2.1 Konsep Dasar Graf
Definisi 2.1.1 Sebuah graf didefinisikan sebagai pasangan terurut himpunan dimana:
1. adalah sebuah himpunan tidak kosong yang berhingga yang anggota- anggotanya dinamakan simpul (verteks).
2. adalah sebuah himpunan sisi (edge) yang menghubungkan sepasang simpul.
Graf dilambangkan dengan .
Definisi 2.1.1 menyatakan bahwa tidak boleh kosong, sedangkan boleh kosong. Jadi, sebuah graf dimungkinkan tidak mempunyai sisi satu buah pun, tetapi simpulnya harus ada minimal satu. Bila adalah himpunan berhingga maka graf yang demikian disebut dengan graf berhingga (finite graph).
Suatu graf dengan buah simpul dan buah sisi disebut dengan sebuah graf ditulis dengan . Untuk lebih mudah biasa ditulis dengan . Secara umum graf dapat digambarkan dengan suatu diagram dimana simpul yang ditunjukkan sebagai titik yang dinotasikan dengan , dan sisi yang digambarkan dengan sebuah garis lurus atau dengan garis lengkung yang menghubungkan dua simpul dan dinotasikan , disebut dengan simpul-simpul ujung
dari . Sebagai contoh dapat dilihat Gambar 2.1 yaitu sebuah graf dengan 6 simpul dan 6 sisi, maka dapat dinotasikan dengan .
Gambar 2.1 Graf dengan 6 simpul dan 6 sisi
Definisi 2.1.2 Loop dan sisi Paralel. Sebuah sisi yang menghubungkan pasangan simpul yang sama atau bisa disebut juga sebuah sisi yang berawal dan berakahir dengan pada simpul yang sama disebut dengan gelang (loop). Dan dua atau lebih sisi yang mempunyai simpul-simpul ujung yang sama disebut dengan sisi paralel. Maka jika sebuah graf yang di dalamnya tidak terdapat loop dan sisi paralel disebut dengan graf sederhana.
Gambar 2.2 Graf dengan loop dan edge paralel
Definisi 2.1.3 Subgraf. Sebuah subgraf dari graf adalah sebuah
graf sedemikian hingga dan . Atau
dengan kata lain sebuah graf disebut subgraf dari graf jika semua simpul dan semua sisi dalam ada dalam dan setiap sisi dari mempunyai simpul akhir yang sama dengan . Sebagai contoh graf dalam gambar 2.3(b) adalah salah satu subgraf dari graf-graf dalam gambar 2.3(a).
Gambar 2.3 (a) Graf, (b) Subgraf
Konsep dasar subgraf mempunyai kesamaan dengan himpunan dari teori himpunan. Sebuah subgraf dapat menjadi bagian dari yang lain. Lambang dari dimaksudkan dalam arti adalah sebuah subgraf dari . Dengan penjelasan diatas maka dapat dibuat hal-hal sebagai berikut :
1. Setiap graf adalah subgraf dari dirinya sendiri.
2. Sebuah subgraf dari sebuah subgraf adalah juga subgraf dari .
3. Sebuah simpul tunggal dalam sebuah simpul adlah sebuah subgraf dari . 4. Sebuah sisi yang tunggal bersam dengan simpul akhirnya adalah sebuah
subgraf dari .
Jika , maka disebut spanning subgraf dari .
Gambar 2.4 Graf dengan 5 simpul dan 6 sisi
Definisi 2.1.4 Adjacent dan Incindent. Dua buah simpul pada graf tak berarah G dikatakan bertetangga ( adjacent ) bila keduanya terhubung langsung dengan sebuah sisi. Dengan kata lain. vj bertetangga dengan vk jika (vj, vk) adalah sebuah sisi dari graf. Untuk sebarang sisi e = (vj, vk), sisi e dikatakan bersisian (incident) dengan simpul vjdan vk.
2.2 Terminologi Dasar
Definisi 2.2.1 Walk. Sebuah walk didefinisikan sebagai barisan alternatif berhingga dari simpul-simpul dan sisi yang diawali dan diakhiri dengan simpul sedemikian hingga tiap-tiap sisi yang bersisian (edge incident) dengan simpul yang terdahulu dan dengan simpul yang berikutnya. Simpul yang merupakan simpul awal dan simpul
akhir disebut dengan terminal simpul. Pada Gambar 2.5 dapat diplih sebuah walk yaitu .
