = 0, ±1, ±2, ..., ±l

konstanta l dikenal dengan bilangan kuantuk orbital. Z Y X 0 P z y x r θ Φ

Gambar 5. komponen dari fungsi gelombang lengkap dan harus berharga tunggal pada setiap titik dalam ruang.

3. Bilangan Kuantum Utama Pemecahan persamaan: 0 ) 1 ( 4 2 1 2 0 2 2 2 2                        R r l l E r e m dr dR r dr d r   ...(66) Untuk bagian radial R(r) fungsi gelombang atom hidrogen  memerlukan persyaratan tertentu yang harus dipenuhi. Persyaratan tersebut adalah E harus positif atau memiliki salah satu harga negatif En (menyatakan bahwa elektronnya terikat sebagaiatom)

ditentukan oleh: ... 3 , 2 , 1 1 32 2 1 2 2 2 0 2 2           dengan n n E n me E_n    ...(67)

Persamaan (67) sama dengan tingkat energi atom hidrogen yang diperoleh Bohr. Syarat lain yang harus dipenuhi dalam pemecahan persamaan (66) adalah bahwa n yang dikenal sebagai bilangan kuantum utama harus sama atau lebih besar dari l + 1. Persyaratan ini dapat dinyatakan sebagai persyaratan yang dikenal pada l dalam bentuk:

l = 0,1,2,3...,(n-1)

dengan demikian dapat dibuat ketiga bilangan kuantum n, l, dan m bersama dengan harga yang diizinkan sebagai berikut:

Bilangan kuantum utama n = 1, 2, 3, ...

Bilangan kuantum orbital l = 0, 1, 2,….., (n-1)

Bilangan kuantum magnetik m = 0, ±1, ±2,....±l

Untuk menunjukkan hubungan kebergantungan R, ,dan pada bilanagn kuantum n, l,

m tuliskan fungsi gelombang elektron sebagai berikut:

l l m m l nl R    

Tabel Fungsi Gelombang Ternormalisasi Dari Atom Hidrogen Untuk N =1, 2 Dan 3

n l m ₍₎ ₍₎ R(r) _(r,_,₎ 1 0 0 _{1/ 2 1/ 2} e-r/ao 2/ao 3/2 _e-r/ao

(1/ x ao 3/2)

2 0 0 _{1/ 2 1/ 2 e}-r/2ao

(2-r/a0)(1/2 2 ao 3/2) e-r/2ao (1/4 2x ao 3/2) (2-r/a0)

2 1 0

e±iØ/ 2 6cos / 2 e-r/2ao r/ao (1/2 6 ao 3/2) e-r/2ao cos (1/4 2x ao 3/2) r/a0

2 1 _{1 1/ 2 3sin/ 2 e}-r/2ao

r/ao (1/2 6 ao 3/2) e-r/2ao sin e±iØ (1/8 x ao 3/2) r/a0

3 0 0 _{1/ 2 1/ 2} e-r/3ao (27-18r/a0+2 r/a02)

(2/81 3 ao 3/2) e-r/3ao (1/81 3x ao 3/2) (27-18r/a0+2 r/a02) 3 1 0 _{1/ 2 6cos / 2 e}-r/3ao (4/81 6 ao 3/2)(6-r/a0) r/a0 e-r/3ao ( 2/81 x ao 3/2) (6-r/a0) r/a0 cos  3 1 _{1 e}±iØ

/ 2 3sin/ 2 e-r/3ao (4/81 6 ao 3/2)(6-r/a0)

r/a0

e-r/3ao (1/81 x ao 3/2) (6-r/a0)

r/a0 cos  sin e±iØ

3 2 0 _{1/ 2}

(3cos2-1) 10/4 e-r/3ao (4/81 30 ao 3/2)r2/ a02 e-r/3ao (1/81 6x ao 3/2) (6-r/a0)

r2/a02 (3cos2-1)

