TUGAS AKHIR
PENCARIAN POHON MERENTANG MINIMUM MENGGUNAKAN ALGORITMA PRIM DAN ALGORITMA KRUSKAL TERHADAP PEMECAHAN MASALAH
OPTIMASI JALUR REL PADA RENCANA PEMBANGUNAN PERKERETAAPIAN DI BALI KOMPETENSI TERAPAN [SKRIPSI] GABRIELLA WIBOWO 0708405039 JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS UDAYANA
i
TUGAS AKHIR
PENCARIAN POHON MERENTANG MINIMUM MENGGUNAKAN ALGORITMA PRIM DAN ALGORITMA KRUSKAL TERHADAP PEMECAHAN MASALAH
OPTIMASI JALUR REL PADA RENCANA PEMBANGUNAN PERKERETAAPIAN DI BALI KOMPETENSI TERAPAN [SKRIPSI] GABRIELLA WIBOWO 0708405039 JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS UDAYANA
iv
LEMBAR PENGESAHAN
JUDUL : Pencarian Pohon Merentang Minimum Menggunakan Algoritma Prim dan Algoritma Kruskal Terhadap Pemecahan Masalah Optimasi Jalur Rel pada Rencana Pembangunan Perkeretaapian di Bali.
NAMA : Gabriella Wibowo
NIM : 0708405039
JURUSAN : Matematika
KOMPETENSI : Finansial
TANGGAL UJIAN : 24 Oktober 2011
Disetujui oleh:
Pembimbing II Pembimbing I
I Made Eka Dwipayana, S.Si., M.Si.
NIP 19820514 200812 1 001
Ni Ketut Tari Tastrawati, S.Si., M.Si. NIP 19740528 200212 2 002
Penguji III Penguji II Penguji I
Ir. I Putu Eka N. Kencana, M.T.
NIP 19650614 199203 1 004
Drs. G.K. Gandhiadi, M.T.
NIP 19620930 198803 1 002
Drs. I Nyoman Widana, M.Si. NIP 19640808 199103 1 004
Mengetahui,
Ketua Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
Drs. G.K. Gandhiadi, M.T.
v
Judul : Pencarian Pohon Merentang Minimum Menggunakan
Algoritma Prim dan Algoritma Kruskal Terhadap Pemecahan Masalah Optimasi Jalur Rel pada Rencana Pembangunan Perkeretaapian di Bali.
Penulis : Gabriella Wibowo
Dosen Pembimbing : 1. Ni Ketut Tari Tastrawati, S.Si., M.Si. 2. I Made Eka Dwipayana, S.Si., M.Si.
ABSTRAK
Algoritma Prim dan algoritma Kruskal merupakan algoritma yang paling sering digunakan dalam pemecahan masalah pohon merentang minimum. Secara umum, kedua algoritma ini memberikan hasil pohon merentang minimum yang berbobot sama. Beberapa persoalan dalam dunia nyata, seperti: perancangan jaringan komputer, pemasangan kabel listrik, pengadaan saluran air, pembuatan jalan raya, pembangunan rel kereta api dan lain-lain, dapat direpresentasikan ke dalam bentuk graf untuk kemudian dipecahkan melalui pencarian pohon merentang minimum dengan menggunakan algoritma Prim dan algoritma Kruskal. Misalkan pada pembangunan rel kereta api, untuk menghubungkan kota-kota yang ada di suatu wilayah, sebenarnya kita tidak perlu menghubungkan seluruhnya melainkan cukup dengan menghubungkan beberapa kota di antaranya saja, yaitu dengan memanfaatkan algoritma Prim dan algoritma Kruskal. Namun, kedua algoritma tersebut memiliki kelebihan dan kekurangan masing-masing. Kelebihan dan kekurangan ini memungkinkan penggunanya memilih algoritma mana yang lebih efektif untuk diterapkan pada jenis graf tertentu. Dalam makalah ini akan dibahas dan dibandingkan keefektifan dari kedua algoritma tersebut secara umum.
vi
Title : Minimum Spanning Tree Search Using Prim's Algorithm
and Kruskal's Algorithm Against Optimization Problem Solution of Rail Line in The Development Plan Railroad in Bali.
