PAM 252 Metode Numerik Bab 2 Persamaan Nonlinier

PAM 252 Metode Numerik Bab 2 Persamaan Nonlinier

Mahdhivan Syafwan

Jurusan Matematika FMIPA Universitas Andalas

Semester Genap 2016/2017

Solusi persamaan nonlinier

Misalkan f : [a, b] → R, a < b. Kita ingin menentukan x ∈ [a, b]

sedemikian sehingga

f (x) = 0.

Pada prakteknya, solusi dari f (x) = 0 (disebut juga akar dari f (x)) sulit untuk diselesaikan secara analitik, sehingga diperlukan metode numerik.

Metode numerik untuk pencarian akar suatu fungsi pada umumnya merupakan metode iterasi.

1 Tentukan satu atau beberapatebakan awalterhadap akar dari f (x).

2 Terapkan suaturumus iterasi/rekursiftertentu yang akan membangkitkan barisan bilangan x0, x1, x2, ... yang diharapkan konvergen ke akar yang ingin dicari.

3 Tetapkankriteria penghentian iterasi.

Dua tipe metode

Ada dua tipe metode numerik dalam mencari akar suatu fungsi:

Metode pengurung

akar yang dicari selalu diapit/dikurung di dalam suatu interval → interval pengapit akar dibuat makin lama makin pendek.

Metode terbuka

akar tidak perlu diapit.

Masing-masing metode mempunyai kelebihan dan kekurangan

Metode bagi dua - dasar teori

Teorema Nilai Antara

Misalkan f : [a, b] → R adalah fungsi kontinu dan L adalah sebarang titik antara f (a) dan f (b). Maka terdapat c ∈ (a, b) sedemikian sehingga f (c) = L.

Bukti detailnya akan diberikan pada kuliah Analisis Riil.

Metode bagi dua - dasar teori

Teorema Bolzano

Misalkan a < b, f : [a, b] → R adalah fungsi kontinu, dan f (a)f (b) < 0. Maka terdapat c ∈ (a, b) sedemikian sehingga f (c) = 0.

Bukti.

Teorema ini adalah kasus khusus dari Teorema Nilai Antara dengan L = 0.

Metode bagi dua - penerapan

1 Tentukan dua buah titik, misalkan a dan b dengan a < b, yang nilai fungsinya berlawanan tanda, yaitu f (a)f (b) < 0. Kedua titik ini merupakan tebakan awal pada metode bagi dua.

2 Berdasarkan Teorema Bolzano, interval [a, b] akan memuat akar f (x).

3 Tetapkan titik tengah dari interval [a, b], sebut titik c. Jadi c = ^a+b₂ .

4 Ada tiga kemungkinan yang akan terjadi:

(a) f (c) = 0, artinya titik c adalah akar dari f (x) (b) f (a)f (c) < 0, artinya akar berada pada interval [a, c]

(c) f (b)f (c) < 0, artinya akar berada pada interval [c, b]

5 Jika kasus (a) terjadi, maka proses selesai.

Jika kasus (b) atau (c) terjadi, interval pengapit akar dinamakan sebagai a dan b yang baru, lalu ulangi proses yang sama pada iterasi selanjutnya.

Metode bagi dua - ilustrasi

Metode bagi dua - kekonvergenan & penghentian iterasi

Apabila pada setiap langkah iterasi, variabel a, b, c diberi indeks (dimulai dari nol), maka pada iterasi ke-k diperoleh rumus iterasi

c^k =a^k+ b^k

2 , k = 0, 1, 2, ...

Dapat ditunjukkan bahwa b^k− a^k = ^b0−a₂^{k 0}. [justifikasi!]

Karena akar r dari fungsi f (x) berada pada interval [a^k, b^k], maka

|c^k− r | ≤ b^k − a^k

2 =b0− a0

2^k+1 .

Hubungan di atas menunjukkan bahwa barisan {c^k} akan konvergen ke akar r . [buktikan!]