3 2 _{1 e}±iØ

/ 2 sincos 15/2 e-r/3ao (4/81 30 ao 3/2)r2/ a02 e-r/3ao (1/81 x ao 3/2) (6-r/a0)

r2/a02 cos  sin e±iØ

3 2 _{2 e}±iØ

/ 2 sin2 15/4 e-r/3ao (4/81 30 ao 3/2)r2/ a02 e-r/3ao (1/162 x ao 3/2) (6-r/a0)

r2/a02 sin2 e±2iØ

VI. Formulasi Kuantisasi Momentum Sudut

Momentum sudut merupakan besaran vektor sehingga mempunyai besar dan arah. Dengan demikian formulasi kuantisasi momentum sudut dari elektron dalam atom hidrogen ada 2 yaitu kuantisasi besar momentum sudut, dan kuantisasi arah momentum sudut.

a. Formulasi kuantisasi besar momentum sudut

Dari metode pemisahan variabel untuk persamaan SchrÖdinger Bebas Waktu yang dinyatakan dalam koordinat bola untuk elektron dalam atom hidrogen diperoleh 3 persamaan differensial. Salah satu adalah persamaan untuk R sebagai berikut

0 ) 1 ( 4 2 1 2 0 2 2 2 2        _                R r l l E r e m dr dR r dr d r   (1)

Persamaan (1) menyatakan aspek radial dari gerak elektron yaitu gerak yang mendekati atau menjauhi inti. Namun energi total elektron mencakup energi kinetik gerak orbital yang tidak berhubungan langsung dengan gerak radial. Energi kinetik elektron tersebut terdiri dari dua bagian, yaitu:

1. Kradial yang ditimbulkan oleh gerak mendekati atau menjauhi inti, hal ini terjadi pada

atom hidrogen. Di mana pada atom hidrogen terdapat lintasan-lintasan elektron yang dikenal dengan kulit, misal K, L, M, seperti pada gambar di bawah ini

Gambar 6

Elektron-elektron tersebut akan mengelilingi inti pada lintasan tertentu. Elektron tersebut bisa pindah lintasan dari kulit luar ke kulit dalam yang disebut bertransisi (mendekati inti) atau dari kulit dalam ke kulit luar yang disebut tereksitasi (menjauhi inti).

2. Korbital yang ditimbulkan oleh gerak mengelilingi inti. Energi potensial V dari elektron

adalah energi listrik. Jadi energi total elektron adalah:

r e V 0 2 4   (2)

Sehingga energi total dari elektron adalah

V K K E _radial _orbital r e K K E radial orbital 0 2 4    (3)

Dengan memasukan nilai dari energi total elektron yang dinyatakan dengan persamaan (3) pada persamaan differensial untuk R yang dinyatakan dengan persamaan (1) maka:

0 ) 1 ( 4 4 2 1 2 2 2 2 2 2        _                  R r l l r e K K r e m dr dR r dr d r   radial orbital  K L M e v





( 1) 0 2 1 2 2 2 2      _{ }         R r l l K K m dr dR r dr d r  radial orbital





0 2 ) 1 ( 2 1 2 2 2 2 2        _{ }         R mr l l K K m dr dR r dr d r radial orbital   (4)

Jika persamaan differensial untuk R(r) hanya mengandung fungsi dari vektor radius (vektor jari-jari) r saja, maka

 

0 2 1 2 2    mr l l K_orbital  Sehingga diperoleh

 

2 2 2 1 mr l l K_orbital   (5)

Energi kinetik orbital dari elektron dirumuskan dengan persamaan orbital orbital mv K 2 2 1  (6)

Jika energi kinetik orbital elektron dinyatakan dalam momentum sudut elektron maka

2 2 2 2 2mr r v m K_orbital  orbital 2 2 2 ) ( mr r mv K orbital orbital  (7) Di mana momentum sudut elektron dapat ditentukan melalui gambar serta analisis berikut.

