129
Root Locus yang menggambarkan pergeseran letak pole-pole lup tertutup sistem dengan berubahnya nilai penguatan lup terbuka sistem ybs memberikan gambaran lengkap tentang perubahan karakteristik sistem terhadap perubahan penguatan sistem (gain adjustment). Dengan menentukan karakteristik sistem yang diinginkan, perancang dapat mengetahui letak pole-pole dominan sistem yang dinginkan pada bidang-s. Dengan membandingkan letak pole-pole dominan yang diinginkan tersebut terhadap root Locus sistem semula, perancang dapat mengetahui bagaimana mengubah karakteristik sistem semula menjadi yang diinginkan.
Pada bab ini akan dibahas konsep dasar dan cara menggambar Root Locus suatu sistem., baik untuk sistem dengan umpan-balik negatif (umumnya untuk sistem kendali), maupun untuk sistem dengan umpan-balik positif (muncul pada lup dalam dan sistem keseluruhan tetap stabil dengan uumpanbalik negatif pada lup luarnya).
Penggambaran Root Locus juga dapat dilakukan dengan menggunakan perangkat lunak MatLab yang juga dibahas secara singkat pada bab ini. Selanjutnya dibahas juga Root Locus untuk sistem berfasa non-minimum dan sistem yang memiliki transport lag.
5.1 Pendahuluan
Karakteristik tanggapan transient sistem lup tertutup dapat ditentukan dari lokasi pole-pole (lup tertutupnya) atau akar-akar persamaan karakteristik sistem. Untuk sistem pada Gambar 5-1, maka persamaan karakteristiknya adalah sbb:
1+ KG(s)H(s) = 0 (5-1)
Gambar 5-1: Sistem lup tertutup
Bila penguatan lup terbuka K berubah pada Persamaan (5-1), maka letak pole-pole nya juga berubah. Dengan demikian, perlu pemahaman pola perpindahan letak pole-pole dalam bidang s.
Desain sistem kendali paling sederhana adalah melalui gain adjusment: pilih nilai K sedemikian rupa sehingga pole-pole terletak dilokasi pada bidang –s yang diinginkan. Apabila letak pole-pole yang dinginkan tak tercapai melalui cara ini, maka desain sistem kendali harus melalui kompensasi, yaitu memindahkan letak pole yang tak diinginkan melalui konsep pole-zero cancellation.
Untuk mengetahui pola perpindahan letak pole-pole pada bidang-s , maka perlu terlebih dahulu mencari akar-akar persamaan karakteristik sistem ybs. Untuk mencari akar-akar persamaan orde tinggi secara matematis sulit, terlebih dengan K sebagai variabel. Untuk saat ini alternatif yang dapat digunakan adalah MATLAB.
W.R. Evan mengembangkan metoda untuk mencari akar-akar persamaan orde tinggi secara sederhana yang sangat banyak digunakan pada bidang kendali. Metoda tersebut disebut metoda Root Locus. Root Locus dapat diartikan sebagai tempat kedudukan akar-akar persamaan karakteristik dengan K = 0 sampai K = tak hingga.
Melalui Root Locus dapat diduga pergeseran letak pole-pole baik terhadap perubahan K, maupun terhadap penambahan pole-pole atau zero-zero lup terbuka.
5.2 Dasar Root Locus
Perhatikan sistem kendali posisi untuk pesawat terbang pada Gambar 5-2. Dari Gambar 5-2c, dapat diperoleh persamaan karakteristik nya adalah:
s2 + 2s + K =0 (5-2)
Dengan menggunakan rumus ABC, maka akar-akar Persamaan Karakteristiknya dapt dihitung sbb:
s K
2 4 4 K
2 1 1 (5-3)
Bila dihitung dari K = 0 hingga K = tak hingga, maka akar-akar persamaan karakteristik tersebut dapat dituliskan dalam Tabel 5-1.
Gambar 5-2: Sistem Kendali Posisi Pesawat Terbang
Tabel 5-1: Letak pole-pole lup tertutup dengan K sebagai parameter.