Kriteria penghentian iterasi yang dapat digunakan adalah (b^k− a^k) < ǫ, dimana ǫ adalah batas galat yang ditentukan.

Q: Jika diberikan ǫ, berapa banyak iterasi yang dibutuhkan?

Metode bagi dua - algoritma

Metode bagi dua - algoritma

Masukan: f(x) fungsi yang dicari akarnya a, b tebakan awal

eps batas galat

Keluaran: r akar dari fungsi f(x) Langkah-Langkah :

1. fa:=f(a) 2. fb:=f(b)

3. jika fa*fb > 0 maka “proses gagal”, stop 4. c:=(a+b)/2

5. fc:=f(c) 6. jika fa*fc < 0

maka b:=c fb:=fc jikatidak

jika fa*fc > 0 maka a:=c

fa:=fc jikatidak

r:=c, selesai 7. jika (b-a) < eps

maka r:=c, selesai 8. kembali ke langkah 4

6. selagi (b-a) >= eps jika fa*fc < 0

maka b:=c fb:=fc jikatidak

jika fa*fc > 0 maka a:=c

fa:=fc jikatidak

r:=c, selesai c:=(a+b)/2

fc:=f(c) 7. r:=c

Untuk ..., variabel vektor (berindeks) tidak digunakan, karena ...

Metode bagi dua - seberapa bagus?

Robust

- selalu konvergen (asalkan syarat-syaratnya terpenuhi).

Akurat

- hampiran solusi dapat ditingkatkan keakuratannya dengan meningkatkan jumlah iterasinya dan estimasi galat dapat dihitung di setiap iterasi.

Efisien

- hampiran solusi diperoleh dalam waktu yang relatif

singkat - beban kerja komputasi yang diperlukan relatif ringan.

Metode posisi palsu - penerapan

Metode posisi palsu (dikenal juga dengan metoderegula falsi) dikembangkan agar memiliki kekonvergenan yang lebih cepat daripada metode bagi dua.

1 Tentukan tebakan awal a, b dengan f (a)f (b) < 0.

2 Buat garis lurus yang menghubungkan titik (a, f (a)) dan (b, f (b)).

Garis ini akan memotong sumbu-x dengan titik potongnya, sebut titik c, terletak di antara a dan b. [mengapa?]

3 Dapat ditunjukkan bahwa

c = b − f (b) b − a

f (b) − f (a). [justifikasi!]

4 Akar fungsi akan terapit oleh salah satu dari interval [a, c] atau [c, b].

5 Untuk iterasi selanjutnya, interval pengapit akar dinamakan sebagai a dan b yang baru dan proses yang sama diulangi lagi.

Metode posisi palsu - ilustrasi

Metode posisi palsu - kekonvergenan & penghentian iterasi

Apabila pada setiap langkah iterasi, variabel a, b dan c diberi indeks (dimulai dari nol), maka pada iterasi ke-k diperoleh rumus iterasi

c^k = b^k− f (b^k) b^k− a^k

f (b^k) − f (a^k), k = 0, 1, 2, ...

Sebagai kriteria penghentian iterasi, dapat digunakan

|c^k+1− c^k| < ǫ, dimana ǫ adalah batas galat.

Q: Dapatkah kriteria penghentian iterasi pada metode bagi dua diterapkan pada metode posisi palsu?