Gambar 7.

di mana arah

r

(jari-jari atom) cenderung keluar dan

p

(momentum) searah dengan

v

(kecepatan). Sehingga :

p r

L 

Dari persamaan Lrp di atas, kita bisa mengetahui bahwa arah L keluar (mendekati

r

Inti Elektron Fs Fe

r

p

v m p dengan p x r

L   dimana p adalah momentum linier



rxv



m L v m x r L  

Karena r v , hal ini disebabkan karena kecepatan tangensial (kecepatan singgung) berimpit dengan garis singgung.

mrv L mrv L   sin90

dengan Lmvr, maka persamaan (7) dapat diubah ke dalam bentuk momentum sudut dengan momentum sudut elektron L dinyatakan dengan persamaan

r mv L _orbital yaitu: 2 2 2mr L K_orbital (8)

Dari persamaan energi kinetik orbital menurut persamaan (5) dan (7) diperoleh

 

2 2 2 2 2 2 1 mr L mr l l   

 

2 2 1 L l l   

 

1  l l L  (9)

Persamaan (9) merupakan formulasi kuantisasi besar momentum sudut yang ditentukan oleh harga bilangan kuantum orbital, dimana harga bilangan kuantum orbital ini terbatas pada l = 0, 1, 2, . . . , (n-1).

Jika diperhatikan persamaan (9) dan dibandingkan dengan perumusan klasik dari teori atom Bohr maka juga akan berlaku asas perpadanan dalam fisika yaitu perumusan fisika kuantum yang mendekati perumusan fisika klasik. Untuk bilangan kuantum orbital yang sangat besar yaitu harga l = n-1, maka persamaan (9) akan menjadi

 









n n L n n L n n L l l L           2 ) ( 1 1 1 ) 1 ( 1    

Karena nilai l sangat besar, maka otomatis nilai n juga sangat besar (n2 n

) sehingga 2 2 n n n  

 

2  



n

L (10)

Dengan demikian, persamaan Scrödinger dapat menyempurnakan teori atom Bohr. Namun, ada beberapa keganjilan dalam perumusan momentum sudut elektron yang terkuantisasi tersebut.

1. Keganjilan yang pertama berkaitan dengan bilangan kuantum (n) yang digunakan dalam perumusan. Bilangan kuantum utama (n) menyatakan energi total elektron (tingkat energi elektron). Keganjilan ini, nantinya diperbaiki oleh persamaan schrodinger yang mempunyai solusi yang menunjukkan bahwa besarnya momentum sudut orbital sebuah elektron dalam sebuah atom berelektron tunggal tidak memiliki nilai tunggal (nħ) seperti yang dipostulatkan Bohr. Sebagai gantinya untuk suatu bilangan kuantum utama n, terdapat n buah nilai yang mungkin dari momentum sudut yang dirumuskan dengan

 

1

 l l L

dengan l adalah sebuah bilangan bulat yang disebut bilangan kuantum utama momentum sudut orbital bernilai 0,1,2,3,...,(n-1). Dengan demikian, elektron hanya memiliki momentum sudut tertentu yang ditentukan oleh persamaan di atas.

2. Keganjilan kedua berkaitan dengan penurunannya yang masih menggunakan kaidah Fisika klasik. Salah satu kelemahan dari teori atom Bohr adalah pada postulatnya yang masih berpijak pada pandangan klasik yaitu elektron yang mengitari proton dalam gaya Coulomb dan sesuai dengan Hukum Newton. Sehingga teori ini dapat dikatakan bersifat semi klasik. Disamping itu, teori atom Bohr dalam kondisi tertentu dapat berperilaku klasik, jika orbit elektron demikian besar sehingga dapat diukur secara langsung. Hal ini yang mengakibatkan efek kuantum akan tersembunyi. Menurut persamaan frekuensi foton yang dipancarkan dalam transisi berikut ini