Dapat juga sebuah walk dimulai dan diakhiri oleh simpul yang sama, walk yang demikian disebut dengan close walk. Sebaliknya sebuah walk yang tidak close disebut open walk.
Gambar 2.5 Graf dengan walk yang bergaris tebal
Definisi 2.2.2 Path. Sebuah open walk yang didalamnya tidak ada simpul yang muncul lebih dari sekali disebut dengan sebuah path (path sederhana atau path dasar).
Pada Gambar 2.5 dapat diambil sebuah path yaitu sebagai contoh. Tetapi bukan merupakan path tetapi sudah merupakan cycle. Jumlah sisi-sisi dalam sebuah path disebut dengan length dari path.
Gambar 2.6 Path
Definisi 2.2.3 Sirkuit/Cycle. Sebuah path tertutup yang mana dimulai dari simpul awal sampai ke simpul tujuan dan kembali lagi ke simpul awal.
Gambar 2.7 Sirkuit
Definisi 2.2.4 Graf terhubung dan tidak terhubung (Connected dan Disconnected Graph). Sebuah graf dikatakan connected jika ada sedikitnya satu path antara setiap pasangan simpul dalam graf . Sebaliknya graf adalah disconnected jika tidak ada path antara setiap pasangan simpul dalam graf . Sebagai contoh masing- masing untuk connected graph dan disconnected graph dapat dilihat pada Gambar 2.7 dan 2.8.
Gambar 2.8 Graf yang berisi connected graph
Gambar 2.9 (a),(b). Disconnected graph
2.3 Jenis-jenis Graf
Definisi 2.3.1 Graf sederhana (simple graph). Graf sederhana adalah graf yang tidak mengandung gelang (loop) maupun sisi paralel.
Gambar 2.10 Graf sederhana
Definisi 2.3.2 Graf lengkap dan tidak lengkap. Graf lengkap adalah graf sederhana yang setiap simpulnya mempunyai sisi ke semua simpul lainnya. Graf lengkap dengan n buah simpul dilambangkan dengan sedangkan graf tidak lengkap adalah graf sederhana yang mana setiap simpulnya tidak mempunyai sisi ke semua simpul lainnya.
Gambar 2.11(a) Graf lengkap
Gambar 2.11(b) Graf tidak lengkap
Definisi 2.3.3 Digraph (Directed Graph). Digraph adalah sebuah graf yang terdiri
dari himpunan simpul dan himpunan-himpunan sisi
serta suatu pemetaan yang memetakan setiap sisi onto beberapa pasangan berurut dari simnpul dimana simpul yang disajikan dengan sepotong garis berarah dari ke .
Dimana adalah arc ke- dari yang dipetakan kepasangan simpul contohnya dapat dilihat pada Gambar 2.9.
Gambar 2.12 Directed graph
Pemetaaan dari gambar tersebut adalah simpul dihubungkan ke simpul oleh , maka dapat ditulis dan seterusnya hingga simpul dihubungkan oleh sisi ke itu sendiri.
Definisi 2.3.4 Undigraph (Undirected graph). Undigraph adalah suatu graph yang terdiri atas pasangan himpunan dimana adalah himpunan berhingga yang tidak kosong yang anggotanya disebut dengan simpul (verteks) dan merupakan himpunan berhingga yang anggotanya merupakan potongan garis tak berarah yang menghubungkan pasangan dari simpul .
Gambar 2.13 Undigraph
Definisi 2.3.5 Weighted graph dan Labelled graph. Suatu graf disebut dengan weighted graph jika terdapat suatu bilangan real yang dihubungkan dengan setiap sisi dari graf tersebut. Suatu graf disebut dengan labelled graph jika setiap sisi dari graf itu dihubungkan dengan simbol yang bukan bilangan. Pada Gambar 2.14 (a) dan gambar 2.14 (b) adalah contoh dari weighted graph dan labelled graph.