Metode posisi palsu - algoritma

Metode posisi palsu - algoritma

Masukan: f(x) fungsi yang dicari akarnya a, b tebakan awal

eps batas galat

Keluaran: r akar dari fungsi f(x) Langkah-Langkah :

1. fa:=f(a) 2. fb:=f(b)

3. jika fa*fb > 0 maka “proses gagal”, stop 4. clama:=2*b-a(mengapa? bisa yang lain?) 5. c:=b-fb*(b-a)/(fb-fa)

6. fc:=f(c) 7. jika fa*fc < 0

maka b:=c fb:=fc jikatidak

jika fa*fc > 0 maka a:=c

fa:=fc jikatidak

r:=c, selesai 8. jika abs(c-clama) < eps

maka r:=c, selesai 9. clama:=c

10. kembali ke langkah 5

7. selagi abs(c-clama) >= eps jika fa*fc < 0

maka b:=c fb:=fc jikatidak

jika fa*fc > 0 maka a:=c

fa:=fc jikatidak

r:=c, selesai clama:=c

c:=b-fb*(b-a)/(fb-fa) fc:=f(c)

8. r:=c

Metode posisi palsu - beberapa catatan

Pada algoritma sebelumnya, untuk ...., pemakaian variabel vektor (berindeks) kembali dihindari karena ...

Apa tujuan dari langkah 4 pada algoritma sebelumnya? Apakah nilai awal dari variabel clama dapat diambil yang lain? Jelaskan!

Secara umum metode posisi palsu mempunyai kekonvergenan yang lebih cepat daripada metode bagi dua.

Namun, ada beberapa kelas fungsi tertentu dimana keadaan berlaku sebaliknya (lihat pembahasan metode modifikasi posisi palsu).

Contoh

Terapkan metode bagi dua dan metode posisi palsu dalam menentukan akar dari x sin(x) − 1 = 0 dengan tebakan awal a = 0, b = 2 dan batas galat 0.2 (untuk masing-masing metode, tuliskan rincian hitungannya dan letakkan hasilnya dalam sebuah tabel).

Masalah tebakan awal/lokalisasi akar

Cara untuk (membantu) menentukan tebakan awal:

Tabulasi nilai- membuat tabel nilai dari fungsi f (x) pada beberapa titik tertentu, lalu ...

Menggambar grafik

Grafik tunggal - gambarkan grafik f (x) di bidang x − y , lalu ...

Grafik ganda - pecah fungsi f (x) menjadi f (x) = g (x) − h(x), gambarkan grafik g (x) dan h(x) pada bidang x − y yang sama, lalu ...

Beberapa kesulitan dalam mencari lokasi akar [jelaskan!]:

(a) Adanya dua akar yang lokasinya sangat berdekatan (b) Adanya akar kembar

Masalah kekonvergenan pada metode posisi palsu

Bagaimana mengatasinya?

Lakukan modifikasi (metode modifikasi posisi palsu):

bila selama dua atau lebih iterasi yang berturutan, salah satu ujung interval pengapit akar tidak mengalami perubahan, maka nilai fungsi pada titik tersebut dibuat menjadi setengah dari nilai pada iterasi sebelumnya.

Metode modifikasi posisi palsu - algoritma

Metode modifikasi posisi palsu - algoritma

Metode Newton-Raphson - dasar teori

Teorema Taylor

Misalkan n ∈ N, I = [a, b], dan f : I → R sedemikian sehingga f dan turunannya f^′, f^′′, ..., f⁽ⁿ⁾kontinu pada I dan f⁽ⁿ⁺¹⁾ada pada (a, b). Jika

˜

x ∈ I , maka untuk sebarang x ∈ I terdapat titik c di antara x dan ˜x sedemikian sehingga

f (x) = f (˜x) + f^′(˜x)(x − ˜x) +f^′′(˜x )

2! (x − ˜x)² + · · · +f⁽ⁿ⁾(˜x)

n! (x − ˜x)ⁿ+f⁽ⁿ⁺¹⁾(c)

(n + 1)!(x − ˜x)ⁿ⁺¹. Bukti detailnya akan diberikan pada kuliah Analisis Riil.

Metode Newton-Raphson - dasar teori

Teorema (Metode Newton)

Misalkan I = [a, b] dan f : I → R dapat diturunkan dua kali pada I . Andaikan f (a)f (b) < 0 dan terdapat konstanta m dan M sehingga

|f^′(x)| ≥ m > 0 dan |f^′′(x)| ≤ M untuk x ∈ I dan misalkan K = M/2m.