Author : Gabriella Wibowo
Tutors : 1. Ni Ketut Tari Tastrawati, S.Si., M.Si. 2. I Made Eka Dwipayana, S.Si., M.Si.
ABSTRACT
Prim’s algorithm and Kruskal’s algorithm are the most frequently used algorithms in solving the minimum spanning tree problem. In general, both these algorithms give the minimum spanning tree results are weighted the same. Some problems in the real world, such as: designing computer networks, electrical wiring, water supply lines, making roads, construction of railroads, and others can be represented in graph form and then solved by searching the minimum spanning tree using the Prim’s algorithm and Kruskal’s algorithm. Suppose that in the construction of railroads, to connect the cities in a region, we actually do not need to interconnect all but simply by connecting several cities in among, that is by using Prim's algorithm and Kruskal’s algorithm. However, both these algorithms has advantages and disadvantages of each. Advantages and disadvantages of this algorithms allows users to choose which is more effectively to apply to certain types of graphs. In this paper will be discussed and compared the effectiveness of both algorithms in general.
vii
KATA PENGANTAR
Puji syukur penulis panjatkan ke hadirat Tuhan Yang Maha Esa, karena atas rahmat dan karunia-Nya penulis dapat merampungkan tugas akhir ini dengan lancar dan tepat waktu. Skripsi ini disusun sebagai upaya untuk menerapkan pemahaman mengenai berbagai mata kuliah yang telah didapat selama ini, dalam rangkaian kegiatan pelaksanaan tugas akhir di Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Udayana. Dimana, pada kesempatan ini penulis mengangkat judul “PENCARIAN POHON MERENTANG MINIMUM MENGGUNAKAN ALGORITMA PRIM DAN ALGORITMA KRUSKAL TERHADAP PEMECAHAN MASALAH OPTIMASI JALUR REL PADA RENCANA PEMBANGUNAN PERKERETAAPIAN DI BALI”.
Pada kesempatan ini pula, tidak lupa penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada seluruh pihak yang telah membantu terwujudnya tugas akhir ini, diantaranya:
1. Bapak Drs. G.K. Gandhiadi, M.T. selaku Ketua Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Udayana.
2. Bapak Ir. I Putu Eka Nila Kencana, M.T. selaku Ketua Komisi Tugas Akhir Jurusan Matematika.
viii
bimbingan, arahan, bantuan, motivasi, dan kontribusi dalam menyusun tugas akhir ini hingga selesai.
4. Bapak Drs. I Nyoman Widana, M.Si. selaku dosen penguji I, Bapak Drs. G.K. Gandhiadi, M.T. selaku dosen penguji II, Bapak Ir. I Putu Eka Nila Kencana, M.T. selaku dosen penguji III, yang telah bersedia untuk menguji dan bermurah hati dalam memberikan penilaian tugas akhir ini..
5. Para Dosen Jurusan Matematika, yang telah menjadi pengajar matematika yang baik dan senantiasa membagikan ilmu dengan sukarela, beserta segenap staf/pegawai.
6. Bapak Ir. I Gusti Bagus Putra Budiartha, M.M. selaku Kepala Dinas Pekerjaan Umum Pemerintah Provinsi Bali yang telah memberikan ijin untuk melakukan pencarian data demi kepentingan tugas akhir ini.
7. Orang Tua dan seluruh keluarga besar, yang selalu mendoakan, mencintai, menyayangi, mendanai, dan mendukung setiap langkah yang penulis tempuh, khususnya dalam mengerjakan tugas akhir ini.
8. Teman-teman seangkatan dan keluarga besar HIMATIKA, yang selama ini selalu bersikap baik dan telah banyak memberikan pelajaran mengenai watak/karakter manusia yang berbeda-beda.
