BAB 2
LANDASAN TEORI
2.1 Konsep Dasar Simulasi
Sistem didefinisikan sebagai sekumpulan entitas baik manusia ataupun mesin yang yang saling berinteraksi untuk mencapai tujuan tertentu. Dalam prakteknya, apa yang dimaksud dengan sistem bergantung pada tujuan tertentu yang ingin dicapai. Sekumpulan entitas yang menyusun sebuah sistem untuk suatu studi mungkin hanya menjadi sebagian dari keseluruhan sistem untuk studi lainnya. Keadaan (state) dari sebuah sistem didefinisikan sebagai sekumpulan variabel penting untuk menggambarkan sebuah sistem pada suatu waktu tertentu (Law, 1982).
Terkadang, kita harus mempelajari suatu sistem untuk dapat memahami bagaimana hubungan antara berbagai komponen sistem tersebut dan memperkirakan bagaimana kinerjanya di bawah kebijakan operasi yang baru. Karena tidak mungkin melakukan percobaan dengan banyak sistem, seorang analis sistem sering menggunakan model dari sebuah sistem untuk menggambarkan operasi-operasi yang terjadi pada sistem yang sebenarnya. Sebuah model didefinisikan sebagai sebuah representasi dari sistem yang dikembangkan agar tujuan untuk mempelajari sistem tersebut dapat tercapai (Law, 1982).
Karena sebuah model adalah gambaran dari sebuah sistem maka model juga merupakan abstraksi dari sistem tersebut. Untuk membangun sebuah abstraksi, seorang pembuat model harus menentukan elemen-elemen dari sistem yang akan digambarkan dalam model. Untuk membuat keputusan seperti itu, tujuan dari pembuatan model harus ditentukan terlebih dahulu. Referensi untuk tujuan ini
karenanya harus dimodelkan. Keberhasilan seorang pemodel bergantung pada seberapa baik dia mendefinisikan elemen-elemen penting ini dan menggambarkan hubungan antara elemen-elemen tersebut (Pritsker, 1986).
Simulasi komputer adalah sebuah proses untuk merancang sebuah model logika matematika dari suatu sistem nyata dan melakukan percobaan dengan model ini pada sebuah komputer (Pritsker, 1986).
2.2 Teori Graf
Sejak pertama kali diperkenalkan oleh seorang matematikawan Swiss bernama Leonhard Euler pada tahun 1736 (Munir, 2005), teori graf mulai berkembang pesat bahkan hingga saat ini. Teori graf merupakan salah satu cabang dari ilmu matematika diskrit yang meskipun usianya sudah cukup tua namun masih banyak mendapat perhatian terutama oleh para ilmuan. Hal ini disebabkan karena model-model yang ada pada teori graf berguna untuk aplikasi yang luas di berbagai bidang, seperti kelistrikan, jaringan komunikasi, ilmu komputer, kimia, biologi, dan lain-lain.
Graf digunakan untuk merepresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan antara objek-objek tersebut (Munir, 2005). Representasi visual dari graf adalah dengan menyatakan objek sebagai noktah, bulatan atau titik, sedangkan hubungan antara objek dinyatakan dengan garis.
2.2.1 Defenisi graf
Graf adalah suatu struktur diskrit yang terdiri dari verteks-verteks dan busur-busur yang menghubungkan verteks-verteks tersebut (Rosen, 2007). Suatu graf G terdiri dari dua himpunan, yaitu himpunan V dan himpunan E. Himpunan V adalah himpunan simpul (verteks) yang terbatas dan tidak kosong sedangkan himpunan E adalah himpunan busur (edge) yang menghubungkan sepasang simpul yang terdapat dalam himpunan V. Oleh karena itu, graf G dinotasikan sebagai G(V,E) yang artinya graf G mempunyai V simpul dan E busur.
