h 013482411

1 1

Pertemuan 3-4

Pertemuan 3-4

Model Matematika dan diagram Blok

Model Matematika dan diagram Blok

sistem

sistem

M

Maattaakkuulliiaahh : H: H0011334 4 / S/ Siisstteem m PPeennggaattuurraan n DDaassaar r  T

Taahhuunn : : 22000055 

2 2

Learning Outcomes

Learning Outcomes

Pada akhir $ertemuan ini%

Pada akhir $ertemuan ini% dihara$kan mahasis&a

dihara$kan mahasis&a

akan mam$u :

akan mam$u :

'' menun(ukkan kegunaan dasar)dasar

menun(ukkan kegunaan dasar)dasar

matematika dan *isika+ Pengertian sistem

matematika dan *isika+ Pengertian sistem

elektrik% mekanik% $roses dan hu,ungan

elektrik% mekanik% $roses dan hu,ungan

in$ut serta out$ut dari suatu sistem

3

Outline Materi

' Sistem linear dan non linear 

' Persamaan di*erensial

'  -rti *isis $ersamaan di*erensial

' Persamaan Di*erensial untuk Sistem .rde 1% 2  3

' Diagram ,lok

'  -l(a,ar diagram ,lok

' Metode al(a,ar 

' Trans*ormasi a$lae

4

'Sistem linear dan non linear 

'Sistem *isis umumna ,ersi*at non linier dalam tingkat tertentu 'ntuk daerah ker(a g keil sistem non)linier d$t diangga$ linier  'Pada sistem linier ,erlaku hukum su$er$osisi dimana res$onse

sistem terhada$ ,e,era$a in$ut ang ,er,eda meru$akan kom,inasi  (umlah dari masing)masing in$utna+

'ntuk mengu(i linieritas sustu sistem dengan sinusoidal test input 

Persamaan di*erensial

1+ PD time in"arant

2+ PD time "arant

5

' -rti *isis $ersamaan di*erensial

'Persamaan Di*erensial untuk Sistem

.rde 1% 2  3

'Persamaan di*erensial adalah setia$ $ersamaan al(a,ar atau transendental eualit ang meli,atkan di*erensial atau turunanna

'Persamaan di*erensial ,erguna untu menghu,ungkan la(u $eru,ahan "aria,el dan $arameter lainna+

'ontoh hukum 6e&ton 

'Hukum Hook 

)

(

.

)

(

₂ 2

t 

 X 

dt 

d 

 M 

t 

 F 

=

 x

 K 

 F 

=

.

.

7

' Model matematis dari sistem *isik:

 8 9angkaian 9

 8 Sistem mekanik massa % $egas dan dam$er 

 8 Model sistem termometer 

 8 Model aktuator hidraulik

 8 Model liuid le"el sstem

 8 Model motor ser"o



Diagram ,lok

' -l(a,ar diagram ,lok

'9e$resentasi gra*is dari sistem *isik

'Menggam,arkan hu,ungan *unsional antar kom$onen $ada sistem

•Diagram blok sistem secara praktis sering sangat rumit, melibatkan banyak feedback maupun feedforward loop dan multi input

•Perlu reduksi terhadap diagram blok yg rumit tersebut

•Cara alabar dapat berupa alabar grafis maupun persamaan alabar  •Cara alabar grafis sering disebut alabar diagram blok 

Metode al(a,ar 

•!etode alabar adalah upanya untuk penyederhanaan diagram blok yg rumit dengan bantuan persamaan yg diturunkan dari diagram blok 

;

Transformasi Laplace

•

Trans*ormasi a$lae dari *ungsi *<t= dide*inisikan se,agai :

L > *<t= ? @ A<s= @

*<t= : *ungsi &aktu t dimana *<t= @ 0 untuk t ! 0+ s : "aria,el kom$leks+

L : sim,ol o$erator trans*ormasi a$lae A<s=: trans*ormasi a$lae dari *<t=+

∫ 

∞

−

" . ). (t  e  st  dt   f  



Transformasi Laplace

Transformasi Laplace

•

Trans*ormasi a$lae adalah suatu metoda o$erasi ang da$at

digunakan dengan mudah untuk menelesaikan $ersamaan di*erensial linier+

•

.$erasi se$erti di*erensial dan integral da$at digantikan dengan o$erasi al(a,ar dalam ,idang kom$leks+

