TRANSPORTASI & PENUGASAN

(1)

TRANSPORTASI & PENUGASAN

Materi #8 Ganjil 2014/2015 6623 - Taufiqurrahman 2

(2)

Metode Transportasi

• Suatu metode yang digunakan untuk mengatur distribusi dari sumber- sumber yang menyediakan produk yang sama, ke tempat-tempat yang membutuhkan secara optimal

• Metode transportasi berhubungan dengan distribusi suatu produk tunggal dari beberapa sumber, dengan penawaran terbatas, menuju ke beberapa tujuan dengan permintaan tertentu. Asumsi dasar model ini adalah biaya transport pada suatu rute tertentu proporsional dengan banyaknya unit yang dikirimkan.

• Pada model transportasi, yang harus diperhatikan adalah bahwa total kuantitas pada seluruh baris harus sama dengan total kuantitas pada seluruh kolom, jika tidak, maka perlu ditambahkan kuantitas dummy.

Karakteristik Metode Transportasi

1) Suatu barang dipindahkan (transported), dari sejumlah sumber ke tempat tujuan dengan biaya seminimum mungkin, dan

2) Atas barang tersebut tiap sumber dapat memasok suatu jumlah yang tetap dan tiap tempat tujuan mempunyai jumlah permintaan yang tetap.

(3)

Gambar Model Transportasi

1

2

m Sumber

(Dari)

b_A b_B

b_n c_mn: x_mn

a₁ a₂ a_m Supply

A

B

n Tujuan

(Ke)

Demand c_1A: x_1A

c = biaya yang terjadi akibat perpindahan dari sumber ke tujuan

Tabel Transportasi

Ke A B ... n Demand

Dari

1 c_1A c_1B

... c_1n

b_A

x_1A x_1B x_1n

2 c_2A c_2B

... c_2n

b_B

x_2A x_2B x_2n

... ... ... ... ... ...

m c_mA c_mB

... c_mn

b_n

x_mA x_mB x_mn

Supply a_A a_B ... a_m Ʃb

Ʃa

(4)

Metode North West Corner (NWC)

1. Mulai dari sudut kiri atas (x_1A), dialokasikan sejumlah maksimum produk dengan melihat kapasitas dan kebutuhan (atau supply dan demand).

2. Kemudian, bila x_mn merupakan kotak terakhir yang dipilih, lanjutkan dengan mengalokasikan pada x_m,n+1 bila m mempunyai kapasitas yang tersisa.

3. Bila tidak, alokasikan ke x_m+1,n dan seterusnya sehingga semua kebutuhan telah terpenuhi.

Contoh #6 – 1

Data Pasokan Beras Data Permintaan Tempat Penyimpanan Jumlah Tempat Penggilingan Jumlah

Kota 1 150 Lokasi A 200

Kota 2 175 Lokasi B 100

Kota 3 275 Lokasi C 300

Ada 3 kota tempat penyimpanan beras yaitu 1, 2, dan 3, yang akan mengirim ke 3 tempat penggilingan beras yang berlokasi di A, B, dan C dengan menggunakan kereta api, dimana tiap gerbongnya memuat 1 ton beras. Data pasokan beras dan data permintaan beras untuk setiap bulannya adalah sbb.:

(5)

Contoh #6 – 1 (Lanjutan)

Biaya Pengiriman ( $ ) Tempat

Penyimpanan

Tempat Penggilingan

Lokasi A Lokasi B Lokasi C

Kota 1 6 8 10

Kota 2 7 11 11

Kota 3 4 5 12

Sedangkan data biaya pengiriman adalah sbb.:

Permasalahannya adalah untuk menentukan banyak beras (ton) yang harus dikirim dari tiap kota tempat penyimpanan ke tiap lokasi penggilingan setiap bulannya agar total biaya transportasi minimum.

Jawaban Contoh #6 – 1

... Metode NWC ①

Ke A B C Demand

Dari

1 6 8 10

x_1A x_1B x_1C 150

2 7 11 11

x_2A x_2B x_2C 175

3 4 5 12

x_3A x_3B x_3C 275

Supply 200 100 300 600

600 Distribusikan data

yang ada di soal ke dalam tabel transportasi.

(6)

Jawaban Contoh #6 – 1

... Metode NWC ②

Ke A B C Demand

Dari

1 6 8 10

x_1A x_1B x_1C 150

2 7 11 11

x_2A x_2B x_2C 175

3 4 5 12

x_3A x_3B x_3C 275

Supply 200 100 300 600

600 Lihat metode NWC

nomor 1 ⇛ yang dapat dialokasikan pada x_1A= 150 (sejumlah demand), sehingga x_1Bdan x_1C tidak perlu di alokasikan (=0).

