BAB III UJI STATISTIK PORTMANTEAU DALAM VERIFIKASI MODEL RUNTUN WAKTU

(1)

BAB III

UJI STATISTIK PORTMANTEAU DALAM VERIFIKASI

MODEL RUNTUN WAKTU

Salah satu langkah yang paling penting dalam membangun suatu model runtun waktu adalah dari diagnosisnya dengan melakukan pemeriksaan apakah suatu model yang diidentifikasi telah tepat. Uji portmanteau telah menjadi bagian penting dari pemeriksaan diagnostik (diagnostic checking) runtun waktu. Tahap ketiga dari proses pemeriksaan diagnostik ini (Box dan Jenkins, 1994) tidak hanya memeriksa ketidakcukupan dari model yang sesuai tetapi juga menyarankan perbaikan pada model yang sesuai dalam langkah selanjutnya pada prosedur pementukan model.

Residual sangat umum digunakan sebagai alat diagnostik untuk menguji seberapa baik kelayakan model. Suatu model dikatakan telah tepat jika deret dari residualnya terdistribusi secara bebas dan acak disekitar nol, serta jika tidak ada informasi yang dapat digunakan untuk memperbaiki suatu model. Dalam prakteknya cara yang paling popular dalam pemeriksaan diagnostik sebuah model runtun waktu adalah uji portmanteau. Uji ini pertama kali diusulkan oleh Box dan Pierce pada tahun 1970, dimana mereka mempelajari distribusi dari residual autokorelasi dalam proses ARIMA (Chand, 2011).

Beberapa uji lack of fit untuk model ARIMA berdasarkan pada koefisien autokorelasi residual yang diberikan oleh

(2)

𝑟_𝑘= 𝜀𝑡𝜀𝑡−𝑘 𝑛 𝑡=𝑘+1 𝜀_𝑡2 𝑛 𝑡=1 (𝑘 = 1,2, … )

Dan untuk memeriksa kecukupan dari model yang cocok tersebut Box dan Pierce mengusulkan uji statistik portmanteau

𝑄 = 𝑛 𝑟 _𝑘2

𝑚

𝑘=1

yang berdistribusi 𝜒_{𝑚−𝑝−𝑞}2 _.

Dalam diskusi Prothero dan Wallis pada tahun 1976, Chatfield menyebutkan sifat kekuatan yang buruk dari 𝑄 dan merekomendasikan untuk fokus pada autokorelasi residual pada beberapa lag pertama dan lag musiman. Serta menunjukkan perkiraan yang buruk dari distribusi sampel 𝑄. Prothero dan Wallis juga menyarankan penggunaan faktor koreksi 𝑛+2 _𝑛−𝑘 pada 𝑄 (Chand, 2011).

3. 1 Uji Portmanteau Ljung-Box (𝑸_𝑳𝑩)

Pada uji portmanteau Box-Pierce terjadi permasalahan ketika 𝑛 tidak besar. Ljung-Box menunjukkan bahwa untuk 𝑛 = 100 pendekatan statistik 𝑄 ke distribusi Chi-kuadrat tidak memuaskan. Setelah dilakukan beberapa diskusi mengenai distribusi sampel dari uji statistik yang diusulkan oleh Box-Pierce, sehingga Ljung-Box pada tahun 1978 mengusulkan uji statistik baru dengan menggantikan koefisien autokorelasi residual 𝑟_𝑘 dengan nilai standarnya 𝑟_𝑘 (Peña-Rodríguez, 2002).

𝑟_𝑘2= 𝑛 + 2 𝑛 − 𝑘 𝑟𝑘

(3)

𝑄_𝐿𝐵= 𝑛 𝑛 + 2 𝑟𝑘

2

𝑛 − 𝑘

𝑚

𝑘=1

Statistik 𝑄_𝐿𝐵 memiliki distribusi sampel yang jauh lebih dekat ke 𝜒_{𝑚−𝑝−𝑞}2 _.