K s1 s2
0 0 -2
1 -1 -1
2 -1+j1 -1-j1
10 -1+j3 -1-j3
101 -1+j10 -1-j10
-1 + j -1-j
Dari Tabel 5-1 diatas, dapat digambarkan letak pole-pole sistem pada bidang s sebagaimana terlihat pada Gambar 5-3 yang merupakan Root locus sistem ybs.
Gambar 5-3: Root Locus sistem pada Gambar 5-2c.
Dari pembahasan diatas, dapat ditarik beberapa catatan penting sbb:
Root Locus mempunyai sifat simetri terhadap sumbu nyata.
Root Locus bermula dari pole-pole G(s)H(s) (untuk K=0) dan berakhir di zero-zero G(s)H(s) (untuk K ) termasuk zero-zero pada titik takhingga.
Root Locus cukup bermanfaat dalam desain sistem kendali linear karena Root Locus dapat menunjukkan pole-pole dan zero-zero lup terbuka mana yang harus diubah sehingga spesifikasi unjuk kerja sistem dapat dipenuhi.
Pendekatan desain melalui Root Locus sangat cocok diterapkan untuk memperoleh hasil secara cepat.
Sistem kendali yang membutuhkan lebih dari 1 parameter untuk diatur masih dapat menggunakan pendekatan Root Locus dengan mengubah hanya 1 parameter pada satu saat.
Root Locus sangat memudahkan pengamatan pengaruh variasi suatu parameter (K) terhadap letak pole-pole.
Sketsa Root Locus secara manual tetap dibutuhkan untuk dapat memahaminya dan untuk memperoleh idea dasar secara cepat, meskipun MATLAB dapat melakukannya secara cepat dan akurat.
Spesifikasi transient (koefisien redaman) dapat ditentukan dengan mengatur nilai K melalui Root Locus.
5.3. Penggambaran Root Locus
Perhatikan sistem lup tertutup pada Gambar 5-4 berikut ini.
Gambar 5-4: Sistem lup tertutup
Persamaan Karakteristiknya adalah
1 + G(s)H(s) = 0 (5-4)
Atau:
G(s)H(s) = -1, (5-5)
Dari persamaan diatas, dapat diturunkan 2 persamaan berikut ini:
Syarat sudut fasa:
G(s)H(s) = 1800(2k+1); k = 0, 1, 2, …. (5-6a) Syarat magnitude:
| G(s)H(s)| = 1 (5-6b)
Dengan demikian, suatu titik pada bidang –s yang terletak pada root locus harus memenuhi kedua syarat diatas.
5.3.1 Prosedur Penggambaran Root Locus
Dengan mengacu pada gambar Root Locus pada Gambar 5-3, serta dengan memperhatikan syarat root locus, tanpa kehilangan konsep generalitas, maka penggambaran root locus suatu sistem dapat dilakukan dengan mengacu pada aturan- aturan berikut ini.
1. Letakkan pole-pole dan zero-zero lup terbuka pada bidang s.
2. Tentukan Root Locus pada sumbu nyata.
Syarat Sudut:
G(s)H(s) = 1800(2k+1); k = 0, 1, 2, ….
Ambil titik test : bila jumlah total pole dan zero dikanan titik ini ganjil, maka titik tsb terletak di Root Locus.
Gambar 5-5: Titik pengujian untuk root locus
3. Tentukan asimtot Root Locus:
Banyaknya asimtot = n – m
n = banyaknya pole lup terbuka m= banyaknya zero lup terbuka Sudut-sudut asimtot =
m n
1) (2k 1800
k=0, 1, 2, … Titik Potong asimtot-asimtot pada sumbu nyata:
m n
berhingga zero
letak berhingga
pole letak
a
4. Tentukan titik-titik break-away (Root Locus meninggalkan sumbu nyata) dan titik-titik break-in (Root Locus menuju sumbu nyata):
Untuk Persamaan Karakteristik:
B(s) + KA(s) = 0,
Maka titik-titik tsb harus berada di Root Locus dan memenuhi persamaan:
) 0 (
) ( ) ( ) ( ) (
2
' '
s A
s A s B s A s B ds
dK
5. Tentukan sudut-sudut datang / sudut-sudut berangkat untuk pole-pole / zero- zero kompleks sekawan.
Sudut datang (dari suatu pole kompleks) = 1800 – (jumlah sudut vektor- vektor dari pole-pole lain ke pole kompleks tsb) + ( jumlah sudut vektor- vektor dari zero-zero ke pole kompleks tsb).