150

Jawaban Contoh #6 – 1

... Metode NWC ③

Ke A B C Demand

Dari

1 6 8 10

150 150

2 7 11 11

x_2A x_2B x_2C 175

3 4 5 12

x_3A x_3B x_3C 275

Supply 200 100 300 600

600 Karena baris 1

sudah memenuhi demand, maka lanjut ke metode NWC nomor 3 ⇛ yang dapat dialokasikan pada x_2A= 50(sejumlah sisa dari supply), sehingga x_3Atidak perlu dialokasikan (=0).

50

(7)

Jawaban Contoh #6 – 1

... Metode NWC ④

Ke A B C Demand

Dari

1 6 8 10

150 150

2 7 11 11

50 x_2B x_2C 175

3 4 5 12

x_3B x_3C 275

Supply 200 100 300 600

600 Karena baris 2

belum memenuhi demand, maka lakukan metode NWC nomor 2 ⇛ yang dapat dialokasikan pada x_2B= 100(sejumlah supply), sehingga x_3Btidak perlu dialokasikan (=0).

100

Jawaban Contoh #6 – 1

... Metode NWC ⑤

Ke A B C Demand

Dari

1 6 8 10

150 150

2 7 11 11

50 100 x_2C 175

3 4 5 12

x_3C 275

Supply 200 100 300 600

600 Karena baris 2

belum memenuhi demand, maka lakukan metode NWC nomor 2 ⇛ yang dapat dialokasikan pada x_2C= 25(sejumlah sisa demand).

25

(8)

Jawaban Contoh #6 – 1

... Metode NWC ⑥

Ke A B C Demand

Dari

1 6 8 10

150 150

2 7 11 11

50 100 25 175

3 4 5 12

x_3C 275

Supply 200 100 300 600

600 Lakukan metode

NWC nomor 2 ⇛ yang dapat dialokasikan pada x_3C= 275(sejumlah demand dan sisa supply).

Solusi optimal:

x_1A= 150, x_1B= 0, x_1C= 0, x_2A= 50, x_2B= 100, x_2C= 25, x_3A= 0, x_3B= 0,dan x_3C= 275

275

Jawaban Contoh #6 – 1

... Metode NWC ⑦

• Maka biaya pengiriman (transportasi) yang harus dikeluarkan adalah:

Min. Z = 6x_1A+ 8x_1B+ 10x_1C+ 7x_2A+ 11x_2B+ 11x_2C+ 4x_3A+ 5x_3B+ 12x_3C

Min. Z = 6(150)+ 8(0) + 10(0) + 7(50)+ 11(100) + 11(25) + 4(0)+ 5(0)+ 12(275)

Min. Z = 5925

• Jadi biaya pengiriman (transportasi) adalah sebesar $5925

(9)

Metode Least Cost (LC)

• Metode ini jauh lebih baik secara umum jika dibandingkan dengan metode NWC.

• Hal ini karena dalam metode LC mempertimbangkan hal- hal yang ada dalam metode transportasi, yaitu biaya selnya, sehingga mendekati solusi optimal yang diinginkan.

• Sel yang memiliki biaya-biaya yang tertinggi otomatis tidak akan terpakai, tetapi jika ada sel yang memiliki biaya yang sama, maka penentuan sel yang akan di isi dapat dilakukan secara bebas.

Jawaban Contoh #6 – 1

...(Metode LC – 1)

Ke A B C Demand

Dari

1 6 8 10

x_1A x_1B x_1C 150

2 7 11 11

x_2A x_2B x_2C 175

3 4 5 12

x_3A x_3B x_3C 275

Supply 200 100 300 600

600

200 75

25 125

175

(10)

Jawaban Contoh #6 – 1

...(Metode LC – 2)

• Solusi optimal:x_1A= 0; x_1B= 25 ;x_1C= 125; x_2A= 0;x_2B= 0;x_2C= 175;x_3A= 200;x_3B= 75;x_3C= 0

Min. Z = 6(0)+ 8(25) + 10(125) + 7(0) + 11(0) + 11(175) + 4(200) + 5(75) + 12(0)

Min. Z = 4550

Metode VAM

• Metode

Vogel’s Approximation Method

(VAM).

• Bila dibandingkan dengan dua metode sebelumnya, metode ini jauh lebih baik lagi (lebih mendekati solusi optimal).

• Namun metode ini relative lebih rumit

dalam menentukan solusi.

(11)

Langkah-langkah Metode VAM

1. Susunlah kebutuhan, kapasitas masing-masing sumber, dan biaya pengangkutan ke dalam matrik.

2. Carilah perbedaan dari dua biaya terkecil (dalam nilai absolut), yaitu biaya terkecil dan terkecil kedua untuk tiap baris dan kolom pada matrik (C_mn).

3. Pilihlah 1 nilai perbedaan-perbedaan yang terbesar di antara semua nilai perbedaan pada kolom dan baris.

4. Isilah pada salah satu segi empat yang termasuk dalam kolom atau baris terpilih, yaitu pada segi empat yang biayanya terendah di antara segi empat lain pada kolom/baris itu.

Isiannya sebanyak mungkin yang bisa dilakukan.

Jawaban Contoh #6 – 1

.. (Metode VAM ①)

Ke A B C Demand Beda

Dari

1 6 8 10

x_1A x_1B x_1C 150

2 7 11 11

x_2A x_2B x_2C 175

3 4 5 12

x_3A x_3B x_3C 275

Supply 200 100 300

Beda

2 4 1

2 3 1

Cat.: x_2Adipilih karena memiliki beda kolom/baris terbesar dan biaya terendah 175

25

(12)

Jawaban Contoh #6 – 1

.. (Metode VAM ②)

Dari

1 6 8 10

x_1A x_1B x_1C 150

2 175

3 4 5 12

x_3A x_3B x_3C 275

Supply 25 100 300

Beda

2

1

2 3 2

Cat.: x_3Bdipilih karena memiliki beda kolom/baris terbesar dan biaya terendah

100 175

Jawaban Contoh #6 – 1

.. (Metode VAM ③)

Dari

1 6 10

x_1A x_1C 150

2 175

3 4 12

x_3A 100 x_3C 175

Supply 25 300

Beda

4

8

2 2

25 150

(13)

Jawaban Contoh #6 – 1

.. (Metode VAM ④)

Dari

1 10

x_1C 150

2 175

3 12

25 100 x_3C 150

Supply 300

Beda 2

Cat.: x_1Cdipilih karena memiliki beda kolom/baris terbesar dan biaya terendah 150

150

Jawaban Contoh #6 – 1

.. (Metode VAM ⑤)

Dari

1 150

2 175

3 12

25 100 x_3C 150

Supply 150

Beda

Cat.: Isi pada x_3Cdengan nilai terbesar yang mungkin. Solusi optimal diperoleh 150

(14)

Jawaban Contoh #6 – 1

.. (Metode VAM ⑥)

Ke A B C Demand

Dari

1 6 8 10

150 150

2 7 11 11

175 175

3 4 5 12

25 100 150 275

Supply 200 100 300 600

600

Solusi optimal:

x_1A= 0; x_1B= 0 ; x_1C= 150 ; x_2A= 175 ; x_2B= 0 ; x_2C= 0 ; x_3A= 25 ; x_3B= 100 ; x_3C= 150

Jawaban Contoh #6 – 1

.. (Metode VAM ⑦)

Min. Z = 6(0)+ 8(0) + 10(150) + 7(175) + 11(0) + 11(0) + 4(25) + 5(100) + 12(150)

Min. Z = 5125

(15)

Contoh #6 – 2

Agar total biaya transportasi minimum, berapa alokasi yang dapat dilakukan jika diketahui biaya, permintaan dan penawaran dari 3 pasar dan 3 pabrik seperti dalam tabel berikut ini.

Biaya ( $ ) Pasar

1 2 3 Penawaran

Pabrik

1 8 5 6 120

2 15 10 12 80

3 3 9 10 80

Permintaan 150 70 60 280

Jawaban Contoh #6 – 2

.. (Metode NWC)

Dari A B C Penawaran

Ke

1 8 5 6

120 120

2 15 10 12

30 50 80

3 3 9 10

20 60 80

Permintaan 150 70 60 280

Jadi total biaya transportasi sebesar $2690

(16)

Jawaban Contoh #6 – 2

.. (Metode LC)

Ke

1 8 5 6

70 50 120

2 15 10 12

70 10 80

3 3 9 10

80 80

Permintaan 150 70 60 280

Jadi total biaya transportasi sebesar $2060

Jawaban Contoh #6 – 2

.. (Metode VAM)

Ke

1 8 5 6

70 50 120

2 15 10 12

70 10 80

3 3 9 10

80 80

Permintaan 150 70 60 280

(17)

Metode Penugasan

• Motode penugasan adalah suatu model yang berhubungan dengan jaringan.

• Metode ini merupakan model khusus dari suatu program linear yang serupa dengan metode transportasi.

• Perbedaan metode penugasan dengan metode transportasi adalah dalam metode penugasan, kuantitas setiap pinggir kolom maupun pinggir baris dibatasi hanya sebanyak satu unit.

(18)

Masalah Penugasan

Tenaga Penjual Area Pasar

Asep Chepy Ruhyana Bageur

I II III IV

• Garis tipis ⇛ berhubungan dengan masalah alokasi

• Garis tebal ⇛ solusi dari permaslahan alokasi

Langkah Solusi (Metode Hungarian)

1. Mengubah matriks awal menjadi matriks opportunity cost (reduced cost matrix/RCM).

Caranya:

Pilih elemen terkecil dari setiap baris, kurangkan pada seluruh elemen baris tersebut.

2. RCM terus dikurangi untuk mendapatkan total-opportunity- cost matrix/TOCM.

Caranya:

Pilih elemen terkecil dari setiap kolom pada RCM yang tidak mempunyai nilai nol, kurangkan pada seluruh elemen dalam

(19)

Langkah Solusi (Metode Hungarian)

3. Melakukan test optimality (TOP) dengan menarik sejumlah minimum garis horisontal dan/atau vertikal untuk meliput seluruh elemen bernilai nol.

Penugasan optimal adalah feasible jika:

Jumlah garis = Jumlah baris atau kolom.

4. Jika belum optimal, lakukan revisi TOCM dengan memilih elemen terkecil yang belum terliput garis untuk mengurangi seluruh elemen yang belum terliput. Kemudian tambahkan jumlah yang sama pada seluruh elemen yang mempunyai dua garis yang saling bersilangan. Setelah itu lakukan kembali langkah 3, sampai solusi optimal.

Contoh #6 – 3 : Meminimumkan

Berikut ini adalah data lamanya waktu yang dibutuhkan (menit) oleh seorang operator menghasilkan satu unit barang dari setiap mesin dengan tipe berbeda di perusahaan tersebut :

Operator Mesin

I II III IV

A 10 12 9 11

B 5 10 7 8

C 12 14 13 11

D 8 15 11 9

Dengan melihat data diatas, tentukanlah operator mana yang cocok untuk setiap mesin agar waktu yang dibutuhkan untuk membuat satu barang adalah minimal!

(20)

Jawaban Contoh #6 – 3 ... (1)

Matrix awal

Opr.

Mesin

I II III IV

A 10 12 9 11

B 5 10 7 8

C 12 14 13 11

D 8 15 11 9

RCM

Opr.

Mesin

I II III IV

A 1 3 0 2

B 0 5 2 3

C 1 3 2 0

D 0 7 3 1

Jawaban Contoh #6 – 3 ... (2)

RCM

Opr.

Mesin

I II III IV

A 1 3 0 2

B 0 5 2 3

C 1 3 2 0

D 0 7 3 1

TOCM

Opr.

Mesin

I II III IV

A 1 0 0 2

B 0 2 2 3

C 1 0 2 0

D 0 4 3 1

(21)

Jawaban Contoh #6 – 3 ... (3)

TOCM ⇛ TOP

Opr.

Mesin

I II III IV

A 1 0 0 2

B 0 2 2 3

C 1 0 2 0

D 0 4 3 1

Revisi TOCM

Opr.

Mesin

I II III IV

A 2 0 0 2

B 0 1 1 2

C 2 0 2 0

D 0 3 2 0

Jawaban Contoh #6 – 3 ... (4)

Revisi TOCM

Opr.

Mesin

I II III IV

A 2 0 0 2

B 0 1 1 2

C 2 0 2 0

D 0 3 2 0

Solusi

Penugasan Waktu (menit) Operator Mesin

A III 9

B I 5

C II 14

D IV 9

Total 37

Solusi Optimal

(22)

Contoh #6 – 4 : Memaksimumkan

Salesman Area Pasar

I II III IV

A 205 95 185 165

B 105 75 135 205

C 180 110 145 175

D 85 70 110 125

Berikut ini adalah data banyaknya unit yang terjual oleh setiap salesman di setiap area pasar yang berbeda. Perusahaan ingin menempatkan salesman yang tepat di area pasar yang tepat agar keuntungan yang didapat perusahaan maksimal.

Untuk fungsi tujuan memaksimumkan maka matrix awal dibuat dengan

mengalikannya dengan

Memilih nilai terkecil pada setiap baris

-205 -95 -185 -165 -105 -75 -135 -205 -180 -110 -145 -175 -85 -70 -110 -125

Jawaban Contoh #6 – 4 ... (1)

-205 -95 -185 -165 -105 -75 -135 -205 -180 -110 -145 -175 -85 -70 -110 -125

(23)

Mengurangkan nilai pada baris dengan nilai terkecil

yang sudah dipilih sebelumnya

Memilih nilai terkecil pada setiap kolom yang tidak mempunyai nilai 0 (nol)

0 110 20 40

100 130 70 0

0 70 35 5

40 55 15 0

Jawaban Contoh #6 – 4 ... (2)

0 110 20 40

100 130 70 0

0 70 35 5

40 55 15 0

Mengurangkan nilai pada kolom yang tidak mempunyai nilai 0 dengan

nilai terkecil yang sudah dipilih sebelumnya

Menarik garis horisontal dan/atau vertikal untuk meliput seluruh elemen

bernilai nol

0 55 5 40

100 75 55 0

0 15 20 5

40 0 0 0

Jawaban Contoh #6 – 4 ... (3)

0 55 5 40

100 75 55 0

0 15 20 5

40 0 0 0

(24)

Karena jumlah garis tidak sama dengan jumlah baris/kolom, maka pilih

nilai terkecil yang tidak terliputi garis

Mengurangkan nilai yang tidak terliputi garis dengan nilai terpilih, dan tambahkan nilai

yang terliputi garis dua kali dengan nilai terpilih

0 50 0 40

100 70 50 0

0 10 15 5

45 0 0 5

Jawaban Contoh #6 – 4 ... (4)

0 55 5 40

100 75 55 0

0 15 20 5

40 0 0 0

Lakukan kembali penarikan garis horisontal dan/atau vertikal untuk meliput seluruh

elemen bernilai nol

Karena jumlah garis sama dengan jumlah baris/kolom

maka solusi sudah optimal

0 50 0 40

100 70 50 0

0 10 15 5

45 0 0 5

Jawaban Contoh #6 – 4 ... (5)

0 50 0 40

100 70 50 0

0 10 15 5

45 0 0 5

(25)

TRANSPORTASI & PENUGASAN

Metode Transportasi

Karakteristik Metode Transportasi

Gambar Model Transportasi

Tabel Transportasi

Metode North West Corner (NWC)

Contoh #6 – 1

Contoh #6 – 1 (Lanjutan)

Jawaban Contoh #6 – 1

Jawaban Contoh #6 – 1

Jawaban Contoh #6 – 1

Jawaban Contoh #6 – 1

Jawaban Contoh #6 – 1

Jawaban Contoh #6 – 1

Jawaban Contoh #6 – 1

Metode Least Cost (LC)

Jawaban Contoh #6 – 1

Jawaban Contoh #6 – 1

Metode VAM

• Metode

(VAM).

• Bila dibandingkan dengan dua metode sebelumnya, metode ini jauh lebih baik lagi (lebih mendekati solusi optimal).

• Namun metode ini relative lebih rumit

dalam menentukan solusi.

Langkah-langkah Metode VAM

Jawaban Contoh #6 – 1

Jawaban Contoh #6 – 1

Jawaban Contoh #6 – 1

Jawaban Contoh #6 – 1

Jawaban Contoh #6 – 1

Jawaban Contoh #6 – 1

Jawaban Contoh #6 – 1

Contoh #6 – 2

Jawaban Contoh #6 – 2

Jawaban Contoh #6 – 2

Jawaban Contoh #6 – 2

Metode Penugasan

Masalah Penugasan

Langkah Solusi (Metode Hungarian)

Langkah Solusi (Metode Hungarian)

Contoh #6 – 3 : Meminimumkan

Jawaban Contoh #6 – 3 ... (1)

Jawaban Contoh #6 – 3 ... (2)

Jawaban Contoh #6 – 3 ... (3)

Jawaban Contoh #6 – 3 ... (4)

Contoh #6 – 4 : Memaksimumkan

Jawaban Contoh #6 – 4 ... (1)

Jawaban Contoh #6 – 4 ... (2)

Jawaban Contoh #6 – 4 ... (3)

Jawaban Contoh #6 – 4 ... (4)

Jawaban Contoh #6 – 4 ... (5)

Solusi Contoh #6 – 4

Salesman Area Pasar Jumlah Unit

A III 185

B IV 205

C I 180

D II 70

Total 640