Gambar 2.14 (a). Weighted graph. (b). Labelled graph
2.4 Pohon Merentang Minimum (Minimum Spanning Tree)
2.4.1 Pohon (Tree)
Pohon adalah graf terhubung yang tidak memiliki jalan lingkar (cycle). Didalam sutu pohon tidak memuat sisi-sisi yang paralel dan loop. Karena itu pohon juga merupakan graf sederhana. Sebagai contoh pada Gambar 2.15 adalah pohon.
Gambar 2.15 (a),(b). Pohon
Definisi 2.4.1.1 Pohon yang hanya terdiri atas satu simpul (tanpa sisi) disebut dengan pohon yang menyusut atau pohon yang mengalami degenerasi atau pohon trivial.
Sebenarnya ada beberapa cara untuk mendefinisikan pohon: definisi-definisi yang dihasilkan ekuivalen. Hal ini dirangkum dalam teorema dibawah ini. Teorema ini sekaligus menjelaskan ciri-ciri dari pohon. Dalam teorema dibawah ini, perkataan ekuivalen digunakan dalam arti jika salah satu pernyataan itu benar maka pernyatan- pernyataan yang lain itu pasti benar dan sebaliknya jika salah satu pernyataan itu salah, maka pernyataan-pernyataan yang lain pasti juga salah.
Teorema 2.4.1.2 Jika adalah graf yang memiliki tepat simpul; pernyataan- pernyataan berikut ekuivalen:
(i) adalah pohon.
(ii) memiliki tepat sisi dan tidak memilik cycle (iii) adalah graf terhubung yang memiliki tepat sisi.
(iv) adalah graf terhubung yang setiap rusuknya adalah jembatan.
(v) Setiap dua simpul dari G dihubungkan oleh tepat satu alur.
(vi) tidak memiliki cycle, tetapi jika banyaknya sisi ditambah satu yang menghubungkan sebarang dua simpul, maka hasilnya ialah graf yang memiliki tepat satu cycle.
Bukti:
Keadaan I : n = 1
(i) Jelas bahwa adalah pohon yaitu pohon yang menyusut.
(ii) tidak memuat cycle, sedang banyaknya sisi dari adalah nol, yaitu . Jadi benar bahwa memiliki tepat sisi.
(iii) terhubung dan memiliki tepat sisi.
(iv) terhubung dan tidak ada sisi dari yang bukan jembatan, jadi setiap sisi dari adalah jembatan.
(v)Tidak ada pasangan simpul dari (dua simpul yang berbeda dari ) yang tidak dihubungkan dengan jalur.
(vi) tidak memuat cycle dan jika banyaknya sisi dari ditambah satu berarti graf yang terjadi terdiri atas tepat satu cycle.
Keadaan II : n 2
a. Akan dibuktikan bahwa jika (i) benar maka (ii) benar.
Andaikan adalah pohon. Maka menurut definisi tidak memiliki cycle.
Berarti bahwa pelenyapan satu sisi dari akan menghasilkan dua graf baru
yang terpisah, yang masing-masing merupakan pohon. Karena hanya memiliki simpul berarti bahwa jika dilenyapkan sisinya,yang tertinggal hanyalah simpul. Jadi memiliki tepat sisi.
b. Akan dibuktikan bahwa jika (ii) benar maka (iii) benar.
Andaikata tidak memiliki cycle dan memiliki sisi, maka terdiri atas pohon ; namakan : yang banyaknya simpul berturut-turut adalah
dimana n. Berarti + = n 1
atau
Ternyata hanya terdiri atas satu komponen. Jadi G terhubung.
c. Akan dibuktikan bahwa jika (iii) benar maka (iv) benar.
Andaikan adalah graf terhubung yang memiliki tepat sisi. Jika salah satu sisi dari dilenyapkan maka yang terjadi adalah graf yang memiliki tepat n simpul dan tepat sisi.Jadi setiap sisi dari adalah jembatan.
d. Akan dibuktikan bahwa jika (iv) benar maka (v) benar.
Andaikan terhubung dan setiap sisinya adalah jembatan. Maka setiap dua simpul dari dihubungkan dengan paling sedikit satu alur. Hal ini bertentangan dengan keadaan bahwa setiap sisi dari adalah jembatan. Jadi setiap dua simpul dari dihubungkan oleh tepat satu alur.
e. Akan dibuktikan bahwa jika (v) benar maka (vi) benar.