Sudut pergi (ke suatu zero kompleks) = 1800 – (jumlah sudut vektor- vektor dari zero-zero lain ke zero kompleks tsb) + ( jumlah sudut vektor- vektor dari pole-pole ke zero kompleks tsb).
6. Tentukan batas kestabilan mutlak sistem (K):
Melalui Kriteria Routh Hurwitz.
Secara analitis: memotong sumbu imajiner: s = j
7. Sketsa Root Locus secara lebih teliti pada daerah-daerah selain sumbu nyata dan asimtot.
Gambar 5-6: Sudut datang Root Locus
8. Tentukan letak pole-pole melalui nilai K yang memenuhi syarat magnitude.
Sebalikya, bila letak pole-pole ditentukan (pada Root Locus), maka nilai K yang memenuhi dapat dihitung secara grafis atau secara analitis:
Secara grafis:
zero - zero ke s titik dari garis - garis panjang perkalian
pole - pole ke s titik dari garis - garis panjang perkalian
K
Contoh 5-1:
Gambarkan Root Locus sistem balikan satuan dengan
) 2 )(
1 ) (
( s s s
s K G
Tentukan juga nilai K agar koefisien redaman pole-pole kompleks sekawan loop tertutup dominannya bernilai 0,5.
Solusi :
1. Tentukan Root Locus pada sumbu nyata.
Gunakan titik uji pada penggalan sumbu nyata. Apabila titik uji memenuhi syarat sudut untuk Root Locus, maka penggalan garis tersebut adalah bagian Root Locus pada sumbu nyata.
Untuk titik uji 1 :
Syarat sudut : s (s 1) (s 2) 00 00 00 00 (tak terpenuhi). Dengan demikian penggalan garis pada sumbu nyata positip bukan bagian Root Locus.
Untuk titik uji 2 :
Syarat sudut : s (s 1) (s 2) 1800 00 00 1800(terpenuhi).
Sehingga penggalan garis pada sumbu nyata antara 0 dan –1 merupakan bagian Root Locus.
j
0 -1
-2
Titik uji 1 Titik uji 2
Dengan cara yang sama, dapat dibuktikan bahwa penggalan garis antara –1 dan –2 bukan bagian Root Locus dan penggalan garis antara –2 dan -~ merupakan bagian Root Locus.
2. Penentuan asimtot Root Locus
Banyaknya asimtot = banyaknya pole (n) – banyaknya zero (m) = 3 - 0 = 3
Sudut asimtot = 0 0 0
0
60 dan 180
; 60 ) 2 , 1 , 0 k ( 3 ;
) 1 k 2 ( 180
Titik potong asimtot pada sumbu nyata : 0 1
3
0 ) 2 1 0 ( m n
z p
3. Penentuan titik pencar diperoleh dari persamaan : 0 ds dK
Persamaan karakteristik sistem adalah : 0
) 1 2 )(
1 (s s s
K atau K (s3 3s2 2s), sehingga:
0 ) 2 6 3 ( s2 s ds
dK
Diperoleh s1 0,4226 (memenuhi) dan s2 1,5774 (tak memenuhi)
4. Penentuan batas kestabilan sistem. Cara termudah adalah menggunakan kriteria Routh Hurwitz. Deret R-H:
K
3
K 6
K 3
2 1
0 1 2 3
s s s s
Syarat stabil tercapai bila 0 < K < 6. Bila dihitung, perpotongan Root Locus dengan sumbu khayal ini terjadi pada : s j 2.