             1 1₂ 1₂ i f f i n n h E h E E v

atom hidrogen yang jatuh dari tingkat energi ke ni ke tingkat energi nf memancarkan

foton berfrekuensi            1 1₂ 1₂ i f n n h E v

Misalkan n untuk bilangan kuantum awal ni dan n-p (dengan p = 1,2,3,…) untuk









_                   ₂ 2 2 2 2 1 1 1 2 p n n p np h E n p n h E v

Kemudian, bila ni dan nf keduanya sangat besar, maka n jauh lebih besar dari pada p,

dan





2 2 2 2 2 n p n np p np     Sehingga         1 2₃ n p h E v

Bila p=1, frekuensi radiasi v tepat sama dengan frekuensi perputaran f dari elektron

orbital yaitu                1 ₃ 3 3 2 0 4 2 2 8 h n E n h me f

 . Harmonik dari frekuensi ini dipancarkan

ketika p = 2,3,4,…. Jadi, kedua gambaran kuantum dan gambaran klasik atom hidrogen membuat ramalan yang sama dalam limit bilangan kuantum yang sangat besar. Ini menunjukkan bahwa teori atom Bohr masih berperilaku klasik (semi klasik).

3. Keganjilan ketiga berkaitan dengan pelanggaran terhadap asas ketidakpastian Heisenberg (walaupun asas ketidakpastian dikemukakan satu dasawarsa setelah model atom ini diungkapkan). Hubungan ketidakpastian px≥ħ berlaku untuk semua arah

dalam ruang. Jika dipilih arah radial maka pr ≥ħ. Untuk sebuah elektron yang

beregrak dalam orbit lingkaran maka nilai r-nya diketahui secara pasti sehingga Δr = 0. Jika bergerak dalam lingkaran, maka momentum (p) dapat pula diketahui secara pasti. Megetahui r dan p sekaligus secara pasti berarti melanggar asas ketidakpastian.

Bohr menyatakan kuantisasi tersebut dalam bilangan kauntum utama (n). Bilangan kuantum utama yang seharusnya digunakan untuk menyatakan tingkat tenaga digunakan untuk menyatakan momentum sudut. Scrödinger dapat memperbaiki kejanggalan tersebut karena mampu menyatakan kuantisasi momentum sudut dalam bilangan kuantum orbital.

Persamaan (10) merupakan persamaan momentum sudut berdasarkan teori klasik model atom Bohr. Dari sini terlihat adanya asas perpadanan perumusan fisika klasik dan fisika kuantum untuk kuantisasi besar momentum sudut untuk nilai bilangan kuantum orbital yang sangat besar yaitu l = n- 1.

Momentum sudut merupakan besaran vektor sehingga selain mempunyai besar, momentum sudut juga mempunyai arah. Besarnya momentum sudut (L) ditentukan oleh bilangan kuantum orbital ( l ), sedangkan arah momentum sudut (L) ditentukan oleh bilangan kuantum magnetik (ml). Jadi, bilangan kuantum magnetik (ml) memberikan spesifikasi arah L dengan menentukan komponen L dalam arah medan magnet. Misalnya diambil arah medan magnetik sejajar dengan sumbu z seperti terlihat pada gambar di bawah.

Gambar 8. Aturan tangan kanan untuk momentum sudut Momentum sudut sebagai besaran vektor dinyatakan dengan persamaan

p x r L   m v x r L   Gambar. 9

Jadi dari gambar. 1 terlihat bahwa jika arah gerak elektron sepanjang sumbu mendatar atau pada bidang meridian maka arah vektor L tegak lurus dengan arah gerak elektron yaitu mengarah ke atas atau sejajar dengan sumbu z. Spesifikasi arah dari momentum sudut elektron ini ditentukan oleh bilangan kuantum magnetik ml. Gejala ini sering diacu sebagai kunatisasi ruang dari momentum sudut elektron. Kuantisasi arah yang dibahas menjadi kuantisasi ruang karena elektron bergerak dalam 3 dimensi yaitu yang dinyatakan dengan koordinat bola.

Berikut ini disajikan dua contoh kuantisasi ruang untuk nilai bilangan kuantum orbital (l ) yang berbeda.