2.2.2 Jenis-jenis graf
Graf dapat dikelompokkan menjadi beberapa jenis bergantung pada sudut pandang pengelompokkannya. Pengelompokkan graf dapat dipandang berdasarkan ada tidaknya busur ganda atau busur gelang (loop), busur orientasi arah pada busur, dan berdasarkan bobot atau nilai dari busur.
Berdasarkan ada tidaknya gelang atau busur ganda pada suatu graf maka secara umum graf dapat dikelompokkan menjadi dua jenis:
1. Graf sederhana (simple graph) yaitu graf yang tidak mengandung gelang (loop) maupun busur ganda dinamakan graf sederhana (Munir, 2005).
2. Graf tak-sederhana (unsimple graph) yaitu graf yang mengandung busur ganda dan gelang (loop) dinamakan graf tak-sederhana (unsimple graph). Ada dua macam graf tak-sederhana, yaitu graf ganda (multigraph) dan graf semu (pseudograph).
a. Graf ganda (multigraph) adalah graf yang mengandung busur ganda (Munir, 2006). Busur ganda dapat diasosiasikan sebagai pasangan tak terurut yang sama.
b. Graf semu (pseudograph) adalah graf yang mengandung gelang (loop). Graf semu lebih umum daripada graf ganda karena sisi pada graf semu dapat terhubung ke dirinya sendiri.
Menurut orientasi arahnya, graf dibagi menjadi dua jenis, yaitu:
1. Graf tidak berarah (undirected graph) adalah graf yang sisinya tidak mempunyai orientasi arah.
2. Graf berarah (directed graph) adalah graf yang setiap sisinya diberikan orientasi arah.
Graf juga ada yang mempunyai bobot atau nilai. Berdasarkan bobotnya, graf dibagi menjadi dua jenis, yaitu:
1. Graf tidak berbobot (unweighted graph) adalah graf yang tidak mempunyai bobot atau nilai.
2. Graf berbobot (weighted graph) adalah graf yang masing-masing busurnya mempunyai bobot atau nilai tertentu.
2.2.3 Graf Lengkap
Ada beberapa graf sederhana khusus yang dijumpai pada beberapa aplikasi, salah satu di antaranya adalah graf lengkap. Graf lengkap adalah graf yang setiap simpulya memunyai busur ke semua simpul lainnya. Graf lengkap dengan n buah simpul dilambangkan dengan Kn. Setiap simpul pada Kn berderajat n-1. Jumlah sisi pada graf
lengkap dengan n buah simpul adalah n(n-1)/2.
Gambar 2.1 Graf lengkap Kn,
2.2.4 Pohon
Sebuah graf terhubung yang tidak mengandung sirkuit disebut pohon (Rosen, 2007). Sedangkan sirkuit adalah suatu lintasan di mana simpul awal sama dengan simpul akhir. Untuk lebih memahami defenisi dari pohon dapat dilihat pada Gambar 2.3 berikut:
Gambar 2.2 G1 dan G2 adalah pohon sedangkan G3 dan G4 bukan pohon
Pada Gambar 2.3 Hanya G1 dan G2 yang pohon sedangakan G3 dan G4 bukan
pohon. G3 bukan pohon karena ia mengandung sirkuit a, d, f, a sedangkan G4 bukan
pohon karena ia tidak terhubung (jangan tertipu dengan persilangan dua busur –dalam hal ini busur (a, f) dan busur (b, e)– karena titik silangnya bukan menyatakan simpul).
a b c d e f a b c d e f a b c d e f a b c d e f G1 G2 G3 G4
Pohon juga sering didefinisikan sebagai graf tak berarah terhubung yang hanya terdapat sebuah lintasan unik antara setiap pasang simpul. Dengan demikian, dari suatu simpul untuk mencapai suatu simpul yang lain hanya dapat ditempuh dengan sebuah lintasan tunggal. Jika suatu graf adalah pohon maka graf tersebut mengandung hanya satu pohon merentang, yaitu dirinya sendiri. Namun, jika suatu graf terhubung mengandung satu atau lebih sirkuit maka terdapat banyak pohon merentang. Dari sekian banyak pohon merentang tersebut terdapat sebuah pohon merentang dengan lintasan terpendek. Pohon merentang inilah yang disebut dengan pohon merentang minimum (minimum spanning tree).