Cara lain untuk mengetahui titik potong ini adalah secara analisis. Anggap s = j (pada sumbu khayal), subtitusikan pada persamaan karakteristik sistem. Solusi persamaan kompleks ini akan menghasilkan 2 dan K = 6.
5. Tentukan beberapa titik uji dekat titik pencar yang memenuhi syarat sudut Root Locus agar diperoleh plot Root Locus secara akurat (lihat gambar berikut ini).
6. Root Locus dari informasi sebelumnya ditunjukkan pada gambar berikut ini.
7. Penentuan letak pole-pole kompleks sekawan dominan yang memiliki koefisien redaman 0,5. Anggap pole kompleks sekawan s n j n 1 2 . Dengan memperhatikan gambar dibawah ini, maka terlihat bahwa cos . Untuk 0,5,
maka 60 . Dengan menggunakan cara analitis akan diperoleh pole-pole 0 dominan tersebut adalah : s = -0,3337 + j0,5780, dengan nilai K adalah:
0383 , 1 )
2 )(
(s s s 0,3337 j0,5780 s
K
5.3.2 Beberapa Catatan untuk Root Locus
Konfigurasi pole-zero yang sedikit bergeser dapat mengubah total bentuk Root Locus sebagaimana ditunjukkan pada Gambar 5-7.
Gambar 5-7: Perubahan bentuk Root Locus akibat pergeseran kecil pole-pole
Orde sistem dapat berkurang akibat pole-pole G(s) di ‘hilang’kan (cancelled) oleh zero-zero H(s) sebagaimana ditunjukkan pada Gambar 5-8.
Gambar 5-8: Manipulasi diagram blok untuk sistem lup ganda.
Tabel 5-2: Konfigurasi pole-zero lup terbuka dan gambar Root Locus nya
5.4 Root Locus Melalui Matlab
Root Locus suatu sistem yang dinyatakan dalam persamaan karakteristiknya, dalam MATLAB dapat dinyatakan dalam :
den 0 Knum 1
dengan :
n 2 1 1
n n 2
1 n
n 2
1
m 2 1 1 m m 2
1 m
m 2
1
p p p s
) p p
p ( s
) p s ( ) p s )(
p s ( den
z z z s
) z z
z ( s
) z s ( ) z s )(
z s ( num
Perlu diingat bahwa vektor num dan den harus ditulis dalam urutan pangkat s yang menurun. Perintah MATLAB yang umumnya digunakan untuk menggambar Root Locus dilayar komputer adalah :
rlocus(num, den)
Sedang untuk sistem yang didefinisikan dalam konsep ruang waktu, maka perintah yang digunakan adalah :
rlocus (A, B, C, D)
Pada kedua perintah tersebut, penguatan lup terbuka sistem K secara otomatis ditentukan.
Apabila pole-pole lup tertutup untuk beberapa nilai K ingin dihitung, maka perintah berikut ini dapat digunakan :
rlocus(num,den,K), atau rlocus(A,B,C,D,K)
dengan K = vektor yang berisi semua nilai penguatan dimana pole-pole lup tertutup ingin dihitung.