Maka terdapat subinterval I^∗ yang memuat akar r dari persamaan f (x) = 0 sedemikian sehingga untuk sebarang x0∈ I^∗, barisan {x^k} yang didefinisikan dengan

x^k+1 = x^k − f (x^k)

f^′(x^k) untuk setiap k ∈ N ∪ {0}, (1) ada di I^∗ dan {x^k} konvergen ke r . Lebih lanjut,

Metode Newton-Raphson - penerapan

Misalkan f (x) fungsi kontinu dan x0adalah tebakan awal terhadap akar dari fungsi tersebut.

Buat garis singggung terhadap fungsi f (x) (yaitu f^′(x)) di titik (x0, f (x0)). Jika f^′(x0) 6= 0, maka garis singgung tersebut akan memotong sumbu-x. [mengapa?]

Misalkan titik potongnya adalah x1. Dapat dibuktikan bahwa x1= x0−f^f′^(x(x⁰0⁾). [justifikasi secara aljabar dan geometrik!]

Selanjutnya proses yang sama dilakukan dengan tebakan awal yang baru, yaitu x1. Apabila proses ini diteruskan, maka akan diperoleh barisan x0, x1, x2, ..., x^k, ... dengan

x^k+1= x^k− f (x^k) f^′(x^k).

Q: Tunjukkan bahwa jika barisan {x^k} konvergen, maka limitnya adalah akar dari f (x).

Metode Newton-Raphson - ilustrasi

Metode NR - kekonvergenan dan penghentian iterasi

Perhatikan kembali pertaksamaan (2) pada Teorema Metode Newton. Misalkan E^k = x^k− r adalah galat pada iterasi ke-k. Maka pertaksamaan (2) dapat ditulis |E^k+1| ≤ K |E^k|². Akibatnya, jika

|E^k| < 10^−m, maka |E^k+1| < 10^−2mK . Dari kenyataan ini, metode Newton-Raphson dikatakan memiliki kekonvergenankuadratik.

Kriteria penghentian iterasi yang dapat dipakai adalah

|x^k+1− x^k| < ǫ, dimana ǫ adalah batas galat.

[kriteria penghentian iterasi yang lain?]

Metode Newton-Raphson tidak menjamin proses akan konvergen.

Untuk mengatasi terjadinya looping karena proses yang tidak konvergen, maka perlu untuk memberi batas jumlah maksimum iterasinya (hal ini juga merupakan kriteria penghentian iterasi pada metode NR).

Kegagalan metode Newton-Raphson

(a) xk → ∞ (b) xk berosilasi

Metode Newton-Raphson - algoritma

Metode Newton-Raphson - contoh

Terapkan metode Newton-Raphson pada fungsi f (x) = x³− 3x + 2 dengan tebakan awal x0= −2.4 dengan batas galat 0.001. Lakukan hal yang sama tetapi dengan tebakan awal 1.2. Apa kesimpulan Anda?

Kesimpulan: Permasalahannya terletak pada bentuk kecekungan fungsi di sekitar akar yang dicari. Fungsi f (x) = x³− 3x + 2 memiliki akar

Orde kekonvergenan

Definisi (orde kekonvergenan)

Misalkan barisan {x^k}^∞k=0 konvergen ke akar r dari fungsi f (x) dan E^k = r − x^k. Jika terdapat konstanta A 6= 0 dan R > 0 dengan

klim→∞

|r − x^k+1|

|r − x^k|^R = lim

k→∞

|E^k+1|

|E^k|^R = A, (3)

maka barisan {x^k}^∞k=0 disebut konvergen ke r denganorde kekonvergenan R. Khusus untuk kasus R = 1, 2 berlaku istilah berikut:

Jika R = 1, kekonvergenan dari {x^k}^∞k=0 dikatakanlinier Jika R = 2, kekonvergenan dari {x^k}^∞k=0 dikatakankuadratik.