9. Artikel yang sangat menginspirasi, yang tanpa sengaja penulis temukan hingga akhirnya diperoleh ide untuk mengangkat kasus tersebut sebagai permasalahan skripsi.
ix
Sehingga, karena bantuan mereka itulah tugas akhir ini telah rampung dan dapat tersusun dengan sebaik mungkin. Namun, dikarenakan keterbatasan kemampuan dan kurangnya pengalaman, penulis menyadari bahwa skripsi ini masih jauh dari sempurna, sebagaimana pepatah mengatakan, “Tiada Gading yang Tak Retak”. Oleh karena itu, dengan segala kerendahan hati penulis mengharapkan kritik dan saran dari pembaca untuk memperbaiki tugas akhir ini agar jauh lebih baik dari sebelumnya. Sekian dan Terima Kasih.
Denpasar, September 2011
Penulis
x
DAFTAR ISI
LEMBAR JUDUL ……….... i
LEMBAR PERSEMBAHAN ……….. ii
LEMBAR PERNYATAAN ………. iii
LEMBAR PENGESAHAN ………... iv
ABSTRAK ………... v
KATA PENGANTAR ……… . vii
DAFTAR ISI ……… x
DAFTAR TABEL ……… xiv
DAFTAR GAMBAR ……….. . xv
DAFTAR LAMPIRAN ………... . xvi
BAB I : PENDAHULUAN ……….. 1 1.1 Latar Belakang ………... 1 1.2 Rumusan Masalah ……….. 4 1.3 Batasan Masalah ……… 4 1.4 Tujuan Penelitian ………... 4 1.5 Manfaat Penelitian ………. 5
BAB II : TINJAUAN PUSTAKA ……… 6
2.1 Graf (Graph) ……….. 6
2.2 Upagraf (Subgraph) ………... 6
xi 2.3.1 Ketetanggaan (Adjacent) ………. 7 2.3.2 Keterkaitan (Incident) ……….. 7 2.3.3 Derajat (Degree) ……….. 8 2.3.4 Gelang (Loop) ……… . 8 2.3.5 Jalan (Walk) ………. 8 2.3.6 Lintasan (Path) ……… 8 2.3.7 Jejak (Trail) ………. 9 2.3.8 Siklus (Cycle) ………... 9 2.3.9 Sirkuit (Circuit) ………... 9 2.4 Jenis-Jenis Graf ………. 9
2.4.1 Berdasarkan Ada Tidaknya Sisi Ganda ……….. 10
2.4.1.1 Graf Sederhana (Simple Graph) ……… 10
2.4.1.2 Graf Tak-Sederhana (Unsimple Graph) ……….... 10
2.4.2 Berdasarkan Ada Tidaknya Orientasi Arah ……… 11
2.4.2.1 Graf Berarah (Directed Graph) ………. 11
2.4.2.2 Graf Tak-Berarah (Undirected Graph) ………. 12
2.4.3 Berdasarkan Ada Tidaknya Keterhubungan ………... 12
2.4.3.1 Graf Terhubung (Connected Graph) ………. 12
2.4.3.2 Graf Tak-Terhubung (Disconnected Graph) …………. 12
2.4.4 Graf Lingkaran (Circle Graph) ………... 13
2.4.5 Graf Lengkap (Complete Graph) ……… 14
2.4.6 Graf Berbobot (Weighted Graph) ………... 14
xii
2.5.1 Matrik Ketetanggaan (Adjacency Matrix) ……….. 15
2.5.2 Matrik Keterkaitan (Incidency Matrix) ………... 16
2.6 Pohon (Tree) ……….. 16
2.7 Sifat-Sifat Pohon (Tree’s Properties) ……… 17
2.8 Pohon Merentang (Spanning Tree) ……… 17
2.9 Pohon Merentang Minimum (Minimum Spanning Tree) ……….. 18
2.10 Hutan (Forest) …………. 19
2.11 Algoritma (Algorithm) …………. 19
2.12 Algoritma Prim (Prim’s Algorithm) ……… 20
2.12.1 Sejarah Algoritma Prim ……….. 20