Cara lain penggambaran Root Locus adalah dengan menggunakan arguman berikut ini : [r,K] = rlocus(num,den)
[r,K] = rlocus(num,den,K)
[r,K] = rlocus(A,B,C,D) [r,K] = rlocus(A,B,C,D,K)
Pada layar akan tampil matriks r dan vektor penguatan K. Perintah plot(r, ‘ ‘) dapat digunakan untuk menggambar Root Locus. Sedang perintah :
r=rlocus(num,den) plot(r, o' ) atau, plot(r, x )
dapat digunakan untuk menggambar Root Locus dengan tanda o` atau `x,
Mengingat vektor penguatan ditentukan secara otomatis, maka plot Root Locus berikut ini :
) 3 s )(
2 s ( s
) 1 s ( K ) 200 s ( H ) s ( G
) 3 s )(
2 s ( s
) 1 s ( K ) 10 s ( H ) s ( G
) 3 s )(
2 s ( s
) 1 s ( ) K
s ( H ) s ( G
adalah sama, dengan : num = [ 0 0 1 1 ] den = [ 1 5 6 0 ]
Contoh 5-2:
Plot Root Locus menggunakan MATLAB suatu sistem kendali balikan satuan dengan :
) 1 s 4 , 1 s )(
6 s )(
4 s ( s
) 4 s 2 s ( ) K
s (
G 2
2
Solusi :
Mengingat persamaan penyebut belum dalam bentuk polinominal orde-5, maka hal ini perlu dilakukan lebih dahulu. Perintah konvolusi dapat digunakan untuk memperoleh bentuk polinomial tersebut :
Definisikan :
] 1 4 . 1 1 [ c : 1
s 4 . 1 s c
] 6 1 [ b : 6
s b
] 0 4 1 [ a : s 4 s ) 4 s ( s a
2
2
Selanjutnya gunakan perintah : d = conv(a,b);
e = conv(c,d)
Hasil yang diperoleh e = [1 11.4 39 43.6 24 0]
Dengan demikian program MATLAB nya adalah sebagai berikut : %---Root-Locus ---
num = [0 0 0 1 2 4];
den = [1 11.4 39 43.6 24 0];
rlocus(num,den)
Warning:Divide by zero
v = [-10 10 -10 10]; axix(v) grid
title(‘Root-Locus Plot of G(s) = K(s^2 + 2s +4)/[s(s + 4)(s + 6)(s^2 + 1.4s + 1)]’)
Eksekusi program diatas menghasilkan gmbar Root Locus berikut ini.
5.5 Root Locus untuk Kasus Khusus
Pada bagian ini akan dibahas dua kasus khusus penggambaran Root Locus, yaitu : 1. Bila parameter K bukan merupakan penguatan lup terbuka dan
2. Bila umpan balik sistem positif, bukan negatif.
5.5.1 Parameter K bukan Penguatan Lup Terbuka.
Gambar 5-9 : Sistem kendali dengan k bukan sebagai penguatan lup terbuka
Gambar 5-10: Root Locus sistem pada Gambar 5-9
5.5.2 Umpanbalik Positif.
Sistem pada Gambar 5-11 memiliki umpanbalik positif pada lup dalamnya. Meskipun demikian, sistem ini masih dapat distabilkan oleh umpnabalik negatif pada lup luarnya. Pada bagian ini akan dibahas penggambaran Root Locus untuk bagian umpanbalik positif dari Gambar 5-11, yaitu dengan input R(s) dan output C(s).
Gambar 5-11: Sistem dengan umpanbalik positif
Dengan demikian perlu modifikasi aturan penggambaran Root Locus dari aturan semula (untuk umpanbalik negatif).
Modifikasi Aturan untuk umpanbalik positif:
Aturan 2: Bila jumlah total pole dan zero dikanan titik test genap, maka titik tsb berada di Root Locus.
Aturan3: Sudut-sudut asimtot =
m n
0 36 0
k ; k=0, 1, 2, …
Aturan5: Sudut datang dan sudut pergi : 1800 diganti dengan 00.
Contoh 5-3:
Gambarkan Root locus untuk sistem lup tertutup dalam dengan umpanbalik positif pada sistem berikut ini.
Solusi:
1. Plot pole-pole lup terbuka (s = -1 + j1, s = -1 - j1, s = -3) dan zero (s = -2) pada bidang kompleks. Dengan naiknya nilai K dari 0 hingga , pole-pole lup tertutup akan bergerak dari pole-pole lup terbuka dan berakhir pada zero-zero lup terbuka (baik zero berhingga maupun tak berhingga), sebagaimana terjadi pada sistem umpan-balik negatif.
2. Tentukan root locus pada sumbu nyata . Root locus akan berada pada penggal garis antara -2 dan + dan antara -3 dan - .