1. Untuk l = 2

v r

a. Jumlah orientasi ruang yang mungkin untuk l2 adalah

 

2 1 5

2 1

2l   

b. Besar momentum sudutnya adalah

 





    6 6 1 2 2 1       L L L l l L c. Untuk l 2, ml 0,1,2   2 2     _{z l} l L m m       z l l L m m 1 0 0    z l l L m m      _{z l} l L m m 1   2 2    z l l L m m

d. Gambar orientasi ruangnya adalah

Gambar. (Kuantisasi ruang momentum sudut. Di sini bilangan kuantum orbital l=2 sehingga terdapat 2l + 1 = 5 harga yang mungkin untuk bilangan kuantum magnetic

ml dengan masing-masing harga bersesuaian dengan orientasi yang berbeda relative terhadap sumbu z) z L 2  l

 

6 1      l l L   2    2  0 2   l m 1   l m 0  l m 1  l m 2  l m

2. Untuk l = 3

a. Jumlah orientasi ruang yang mungkin untuk l3 adalah

 

3 1 7

2 1

2l   

b. Besar momentum sudutnya adalah

 





    3 2 12 1 3 3 1       L L L l l L c. Untuk l 3, ml 0,1,2,3   3 3     _{z l} l L m m   2 2     z l l L m m       _{z l} l L m m 1 0 0    _{z l} l L m m      z l l L m m 1   2 2    _{z l} l L m m   3 3    z l l L m m

d. Gambar orientasi ruangnya adalah:

2  l m 3  l m 1  l m 3   l m 2   l m 1   l m 0  l m L L L L L L L  3  2  3      2  0

Gambar. Orientasi ruang untuk l = 3 Lz

Sebuah atom yang mempunyai karakteristik harga ml akan mengambil orientasi momentum sudut L yang bersesuaian relatif terhadap medan magnetic eksternal dalam suatu kejadian dalam medan itu sendiri. Terlihat bahwa L tidak dapat tepat terarah sejajar dengan B, karena Lz selalu lebih kecil dari besar momentum sudut total L l

 

l1 .

Jadi kuantisasi ruang momentum sudut elektron ditentukan oleh bilangan kuantum magnetik ml yang akan memberi spesifikasi arah L dengan menentukan komponen L dalam arah medan. Jika kita ambil arah medan-magnetik dalam sumbu z, komposisi L dalam arah itu diberikan dengan persamaan L_z m_l.

VII. Efek Zeman

Di lain pihak, teori yang dihasilkan dari persamaan Schrödinger telah mampu menjelaskan teori kuantisasi momentum sudut. Di mana menurut teori ini, dalam medan magnetik energi keadaan atomik tertentu bergantung pada harga m_l seperti juga pada n. Keadaan dengan bilangan kuantum total n terpecah menuju beberapa sub-keadaan jika atom itu berada dalam medan magnetik, dan energinya bisa sedikit lebih besar atau lebih kecil dari keadaan tanpa medan magnetik. Gejala itu yang menyebabkan “terpecahnya” garis spektrum individual menjadi garis-garis terpisah jika atom dipancarkan ke dalam medan magnetik, dengan jarak garis bergantung dari besar medan itu. Terpecahnya garis

spektra oleh medan magnetik atau suatu gejala di mana suatu tingkat energi akan terpecah menjadi beberapa subtingkat energi jika atom hidrogen ditempatkan dalam medan magnet luar, gejala inilah yang disebut dengan Efek Zeman.

Efek Zeman ada dua yaitu efek zeeman normal (nomalous zeeman effect) dan efek zeeman tidak normal (anomalous zeeman effect). Pada efek Zeeman normal, sebuah garis spektrum terpisah menjadi tiga komponen dan ini hanya terjadi pada atom-atom yang tidak memiliki spin. Namun tentu saja semua elektron memiliki spin, tetapi dalam beberapa atom tertentu dengan elektron banyak, spin-spinnya berpasangan dan saling menghapuskan, sehingga atom berperilaku sebagai yang tidak berspin. Namun dalam alam kita, di mana elektron memiliki spin, kita seharusnya tak hanya meninjau efek momen magnet orbital tetapi juga momen magnet spin sehingga pola pemisahan tingkat energi yang dihasilkan jauh lebih rumit, garis-garis spektrum dapat terpisah menjadi lebih daripada tiga komponen. Kasus inilah yang dikenal sebagai efek Zeeman tidak normal (anomalous zeeman effect).