2.12.2 Konsep Algoritma Prim ……….. 20
2.13 Algoritma Kruskal (Kruskal’s Algorithm) ……….. 21
2.13.1 Sejarah Algoritma Kruskal ………. 21
2.13.2 Konsep Algoritma Kruskal ………. 22
2.14 Optimasi ………. 23
2.15 Pemecahan Masalah Optimasi …...………. 23
BAB III : METODE PENELITIAN ………. 24
3.1 Tempat dan Waktu Penelitian ………... 24
3.2 Jenis Penelitian ……….. 24
3.3 Jenis Data ……….. 24
3.4 Sumber Data ……….. 25
3.5 Metode Pengumpulan Data ………... 25
xiii
3.7 Langkah-Langkah Penelitian ……….... 26
BAB IV : HASIL DAN PEMBAHASAN ……….. 29
4.1 Data dan Fakta ……….. 29
4.2 Pemecahan Rumusan Masalah Pertama ………..………. 32
4.2.1 Dengan menggunakan algoritma Prim ………... 32
4.2.2 Dengan menggunakan algoritma Kruskal ……….. 37
4.3 Pembobotan ……….. 44
4.3.1 Pembobotan Terhadap Jarak ……….. 44
4.3.2 Pembobotan Terhadap Medan Jalan ……….. 45
4.4 Pemecahan Rumusan Masalah Kedua ……….…………. 51
4.4.1 Dengan menggunakan algoritma Prim ………... 51
4.4.2 Dengan menggunakan algoritma Kruskal ……….. 56
4.5 Perbandingan-Perbandingan ………. 62
4.5.1 Perbandingan Dari Segi Proses ……….. 62
4.5.2 Perbandingan Dari Segi Hasil ……… 63
BAB V : KESIMPULAN DAN SARAN ………... 65
5.1 Kesimpulan ………... 65
5.2 Saran ………. 65
xv
DAFTAR GAMBAR
Gambar 2.1 Graf G ……….….. 6
Gambar 2.2 Graf G dan 3 Contoh Upagrafnya H1, H2, H3 ……….….. 7
Gambar 2.3 Adjacent dan Incident ……….….. 7
Gambar 2.4 Loop ……….……. 8
Gambar 2.5 Walk, Path, Trail, Cycle, dan Circuit ……….…….. 9
Gambar 2.6 Graf Sederhana ……….…… 10
Gambar 2.7 Graf Tak-Sederhana (Graf Ganda) ……….…….. 11
Gambar 2.8 Graf Tak-Sederhana (Graf Semu) ……….…... 11
Gambar 2.9 Graf Berarah ………. 12
Gambar 2.10 Graf Tak-Berarah ………... 12
Gambar 2.11 Graf Terhubung ……….. 13
Gambar 2.12 Graf Tak-Terhubung ………... 13
Gambar 2.13 Graf Lingkaran ………... 13
Gambar 2.14 Graf Lengkap ………. 14
Gambar 2.15 Graf Berbobot ……… 14
Gambar 2.16 Matrik Ketetanggaan ………. 15
Gambar 2.17 Matrik Keterkaitan ………. 16
Gambar 2.18 Pohon ………. 16
Gambar 2.19 Graf G dan 4 Contoh Pohon Merentangnya T1, T2, T3, T4 …. 18
Gambar 2.20 Graf dan Pohon Merentang Minimumnya ………. 18
xvi
DAFTAR LAMPIRAN
Lampiran 1 Surat Permohonan Ijin Pencarian Data.
(Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Udayana)
Lampiran 2 Surat Pemberian Ijin Pencarian Data.
(Dinas Pekerjaan Umum Pemerintah Provinsi Bali) Lampiran 3 Data Jarak Antar Ibukota Kabupaten di Provinsi Bali.
Lampiran 4 Data Medan Jalan Antar Ibukota Kabupaten di Provinsi Bali. Lampiran 5 Artikel-Artikel yang Mendukung Penelitian:
Bali Bakal Punya Jalur Kereta Api.
Tunjang Pariwisata, Kereta Api Bakal Dibangun di Bali.
