BAB III TEOREMA GLEASON DAN t-desain

13

BAB III

TEOREMA GLEASON DAN t-DESAIN

Dalam subbab 3.1, kita akan mempelajari salah satu sifat penting dari kode swa-dual genap. Sifat tersebut diberikan oleh Teorema 3.1(Teorema Gleason), Teorema ini secara mengesankan telah menentukan bentuk pencacah bobot dari sebarang kode swa-dual genap. Di samping itu, pada subbab 3.2 kita akan mempelajari teori t-desain. Kemudian kita tunjukan bahwa untuk sebarang kode linier C, jika banyaknya bobot tak nol pada C kurang dari atau sama dengan jarak minimum pada kode dual 𝐶⊥_{, maka setiap katakode di C} membentuk t-desain.

Dua hasil yang disebutkan di atas merupakan dua hal penting yang akan digunakan dalam menentukan batas atas bagi jarak minimum kode swa-dual genap. Penentuan batas atas tersebut dibahas pada bab IV.

3.1 Teorema Gleason

Teorema 3.1.1 Teorema Gleason(Gleason, 1970). Pencacah bobot sebarang kode swa-dual genap merupakan polinom dalam 𝑊₁ 𝑥, 𝑦 = 𝑥8_{+ 14𝑥}4_𝑦4_{+ 𝑦}8 _{dan 𝑊}

2 𝑥, 𝑦 = 𝑥4_𝑦4 _𝑥4_{− 𝑦}4 4_.

Bukti: Misal 𝐶 kode swa-dual biner dengan panjang n dan dimensi

2

n

k , serta setiap bobot dari semua kata kode di C merupakan kelipatan 4. Misalkan W_C

 

x y, adalah pencacah bobot kode swa-dual tersebut, karena C swa-dual W_C

 

x y, =

 

,

C

W  x y .

Berdasarkan teorema Mac Williams,

 

,

C

W  x y dapat dihitung sebagai berikut :

 

, C W  x y = 2 1 2 n WC



xy x, y



14 = 2 1 2 n



 



0 n n j j j j A x y  x y   



=



 



0 ₂ 2 n j j n j n j A x y  x y   



=



_



_





0 _{2 2} 2 2 n j j n j n j j j x y x y A     



= _{1/ 2 1/ 2} 0 2 2 n j j n j j x y x y A                



= 0 2 2 n j j n j j x y x y A                



= , 2 2 x y x y W_   _   Sehingga diperoleh W_C

 

x y, =W_C

 

x y, = , 2 2 x y x y W_   _   . (3.1.a)

Kita tinjau W_C

 

x y, berdasarkan definisi pencacah bobot, bentuk W_C

 

x y, dapat dituliskan sebagai :

 

, C W x y 0 n n j j j j A x  y 





; A_j banyaknya kata kode berbobot j .

Karena setiap bobot dari semua kata kode di 𝐶 merupakan kelipatan 4, W_C

 

x y, hanya memuat pangkat dari 4

y . Sehingga W_C

 

x y, dapat kita tulis sebagai :

 

, C W x y =

 





0 1 n _j n j j j A x  y  



= W_C



x iy,



, dengan i= 1. (3.2.b)

Persamaan (3.2.a) menunjukan W_C

 

x y, tidak berubah atau invarian terhadap transformasi linier T₁ :

15  Ganti x dengan 2 xy  Ganti y dengan 2 xy

Atau dalam bentuk matriks T₁ : ganti x y       dengan 1 2 1 1 1 1    _    x y       .

Sejalan dengan hal di atas, persamaan (3.2.b) menunjukan bahwa W_C

 

x y, juga tidak berubah atau invarian terhadap transformasi linier T₂ :

 Ganti x dengan x  Ganti ydengan iy

Atau dalam bentuk matriks T₂ : ganti x y       dengan 1 0 0 i       x y       .

Selain hal di atas, W_C

 

x y, tentulah invarian terhadap sebarang kombinasi

2

1 , 2 1, 1 2 1,....

T T T TT T dari transformasi ini. Tidaklah sulit untuk menunjukan bahwa matriks

transformasi T₁ dan T₂ ketika dikalikan dalam semua kemungkinan, menghasilkan sebuah grup G₁ yang memuat 192 matriks.