Keuntungan

•

Da$at meramalkan harga akhir mau$un harga a&al sistem+

10 Tabel Transformasi Laplace

dt d* 

∫ 

*dt *  <0= s = s < A ₋ <−1= 2 2 s +ω ω 2 2 s s ω + 2 2 ) a s ( + +ω ω 2 2 ) a s ( a s ω + + + a s # +

Fungsi Waktu f(t) Transformasi

Laplace F(s)

Unit Impulse δ<t= 1

nit ste$ u<t= 1/s

nit 9am$ t 1/s2

Polnomial tn _n/sn+1

EF$onential e-at

Di**erential sA<s=)*<0=

Gntegral

Sine a"e sin ω+t

osine a"e os ω+t

Dam$ed Sine a"e e-at_{+ sin} ω_+t

11 Transformasi Linier 

•

  Pen(umlahan

•

Perkalian konstanta Turunan (eri!ati!e)

•

Sarat a&al di$erlukan Integrasi "iil

Sarat a&al di$erlukan Teorema #arga $%al

•

Menari nilai a&al sistem se,elum menda$at in$ut Teorema #arga $k&ir 

•

Mem$rediksi nilai akhir res$ons sistem

•

Menghitung out$ut stead state in$ut ste$

'IF$T T"$'F"*$'I L$L$,

( )

( )

 L A f t

_

.

_

=

A F s

.

( )

lim

.

(

)

"

 F 

 s

t 

 f  

s

 s t →∞

=

→

( )

t 

 s

 F 

( )

 s

 f  

 s t 

→

"

=

lim

_→

_$

.

12

'kala Waktu

•

 Di$erlukan untuk menormalkan terhada$ *ungsi &aktu

•

 Da$at ditera$kan ke *ungsi ang miri$ ta$i ,er,eda &aktuna

Translasi Waktu

Translasi .i/ang '

Translasi Kompleks

(

)

 L f   t 

 

_a

aF as

 



 

 

 

















=

(

)

( )

 L f t a



_

− = −



_

e as F s

(

)

( )









=

−

a

e

 f  

t 

 s

 F 

at 

.

•

Pergeseran ke ,idang kom$leks

•

Bidang S

→

 sum,u riil% sum,u ima(iner 

Perkalian 2 Aungsi aktu <Con"olusi= 

  _{f t}

_{( )}

_{f t} 

_{( )}

13 ,onto& 0

Tentukanlah trans*ormasi a$lae dari *ungsi ste$ ,erikut ini+

*<t= @ 0 *or t ! 0

*<t= @ - *or t # 0 dengan - adalah konstanta+

A<s= @ L> *<t= ? @ A<s= @

@

Aungsi ste$ untuk - @ 1 dinamakan *ungsi unit ste$ dan trans*ormasi a$lae dari *ungsi unit ste$ ini adalah :

A<s= @

∫ 

∞

₋

" . ). (t  e  st dt   f  

∫ 

=

−

∫ 

=

−

∞ ∞ − ∞ − − " " st " st st & e s ' de s ' dt . e . ' s ' ) e e ( s '

−

"

=

−

−∞ # s # f(t) t

14

ontoh :

<t=

@

3

t

≥

 0

@

0

t

!