2.3 Graf dan Topologi Jaringan
Graf dapat digunakan untuk memodelkan jaringan, di mana verteks memodelkan tempat atau titik dan busur memodelkan link atau hubungan antara titik-titik tersebut. Setiap link mempunyai nilai atau harganya masing-masing. Menemukan sekumpulan link dengan nilai total paling minimum yang dapat menghubungkan seluruh titik-titik itu dikenal dengan minimum spanning tree (Khuller, 1996).
Salah satu aplikasi dari graf dalam bidang komunikasi adalah untuk memodelkan topologi jaringan. Graf diimplementasikan dalam topologi jaringan dengan maksud agar mengoptimasi jaringan untuk skala yang lebih luas dan jaringan bercabang banyak yang dapat dilakukan, misalnya dengan menghitung kebutuhan kabel, bisa dilakukan dengan mudah yaitu dengan menggunakan hukum-hukum dan teorema dalam graf.
Topologi jaringan adalah pola hubungan antara terminal-terminal dalam suatu jaringan. Pola ini sangat erat kaitannya dengan metode akses dan media pengiriman yang digunakan. Topologi yang ada sangatlah bergantung pada letak geografis dari masing-masing terminal, kualitas kontrol yang dibutuhkan dalam komunikasi ataupun pesan, serta kecepatan dari pengiriman data.
2.3.1 Point to point (Titik ke Titik)
Jaringan point to point merupakan jaringan kerja yang paling sederhana tetapi dapat digunakan secara luas. Contoh dari topologi point to point dapat dilihat pada Gambar 2.3 berikut.
Gambar 2.3 Topologi jaringan point to point
Pada jenis topologi ini, kedua simpul mempunyai kedudukan yang setingkat, sehingga simpul manapun dapat memulai dan mengendalikan hubungan dalam jaringan. Data dikirim dari satu simpul langsung ke simpul lainnya sebagai penerima.
2.3.2 Star Network (Jaringan Bintang)
Pada topologi ini, setiap simpul terhubung langsung ke simpul pusat sehingga semua data yang ditransmisikan harus melalui simpul pusat yang kemudian ditransmisikan ke simpul lainnya yang dituju. Gambar 2.4 merupakan contoh dari topologi bintang.
Gambar 2.4 Topologi Star Network
2.3.3 Ring Network (Jaringan Cincin)
Sesuai dengan namanya, strukturnya berbentuk seperti cincin. Topologi jaringan ini memiliki struktur dengan setiap simpul dalam jaringan terhubung dengan kedua simpul yang lain di jaringan dan dengan simpul pertama dan terakhir saling terhubung satu sama lain, membentuk cincin. Jaringan cincin tidak memiliki suatu titik yang bertindak sebagai pusat ataupun pengatur lalu lintas data, semua simpul mempunyai
tingkatan yang sama. Konfigurasi semacam ini relative lebih mahal apabila dibanding dengan konfigurasi jaringan bintang. Hal ini disebabkan, setiap simpul yang ada akan bertindak sebagai komputer yang akan mengatasi setiap aplikasi yang dihadapinya, serta harus mampu membagi sumber daya yang dimilikinya pada jaringan yang ada. Disamping itu, sistem ini lebih sesuai digunakan untuk sistem yang tidak terpusat (decentralized-system), dimana tidak diperlukan adanya suatu prioritas tertentu.