Sehingga permasalahan kita adalah mencari semua polinom W_C

 

x y, yang invarian terhadap setiap matriks dari G₁. Polinom-polinom tersebut kita sebut sebagai polinom-polinom yang invarian terhadap grup G₁. Akan tetapi, kita tidak akan mendapatkan jawaban yang tunggal. Karena jika polinom f dan g invarian terhadap setiap matriks dari G₁

, maka cf untuk semua c elemen 𝐹, f+g, f-g, dan fg juga invarian terhadap setiap matriks dari

1

G . Oleh karena itu, cukuplah kita cari banyaknya polinom homogen yang bebas linier dan invarian terhadap semua matriks dari G₁ untuk setiap derajat d, sebut sebagai a_d.

16

Salah satu cara sederhana untuk menangani bilangan-bilangan a a a₀, ,_{1 2},... adalah dengan mengombinasikan a a a₀, ,_{1 2},... dalam bentuk deret pangkat atau fungsi pembangkit

𝜙 𝜆 = 2

0 1 2 ...

a aa   .

Sebaliknya, jika kita tahu Φ 𝜆 , kita bisa mendapatkan a_d. Sampai pada tahap ini kita akan memanfaatkan teorema Molien berikut ini :

Teorema 3.2.2 Teorema Molien. Untuk suatu grup hingga 𝒢 dari matriks-matriks kompleks 𝑚 × 𝑚, 𝜙 𝜆 diberikan oleh :

𝜙 𝜆 = 1 𝒢

1 𝑑𝑒𝑡 𝐼−𝜆𝐴 𝐴∈𝒢

dimana 𝒢 adalah banyaknya matriks di 𝒢, det adalah determinan, 𝐼 adalah matriks identitas, dan A merupakan matriks-matriks di 𝒢.

Bukti Teorema Molien tidak dituliskan dalam Tugas Akhir ini, demi menjaga kefokusan Tugas Akhir ini. Bukti Teorema Molien dapat dilihat di [1].

Untuk grup G1 , kita dapatkan 𝜙_𝐺

1 𝜆 = 1 192 1 1−𝜆 2+ 1 1−𝜆2+ 1 1−𝜆 1−𝑖𝜆 + ⋯ . Dengan penghitungan langsung menggunakan program Maple, diperoleh :

𝜙_𝐺

1 𝜆 =

1

1−𝜆8 1−𝜆24 (3.2.a)

Persamaan (3.2.a) diekspansi dalam pangkat dari 𝜆, menghasilkan : 𝜙_𝐺

1 𝜆 = 𝑎0+ 𝑎1𝜆 + 𝑎2𝜆

2 + ⋯

= 1 + 𝜆8+ 𝜆16+ 𝜆24+ ⋯ 1 + 𝜆24+ 𝜆48+ ⋯ (3.2.b) Persamaan (3.2.b) menunjukan 𝑎_𝑑 sama dengan nol, kecuali untuk d kelipatan 8. Artinya, derajat dari polinom homogen yang invariant terhadap grup G1 haruslah

kelipatan 8. Hal ini membuktikan bahwa panjang dari sebarang kode swa-dual genap merupakan kelipatan 8. Lebih lanjut, ruas kanan dari persamaan ini menunjukan bahwa terdapat dua buah polinom ‘basis’ berderajat 8 dan 24 yang invarian terhadap grup G1,

17

dibentuk dari penjumlahan dan perkalian dua buah polinom berderajat 8 dan 24 tersebut. Sebut dua polinom tersebut sebagai 𝑊1 𝑥, 𝑦 dan 𝑊2 𝑥, 𝑦 .

Karena, 𝑊₁ 𝑥, 𝑦 berderajat 8 dan 𝑊₂ 𝑥, 𝑦 berderajat 24, akan membangkitkan polinom-polinom yang invarian terhadap grup G1 berikut :

derajat (d) poliom yang invarian nilai 𝑎_𝑑

0 1 1 8 𝑊₁ 𝑥, 𝑦 1 16 𝑊₁ 𝑥, 𝑦 2 ₁ 24 𝑊₁ 𝑥, 𝑦 3 _{, 𝑊} 2 𝑥, 𝑦 2 32 𝑊1 𝑥, 𝑦 4, 𝑊1 𝑥, 𝑦 𝑊2 𝑥, 𝑦 2 40 𝑊₁ 𝑥, 𝑦 5 _{, 𝑊} 1 𝑥, 𝑦 2 𝑊2 𝑥, 𝑦 2 48 𝑊₁ 𝑥, 𝑦 6 _{, 𝑊} 1 𝑥, 𝑦 3 𝑊2 𝑥, 𝑦 , 𝑊2 𝑥, 𝑦 2 3 … … …