Metode Newton-Raphson - orde kekonvergenan

Sifat (orde kekonvergenan metode Newton-Raphson)

Misalkan iterasi Newton-Raphson menghasilkan barisan {x^k}^∞k=0 yang konvergen ke akar r dari fungsi f (x).

Jika r adalah akar sederhana (multiplisitas 1), maka

|E^k+1| ≈_2|f^|f′′′^{(r )|}(r )||E^k|² untuk k yang cukup besar.

Jika r adalah akar dengan multiplisitas M, maka |E^k+1| ≈ ^MM⁻¹|E^k| untuk k yang cukup besar.

Bukti. ...

Metode Newton-Raphson - pemercepat kekonvergenan

TUGAS!

Baca dan tulis kembali artikel ”Pemercepat Kekonvergenan”

(download dari portal) dengan menjelaskan secara lebih detail perhitungan pada contoh dalam artikel tersebut.

Tuliskan algoritmanya.

Metode Newton-Raphson - hal khusus dan menarik

Khusus untuk polinom, perhitungan pada rumus iterasi

Newton-Raphson dapat dibuat lebih singkat dan akurat (proses pembulatan di komputer lebih sedikit).

−→tugas baca: ”Modifikasi Metode NR untuk Polinom”.

Untuk fungsi dua peubah f (x, y ), akar-akar dari fungsi tersebut dapat dicari dengan memvariasikan salah satu nilai variabel, katakanlah x. Kemudian untuk setiap x dicari solusi untuk y dengan menggunakan metode Newton-Raphson. Namun, masalah muncul apabila terdapat lebih dari satu solusi untuk y sedangkan domain x terbatas (dalam konteks masalah persamaan diferensial, fenomena ini disebutbifurkasi). Contoh: y²+ x − 5 = 0.

−→ salah satu metode alternatif adalahmetode pseudo-arc-length.

Metode Newton-Raphson - hal khusus dan menarik

Metode tali busur - penerapan

Metode tali busur (dinamakan juga metode sekan) merupakan

pengembangan dari metode Newton Raphson sedemikian sehingga tidak perlu mencari turunan dari fungsi yang akan dicari akarnya.

Tentukan dua tebakan awal x0dan x1terhadap akar dari fungsi f (x) [tidak perlu mengapit akar].

Lakukan proses iterasi seperti pada metode Newton-Raphson, kecuali untuk f^′(x^k) yang dimodifikasi menjadi ^f(xx^k_k^{)−f (x}−xk −1^{k −1)}

[mengapa?]. Jadi rumus iterasi pada metode tali busur adalah x^k+1= x^k− f (x^k) x^k − x^k₋₁

f (x^k) − f (x^k₋₁), k = 1, 2, ...

Metode tali busur - ilustrasi

Metode tali busur - kekonvergenan & penghentian iterasi

Sifat (orde kekonvergenan metode tali busur)

Misalkan r adalah akar sederhana (multiplisitas 1) dari fungsi f (x) dan {x^k}^∞k=0 adalah barisan yang dihasilkan dari iterasi tali busur dan konvergen ke r . Misalkan E^k = r − x^k. Maka ^|E_|E^k_k⁺¹_|^R| ≈

 

f′′(r ) 2f^′(r )

  

0,618

dengan R = ¹⁺₂^√5.

Bukti. ...

Dibandingkan metode Newton-Raphson, metode tali busur mempunyai kekonvergenan yang lebih lambat, tetapi masih lebih cepat dari metode bagi dua dan posisi palsu.

Metode tali busur - algoritma

Metode pengurung vs metode terbuka

Metode Pengurung Metode Terbuka

Selama proses iterasi, akar fungsi selalu diapit interval

Selama proses iterasi, akar fungsi tidak perlu diapit interval

Proses pasti konvergen Proses tidak selalu konvergen