. Dalam medan magnetik eksternal B, sebuah dwikutub magnetik mempunyai energi potensial Vm yang bergantung dari besar momen magnetik  dan orientasi momen ini terhadap medan seperti gambar di bawah ini.

Torka  pada sebuah dwikutub magnetik dalam sebuah medan magnetik berkerapatan fluks B adalah  Bsin . Di mana θ menyatakan sudut antara  dan B. Torka ini maksimum bila dwikutubnya tegak lurus medan, dan nol jika sejajar atau anti-sejajar terhadapnya. Untuk menghitung energi potensial Vm, mula-mula kita harus membuat konfigurasi acuan, di sini Vm berharga nol menurut definisi (karena hanya perubahan energi potensial saja yang dapat ditentukan secara eksperimental, pilihan konfigurasi acuan dapat diambil sembarang).

Untuk memudahkan kita ambil Vm = 0 jika θ = 900, yaitu jika  tegak lurus B. Energi potensial pada orientasi yang lain dari  sama dengan kerja eksternal yang harus dilakukan untuk memutar dwikutub dari θ0 = 900 ke sudut θ yang menentukan orientasinya

sehingga:



 0 90  d V_m ………(1)

Karena:  Bsin, maka persamaan (1) menjadi:

    





  0 90 0 90 sin d B V d V m m ) 2 ( ... ... ... ... ... ... ... ... ... cos sin 0 90      B V d B V m m   

_

θ  _B

Gambar. Sebuah dwikutub magnetic bermomen , membentuk sudut θ relatif terhadap medan magnetik B.

Jika  searah dengan B, maka Vm = -B, merupakan harga minimum. Hal ini merupakan

akibat wajar dari kenyataan bahwa dwi-kutub magnetik cendrung untuk menjajarkan diri dengan medan magnetik eksternal

Karena gerak magnetik elektron orbital dalam sebuah atom hidrogen bergantung dari momentum sudut L, besar dan arah L terhadap medan menentukan berapa besar sumbangan magnetik pada energi total atom jika terletak dalam medan magnetik Momen magnetik sebuah sosok arus (current loop) adalah  I A, dengan I menyatakan arus dan A menyatakan luas yang dilingkupinya. Sebuah elektron yang melakukan v putaran/s dalam orbit lingkaran berjari-jari r setara dengan arus –e (karena muatan elektron adalah –e) dan momen magnetiknya adalah:

er2………(3)

Kelajuan linear v dari elektron itu adalah 2r, sehingga momentum sudutnya menjadi:

2

2 m r

mvr

L    ………(4)

Dengan membandingkan rumus momen magnetis  dengan momentum sudut L maka diperoleh: ) 5 ...( ... ... ... ... ... ... ... ... ... 2 2 2 2 2 L m e m e L r m r e L                  

Persamaan (5) untuk elektron orbital ditunjukkan seperti berikut:

μ μ = IA luas = A (a) μ L (b) L m e         2 

•

-e v Gambar 5 B _B

Energi potensial magnetik sebuah atom dalam medan magnetik adalah  cos 2m LB e V_m        ... (1)

dan dari gambar di atas, kita lihat bahwa sudut  antara L dan arah z hanya boleh berharga tertentu yang ditetapkan oleh hubungan ,

 

1 cos   l l m_l  ... (2)

sedangkan harga L yang diizinkan adalah L  l

 

l1 ... (3) sehingga, untuk mendapatkan energi magnetik sebuah atom yang mempuyai bilangan kuantum magnetik ml jika atom itu terletak dalam medan magnetik B, maka kita masukkan rumus cos θ dan L, ke dalam cos

2m LB e V_m      

 , maka akan diperoleh:

B m B m e m V  _l )  _l_B 2 (  ... (4) Besaran m e 2

 _{dikenal sebagai magneton Bohr dengan lambang B = 9,27 x 10}-24

J/T. Bila atom hidrogen tadi tidak dikenakan pengaruh medan magnet, maka pada tingkat 2p akan memiliki energi sebesar E0. Sedangkan apabila atom hidrogen tersebut ditempatkan dalam pengaruh medan magnet, maka energi pada tingkat 2p akan sebesar Eo + V = E0 + ml B B. Ini berarti bahwa terdapat tiga macam energi pada tingkat itu yang tergantung pada nilai ml.