Dari tabel di atas semua hasil kali 𝑊₁ 𝑥, 𝑦 𝑖 _𝑊

2 𝑥, 𝑦 𝑗 bebas linier, dengan kata lain 𝑊₁ 𝑥, 𝑦 dan 𝑊₂ 𝑥, 𝑦 bebas aljabar, dan nilai 𝑎_𝑑 pada tabel di atas merupakan koefisien-koefisien pada persamaan

1 + 𝜆8+ 𝜆16+ 2𝜆24+ 2𝜆32+ 2𝜆40+ 3𝜆48+ ⋯ = 1 + 𝜆8+ 𝜆16+ 𝜆24+ ⋯ 1 + 𝜆24+ 𝜆48 + ⋯

= 1

1 − 𝜆8 1 − 𝜆24

yang sama dengan persamaan (3). Jadi, jika kita dapat menemukan polinom homogen 𝑊₁ 𝑥, 𝑦 berderajat 8 dan 𝑊₂ 𝑥, 𝑦 berderajat 24 yang bebas aljabar, kita dapat menyatakan bahwa sebarang polinom homogen yang invarian terhadap grup G1

18

Pandang Θ = 𝑥8+ 14𝑥4_𝑦4_{+ 𝑦}8 _{suatu polinom homogen berderajat 8, dan} Φ = 𝑥4_𝑦4 _𝑥4_{− 𝑦}4 4 _{suatu polinom homogen berderajat 24, Θ dan Φ bebas aljabar. Pilih} 𝑊₁ 𝑥, 𝑦 = 𝛩 dan 𝑊₂ 𝑥, 𝑦 = Φ, maka sebarang polinom homogen yang invarian terhadap grup G1 merupakan polinom dalam 𝑊₁ 𝑥, 𝑦 dan 𝑊₂ 𝑥, 𝑦 . Pernyataan ini

Setara dengan menyatakan bahwa pencacah bobot dari sebarang kode swa-dual genap merupakan polinom dalam 𝑊₁ 𝑥, 𝑦 dan 𝑊₂ 𝑥, 𝑦 .

Terbukti. ∎

3.2 t-desain

Definisi 3.2.1 Misal X merupakan suatu v-himpunan (himpunan dengan v buah elemen), eleman-elemen di X disebut titik atau varietas. Suatu t(𝒗, 𝒌, 𝝀)-desain adalah suatu koleksi dari k-subhimpunan (dinamakan blok) dari X, yang berbeda satu sama lain, dengan sifat sebarang t-subhimpunan dari X termuat di tepat 𝜆 buah blok.

Dalam bahasa yang lebih ilustratif, t-desain merupakan koleksi dari komite-komite yang dibentuk dari v orang, setiap komite beranggotakan k orang, sedemikian rupa sehingga setiap t orang bekerja bersama-sama dalam tepat 𝜆 komite.

Contoh 3.2.2 Perhatikan gambar di bawah ini :

Gambar 3.2

Terdapat tujuh titik dan tujuh garis (salah satunya merupakan garis lengkung) pada gambar di atas . Jika kita mengambil garis-garis sebagai blok, kita peroleh tujuh blok yaitu :

19

013, 045, 062, 165, 412, 463, dan 325. Selanjutnya kita dapatkan 2-(7,3,1) desain, karena setiap dua buah titik dilewati oleh sebuah garis yang tunggal.

Teorema 3.2.3 Di dalam t-(v,k , 𝜆) desain, misalkan 𝑃₁, 𝑃₂, … , 𝑃_𝑡 merupakan t titik yang berbeda, misal 𝜆_𝑖 adalah banyaknya blok yang memuat 𝑃₁, 𝑃₂, … , 𝑃_𝑖, untuk 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑡, dan misal 𝜆0 = 𝑏 merupakan jumlah keseluruhan dari blok-blok. Maka 𝜆𝑖 tidak bergantung pada pemilihan dari 𝑃₁, 𝑃₂, … , 𝑃_𝑖 dan diperoleh fakta :

𝜆_𝑖 =𝜆 𝑣−𝑖 𝑡−𝑖 𝑘 −𝑖 𝑡−𝑖 , 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑡 = 𝜆 _{𝑘 −𝑖 𝑘−𝑖−1 …(𝑘−𝑡+1)} 𝑣−𝑖 𝑣−𝑖−1 …(𝑣−𝑡+1)

Hal ini menyebabkan suatu t-(v, k , 𝜆) juga merupakan i-(v, k , 𝜆_𝑖) untuk 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑡.