Gambar 2.5 Topologi Ring Network
2.3.4 TreeNetwork (Jaringan Pohon)
Pada jaringan pohon, terdapat beberapa tingkatan simpul (node). Pusat atau simpul yang lebih tinggi tingkatannya, dapat mengatur simpul lain yang lebih rendah tingkatannya. Data yang dikirim perlu melalui simpul pusat terlebih dahulu. Misalnya untuk bergerak dari komputer dengan node-3 ke komputer node-7 seperti halnya pada gambar, data yang ada harus melewati node-3, 5 dan node-6 sebelum berakhir pada node-7. Keungguluan jaringan model pohon seperti ini adalah, dapat terbentuknya suatu kelompok yang dibutuhkan pada setiap saat. Sebagai contoh, perusahaan dapat membentuk kelompok yang terdiri atas terminal pembukuan, serta pada kelompok lain dibentuk untuk terminal penjualan. Adapun kelemahannya adalah, apabila simpul yang lebih tinggi kemudian tidak berfungsi, maka kelompok lainnya yang berada dibawahnya akhirnya juga menjadi tidak efektif. Cara kerja jaringan pohon ini relatif menjadi lambat.
Gambar 2.6 Topologi Tree Network
2.3.5 Bus Network (Jaringan Bus)
Setiap komputer (setiap simpul) akan dihubungkan dengan sebuah kabel komunikasi melalui sebuah interface. Setiap komputer dapat berkomunikasi langsung dengan komputer ataupun peralatan lainnya yang terdapat didalam network, dengan kata lain, semua simpul mempunyai keduduk an yang sama. Dalam hal ini, jaringan tidak tergantung kepada komputer yang ada dipusat, sehingga bila salah satu peralatan atau salah satu simpul mengalami kerusakan, sistem tetap dapat beroperasi. Setiap simpul yang ada memiliki address atau alam sendiri. Sehingga untuk meng-access data dari salah satu simpul, user atau pemakai cukup menyebutkan alamat dari simpul yang dimaksud.
Gambar 2.7 Topologi Bus Network
2.3.6 Plex Network (Jaringan Kombinasi)
Merupakan jaringan yang benar-benar interaktif, dimana setiap simpul mempunyai kemampuan untuk meng-access secara langsung tidak hanya terhadap komputer, tetapi juga dengan peralatan ataupun simpul yang lain. Secara umum, jaringan ini mempunyai bentuk mirip dengan jaringan bintang. Organisasi data yang ada menggunakan de-sentralisasi, sedang untuk melakukan perawatan, digunakan fasilitas sentralisasi
Gambar 2.8 Topologi Plex Network
Berdasarkan jaraknya, jaringan komputer dibagi tiga, yaitu:
1. Local Area Network (LAN) adalah sejumlah komputer yang saling dihubungkan bersama di dalam satu areal tertentu yang tidak begitu luas, seperti di dalam satu kantor atau gedung. Secara garis besar terdapat dua tipe jaringan atau LAN, yaitu jaringan Peer to Peer dan jaringan Client-Server. Pada jaringan peer to peer, setiap komputer yang terhubung ke jaringan dapat bertindak baik sebagai workstation maupun server. Sedangkan pada jaringan Client-Server, hanya satu komputer yang bertugas sebagai server dan komputer lain berperan sebagai workstation. Antara dua tipe jaringan tersebut masing-masing memiliki keunggulan dan kelemahan, di mana masing-masing akan dijelaskan.
2. Metropolitan Area Network (MAN). Jaringan ini lebih luas dari jaringan LAN dan menjangkau antar wilayah dalam satu provinsi. Jaringan MAN menghubungkan jaringan-jaringan kecil yang ada, seperti LAN yang menuju pada lingkungan area yang lebih besar. Contoh, beberapa bank yang memiliki jaringan komputer di setiap cabangnya dapat berhubungan satu sama lain sehingga nasabah dapat melakukan transaksi di cabang maupun dalam propinsi yang sama.
3. Wide Area Network (WAN). Jaringan ini mencakup area yang luas dan mampu menjangkau batas propinsi bahkan sampai negara yang ada dibelahan bumi lain. Jaringan WAN dapat menghubungkan satu komputer dengan komputer lain dengan menggunakan satelit atau kabel bawah laut. Topologi yang
digunakan WAN menggunakan topologi tak menentu sesuai dengan apa yang akan digunakan. Topologi Jaringan adalah gambaran secara fisik dari pola hubungan antara komponen-komponen jaringan, yang meliputi server, workstation, hub/switch dan pengkabelannnya.