JIka atom dalam transisinya ke tingkat dasar memancarkan sebuah foton. Apabila medan magnet dihidupkan, maka ada tiga foton yang dipancarkan dan masing-masing foton memiliki energi yang berbeda. Panjang gelombang foton yang bersangkutan dapat dihitung dari hubungan E hc_.

B B B B ml = +1 ml = 0 ml = -1 l = 1; ml = 0, 1 Tanpa medan Dengan medan

Gambar. Pisahan zeman dari tingkat l = 1 dalam medan magnet luar. (efek momentum sudut spin elektron diabaikan). Energi dalam suatu medan magnet berbeda untuk nilai ml yang berbeda.

Jika ditinjau dari perubahan kecil dalam energi E, di mana E sama dengan BB yang mempengaruhi panjang gelombang. Dengan mendiferensialkan, diperoleh

  d

hc

dE   ₂ ………(5)

dan mengambil nilai mutlak diferensial kecilnya, maka diperoleh

dE hc 2     ……… (6)

Karena energi foton ada tiga maka terjadi tiga perubahan panjang gelombang foton yang dihasilkan.Gambar di bawah ini melukiskan ketiga transisi ini dan memperlihatkan panjang gelombang foton yang dipancarkan.

Gambar di atas adalah salah satu contoh dari efek Zeeman yaitu pemisahan sebuah panjang gelombang menjadi beberapa panjang gelombang bila dikenakan medan magnet.

Gambar. Efek Zeeman normal. Apabila medannya dihidupkan, panjang gelombang tunggal λ terpisah menjadi tiga panjang gelombang.

ml = +1

ml = 0

ml = -1

Tanpa medan Dengan medan

2p

1s

E E - B B E E + B B

VIII. Transisi Radiatif

Sesuai dengan model atom Bohr, elektron dibayangkan berputar mengelilingi inti dengan lintasan melingkar. Teori kuantum atom hidrogen memodifikasi ramalan langsung Bohr dengan 2 cara yaitu.

1. Tidak terdapat harga r,  ,  tertentu. Di sini hanya ada peluang relative untuk mendapatkan elektron pada berbagai tempat. Ketentuan ini ditimbulkan oleh sifat gelombang elektron,

2. Kita tidak bisa membayangkan elektron mengelilingi inti dalam arti konvensional. Karena kerapatan peluang  2 bebas waktu dan dapat berubah banyak dari suaru tempat ke tempat lain. Fungsi gelombang elektron  berubah terhadap bila bilangan kuantum total dan orbital mempunyai harga n dan l :

  R

dengan RR_nl(r)

menunjukkan bagaimana  berubah terhadap r bila bilangan kuantum total dan orbital mempunyai harga n dan l :

) ( l m   

menunjukkan bagaimana  berubah terhadap  bila bilangan kuantum orbital dan magnetik berharga l dan ml :

) ( l m   

menunjukkan bagaimana  berubah terhadap  bila bilangan kuantum megnetiknya ml,

maka kerapatan peluang  2 dapat ditulis sebagai berikut :

2 2 2 2 2     R R 

Kuadrat setiap fungsi yang kompleks diganti dengan hasil kali fungsi itu dengan konjugate kompleknya. Fungsi gelombang zimuth diberikan oleh :



  _Aeiml

( )

Kerapatan peluang azimut 2 adalah :

2 0 2 2 2 * A e ml eiml  A e  A      

sehingga peluang untuk mendapatkan elektron pada sudut azimut tertentu  merupakan konstanta yang tidak bergantung dari semua  seperti pada sudut  lain. Kerapatan