0

( )

[

]

( )

[

]

( )

s 3 t u  dt e 3 t u  0 st

0

dt

st

e

t

u

t

u



t

u



=

=

_∫ 

∞ − ∫ 

∞

₋

=

=

) (  ) ( 

*

15

(

)

1 s 1 0 dt t 1 s e

+

=

∞

₋

₊

=

∫  ∫  − −     −     −

∞

=

=

=

−

"

*

)

(

dt   st  e t  e t  e t  e e

 L

 L

t 

  f  

t 

( )

( )

e t   s

 f  

t 

 s

 F 

=

₊

⇔

=

−

# #

17 ( ) ( ) ( ) ( )at a*  a s A 1  1 s 3 1 1  t 1 *  t 1 *  1 s 3 1 s A

=

−

+

−

=

=

→

+

=













 

 

 



 

 









* ( ) ( ) t 3 1 e 3 1 t *  t e t *  3 1 a − = − = =

1

I$"$* .LK

 8 iagram blok /ari suatu sistem merupakan

penggambaran grafis /ari fungsi-fungsi ang

/ilakukan ole& setiap komponen3 Keterkaitan

ang a/a /i antara berbagai komponen

/inatakan /engan ara& aliran sinal3

 8 'istem pengaturan g ter/iri /ari beberapa

komponen3 Untuk menun4ukkan fungsi-fungsi

ang /ilakukan ole& setiap komponen

1;

iagram .lok

Fungsi $li&

C(s) + (s) -(s)

..( # )

-(s) + /(s) 0 1(s )

-(s) + /(s) 0 C(s) (s)

..( 2 )

-liminasi -(s) dari persamaan ( # ) dan ( 2 ).

C(s) + (s) /(s) 0 (s) C(s) (s)

( # 3 (s).(s) ) C(s) + (s) /(s)

=

s

<

H

=

s

<

I

1

=

s

<

I

=

s

<

9

=

s

<

5

+

=

I<s=

H<s=

5<s= E<s= 9<s=

_J

)

B<s=

1

For%ar/ Transfer Function

' Aungsi alih arah ma(u

' Per,andingan antara sinal out$ut

dengan sinal error 

Fee/back Transfer Function

' Aungsi alih arah um$an ,alik

' Per,andingan antara sinal *eed ,ak

dengan sinal out$ut+

=

s

<

H

=

s

<

5

=

s

<

B

₌

20

pen Loop Transfer Function

' Aungsi alih lu$ ter,uka

' Per,andingan antara sinal um$an

,alik dengan sinal error 

' ositi!e Fee/back

Sinal *eed,ak mem$unai tanda ang

sama dengan sinal out$ut+

egati!e Fee/back

Sinal *eed,ak mem$unai tanda

,erla&anan dengan sinal in$ut+

ersamaan Karakteristik

Bagian $ene,ut *ungsi alih

1 J I<s= H <s= @ 0

=

s

<

H

=

s

<

I

=

s

<

E

=

s

<

B

₌

21

"e/uksi iagram .lok

' Penederhanaan sistem

' Prediksi o"erall $er*ormane

*o/el *atematis

' Memudahkan analisis

' Memudahkan modi*ikasi

' Sistem tidak uniue

' Tidak memuat in*ormasi rangkaian atau

konstruksi

22

"e/uksi /iagram blok 5 $turan pene/er&anaan blok5

I₁ I₂ I₁I₂ I 1 I 2 I₁ I₂ J J ) I 1 I 2 I 1 1 J I 1I2 J ) I I I 6 7  7 6  7  7

1+

2+

3+

4+

23

Aturan penyederhanaan blok

I 1/I I 6 7 6 6 7 6 I 1/I I 6 8  7 6 8  7 J ) J ) I 1/I I 6 8  7 6 8  7 J ) J )

7+

+

5+

24

Reduksi diagram Blok

ontoh

1 9 2 : #1 #2 + -+ + + + , " ₁₉ ₂+_: # 1 #₂ + -+ + , "

25

Reduksi Blok diagram

19 1-19#1 2+: #2 + -, " ₁₉( ₂+_:) 1-₁₉#₁ #₂ +

-, "

27

$enutu$

'Sistem $engaturan da$at ,eru$a sistem linier atau$un non)linier 

'Model matematis $erlu untuk analisis sistem $engaturan

'Pernataan sistem dalam diagram ,lok mem,antu men(elaskan

hu,ungan *ungsional antar kom$onen+

'9eduksi diagram ,lok $erlu dilakukan untuk memudahkan analisis

mau$un sintesis serta modi*ikasi sistem (ika di$erlukan+