2.4 Permasalahan Optimasi
Optimasi didefinisikan sebagai proses untuk menemukan kondisi yang memberikan nilai maksimum atau minimum dari suatu fungsi (Rao, 1984).
Dalam dunia komputer, optimasi adalah suatu proses untuk memodifikasi suatu sistem untuk membuat beberapa aspek dari sistem itu bekerja lebih efisien atau menggunakan sumber daya yang lebih sedikit (http://en.wikipedia.org/wiki/Optimization_(computer_science)).
Sebuah permasalahan optimasi berawal dengan sekumpulan variabel atau parameter yang bebas dan biasanya mengandung kondisi atau batasan yang menentukan diterima atau tidaknya suatu nilai dari variabel-variabel tersebut. Model matematika sering dikembangkan untuk menganalisa dan memahami fenomena yang kompleks yang mungkin terdapat pada permasalahan tersebut. Optimasi dalam konteks ini digunakan untuk menentukan bentuk dan karakteristik dari model yang paling memenuhi untuk direalisasikan. Oleh karena itu, kebanyakan prosedur pembuat keputusan melibatkan solusi eksplisit dari suatu permasalahan optimasi untuk membuat pilihan ”terbaik” (Gill, 1988).
Permasalahan optimasi adalah permasalahan yang menuntut pencarian solusi optimum. Permasalahan optimasi ada dua macam, yaitu: maksimasi (maximization) dan minimasi (minimization). Solusi optimum (terbaik) adalah solusi yang bernilai maksimum atau minimum dari sekumpulan alternatif solusi yang mungkin.
Elemen-elemen yang harus diperhatikan dalam persoalan optimasi adalah kendala (constraints) dan fungsi objektif (atau fungsi optimasi). Solusi yang
mengatasi semua kendala disebut solusi layak (feasible solution). Solusi layak yang mengoptimumkan fungsi optimasi disebut solusi optimum (Fadilah, 2006).
Salah satu algoritma yang dapat memecahkan persoalan optimasi adalah algoritma greedy. Algoritma greedy dapat memecahkan persoalan optimasi dengan membentuk solusi langkah per langkah (step by step). Pada setiap langkah, terdapat banyak pilihan yang harus diperiksa untuk dipilih dan keputusan yang telah diambil pada langkah itu tidak dapat diubah lagi pada langkah selajutnya. Dengan demikian, pada setiap langkah harus ditentukan pilihan yang terbaik sehingga diperoleh hasil yang optimum.
2.5 Algoritma Prim
Menyelesaikan masalah pohon merentang minimum berarti menentukan sekumpulan busur yang berbobot minimum sehingga menghubungkan semua simpul yang terdapat pada suatu graf.
Salah satu algoritma yang dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah pohon merentang minimum ini adalah algoritma Prim. Algoritma ini ditemukan oleh seorang computer scientist, Robert C. Prim pada tahun 1957 (Fadly, 2006) .
Algoritma Prim dimulai dengan memilih salah satu edge manapun yang berbobot paling minimum dan masukkan ke dalam pohon merentang. Secara berurutan, tambahkan edge-edge dengan bobot paling minimum yang terhubung ke salah satu verteks yang ada di pohon merentang dan tidak membentuk sirkuit dengan edge-edge yang termasuk dalam pohon merentang. Algoritma ini berhenti setelah n-1 edges telah ditambahkan. (Rosen, 2007).
Dalam notasi pseudo-code, algoritma Prim dapat dituliskan sebagai berikut: procedure Prim (G: graf berbobot yang terhubung dengan n verteks) T := sebuah edge bobot minimum
begin
e := edge bobot minimum yang terhubung ke salah satu verteks dalam T dan tidak membentuk sirkuit pada T jika edge tersebut ditambahkan ke dalam T
T := T dengan e yang ditambahkan