3. 2 Uji Portmanteau Monti (𝑸_𝑴𝑻)

Ljung (1982) menunjukkan bahwa menggunakan terlalu banyak autokorelasi residual dapat mengurangi kekuatan uji. Sehingga, Monti pada tahun 1994 memperkenalkan uji portmanteau 𝑄_𝑀𝑇 berdasarkan autokorelasi parsial residual 𝜙_𝑘𝑘 yang dirumuskan sebagai berikut:

𝑄_𝑀𝑇 = 𝑛 𝑛 + 2 𝜙𝑘𝑘

2

𝑛 − 𝑘

𝑚

𝑘=1

Statistik 𝑄_𝑀𝑇 berdistribusi Chi-kuadrat dengan derajat kebebasannya 𝑚 − 𝑝 − 𝑞. Berdasarkan hasil simulasi, Monti menunjukkan bahwa uji 𝑄_𝑀𝑇 lebih sensitif dibandingkan uji 𝑄_𝐿𝐵, namun hasil evaluasi dari Kwan dan Wu (1997) melalui simulasi Monte-Carlo untuk data yang dibangkitkan dengan periode bulanan, hanya menemukan sedikit perbedaan antara uji 𝑄_𝑀𝑇 dan uji 𝑄_𝐿𝐵.

3. 3 Uji Portmanteau Peña-Rodríguez 𝑫_𝒎

Peña dan Rodríguez mengusulkan uji portmanteau yang baru pada tahun 2002 dengan menggunakan transformasi dari determinan 𝑅𝑚 untuk menguji

adanya autokorelasi pada residual. Untuk data runtun waktu stasioner, matriks korelasi residual orde 𝑚, 𝑅𝑚 didefinisikan sebagai:

(4)

𝑅_𝑚= 1 𝑟1 … 𝑟𝑚 𝑟1 1 … 𝑟𝑚−1 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 𝑟_𝑚 𝑟_𝑚−1 … 1 (3.1)

Uji portmanteau Peña-Rodríguez dirumuskan sebagai berikut: 𝐷_𝑚= 𝑛 1 − 𝑅_𝑚1 𝑚 Dan didapatkan 𝑅_𝑚 = 𝑅_𝑚−1 1 − 𝑅_𝑖2 dimana 𝑅𝑖 2 = 𝑟(𝑚)′ 𝑅𝑚 −1

𝑟(𝑚) , dengan 𝑟(𝑚) = 𝑟1, 𝑟2, … , 𝑟𝑚 ′, merupakan koefisien

korelasi yang dikuadratkan dari model linier 𝜀𝑡= 𝑖𝑗=1𝑏𝑗𝜀𝑡−𝑗+ 𝑢𝑡. Secara rekursif

didapatkan

𝑅_𝑚 1 𝑚 = 𝑚 1 − 𝑅_𝑖2

𝑖=1

1 𝑚

(3.2)

dan 1 − 𝑅 _𝑚 1 𝑚 dapat diinterpretasikan sebagai rata-rata kuadrat koefisien korelasi (Peña-Rodríguez, 2002).

𝐷𝑚 dapat juga ditafsirkan berdasarkan koefisien autokorelasi parsial.

Perhatikan bahwa 1 − 𝑅 _𝑖2 =𝐽𝐾𝐺 (1,𝑖)

𝐽𝐾𝑇 kemudian dengan cara yang sama

didapatkan 1 − 𝑅 _𝑖−12 =𝐽𝐾𝐺 (1,𝑖−1) 𝐽𝐾𝑇 sehingga 1 − 𝑅_𝑖2 1 − 𝑅_𝑖−12= 𝐽𝐾𝐺(1, 𝑖) 𝐽𝐾𝐺(1, 𝑖 − 1)= 1 − 𝜙𝑖𝑖 2

dimana 𝜙_𝑖𝑖2 =𝐽𝐾𝐺 1,𝑖−1 −𝐽𝐾𝐺(1,𝑖)_{𝐽𝐾𝐺(1,𝑖−1)} merupakan kuadrat koefisien autokorelasi ke-i. sehingga determinan 𝑅𝑚 dapat dituliskan sebagai

(5)

𝑅_𝑚 1 𝑚= 1 − 𝜙_𝑖𝑖2

𝑚

𝑖=1

𝑚+𝑖−1 𝑚

𝜙_𝑚= 𝜙₁₁, … , 𝜙_𝑚𝑚 ′ dan menggunakan hasil dari Monti (1994) bahwa 𝑛1 2_𝜙

𝑚 cenderung berdistribusi normal multivariat dengan vektor rata-rata nol

dan matriks varians-kovarians 𝐼𝑚− 𝑄_𝑚 , dimana 𝑄_𝑚= 𝑋𝑚𝑉−1𝑋𝑚′ , 𝑉 adalah

matriks informasi untuk parameter 𝜃 dan 𝜙, dan 𝑋𝑚 adalah matriks 𝑚 × 𝑝 + 𝑞 ,

dengan elemen-elemen 𝜃′ dan 𝜙′ ditentukan oleh _{𝜙 𝐵}1 ∞_𝑖=0𝜙_𝑖′𝐵𝑖 dan _{𝜃 𝐵}1 ∞𝑖=0𝜃𝑖′𝐵𝑖.

