Komang Suardika, Jurusan Pendidikan Fisika Fisika Kuantum

(1)

1 I. Perpadanan Frekuensi Bohr

Model atom menurut Rutherford terdiri dari inti atom yang bermuatan positif dan masif serta dikelilingi pada jarak yang relatif besar oleh elektron-elektron yang senantiasa bergerak dengan orbit tertentu. Pada inti inilah terkonsentrasi hampir seluruh massa atom. Rutherford juga menyatakan bahwa antara inti dengan elektron terdapat ruang hampa, sehingga dapatlah dipahami bahwa sebagian besar partikel alfa dapat menembus lempeng dengan mudah.

Sesuai dengan model tersebut, dapat diramalkan bahwa elektron yang mengorbit akan mengalami percepatan. Berdasarkan dinamika klasik benda yang dipercepat pada lintasan melingkar akan meradiasikan energi (memancarkan radiasi). Ketika radiasi dipancarkan, energi totalnya menurun, jari-jari orbitnya mengecil, dan pada akhirnya mengakibatkan elektron jatuh ke inti. Ini berarti atom hidrogen tidak stabil. Sedangkan kenyataannya atom hidrogen stabil. Hal ini menimbulkan krisis pada teori klasik akibat adanya kesenjangan antara kajian teoritis dengan fakta yang ada.

Kesenjangan lainnya juga terjadi pada saat Rutherford menjelaskan spektrum radiasi atom hidrogen. Frekuensi radiasi akan sama dengan frekuensi orbit. Karena mengecilnya jari-jari orbit elektron, maka frekuensi orbit akan membesar secara kontinu. Dengan demikian, spektrum radiasi yang dipancarkan oleh atom hidrogen adalah kontinu. Namun, penjelasan ini tidak sesuai dengan fakta eksperimen yang ada. Hasil eksperimen menunjukkan bahwa spektrum radiasi atom hidrogen termasuk rumpun garis-garis yang tercatu.

Gambar 2.

Elektron dengan lintasannya yang berbentuk spiral

Percobaan pada akhir abad 19 menunjukkan bahwa loncatan bunga api listrik yang dilalukan dalam suatu gas bertekanan rendah di dalam sebuah tabung hampa akan membuat atom-atom gas memancarkan cahaya (yang berarti

(2)

2 radiasi elektromagnetik) dalam frekuensi-frekuensi tetap yang yang bersifat diskret.

Ketidaksempurnaan model atom Rutherford, Bohr pada tahun 1913 mengajukan dua postulatnya antara lain sebagai berikut.

1. Elektron beredar di dalam atom dengan orbit lingkaran tidak memancarkan radiasi dan atom berada dalam keadaan stasioner dengan energi yang tetap.

2. Apabila elektron berpindah dari satu orbit ke orbit lain yang jari-jarinya lebih kecil maka atom tersebut berpindah dari keadaan stasioner satu ke keadaan stasioner lain yang energinya lebih rendah. Dengan kata lain, radiasi akan dipancarkan atau diserap hanya bila atom mengubah kedudukannya dari satu keadaan stasioner ke keadaan stasioner yang lain.

Berdasarkan potsulatnya tersebut, Bohr berusaha mengemukakan teorinya mengenai frekuensi perputaran elektron dan frekuensi foton yang dipancarkn saat terjadi transisi energi. Untuk menghitung frekuensi perputaran elektron, Bohr masih tetap berpijak pada pandangan klasik yaitu elektron dalam bergerak mengelilingi proton tetap dipengaruhi oleh gaya Coulomb dan gerakannnya sesuai dengan Hukum Newton. Berdasarkan kajian teori semiklasik tersebut, Bohr menurunkan frekuensi perputaran dari elektron orbital sebagai berikut:

Kecepatan elektron mengelilingi inti dinyatakan menurut persamaan:

n mr e v 0 4  ………….(17)

Frekuensi perputaran elektron dinyatakan menurut persamaan

n r v f  2  ………..(18)

Dengan mensubstitusi persamaan (17) ke persamaan (18) akan diperoleh besarnya frekuensi perputaran elektron sebagai berikut.