Bukti : Teorema benar untuk 𝑖 = 𝑡 , karena menurut definisi t-desain, setiap t titik termuat tepat pada 𝜆 blok. Kita lanjutkan dengan induksi pada i. Asumsikan 𝜆𝑖+1tidak bergantung pada pemilihan 𝑃₁, 𝑃₂, … , 𝑃_𝑖+1. Untuk setiap blok B yang memuat 𝑃₁, 𝑃₂, … , 𝑃_𝑖, dan untuk setiap titik Q yang berbeda dengan 𝑃₁, 𝑃₂, … , 𝑃_𝑖 definisikan 𝜒 𝑄, 𝐵 = 1 jika 𝑄 ∈ 𝐵, dan 𝜒 𝑄, 𝐵 = 0 jika 𝑄 ∉ 𝐵. Maka dari hipotesis induksi kita peroleh : 𝜒 𝑄, 𝐵 = 𝜆_{𝑄 𝐵 𝑖+1}(𝑣 − 𝑖) = 𝜒 𝑄, 𝐵 = 𝜆_{𝑄 𝐵 𝑖+1}(𝑘 − 𝑖), yang menunjukan bahwa 𝜆_𝑖 bebas dari pemilihan 𝑃₁, 𝑃₂, … , 𝑃_𝑖 ,dan menunjukan fakta pada teorema di atas.

Terbukti. ∎

Misal v dan w merupakan dua vektor di n

F , vv₁...v_n dan ww w₁... _n. Misalkan









     

I_v j v_j 1;j 1...n dan I_w i w_i 1;i 1... .n Vektor w dikatakan menyelimuti v, jika 

I_w I_u.

Teorema 3.2.4(MacWilliams dan Sloane [1]). Misal [C] adalah matriks Mxn dengan baris-barisnya merupakan semua katakode di suatu kode C. Sebarang himpunan dari '

1

r d  kolom di [C] memuat setiap r-tuple sebanyak tepat M 2r kali, dan '

d merupakan bilangan terbesar dalam kasus ini.

20

Teorema 3.2.5(MacWilliams dan Sloane [1]). Misal kita pilih sebuah vektor u berbobot t di

n

F ,   '

0 t d . Untuk _i t , misal _( )

i u adalah banyaknya katakode di C yang berbobot i

yang menyelimuti u. Maka _( )

i u memenuhi persamaan : 1 ( ) 2 i s i t j i t M n t u j  j  _                 



2 ' , dengan 0 1 . n t j _{n t} j d t N j   _{  }  _{ }       (3.2.1)

Bukti : Kita gunakan Teorema 3.2.4 untuk menghitung (dalam dua arah) banyaknya katakode berbobot t+j yang menyelimuti u dan terselimuti oleh sebuah katakode di C.

Terbukti ∎

Teorema 3.2.6 (Mac Williams dan Sloane[1]) Jika sd', maka semua katakode berbobot

i

 di C membentuk ( , , )

i i

t n _ desain, dengan t( 'd s), dan parameter

i   diberikan oleh 1, . ( ) 1 ( ) . ( )                _{ }  



_{ } 



i s n n j i r t j j i i i n t A S n S r r t n N r, memberikan ' _i  d s.

Bukti : Karena vektor 1= 1…1 di n

F menyelimuti semua semua vektor di n

F , kita dapat menuliskan persamaan (3.2.1) menjadi :

              _  _         



1 2 ( ) . i n t j s i n i t n t u A N j j (3.2.2)

Jika kita dapat memilih t sedemikian rupa sehingga ' 

d t s, maka kita dapatkan sebanyak s persamaan yang bebas linier dalam veriabel _( )

i u . Dengan kata lain, i( )u tidak

bergantung pada pemilihan u. Oleh karena itu, semua katakode berbobot _i membentuk t-desain, dengan t d ' s. Parameter-paremeter dari desain ini diperoleh sebagai berikut :

Persamaan (3.2.2) memiliki solusi :

0 1 ( ) ( ) ( ), i i i i n t t i t n t r n t g t g r A g n t N r      _   _{ }       _{ }    



dengan

21





1, ( ) i s t j j j i g_ x  t x   



  . Jelas bahwa ( ) ( ) i t i

g_ x t g x_ , sehingga solusi dari persamaan (3.2.2) adalah :

1 ( ) ( ) ( ), i i i i n i n r t n t g g r A g n N r t           _{ }    



atau 1, . ( ) 1 ( ) . ( )                _{ }  



_{ } 



i s n n j i r t j j i i i n t A S n S r r t n N r . (3.2.3) Terbukti ∎