Teorema 3.3.1

Jika model teridentifikasi dengan benar, 𝐷𝑚 akan menyebar secara asimtot

sebagai 𝑚𝑖=1𝜆𝑖𝜒_1,𝑖2 , dimana 𝜒1,𝑖2 𝑖 = 1, … , 𝑚 merupakan variabel acak 𝜒12 dan

𝜆_𝑖 𝑖 = 1, … , 𝑚 adalah nilai eigen dari 𝐼_𝑚− 𝑄_𝑚 𝑊_𝑚, dimana 𝑊_𝑚 adalah sebuah matriks diagonal dengan elemen-elemen 𝑤𝑖𝑖 = 𝑚 − 𝑖 + 1 𝑚 𝑖 = 1, … , 𝑚 .

Pembuktian terdapat dalam lampiran 1.

Untuk model ARMA bentuk untuk nilai eigen dari 𝐼𝑚− 𝑄_𝑚 𝑊𝑚 sulit. Menurut

Box dan Pierce (1970) matriks 𝑄_𝑚= 𝑋𝑚𝑉−1𝑋𝑚′ dapat diperkirakan dengan

matriks 𝑄_𝑚= 𝑋_𝑚 𝑋_𝑚′ 𝑋_𝑚 −1𝑋_𝑚′ apabila 𝑚 cukup besar.

Berdasarkan uraian di atas peluang 𝑃 𝐷_𝑚 > 𝑥 dapat ditaksir dengan membalikan fungsi karakteristik dari 𝑚𝑖=1𝜆𝑖𝜒_1,𝑖2 (Imhof, 1961). Pendekatan

distribusi 𝜆𝑖𝜒_1,𝑖2 dilakukan oleh distribusi berbentuk 𝑎𝜒𝑏2, distribusi Gamma

(6)

dengan parameter 𝑎 dan 𝑏 yang didefinisikan sebagai 𝑎 = 𝜆𝑖2

𝜆_𝑖 dan 𝑏 = 𝜆𝑖 2

𝜆𝑖2 . Dimana 𝜆_𝑖 dan 𝜆_𝑖2 dapat didekati oleh

𝜆_𝑖 𝑚 𝑖=1 =𝑚 + 1 2 − 𝑝 + 𝑞 𝜆_𝑖2 𝑚 𝑖=1 = 1 6𝑚 𝑚 + 1 2𝑚 + 1 − 𝑝 + 𝑞

Dengan demikian dapat ditentukan pendekatan distribusi 𝐷𝑚 dengan

distribusi Gamma, Γ 𝛼 = 𝑏 2 , 𝛽 = 1 2𝛼 dimana parameternya didefinisikan dengan 𝛼 = 3𝑚 𝑚 + 1 − 2 𝑝 + 𝑞 2 2 2 𝑚 + 1 2𝑚 + 1 − 12𝑚 𝑝 + 𝑞 dan 𝛽 = 3𝑚 𝑚 + 1 − 2 𝑝 + 𝑞 2 𝑚 + 1 2𝑚 + 1 − 12𝑚 𝑝 + 𝑞 Distribusi ini memiliki rata-rata 𝛼

𝛽= 𝑚+1 2− 𝑝+𝑞 dan variansi 𝛼 𝛽2= 𝑚+1 2𝑚+1 3𝑚−2 𝑝+𝑞 .

Pendekatan di atas akan lebih baik jika menggunakan koefisien autokorelasi yang distandarkan 𝑟𝑘 sehingga uji portmanteau terbaru menjadi

𝐷𝑚= 𝑛 1 − 𝑅𝑚 1 𝑚

𝑅_𝑚 adalah matriks korelasi yang dibangun berdasarkan 𝑟_𝑘. Pendekatan 𝐷_𝑚 lebih baik dari 𝐷_𝑚, terutama untuk sampel berukuran kecil (Peña dan Rodríguez, 2002). Nilai 𝐷𝑚 akan bernilai lebih besar dari sama dengan nol untuk semua nilai 𝑟𝑘.