  n r v f  2 r_n mr_n e 0 4 2  ………...………..(19)

Telah diketahui bahwa besarnya jari-jari elektron dinyatakan menurut persamaan berikut. 2 0 2 2 me h n r_n    ……….………(20)

(3)

3 Dengan mensubstitusi persamaan (20) ke persamaan (19) akan diperoleh besarnya frekuensi perputaran elektron sebagai berikut

               1 ₃ 3 3 2 0 4 2 2 8 h n E n h me f  _{………(21)}

Untuk menentukan besarnya frekuensi foton yang dipancarkan dalam transisi energi, Bohr mengemukakan perhitungannya sebagai berikut:

Berdasarkan persamaan energi foton hvE_i E_f diperoleh:

             1 1₂ 1₂ i f f i n n h E h E E v

sehingga atom hidrogen yang jatuh dari tingkat energi ni ke tingkat energi nf akan memancarkan foton dengan frekuensi:

           1 1₂ 1₂ i f n n h E v

Misalkan besarnya bilangan kuantum awal ni adalah n dan besarnya bilangan kuantum akhir nf adalah n-p (dengan p = 1,2,3,…), maka persamaan di atas akan menjadi:









_                   ₂ 2 2 2 2 1 1 1 2 p n n p np h E n p n h E v

Apabila nilai ni dan nf keduanya sangat besar, maka n jauh lebih besar dari pada p, dan berlaku hubungan:





2 2 2 2 2 n p n np p np     Sehingga akan diperoleh persamaan:

        1 2₃ n p h E v ……….…………..(22)

Apabila p=1, maka frekuensi radiasi v pada persamaan (22 ) bernilai tepat sama dengan frekuensi perputaran f dari elektron orbital pada persamaan (21). Harmonik dari frekuensi ini dipancarkan ketika p = 2,3,4,…. Kedua persamaan di atas menunjukkan bahwa gambaran kuantum dan gambaran klasik atom hidrogen membuat ramalan yang sama dalam limit bilangan kuantum yang sangat besar. Hal ini menunjukkan bahwa terdapat kesepadanan antara teori klasik dan teori kuantum mengenai frekuensi atom Bohr.

(4)

4 Kesepadanan ini menyebabkan teori atom Bohr disebut sebagai teori semiklasik.

II. Perpadanan Momentum Sudut Bohr

Ditinjau dari model atom Rutherford, maka jari-jari elektron akan berkurang secara kontinyu. Akibatnya momentum sudut elektron juga akan mengalami pengurangan yang akan menjadikan keadaan atom menjadi tidak stabil. Hal tersebut tentunya bertentangan dengan kenyataan di mana atom berada dalam keadaan yang relatif stabil.

Kecepatan elektron dapat dihitung dengan menggunakan lintasan elektron berupa lingkaran, dimana terdapat gaya sentripetal (Fs) yang memegang elektron pada orbit r dan inti yang menarik elektron dengan gaya elektrostatis (Fe). Dengan syarat kemantapan elektron adalah

2 2 0 2 2 2 4 1 . r e r mv r q q k r mv F F_s _e     mr e v 0 4  ... ... (23)

Momentum sudut elektron (L) yang bermassa (m) bergerak melingkar dengan kecepatan singgung v adalah:

p r L v m r L ... ... (24)

Substitusi nilai v pada persamaan 23 ke persamaan 24 sehingga akan diperoleh persamaan: mr e rm L 0 4  ... .... (25)

Menentukan rn (jari-jari orbit) dari persamaan

ch E

R

Rch

E ... .... (26)

Berdasarkan persamaan (26) menyimpulkan asas-asas energi atom hidrogen yang memenuhi persamaan :

(5)

5 2 n Rch E_n  ... ... (27) Substitusi persamaan rn e E_n 0 2 8   ke persamaan (27) sehingga : 2 2 0 2 8 n Rch rn e __   2 1 2 2 0 2 8 Rch n rn e rn          ... (28) Dengan _       Rch e r ₂ 0 2 1 8

Substitusikan persamaan (28) ke persamaan (25) sehingga:

n n n mr e m r L 0 4  n n n mr e m r L 0 4  m r e m L_n n 0 4  mRch n e m e m L_n 0 2 2 0 8 4   Rch m n e m L_n 0 0 2 8 4   mRch n e m Ln 0 0 2 4 4   mRch m n e Ln 2 0 0 2 4 4   Rch m n e Ln 2 4 ₀ 2   n L Ln  1 ... .... (29) h h Rch m e L      2 2 4 0 2 1

(6)

6 dimana h adalah konstanta planck, sehingga

n h

L_n  ... .... (30)

Persamaan (30) menunjukkan bahwa momentum sudut elektron terkuantisasi dalam hubungan L_n hn , n = bilangan bulat.