3. Tentukan asimtot-asimtot root locus. Sudut-sudut asimtot = k. 3600 / (3 - 1) = 1800. (Kedua asimtot terletak pada sumbu nyata.)
4. Tentukan titik-titik pencar dan masuk. Persamaan karakteristik sistem adalah:
(s + 3)(s2 + 2s + 2) - K(s + 2) = 0, atau:
K = [(s + 3)(s2 + 2s + 2)]/(s + 2).
Dengan mendifferensiasikan K terhadap s , akan diperoleh persamaan:
2s3 + 11 s2 + 20 s + 10 = 0, atau
2(s + 0,8)(s + 2,35 + j0,77)( s + 2,35 - j0,77), sehingga titik s = -0,8 yang berada diantar 2 zero merupakan titik masuk root locus, sedang 2 titik lainnya bukan merupakan titik pencar maupun titik masuk, karena tak memenuhi syarat sudut.
5. Tentukan sudut berangkat root locus dari pole-pole kompleks. Untuk pole pada s = - 1 + j1, sudut berangkatnya adalah: = 0 - 270 - 900 + 450 = -720 (Sedang sudut berangkat dari pole pada s = 1 - j1 adalah +720.)
6. Tentukan titik-titk uji disekitar sumbu imajiner dan titik asal dan gunakan syarat sudut untuk menggambarkan root locus pada daerah ini secara lebih teliti. Root locus selengkapnya untuk sistem umpanbalik positif ini dengan fungsi alih lup tertutup:
( (s 3)(s 2s 2) K(s 2)
2) K(s )
( ) (
s 2
R s
C )
dapat dilihat pada gambar berikut ini.
Perhatikan bahwa sistem akan tidak stabil untuk K > 3 (Gunakan metoda Root Hurwitz untuk menghitungnya!). Untuk K > 3, sistem harus distabilkan dengan umpanbalik diluarnya.
Sedang gambar berikut ini menunjukkan root locus sistem yang sama tetapi dengan umpanbalik negatif .
Tabel 5-3: Gambar Root Locus untuk umpanbalik positif (kurva putus-putus) dan umpanbalik negatif (kurva garis penuh)
5.6 Analisis Sistem Kendali Menggunakan Root Locus
Pada bagian ini akan dibahas analisis yang dapat dilakukan untuk sistem kendali menggunakan Root Locus. Ada 3 bagian yang akan dibahas secara berurutan adalah ortogonalitas dan locus dengan penguatan konstan, sistem stabil kondisional, dan sistem fasa non-minimum.
5.6.1 Ortogonalitas dan Locus dengan Penguatan Konstan
Gambar 5-12 : Kurva constant-gain locus dan constant-phase locus.
Root Locus dan lokus dengan penguatan konstan merupakan pemetaan konformal lokus G(s)H(s)= 1800(2k+1) dan |G(s)H(s)| = konstan dalam bidang G(s)H(s).
Gambar 5-13 : Gambar root loci dan constant-gain loci untuk 2 sistem yang berbeda.
5.6.2 Sistem Stabil Kondisional
Perhatikan sistem kendali pada Gambar 5-14. Root locus sistem tersebut mula- mula berada pada daerah stabil (0 < K < 14), selanjutnya masuk kedaerah tak stabil (14
< K < 64), selanjutnya masuk kembali kedaerah stabil ( 64 < K < 195 ), dan terakhir kembali menjadi tak stabil pada K > 195. Keadaan stabil yang berpindah-pindah ini disebut stabil kondisional. Pada prakteknya stabil kondisional tak diinginkan, karena sistem mudah menjadi tak stabil. Sistem stabil kondisional dapat terjadi pada sistem dengan lintasan maju tak stabil (karena ada minor lup). Meskipun demikian, sistem stabil kondisional dapat dihindari melalui kompensasi yang sesuai (penambahan zero).