Andaikan memuat cycle, maka setiap dua simpul pada cycle itu dihubungkan oleh paling sedikitnya dua alur. Jadi kalau (v) benar, maka tidak memuat cycle. Jika ditambah dengan sisi yang menghubungkan kedua simpul itu maka terjadilah tepat satu cycle yang melalui kedua simpul tersebut.
f. Akan dibuktikan bahwa jika (vi) benar maka (i) benar.
Misalkan tidak memiliki cycle, dan setiap penambahan sisi pada menghasilkan tepat satu cycle. Seandainya tidak terhubung, maka penambahan satu sisi yang menghubungkan satu simpul dari salah satu komponen dan simpul, salah satu komponen yang lain tidak akan menghasilkan cycle. Berarti G pasti terhubung. Jadi jika (vi) benar maka G terhubung dan tidak memiliki cycle. Artinya, jika (vi) benar maka (vii) benar.
Teorema 2.4.1.3 Sebuah graf dengan simpul, mempunyai sisi dan tidak ada sirkuit didalamnya adalah terhubung.
Bukti:
Andaikan terdapat sebuah graf tanpa sirkuit dengan simpul dan sisi yang mana graf adalah tidak terhubung (disconnected). Dalam hal ini graf akan berisi dua atau lebih komponen tanpa sirkuit tanpa menghilangkan sifat keumuman.
Misalkan terdiri atas dua komponen dan tambahkan sebuah sisi antara sebuah simpul dalam dan dalam . Dari sini bahwa tidak ada path antara dan dalam , penambahan tidak menimbulkan sirkuit.
2.4.2 Pohon perentang (Spanning Tree)
Misalkan adalah graf tak-berarah terhubung yang bukan pohon, yang berarti di terdapat beberapa sirkuit. ini dapat diubah menjadi pohon
dengan cara memutuskan sirkuit-sirkuit yang ada. Caranya mula-mula dipilih sebuah sirkuit, lalu hapus satu buah sisi dari sirkuit ini. akan tetap terhubung dan jumlah sirkuitnya berkurang satu. Bila proses ini dilakukan berulang-ulang sampai semua sirkuit di hilang, maka menjadi sebuah pohon , yang dinamakan pohon
merentang (spanning tree). Disebut pohon merentang karena semua simpul pada pohon sama dengan semua simpul pada graf , dan sisi-sisi pada pohon sisi-sisi pada graf . Dengan kata lain dan
Karena definisi pohon diacu dari graf, maka sebuah pohon dapat mempunyai hanya sebuah simpul tanpa sebuah sisi pun. Dengan kata lain, jika graf
adalah pohon maka tidak boleh berupa himpunan kosong namun boleh kosong.
Pohon yang dimaksudkan sering disebut dengan pohon bebas (free tree). Pohon juga seringkali didefinisikan sebagai graf tak berarah dengan sifat bahwa hanya terdapat sebuah lintasan unik antara setiap pasang simpul.
Sebuah sisi dalam suatu spanning tree disebut dengan sebuah cabang (branch) dari dan sebuah sisi dari yang tidak dimuat oleh spanning tree disebut denga tali (chord). Suatu sisi bisa saja merupakan branch untuk suatu spanning tree tetapi merupakan chord untuk spanning tree yang lainnya.
Teorema 2.4.2.1 Setiap graf terhubung mempunyai sekurang-kurangnya satu spannig tree.
Bukti:
Jika suatu graf terhubung dan tidak mempunyai sirkuit maka spanning treenya adalah sendiri, jika mempunyai sebuah sirkuit maka spanning treenya dapat diperoleh dengan menghilangkan sisi pembentuk sirkuit tersebut. Selanjutnya jika mempunyai banyak sirkuit (lebih dari satu sirkuit) maka cara diatas dapat diulangi sampai sisi terakhir pembentuk sirkuit dihilangkan.
2.4.3 Minimum Spanning Tree
Jika G adalah graf berbobot, maka bobot perentang T dari G didefinisikan dengan jumlah bobot semua sisi di T. Pohon perentang yang berbeda mempunyai bobot yang berbeda pula. Di antara semua pohon perentang di G, pohon perentang yang berbobot minimum dinamakan pohon merentang minimum ( minimum spanning tree ).
2.5 Algoritma Greedy
Algoritma greedy adalah algoritma yang memecahkan masalah langkah per langkah dimana pada setiap langkah dibuat pilihan optimum (local optimum) dengan harapan bahwa langkah berikutnya mengarah ke solusi optimum global (global optimum).
Algoritma greedy membuat keputusan berdasarkan pilihan yang ada sekarang, tidak melihat pilihan yang akan muncul kemudian. Padahal didalam permasalahan optimisasi terdapat banyak pilihan yang dapat dieksplorasi pada setiap langkah solusi.
Namun begitu algoritma ini tetap menjadi pilihan utama untuk permasalahan sederhana karena ini metode yang cepat dibanding dengan metode yang lain dan dapat memberikan solusi hampiran atau aproksimasi terhadap nilai optimum yang diinginkan serta hasil yang diberikan masih merupakan solusi yang layak (feasible solution).
Dalam menyelesaikan permasalahan di dalam minimum spanning tree akan diperlihatkan strategi greedy pada algoritma Prim dan algoritma Kruskal untuk menyelesaikannya.
Beberapa algoritma yang menggunakan strategi greedy dalam menyelesaikan minimum spanning tree yaitu :
1. Algoritma Prim
Algoritma Prim merupakan salah satu algoritma yang bekerja secara greedy.
Algoritma Prim membentuk pohon merentang minimum dengan langkah per
langkah. Pada setiap langkah diambil sisi graf yang memiliki bobot minimum namun yang terhubung dengan pohon merentang yang telah terbentuk.
Algoritma Prim:
1. Ambil sisi dari graf yang berbobot minimum, masukan ke dalam .
2. Pilih sisi yang memiliki bobot minimum dan bersisian dengan simpul di , tetapi tidak membentuk sirkuit di Tambahkan ke dalam .
3. Ulangi langkah 2 sebanyak kali.
Jumlah seluruh langkah pada algoritma Prim ini adalah , yaitu sama dengan jumlah sisi pada pohon merentang dengan buah simpul.
2. Algoritma Kruskal
Algoritma Kruskal juga dapat digunakan dalam memecahkan permasalahan pada pemodelan pohon merentang minimum. Pada algoritma Kruskal mula-mula semua garis dalam diurutkan berdasarkan bobotnya dari kecil hingga ke besar.
Pada setiap langkah, dipilih garis dengan bobot terkecil, tetapi tidak membentuk loop dengan garis-garis yang sudah dipilih terdahulu.
Algoritma Kruskal:
1. Isi T dengan semua titik-titik G tanpa garis.
2. Buat T dengan memasukkan satu sisi terpendek dari G tersebut.
3. Ambil sisi selanjutnya dari G, jika sisi itu tidak membentuk sirkuit.
4. Masukkan simpul-simpul sisi itu ke T.
2.6 Algoritma Program Dinamik
Program dinamik adalah salah satu teknik matematika yang digunakan untuk mengoptimalkan proses pengambilan keputusan secara bertahap ganda. Inti dari
teknik ini ialah membagi satu persoalan atas beberapa bagian persoalan (tahap), kemudian memecahkan tiap tahap sampai seluruh persoalan telah terpecahkan.
Penggunanan program dinamik untuk mencari bobot minimum dari suatu pohon merentang merupkan salah satu alternatif selain penggunaan algoritma greedy.
Prosedur pemecahan persoalan dlam program dinamik dilakukan secara rekursif. Ini berarti bahwa setiap kali diambil keputusan, diperhatikan keadaan yang dihasilkan oleh keputusan sebelumnya.
Program Dinamik (Dynamic Programming) adalah metode pemecahan masalah dengan cara menguraikan solusi menjadi sekumpulan langkah (step) atau tahapan (stage) sedemikian sehingga solusi dari persoalan dapat dipandang dari serangkaian keputusan yang saling berkaitan. Karakteristik penyelesaian masalah dengan algoritma program Dinamik :
1. terdapat sejumlah berhingga pilihan yang mungkin
2. solusi pada setiap tahap dibangun dari hasil solusi tahap sebelumnya.
3. kita menggunakan persyaratan optimasi dankendala untuk membatasi sejumlah pilihan yangharus dipertimbangkan pada satu tahap.