Mekanika kuantum Schrödinger dapat memberikan hasil yang lebih baik dari teori Bohr, sebab mekanika kuantum Schrödinger tidak hanya menghasilkan aras-aras Bohr kembali, tetapi juga bilangan kuantum l dengan harga yang benar.

Bilangan kuantum azimut l memberikan harga momentum orbital elektron,yang memiliki persamaan :

) 1

( 

 l l

L  ... (31)

Persamaan ini diperoleh dari persamaan diferensial untuk bagian radial R (r) dari fungsi gelombang  sebagai berikut:

0 ) 1 ( 4 2 1 2 2 2 2 2        _                R r l l E r e m dr dR r dr d r  o ...(32)

Persamaan ini mempersoalkan aspek radial dari gerak elektron, yaitu gerak mendekati atau menjauhi inti dengan E adalah energi total elektron. Energi total E mencakup energi kinetik gerak orbital yang tidak berhubungan langsung dengan gerak radial. Energi kinetik K elektron tersebut terdiri dari dua bagian, Kradial yang ditimbulkan oleh gerak mendekati atau menjauhi inti dan K orbital yang ditimbulkan oleh gerak mengelilingi inti. Energi potensial V dari elektron ialah energi listrik, V=

r e o  4 2  E= Kradial + K orbital + V E= Kradial + K orbital r e o  4 2 

Dengan mensubstitusikan persamaan untuk E ke persamaan (32) diperoleh 0 2 ) 1 ( 2 1 2 2 2 2 2                        R mr l l K K m dr dR r dr d r  radial orbital  ...(33)

(7)

7 Jika kedua suku yang terakhir dalam tanda kurung persegi dalam persamaan (31) saling meniadakan, sehingga mendapatkan persamaan differensial untuk R( r) hanya mengandung fungsi dari vektor radius (vektor jari-jari) r saja, jadi syaratnya: 2 2 2 ) 1 ( mr l l K_orbital  

Energi kinetik orbital elektron adalah Korbital= 2 2 1 orbital mv

Karena momentum sudut elektron L= mvorbital r

Maka Energi Kinetik orbital dapat ditulis:

2 2

2mr L Korbital Jadi persamaan 3 menjadi :

 2 2 2mr L 2 2 2 ) 1 ( mr l l   ) 1 (   l l L 

Jika diambil harga momentum sudut terbesar l= n-1 , maka persamaan tersebut menjadi: ) 1 1 )( 1 (     n n L  n n L ( 1) ) (n2 n L  untuk n>>1, maka (n2 n)n2

Sehingga momentum sudut orbital electron menjadi, 



 n n n n

L ( 2  ) 2  ... (34)

Jadi persamaan (34) sesuai dengan momentum sudut orbital eelktron yang dihasilkan oleh Bohr.

Sehingga untuk n>>1 akan memberikan hasil L n  . Hasil ini akan mendekati sama dengan model Bohr yaitu L =n  . Jadi untuk bilangan kuantum yang besar, terdapat perpadanan antara teori Bohr dengan teori Schrödinger.

(8)

8

Daftar Pustaka

Beiser, Arthur.2003.Concepts of Modern Physics.Avenue:The McGraw-Hill Company.

Halliday, D. & Resnick, R. 1999. Fisika. Edisi ke-3, jilid 2. Alih bahasa: Pantur Silaban dan Erwin Sucipto. Jakarta: Erlangga.

Halliday, D. & Resnick, R. 1999. Fisika Modern. Edisi ke-3.Alih bahasa: Pantur Silaban. Jakarta: Erlangga.