Gambar 5-14 : Sistem dengan kestabilan kondisional dan Root Locus nya
5.6.3 Sistem Fasa Non-Minimum
Suatu sistem disebut berfasa minimum apabila semua pole dan zero sistem lup terbukanya terletak disebelah kiri bidang-s. Sebaliknya, sistem fasa non-minimum terjadi bila sedikitnya ada satu pole atau zero sistem lup terbukanya terletak disebelah kanan bidang-s, sebagaimana dicontohkan pada Gambar 5-15. Pengertian fasa non- minimum ini akan lebih jelas pada pembahasan Tanggapan Frekuensi pada Bab 7.
Gambar 5-15 : Sistem fasa non minimum dan Root Locus nya
= 1800 (2k+1); k= 0, 1, 2, … Sehingga:
0
) 0 1 (
) 1 (
Ts s
s T K a
+5.7 Root Locus dengan Transport Lag
Transport lag atau dead time terjadi karena adanya keterlambatan pengukuran akibat sifat kelembaman sistem fisis. Pada Gambar 5-16, terlihat bahwa dibutuhkan waktu elapse sebesar T = L/v detik dari mulai cairan dipanasi di tungku hingga mencapai boiler dimana suhu diukur, dengan
L = panjang pipa yang menghubungkan tungku dengan boiler v = kecepatan aliran cairan pada pipa penghubung.
Gambar 5-16 : Sistem tungku pemanas
Dengan demikian ada keterlambatan waktu sebesar T dari input x ke output y , atau:
y(t) = x(t-T). Diperoleh fungsi alih sbb:
Fungsi Alih:
Contoh 5-4:
Gambarkan Root locus sistem tungku pemanas yang ditunjukkan pada gambar berikut ini.
Gambar 5-17 : Diagram blok sistem tungku pemanas pada Gambar 5-16.
Solusi:
Mengingat sudut kontribusi dari e-Ts adalah nol untuk =0, maka sumbu nyata dari -1 hingga - merupakan bagian dari root locus. Asumsikan suatu nilai 1 untuk , dan hitung 57.3o 1T. Pada titik -1 disumbu nyata negatif, gambar suatu garislurus yang membuat sudut 180o - 57.3o 1T terhadap sumbu nyata. Tentukan titik potong garis ini dengan garis mendatar = 1. Titik potong P ini sebagaimana terlihat pada Gambar 5- 18 kiri memenuhi persamaan root locus, sehingga titik tersebut berada pada root locus.
Dengan mengulangi prosedure diatas, maka akan diperoleh root locus seperti terlihat pada Gambar 5-18 kanan.
Perlu juga diingat bahwa bila s mendekati - , maka fungsi alih lup terbuka :
Ts s
K KTe K
K
1]
d/ds[s ] e [ ds d
1 s e lim
karena
, - mendekati akan
1 s
e
Ts - Ts
- -
s -Ts
Dengan demikian, s= - adalah suatu pole lup terbuka. Jadi root locus bermula dari s = -1 atau s = - dan berakhir pada s = , sesuai dengan membesarnya K dari nol hingga tak hingga. Mengingat syarat sudut fasa untuk root locus memiliki tak terhingga nilai (ingat k = 0, 1, 2, …), maka akan ada tak terhingga root locus pula. Misalnya untuk k = 1, maka syarat sudut berubah menjadi:
(radian)
T - 3
(derajat)
3 . 57 540
1 0 0 T
s
Gambar 5-18: Penentuan titik pada Root Locus dan Root Locusnya
Gambar 5-19: Root Locus lengkap sistem pada Gambar 5-17 untuk T= 1 detik
Dari Contoh 5-4 terlihat bahwa dead time menyebabkan ketidakstabilan sistem, sekalipun untuk sistem orde-1.
5.8. Pendekatan untuk Transport Lag
Untuk memudahkan analisis sistem kendali, maka komponen transport lag ini umumnya didekati dengan persamaan polinom atau perbandingan 2 persamaan polinom orde-n. Bila T kecil sekali dan fungsi f(t) pada elemen tsb kontinyu dan smooth, maka pendekatan berikut ini dapat digunakan:
Sedang pendekatan lain yang lebih umum adalah dengan menggunakan deret Taylor sbb:
